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2022-2023学年辽宁省沈阳134中七年级（下）期中数学试卷(含解析)
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这是一份2022-2023学年辽宁省沈阳134中七年级（下）期中数学试卷(含解析)，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年辽宁省沈阳134中七年级（下）期中数学试卷
一、选择题（每题2分，共20分）
1．已知一个水分子的半径约为0.00000000192米，将0.00000000192用科学记数法表示为（ ）
A．1.92×10﹣9 B．1.92×10﹣8 C．0.192×10﹣8 D．19.2×10﹣10
2．以下长度的三条线段，不能组成三角形的是（ ）
A．5、8、2 B．2、5、4 C．4、3、5 D．8、14、7
3．下列计算正确的是（ ）
A．（a3）2＝a5 B．a2+a5＝a7 C．（ab）3＝ab3 D．a2•a5＝a7
4．下列说法正确的是（ ）
A．同位角相等
B．在同一平面内，如果a⊥b，b⊥c，则a⊥c
C．相等的角是对顶角
D．在同一平面内，如果a∥b，b∥c，则a∥c
5．计算结果为49x2﹣36y2的是（ ）
A．（﹣6y+7x）（﹣6y﹣7x） B．（﹣6y+7x）（6y﹣7x）
C．（7x﹣4y）（7x+9y） D．（﹣6y+7x）（6y+7x）
6．如图，ABCD为一长条形纸带，AB∥CD，将ABCD沿EF折叠，A、D两点分别与A′、D′对应，若∠1＝2∠2，则∠AEF的度数为（ ）
A．60° B．65° C．72° D．75°
7．声音在空气中传播的速度简称音速，实验测得音速气温的一些数据如表：下列结论错误的是（ ）
气温x（℃）
0
5
10
15
20
音速y（米/秒）
331
334
337
340
343
A．在变化中，气温是自变量，音速是因变量
B．y随x的增大而增大
C．当气温为15℃时，音速为343米/秒
D．温度每升高5℃，音速增加3米/秒
8．一个等腰三角形的两边长分别是3cm和7cm，则它的周长是（ ）cm．
A．17 B．13 C．14或17 D．13或17
9．给定下列条件，不能判定三角形是直角三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 B．∠A+∠B＝∠C
C．∠A＝∠B＝∠C D．∠A＝2∠B＝3∠C
10．如图，直线AB∥CD，点E，F分别在直线．AB和直线CD上，点P在两条平行线之间，∠AEP和∠CFP的角平分线交于点H，已知∠P＝88°，则∠H的度数为（ ）
A．92° B．156° C．136° D．141°
二、填空题（每题3分，共18分）
11．如果一个角的余角是50°，那么这个角的补角是 ．
12．如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝10，AD为中线，则△ABD与△ACD的周长之差＝ ．
13．现有一小树苗高100cm，以后平均每年长高50cm．x年后树苗的总高度y（cm）与年份x（年）的关系式是 ．
14．若m+n＝10，mn＝24，则m2+n2＝ ．
15．如图，小军从A点出发向北偏东60°方向速到B点，再从B点出发向南偏西15°方向速到C点，则∠ABC等于 ．
16．已知动点P以每秒2cm的速度沿图1的边框按从B→C→D→E→F→A的路径移动，相应的△ABP的面积S（cm2）与时间t（秒）之间的关系如图2中的图象所示．其中AB＝6cm，a＝ ，当t＝ 时，△ABP的面积是18cm2．
三、解答题（共32分）
17．（1）计算：﹣|﹣23|+（π﹣5）0；
（2）利用整式乘法公式进行计算：2023×2021﹣20222．
18．先化简，再求值：[（x﹣3y）2+（x﹣2y）（x+2y）﹣x（2x﹣5y）]÷（﹣y），其中x＝﹣2，y＝﹣3．
19．如图，每个小方格都是边长为1的正方形，A、B、C三点都是格点（每个小方格的顶点叫做格点）．
（1）找出格点D，画出AB的平行线CD；
（2）找出格点E，画AB的垂线CE，垂足为H；
（3）图中满足要求的格点D共可以找出 个；
（4）线段 的长是点B到直线CE的距离．
20．如图，一块空地是由边长为（2a+3b）米，（2a﹣3b）米的两个正方形组成，计划在左侧留出一个长方形区域作水池，剩余阴影部分作花坛．
（1）根据图中的数据，用含有a、b的数据表示出花坛的总面积；（结果化为最简）
（2）若a＝2，b＝，求出此时花坛的总面积．
四、（本题8分）
21．已知a、b、c为△ABC的三边长，且b、c满足（b﹣5）2+（c﹣7）2＝0，a为方程|a﹣3|＝2的解，求△ABC的周长，并判断△ABC的形状．
五、（本题10分）
22．请将下面的说理过程和理由补充完整．
已知：如图，AD是△ABC的平分线，过点D作DE∥AC，交AB于点E，若∠B＝85°，∠ADE＝33°，求∠C的度数．
解：∵DE∥AC，
∴∠DAC＝① .（② ）
∵∠ADE＝33°，
∴∠DAC＝33°．
∵AD是△ABC的平分线，
∴∠BAC＝2∠DAC．（③ ）
∴∠BAC＝66°．
∵∠B+④ +∠C＝180°，（三角形的内角和为180°）
∠B＝85°，
∴∠C＝⑤ °．
六、（本题10分）
23．一辆货车从甲地到乙地，一辆轿车从乙地到甲地，两车沿同一条公路分别从甲、乙两地同时出发，匀速行驶．已知轿车比货车每小时多行驶30km，两车恰好在途中的服务区相遇，休息一段时间后，再同时以原速继续行驶，下图是两车之间的距离y（km）与货车行驶的时间x（h）之间的关系图，根据图象回答问题：
（1）甲、乙两地之间的距离是 km；
（2）两车的速度分别是多少km/h？
（3）求m的值；
（4）直接写出货车出发多长时间，与轿车相距30千米．
七、（本题10分）
24．探索与实践：数学兴趣小组的同学在学习了平行线的性质和判定后，用两个三角形纸片来探索平行．如图：在三角形ABC和三角形DEC中，∠ACB＝∠CDE＝90°，∠ABC＝30°，∠DCE＝45°，将三角形DEC绕着点C做旋转运动．
（1）当AB∥DC时，如图1所示，∠DCB＝ ．
（2）当CD与CB重合时，如图2所示，DE与AC的位置关系是 ，理由是 ；
（3）如图3所示，当AB∥EC时，∠DCB等于多少度？说明理由．
（4）当AB∥ED时，直接写出∠DCB的度数为 ．
八、（本题12分）
25．（1）如图，已知在△ABC中，∠BAC＝48°，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE所在直线交于点F，求∠BFC的度数；
（2）在（1）的基础上，若∠BAC每秒扩大6°，且在变化过程中∠ABC与∠ACB始终保持是锐角，经过t秒（0＜t＜22），在∠BFC，∠BAC这两个角中，当一个为另一个的两倍时，求t的值；
（3）在（2）的基础上，∠ABD与∠ACE的角平分线交于点G，∠BGC是否为定值，如果是，请直接写出∠BGC的值，如果不是，请写出∠BGC是如何变化的．
参考答案
一、选择题（每题2分，共20分）
1．已知一个水分子的半径约为0.00000000192米，将0.00000000192用科学记数法表示为（ ）
A．1.92×10﹣9 B．1.92×10﹣8 C．0.192×10﹣8 D．19.2×10﹣10
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
解：0.00000000192＝1.92×10﹣9．
故选：A．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2．以下长度的三条线段，不能组成三角形的是（ ）
A．5、8、2 B．2、5、4 C．4、3、5 D．8、14、7
【分析】根据三角形两边之和大于第三边判断即可．
解：2+7＜8，A不能组成三角形，符合题意；
2+4＞5，B不能组成三角形，不符合题意；
4+3＞5，C能组成三角形，不符合题意；
8+7＞14，D能组成三角形，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系，三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
3．下列计算正确的是（ ）
A．（a3）2＝a5 B．a2+a5＝a7 C．（ab）3＝ab3 D．a2•a5＝a7
【分析】直接利用幂的乘方运算法则以及合并同类项法则、积的乘方运算法则分别化简求出答案．
解：A、（a3）2＝a6，故此选项错误；
B、a2+a5无法进行计算，故此选项错误；
C、（ab）3＝a3b3，故此选项错误；
D、a2•a5＝a7，正确；
故选：D．
【点评】此题主要考查了幂的乘方运算以及合并同类项、积的乘方运算等知识，正确掌握运算法则是解题关键．
4．下列说法正确的是（ ）
A．同位角相等
B．在同一平面内，如果a⊥b，b⊥c，则a⊥c
C．相等的角是对顶角
D．在同一平面内，如果a∥b，b∥c，则a∥c
【分析】根据平行线的性质和判定以及对顶角的定义进行判断．
解：A、只有在两直线平行这一前提下，同位角才相等，故A选项错误；
B、在同一平面内，如果a⊥b，b⊥c，则a∥c，故B选项错误；
C、相等的角不一定是对顶角，因为对顶角还有位置限制，故C选项错误；
D、由平行公理的推论知，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，故D选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了平行线的性质、判定，对顶角的性质，注意对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角．
5．计算结果为49x2﹣36y2的是（ ）
A．（﹣6y+7x）（﹣6y﹣7x） B．（﹣6y+7x）（6y﹣7x）
C．（7x﹣4y）（7x+9y） D．（﹣6y+7x）（6y+7x）
【分析】根据多项式的乘法以及平方差公式、完全平方公式进行计算即可求解．
解：A． （﹣6y+7x）（﹣6y﹣7x）＝（﹣6y）2﹣（7x）2＝36y2﹣7x2，故该选项不符合题意；
B．（﹣6y+7x）（6y﹣7x）＝﹣（6y﹣7x）（6y﹣7x）＝﹣（6y﹣7x）2＝﹣36y2+84xy﹣49x2，故该选项不符合题意；
C．（7x﹣4y）（7x+9y）＝49x2+63xy﹣28xy﹣36y2＝49x2+35xy﹣36y2，故该选项不符合题意；
D．（﹣6y+7x）（6y+7x）＝49x2﹣36y2，故该选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了多项式的乘法以及平方差公式、完全平方公式，正确的计算是解题的关键．
6．如图，ABCD为一长条形纸带，AB∥CD，将ABCD沿EF折叠，A、D两点分别与A′、D′对应，若∠1＝2∠2，则∠AEF的度数为（ ）
A．60° B．65° C．72° D．75°
【分析】由题意∠1＝2∠2，设∠2＝x，易证∠AEF＝∠1＝∠FEA′＝2x，构建方程即可解决问题．
解：由翻折的性质可知：∠AEF＝∠FEA′，
∵AB∥CD，
∴∠AEF＝∠1，
∵∠1＝2∠2，设∠2＝x，则∠AEF＝∠1＝∠FEA′＝2x，
∴5x＝180°，
∴x＝36°，
∴∠AEF＝2x＝72°，
故选：C．
【点评】本题考查平行线的性质，翻折变换等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
7．声音在空气中传播的速度简称音速，实验测得音速气温的一些数据如表：下列结论错误的是（ ）
气温x（℃）
0
5
10
15
20
音速y（米/秒）
331
334
337
340
343
A．在变化中，气温是自变量，音速是因变量
B．y随x的增大而增大
C．当气温为15℃时，音速为343米/秒
D．温度每升高5℃，音速增加3米/秒
【分析】根据表格中音速随气温的变化规律可得答案．
解：A．表格中音速随气温的变化而变化，气温是自变量，音速是因变量，因此选项A不符合题意；
B．音速y随着气温x的增大而增大，因此选项B不符合题意；
C．当气温为15℃时，音速为340米/秒，不是343米/秒，因此选项C符合题意；
D．温度每升高5℃，音速增加3米/秒，因此选项D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查常量与变量，函数的表示方法，理解音速随气温的变化规律是正确判断的前提．
8．一个等腰三角形的两边长分别是3cm和7cm，则它的周长是（ ）cm．
A．17 B．13 C．14或17 D．13或17
【分析】因为等腰三角形的腰与底边不确定，故以3为底边和以3为腰分两种情况考虑：若3为腰，则另外一腰也为3，底边就为7，根据3+3＜7，不符合三角形的两边之和大于第三边，即不能构成三角形；若3为底边，腰长为7，符合构成三角形的条件，求出此时三角形的周长即可．
解：若3cm为腰，7cm为底边，
此时3+3＜7，不能构成三角形，
故3不能为腰；
若3cm为底边，7cm为腰，
此时三角形的三边分别为3cm，7cm，7cm，
周长为3+7+7＝17（cm），
综上三角形的周长为17cm．
故选：A．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质，以及三条线段构成三角形的条件，利用了分类讨论的数学思想，由等腰三角形的底边与腰长不确定，故分两种情况考虑，同时根据三角形的两边之和大于第三边，舍去不能构成三角形的情况．
9．给定下列条件，不能判定三角形是直角三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 B．∠A+∠B＝∠C
C．∠A＝∠B＝∠C D．∠A＝2∠B＝3∠C
【分析】根据三角形的内角和等于180°求出最大角，然后选择即可．
解：A、最大角∠C＝×180°＝90°，是直角三角形，不符合题意；
B、最大角∠C＝180°÷2＝90°，是直角三角形，不符合题意；
C、设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x，
所以，x+2x+3x＝180°，
解得x＝30°，
最大角∠C＝3×30°＝90°，是直角三角形，不符合题意；
D、设∠A＝x，则∠B＝x，∠C＝x，
所以，x+x+x＝180°，
解得x＝180°×＞90°，是钝角三角形，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，求出各选项中的最大角是解题的关键．
10．如图，直线AB∥CD，点E，F分别在直线．AB和直线CD上，点P在两条平行线之间，∠AEP和∠CFP的角平分线交于点H，已知∠P＝88°，则∠H的度数为（ ）
A．92° B．156° C．136° D．141°
【分析】过P点作PM∥AB∥CD，根据平行线的性质和角平分线的定义解答即可．
解：过P点作PM∥AB∥CD，
∴∠BEP＝∠EPM，∠PFD＝∠MPF，
∵∠EPF＝88°，
∴∠BEP+∠PFD＝88°，
∴∠AEP+∠CFP＝360°﹣88°＝272°，
∵∠AEP和∠CFP的角平分线交于点H，
∴∠AEP＝2∠AEH，∠CFP＝2∠CFH，
∴∠AEH+∠CFH＝136°，
∴∠EHF＝136°，
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质，平角的定义，是基础题，熟记概念并准确识图是解题的关键．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．如果一个角的余角是50°，那么这个角的补角是 140° ．
【分析】先根据题意求出这个角的度数，再根据补角的定义求解即可．
解：∵一个角的余角是50°，则这个角为90°﹣50°＝40°，
∴这个角的补角的度数是180°﹣40°＝140°．
故答案为：140°．
【点评】本题考查了余角和补角的定义，属于基础题，解题时牢记定义是关键，难度一般．
12．如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝10，AD为中线，则△ABD与△ACD的周长之差＝ 3 ．
【分析】根据三角形的周长的计算方法得到△ABD的周长和△ADC的周长的差就是AB与AC的差．
解：∵AD是△ABC中BC边上的中线，
∴BD＝DC＝BC，
∴△ABD与△ACD的周长之差
＝（AB+BD+AD）﹣（AC+DC+AD）
＝AB﹣AC
＝13﹣10
＝3．
则△ABD与△ACD的周长之差＝3．
故答案为3．
【点评】本题考查三角形的中线的定义：三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线，同时考查了三角形周长的计算方法．
13．现有一小树苗高100cm，以后平均每年长高50cm．x年后树苗的总高度y（cm）与年份x（年）的关系式是 y＝50x+100 ．
【分析】根据树苗的总高度与生长速度的关系进行计算即可．
解：由题意得，
y＝100+50x，
故答案为：y＝50x+100．
【点评】本题考查函数关系式，理解树苗的总高度与生长速度、时间的关系是正确解答的前提．
14．若m+n＝10，mn＝24，则m2+n2＝ 52 ．
【分析】利用完全平方公式把条件整体代入整理即可求解．
解：∵m+n＝10，mn＝24，
∴m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝100﹣48＝52．
故本题答案为：52．
【点评】本题考查了完全平方公式的应用，解此题可用完全平方公式把m+n，mn的值整体代入求解．
15．如图，小军从A点出发向北偏东60°方向速到B点，再从B点出发向南偏西15°方向速到C点，则∠ABC等于 45° ．
【分析】根据方向角的概念，画图正确表示出方向角，即可求解．
解：从图中发现∠ABC+15°＝60°，
∴∠ABC＝45°，
故答案为：45°．
【点评】题目主要考查方向角，解题的关键是画出示意图，注意数形结合思想在解题中的应用．
16．已知动点P以每秒2cm的速度沿图1的边框按从B→C→D→E→F→A的路径移动，相应的△ABP的面积S（cm2）与时间t（秒）之间的关系如图2中的图象所示．其中AB＝6cm，a＝ 24 ，当t＝ 3或14 时，△ABP的面积是18cm2．
【分析】根据题意得：动点P在BC上运动的时间是4秒，又由动点的速度，可得BC、AF的长；再根据三角形的面积公式解答即可．
解：动点P在BC上运动时，对应的时间为0到4秒，
∴BC＝2×4＝8（cm），
∴a＝6×8＝24，
动点P在CD上运动时，对应的时间为4到6秒，
∴CD＝2×（6﹣4）＝4（cm）；
动点P在DE上运动时，对应的时间为6到9秒，
∴DE＝2×（9﹣6）＝6（cm），
故图甲中的BC长是8cm，DE＝6cm，EF＝6﹣4＝2（cm）
∴AF＝BC+DE＝8+6＝14（cm），
∴b＝9+（EF+AF）÷2＝17，
AB•2t＝18或AB•（BC+CD+DE+EF+FA﹣2t）＝18，
解得t＝3或14．
故答案为：24，3或14．
【点评】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是读懂图意，明确横轴与纵轴的意义．
三、解答题（共32分）
17．（1）计算：﹣|﹣23|+（π﹣5）0；
（2）利用整式乘法公式进行计算：2023×2021﹣20222．
【分析】（1）根据负整数指数幂、有理数的乘方，绝对值以及零指数幂的运算性质进行计算即可；
（2）利用平方差公式进行计算即可．
解：（1）原式＝9+4×（﹣1）﹣8+1
＝9﹣4﹣8+1
＝﹣2；
（2）原式＝（2022+1）×（2022﹣1）﹣20222
＝20222﹣1﹣20222
＝﹣1．
【点评】本题考查平方差公式，有理数的乘方以及负整数指数幂的运算性质是正确解答的前提．
18．先化简，再求值：[（x﹣3y）2+（x﹣2y）（x+2y）﹣x（2x﹣5y）]÷（﹣y），其中x＝﹣2，y＝﹣3．
【分析】原式中括号中利用单项式乘多项式，完全平方公式以及平方差公式化简，去括号合并后得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．
解：原式＝（x2﹣6xy+9y2+x2﹣4y2﹣2x2+5xy）÷（﹣y）
＝（﹣xy+5y2）÷（﹣y）
＝x﹣5y，
当x＝﹣2，y＝﹣3时，原式＝﹣2+15＝13．
【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19．如图，每个小方格都是边长为1的正方形，A、B、C三点都是格点（每个小方格的顶点叫做格点）．
（1）找出格点D，画出AB的平行线CD；
（2）找出格点E，画AB的垂线CE，垂足为H；
（3）图中满足要求的格点D共可以找出 2 个；
（4）线段 BH 的长是点B到直线CE的距离．
【分析】（1）根据网格即可找出格点D，画出AB的平行线CD；
（2）根据网格即可找出格点E，画AB的垂线CE，垂足为H；
（3）根据网格即可得图中满足要求的格点D的个数；
（4）根据点到直线的距离定义即可解决问题．
解：（1）如图，点D即为所求；
（2）如图，点E，点H即为所求；
（3）图中满足要求的格点D共2个；
故答案为：2；
（4）线段BH的长是点B到直线CE的距离．
故答案为：BH．
【点评】本题考查了作图﹣应用与设计作图，点到直线的距离，平行线的判定与性质，掌握点到直线的距离定义是解决本题的关键．
20．如图，一块空地是由边长为（2a+3b）米，（2a﹣3b）米的两个正方形组成，计划在左侧留出一个长方形区域作水池，剩余阴影部分作花坛．
（1）根据图中的数据，用含有a、b的数据表示出花坛的总面积；（结果化为最简）
（2）若a＝2，b＝，求出此时花坛的总面积．
【分析】（1）用总面积减去水池的面积即可．
（2）将字母的值代入计算．
解：（1）花坛的面积＝（2a+3b）2+（2a﹣3b）2﹣（2a+3b）（2a﹣3b）＝4a2+12ab+9b2+4a2﹣12ab+9b2﹣4a2+9b2
＝4a2+27b2．
（2）当a＝2，b＝时，花坛面积为＝4×22+27×＝16+3＝19．
【点评】本题考查列代数式解决实际问题，根据图形正确表示图形面积是求解本题的关键．
四、（本题8分）
21．已知a、b、c为△ABC的三边长，且b、c满足（b﹣5）2+（c﹣7）2＝0，a为方程|a﹣3|＝2的解，求△ABC的周长，并判断△ABC的形状．
【分析】依据非负数的性质，即可得到b和c的值，再根据a为方程|a﹣3|＝2的解，即可得到a＝5或1，依据三角形三边关系，即可得到a＝5，进而得出△ABC的周长，以及△ABC的形状．
解：∵（b﹣5）2+（c﹣7）2＝0，
∴，
解得，
∵a为方程|a﹣3|＝2的解，
∴a＝5或1，
当a＝1，b＝5，c＝7时，1+5＜7，
不能组成三角形，故a＝1不合题意；
∴a＝5，
∴△ABC的周长＝5+5+7＝17，
∵a＝b＝5，
∴△ABC是等腰三角形．
【点评】本题主要考查了三角形的三边关系以及非负数的性质，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
五、（本题10分）
22．请将下面的说理过程和理由补充完整．
已知：如图，AD是△ABC的平分线，过点D作DE∥AC，交AB于点E，若∠B＝85°，∠ADE＝33°，求∠C的度数．
解：∵DE∥AC，
∴∠DAC＝① ∠ADE .（② 两直线平行，内错角相等 ）
∵∠ADE＝33°，
∴∠DAC＝33°．
∵AD是△ABC的平分线，
∴∠BAC＝2∠DAC．（③ 角平分线的定义 ）
∴∠BAC＝66°．
∵∠B+④ ∠BAC +∠C＝180°，（三角形的内角和为180°）
∠B＝85°，
∴∠C＝⑤ 29 °．
【分析】先根据平行线的性质得到∠DAC＝∠ADE＝33°，再根据角平分线的定义得到∠BAC＝66°，然后根据三角形内角和定理计算∠C的度数．
解：∵DE∥AC，
∴∠DAC＝∠ADE（两直线平行，内错角相等），
∵∠ADE＝33°，
∴∠DAC＝33°．
∵AD是△ABC的平分线，
∴∠BAC＝2∠DAC（角平分线的定义），
∴∠BAC＝66°，
∵∠B+∠ABC+∠C＝180°（三角形的内角和为180°），
∠B＝85°，
∴∠C＝29°．
故答案为：∠ADE，两直线平行，内错角相等；角平分线的定义；∠ABC，29．
【点评】本题考查了三角形内角和定理：利用三角形内角和定理根据两已知角求第三个角．也考查了平行线的性质．
六、（本题10分）
23．一辆货车从甲地到乙地，一辆轿车从乙地到甲地，两车沿同一条公路分别从甲、乙两地同时出发，匀速行驶．已知轿车比货车每小时多行驶30km，两车恰好在途中的服务区相遇，休息一段时间后，再同时以原速继续行驶，下图是两车之间的距离y（km）与货车行驶的时间x（h）之间的关系图，根据图象回答问题：
（1）甲、乙两地之间的距离是 300 km；
（2）两车的速度分别是多少km/h？
（3）求m的值；
（4）直接写出货车出发多长时间，与轿车相距30千米．
【分析】（1）根据y轴的含义可直接得出结论；
（2）设货车速度为akm/h，则轿车速度为（a+30）km/h，根据题意列出方程，解之即可；
（3）根据实际意义可知，m的含义是轿车到达甲地的时间；
（4）根据实际含义，有两种情况：相遇前，相遇后．分别列出方程求解即可．
解：（1）根据图象可知，甲、乙两地相距300千米；
故答案为：300．
（2）设货车速度为akm/h，则轿车速度为（a+30）km/h，
由图象得：2a+2（a+30）＝300．
解得：a＝60．
∴a+30＝60．
答：货车速度为60km/h，轿车速度为90km/h．
（3）根据图象可知，轿车从乙地到甲地所用的时间为t＝＝，
∴．
∴m的值为：．
（4）设两车在货车出发t小时与轿车相距30千米，
①两车相遇前：60t+90t+30＝300，
解得t＝1.8；
②两车相遇后：60（t﹣1）+90（t﹣1）﹣30＝300，
解得t＝3.2．
∴货车出发1.8h或3.2h．时间，与轿车相距30千米．
【点评】本题考查了函数的图象和一元一次方程的运用，行程问题的数量关系的运用，解答时认真分析读懂函数图象的意义是关键．
七、（本题10分）
24．探索与实践：数学兴趣小组的同学在学习了平行线的性质和判定后，用两个三角形纸片来探索平行．如图：在三角形ABC和三角形DEC中，∠ACB＝∠CDE＝90°，∠ABC＝30°，∠DCE＝45°，将三角形DEC绕着点C做旋转运动．
（1）当AB∥DC时，如图1所示，∠DCB＝ 30° ．
（2）当CD与CB重合时，如图2所示，DE与AC的位置关系是 平行 ，理由是 内错角相等，两直线平行 ；
（3）如图3所示，当AB∥EC时，∠DCB等于多少度？说明理由．
（4）当AB∥ED时，直接写出∠DCB的度数为 60°或120° ．
【分析】（1）根据两直线平行，内错相等可得答案；
（2）根据平行线的判定方法可得答案；
（3）由平行线的性质及角的各和差关系可得答案；
（4）分两种情况进行解答即可．
解：（1）由题意可知，∠B＝30°，
∵AB∥DC，
∴∠DCB＝∠B＝30°，
故答案为：30°；
（2）∵∠ACD＝∠EDC＝90°，
∴DE∥BC（内错角相等，两直线平行），
故答案为：平行，内错角相等，两直线平行；
（3）由题意可知，∠B＝30°，∠DCE＝45°，
∵AB∥EC，
∴∠ECB＝∠B＝30°，
∴∠DCB＝∠DCE﹣∠ECB＝45°﹣30°＝15°，
即∠DCB＝15°；
（4）如图1，当AB∥ED时，
∴∠AFC＝∠D＝90°，
∴∠DCB＝90°﹣∠A＝90°﹣30°＝60°；
如图2，当AB∥ED时，延长DC交AB于点H，
∵AB∥ED，
∴∠EDC＝∠CHB＝90°，
∴∠DCB＝∠CHB+∠B＝120°，
综上所述，满足条件的∠DCB的度数为60°或120°．
故答案为：60°或120°．
【点评】此题考查的是等腰直角三角形、平行线的判定与性质，正确进行讨论是解决此题的关键．
八、（本题12分）
25．（1）如图，已知在△ABC中，∠BAC＝48°，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE所在直线交于点F，求∠BFC的度数；
（2）在（1）的基础上，若∠BAC每秒扩大6°，且在变化过程中∠ABC与∠ACB始终保持是锐角，经过t秒（0＜t＜22），在∠BFC，∠BAC这两个角中，当一个为另一个的两倍时，求t的值；
（3）在（2）的基础上，∠ABD与∠ACE的角平分线交于点G，∠BGC是否为定值，如果是，请直接写出∠BGC的值，如果不是，请写出∠BGC是如何变化的．
【分析】（1）利用钝角的余角相等，证明∠CFD＝∠A即可解决问题．
（2）由题意∠A＝48°+6°×t，∠BFC＝180°﹣∠A＝132°﹣6°×t．分两种情形：①当0＜t＜7时，∠BFC＝2∠A．②当7＜t＜22时，∠A＝2∠BFC，分别构建方程求解即可．
（3）如图，结论∠BGC是定值．想办法证明∠G＝∠A+∠ABG+∠ACG，∠ABG+∠ACG＝∠ABD即可解决问题．
解：（1）∵BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，
∴∠AEC＝∠BDC＝90°，
∴∠A+∠ACE＝90°，∠ACE+∠CFD＝90°，
∴∠CFD＝∠A
∴∠BFC＝180°﹣∠DFC＝180°﹣∠A＝132°．
（2）由题意∠A＝48°+6°×t，∠BFC＝180°﹣∠A＝132°﹣6°×t，
①当0＜t＜7时，∠BFC＝2∠A，则有132﹣6t＝2（48+6t），
解得t＝2．
②当7＜t＜22时，∠A＝2∠BFC，
∴48+6t＝2（132﹣6t），
解得t＝12，
综上所述，当t＝2或12时，∠BFC，∠A两个角中，一个角是另一个角的两倍．
（3）如图，结论∠BGC是定值．
理由：∵BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，
∴∠AEC＝∠ADB＝90°，
∴∠A+∠ABD＝90°，∠A+∠ACE＝90°，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵BG平分∠ABD，CG平分∠ACE，
∠ABG＝∠ABD，∠ACG＝∠ACE，
∴∠ABG+∠ACG＝（∠ABD+∠ACE）＝∠ABD，
∵∠A+∠ABG+∠GBC+∠GCB+∠ACG＝180°，∠G+∠GBC+∠GCB＝180°，
∴∠G＝∠A+∠ABG+∠ACG＝∠A+∠ABD＝90°，
∴∠BGC是定值．
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了三角形内角和定理，等角的余角相等，直角三角形两锐角互余等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题．
2022-2023学年辽宁省沈阳134中七年级（下）期中数学试卷
一、选择题（每题2分，共20分）
1．已知一个水分子的半径约为0.00000000192米，将0.00000000192用科学记数法表示为（ ）
A．1.92×10﹣9 B．1.92×10﹣8 C．0.192×10﹣8 D．19.2×10﹣10
2．以下长度的三条线段，不能组成三角形的是（ ）
A．5、8、2 B．2、5、4 C．4、3、5 D．8、14、7
3．下列计算正确的是（ ）
A．（a3）2＝a5 B．a2+a5＝a7 C．（ab）3＝ab3 D．a2•a5＝a7
4．下列说法正确的是（ ）
A．同位角相等
B．在同一平面内，如果a⊥b，b⊥c，则a⊥c
C．相等的角是对顶角
D．在同一平面内，如果a∥b，b∥c，则a∥c
5．计算结果为49x2﹣36y2的是（ ）
A．（﹣6y+7x）（﹣6y﹣7x） B．（﹣6y+7x）（6y﹣7x）
C．（7x﹣4y）（7x+9y） D．（﹣6y+7x）（6y+7x）
6．如图，ABCD为一长条形纸带，AB∥CD，将ABCD沿EF折叠，A、D两点分别与A′、D′对应，若∠1＝2∠2，则∠AEF的度数为（ ）
A．60° B．65° C．72° D．75°
7．声音在空气中传播的速度简称音速，实验测得音速气温的一些数据如表：下列结论错误的是（ ）
气温x（℃）
0
5
10
15
20
音速y（米/秒）
331
334
337
340
343
A．在变化中，气温是自变量，音速是因变量
B．y随x的增大而增大
C．当气温为15℃时，音速为343米/秒
D．温度每升高5℃，音速增加3米/秒
8．一个等腰三角形的两边长分别是3cm和7cm，则它的周长是（ ）cm．
A．17 B．13 C．14或17 D．13或17
9．给定下列条件，不能判定三角形是直角三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 B．∠A+∠B＝∠C
C．∠A＝∠B＝∠C D．∠A＝2∠B＝3∠C
10．如图，直线AB∥CD，点E，F分别在直线．AB和直线CD上，点P在两条平行线之间，∠AEP和∠CFP的角平分线交于点H，已知∠P＝88°，则∠H的度数为（ ）
A．92° B．156° C．136° D．141°
二、填空题（每题3分，共18分）
11．如果一个角的余角是50°，那么这个角的补角是 ．
12．如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝10，AD为中线，则△ABD与△ACD的周长之差＝ ．
13．现有一小树苗高100cm，以后平均每年长高50cm．x年后树苗的总高度y（cm）与年份x（年）的关系式是 ．
14．若m+n＝10，mn＝24，则m2+n2＝ ．
15．如图，小军从A点出发向北偏东60°方向速到B点，再从B点出发向南偏西15°方向速到C点，则∠ABC等于 ．
16．已知动点P以每秒2cm的速度沿图1的边框按从B→C→D→E→F→A的路径移动，相应的△ABP的面积S（cm2）与时间t（秒）之间的关系如图2中的图象所示．其中AB＝6cm，a＝ ，当t＝ 时，△ABP的面积是18cm2．
三、解答题（共32分）
17．（1）计算：﹣|﹣23|+（π﹣5）0；
（2）利用整式乘法公式进行计算：2023×2021﹣20222．
18．先化简，再求值：[（x﹣3y）2+（x﹣2y）（x+2y）﹣x（2x﹣5y）]÷（﹣y），其中x＝﹣2，y＝﹣3．
19．如图，每个小方格都是边长为1的正方形，A、B、C三点都是格点（每个小方格的顶点叫做格点）．
（1）找出格点D，画出AB的平行线CD；
（2）找出格点E，画AB的垂线CE，垂足为H；
（3）图中满足要求的格点D共可以找出 个；
（4）线段 的长是点B到直线CE的距离．
20．如图，一块空地是由边长为（2a+3b）米，（2a﹣3b）米的两个正方形组成，计划在左侧留出一个长方形区域作水池，剩余阴影部分作花坛．
（1）根据图中的数据，用含有a、b的数据表示出花坛的总面积；（结果化为最简）
（2）若a＝2，b＝，求出此时花坛的总面积．
四、（本题8分）
21．已知a、b、c为△ABC的三边长，且b、c满足（b﹣5）2+（c﹣7）2＝0，a为方程|a﹣3|＝2的解，求△ABC的周长，并判断△ABC的形状．
五、（本题10分）
22．请将下面的说理过程和理由补充完整．
已知：如图，AD是△ABC的平分线，过点D作DE∥AC，交AB于点E，若∠B＝85°，∠ADE＝33°，求∠C的度数．
解：∵DE∥AC，
∴∠DAC＝① .（② ）
∵∠ADE＝33°，
∴∠DAC＝33°．
∵AD是△ABC的平分线，
∴∠BAC＝2∠DAC．（③ ）
∴∠BAC＝66°．
∵∠B+④ +∠C＝180°，（三角形的内角和为180°）
∠B＝85°，
∴∠C＝⑤ °．
六、（本题10分）
23．一辆货车从甲地到乙地，一辆轿车从乙地到甲地，两车沿同一条公路分别从甲、乙两地同时出发，匀速行驶．已知轿车比货车每小时多行驶30km，两车恰好在途中的服务区相遇，休息一段时间后，再同时以原速继续行驶，下图是两车之间的距离y（km）与货车行驶的时间x（h）之间的关系图，根据图象回答问题：
（1）甲、乙两地之间的距离是 km；
（2）两车的速度分别是多少km/h？
（3）求m的值；
（4）直接写出货车出发多长时间，与轿车相距30千米．
七、（本题10分）
24．探索与实践：数学兴趣小组的同学在学习了平行线的性质和判定后，用两个三角形纸片来探索平行．如图：在三角形ABC和三角形DEC中，∠ACB＝∠CDE＝90°，∠ABC＝30°，∠DCE＝45°，将三角形DEC绕着点C做旋转运动．
（1）当AB∥DC时，如图1所示，∠DCB＝ ．
（2）当CD与CB重合时，如图2所示，DE与AC的位置关系是 ，理由是 ；
（3）如图3所示，当AB∥EC时，∠DCB等于多少度？说明理由．
（4）当AB∥ED时，直接写出∠DCB的度数为 ．
八、（本题12分）
25．（1）如图，已知在△ABC中，∠BAC＝48°，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE所在直线交于点F，求∠BFC的度数；
（2）在（1）的基础上，若∠BAC每秒扩大6°，且在变化过程中∠ABC与∠ACB始终保持是锐角，经过t秒（0＜t＜22），在∠BFC，∠BAC这两个角中，当一个为另一个的两倍时，求t的值；
（3）在（2）的基础上，∠ABD与∠ACE的角平分线交于点G，∠BGC是否为定值，如果是，请直接写出∠BGC的值，如果不是，请写出∠BGC是如何变化的．
参考答案
一、选择题（每题2分，共20分）
1．已知一个水分子的半径约为0.00000000192米，将0.00000000192用科学记数法表示为（ ）
A．1.92×10﹣9 B．1.92×10﹣8 C．0.192×10﹣8 D．19.2×10﹣10
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
解：0.00000000192＝1.92×10﹣9．
故选：A．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2．以下长度的三条线段，不能组成三角形的是（ ）
A．5、8、2 B．2、5、4 C．4、3、5 D．8、14、7
【分析】根据三角形两边之和大于第三边判断即可．
解：2+7＜8，A不能组成三角形，符合题意；
2+4＞5，B不能组成三角形，不符合题意；
4+3＞5，C能组成三角形，不符合题意；
8+7＞14，D能组成三角形，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系，三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
3．下列计算正确的是（ ）
A．（a3）2＝a5 B．a2+a5＝a7 C．（ab）3＝ab3 D．a2•a5＝a7
【分析】直接利用幂的乘方运算法则以及合并同类项法则、积的乘方运算法则分别化简求出答案．
解：A、（a3）2＝a6，故此选项错误；
B、a2+a5无法进行计算，故此选项错误；
C、（ab）3＝a3b3，故此选项错误；
D、a2•a5＝a7，正确；
故选：D．
【点评】此题主要考查了幂的乘方运算以及合并同类项、积的乘方运算等知识，正确掌握运算法则是解题关键．
4．下列说法正确的是（ ）
A．同位角相等
B．在同一平面内，如果a⊥b，b⊥c，则a⊥c
C．相等的角是对顶角
D．在同一平面内，如果a∥b，b∥c，则a∥c
【分析】根据平行线的性质和判定以及对顶角的定义进行判断．
解：A、只有在两直线平行这一前提下，同位角才相等，故A选项错误；
B、在同一平面内，如果a⊥b，b⊥c，则a∥c，故B选项错误；
C、相等的角不一定是对顶角，因为对顶角还有位置限制，故C选项错误；
D、由平行公理的推论知，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，故D选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了平行线的性质、判定，对顶角的性质，注意对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角．
5．计算结果为49x2﹣36y2的是（ ）
A．（﹣6y+7x）（﹣6y﹣7x） B．（﹣6y+7x）（6y﹣7x）
C．（7x﹣4y）（7x+9y） D．（﹣6y+7x）（6y+7x）
【分析】根据多项式的乘法以及平方差公式、完全平方公式进行计算即可求解．
解：A． （﹣6y+7x）（﹣6y﹣7x）＝（﹣6y）2﹣（7x）2＝36y2﹣7x2，故该选项不符合题意；
B．（﹣6y+7x）（6y﹣7x）＝﹣（6y﹣7x）（6y﹣7x）＝﹣（6y﹣7x）2＝﹣36y2+84xy﹣49x2，故该选项不符合题意；
C．（7x﹣4y）（7x+9y）＝49x2+63xy﹣28xy﹣36y2＝49x2+35xy﹣36y2，故该选项不符合题意；
D．（﹣6y+7x）（6y+7x）＝49x2﹣36y2，故该选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了多项式的乘法以及平方差公式、完全平方公式，正确的计算是解题的关键．
6．如图，ABCD为一长条形纸带，AB∥CD，将ABCD沿EF折叠，A、D两点分别与A′、D′对应，若∠1＝2∠2，则∠AEF的度数为（ ）
A．60° B．65° C．72° D．75°
【分析】由题意∠1＝2∠2，设∠2＝x，易证∠AEF＝∠1＝∠FEA′＝2x，构建方程即可解决问题．
解：由翻折的性质可知：∠AEF＝∠FEA′，
∵AB∥CD，
∴∠AEF＝∠1，
∵∠1＝2∠2，设∠2＝x，则∠AEF＝∠1＝∠FEA′＝2x，
∴5x＝180°，
∴x＝36°，
∴∠AEF＝2x＝72°，
故选：C．
【点评】本题考查平行线的性质，翻折变换等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
7．声音在空气中传播的速度简称音速，实验测得音速气温的一些数据如表：下列结论错误的是（ ）
气温x（℃）
0
5
10
15
20
音速y（米/秒）
331
334
337
340
343
A．在变化中，气温是自变量，音速是因变量
B．y随x的增大而增大
C．当气温为15℃时，音速为343米/秒
D．温度每升高5℃，音速增加3米/秒
【分析】根据表格中音速随气温的变化规律可得答案．
解：A．表格中音速随气温的变化而变化，气温是自变量，音速是因变量，因此选项A不符合题意；
B．音速y随着气温x的增大而增大，因此选项B不符合题意；
C．当气温为15℃时，音速为340米/秒，不是343米/秒，因此选项C符合题意；
D．温度每升高5℃，音速增加3米/秒，因此选项D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查常量与变量，函数的表示方法，理解音速随气温的变化规律是正确判断的前提．
8．一个等腰三角形的两边长分别是3cm和7cm，则它的周长是（ ）cm．
A．17 B．13 C．14或17 D．13或17
【分析】因为等腰三角形的腰与底边不确定，故以3为底边和以3为腰分两种情况考虑：若3为腰，则另外一腰也为3，底边就为7，根据3+3＜7，不符合三角形的两边之和大于第三边，即不能构成三角形；若3为底边，腰长为7，符合构成三角形的条件，求出此时三角形的周长即可．
解：若3cm为腰，7cm为底边，
此时3+3＜7，不能构成三角形，
故3不能为腰；
若3cm为底边，7cm为腰，
此时三角形的三边分别为3cm，7cm，7cm，
周长为3+7+7＝17（cm），
综上三角形的周长为17cm．
故选：A．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质，以及三条线段构成三角形的条件，利用了分类讨论的数学思想，由等腰三角形的底边与腰长不确定，故分两种情况考虑，同时根据三角形的两边之和大于第三边，舍去不能构成三角形的情况．
9．给定下列条件，不能判定三角形是直角三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 B．∠A+∠B＝∠C
C．∠A＝∠B＝∠C D．∠A＝2∠B＝3∠C
【分析】根据三角形的内角和等于180°求出最大角，然后选择即可．
解：A、最大角∠C＝×180°＝90°，是直角三角形，不符合题意；
B、最大角∠C＝180°÷2＝90°，是直角三角形，不符合题意；
C、设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x，
所以，x+2x+3x＝180°，
解得x＝30°，
最大角∠C＝3×30°＝90°，是直角三角形，不符合题意；
D、设∠A＝x，则∠B＝x，∠C＝x，
所以，x+x+x＝180°，
解得x＝180°×＞90°，是钝角三角形，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，求出各选项中的最大角是解题的关键．
10．如图，直线AB∥CD，点E，F分别在直线．AB和直线CD上，点P在两条平行线之间，∠AEP和∠CFP的角平分线交于点H，已知∠P＝88°，则∠H的度数为（ ）
A．92° B．156° C．136° D．141°
【分析】过P点作PM∥AB∥CD，根据平行线的性质和角平分线的定义解答即可．
解：过P点作PM∥AB∥CD，
∴∠BEP＝∠EPM，∠PFD＝∠MPF，
∵∠EPF＝88°，
∴∠BEP+∠PFD＝88°，
∴∠AEP+∠CFP＝360°﹣88°＝272°，
∵∠AEP和∠CFP的角平分线交于点H，
∴∠AEP＝2∠AEH，∠CFP＝2∠CFH，
∴∠AEH+∠CFH＝136°，
∴∠EHF＝136°，
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质，平角的定义，是基础题，熟记概念并准确识图是解题的关键．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．如果一个角的余角是50°，那么这个角的补角是 140° ．
【分析】先根据题意求出这个角的度数，再根据补角的定义求解即可．
解：∵一个角的余角是50°，则这个角为90°﹣50°＝40°，
∴这个角的补角的度数是180°﹣40°＝140°．
故答案为：140°．
【点评】本题考查了余角和补角的定义，属于基础题，解题时牢记定义是关键，难度一般．
12．如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝10，AD为中线，则△ABD与△ACD的周长之差＝ 3 ．
【分析】根据三角形的周长的计算方法得到△ABD的周长和△ADC的周长的差就是AB与AC的差．
解：∵AD是△ABC中BC边上的中线，
∴BD＝DC＝BC，
∴△ABD与△ACD的周长之差
＝（AB+BD+AD）﹣（AC+DC+AD）
＝AB﹣AC
＝13﹣10
＝3．
则△ABD与△ACD的周长之差＝3．
故答案为3．
【点评】本题考查三角形的中线的定义：三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线，同时考查了三角形周长的计算方法．
13．现有一小树苗高100cm，以后平均每年长高50cm．x年后树苗的总高度y（cm）与年份x（年）的关系式是 y＝50x+100 ．
【分析】根据树苗的总高度与生长速度的关系进行计算即可．
解：由题意得，
y＝100+50x，
故答案为：y＝50x+100．
【点评】本题考查函数关系式，理解树苗的总高度与生长速度、时间的关系是正确解答的前提．
14．若m+n＝10，mn＝24，则m2+n2＝ 52 ．
【分析】利用完全平方公式把条件整体代入整理即可求解．
解：∵m+n＝10，mn＝24，
∴m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝100﹣48＝52．
故本题答案为：52．
【点评】本题考查了完全平方公式的应用，解此题可用完全平方公式把m+n，mn的值整体代入求解．
15．如图，小军从A点出发向北偏东60°方向速到B点，再从B点出发向南偏西15°方向速到C点，则∠ABC等于 45° ．
【分析】根据方向角的概念，画图正确表示出方向角，即可求解．
解：从图中发现∠ABC+15°＝60°，
∴∠ABC＝45°，
故答案为：45°．
【点评】题目主要考查方向角，解题的关键是画出示意图，注意数形结合思想在解题中的应用．
16．已知动点P以每秒2cm的速度沿图1的边框按从B→C→D→E→F→A的路径移动，相应的△ABP的面积S（cm2）与时间t（秒）之间的关系如图2中的图象所示．其中AB＝6cm，a＝ 24 ，当t＝ 3或14 时，△ABP的面积是18cm2．
【分析】根据题意得：动点P在BC上运动的时间是4秒，又由动点的速度，可得BC、AF的长；再根据三角形的面积公式解答即可．
解：动点P在BC上运动时，对应的时间为0到4秒，
∴BC＝2×4＝8（cm），
∴a＝6×8＝24，
动点P在CD上运动时，对应的时间为4到6秒，
∴CD＝2×（6﹣4）＝4（cm）；
动点P在DE上运动时，对应的时间为6到9秒，
∴DE＝2×（9﹣6）＝6（cm），
故图甲中的BC长是8cm，DE＝6cm，EF＝6﹣4＝2（cm）
∴AF＝BC+DE＝8+6＝14（cm），
∴b＝9+（EF+AF）÷2＝17，
AB•2t＝18或AB•（BC+CD+DE+EF+FA﹣2t）＝18，
解得t＝3或14．
故答案为：24，3或14．
【点评】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是读懂图意，明确横轴与纵轴的意义．
三、解答题（共32分）
17．（1）计算：﹣|﹣23|+（π﹣5）0；
（2）利用整式乘法公式进行计算：2023×2021﹣20222．
【分析】（1）根据负整数指数幂、有理数的乘方，绝对值以及零指数幂的运算性质进行计算即可；
（2）利用平方差公式进行计算即可．
解：（1）原式＝9+4×（﹣1）﹣8+1
＝9﹣4﹣8+1
＝﹣2；
（2）原式＝（2022+1）×（2022﹣1）﹣20222
＝20222﹣1﹣20222
＝﹣1．
【点评】本题考查平方差公式，有理数的乘方以及负整数指数幂的运算性质是正确解答的前提．
18．先化简，再求值：[（x﹣3y）2+（x﹣2y）（x+2y）﹣x（2x﹣5y）]÷（﹣y），其中x＝﹣2，y＝﹣3．
【分析】原式中括号中利用单项式乘多项式，完全平方公式以及平方差公式化简，去括号合并后得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．
解：原式＝（x2﹣6xy+9y2+x2﹣4y2﹣2x2+5xy）÷（﹣y）
＝（﹣xy+5y2）÷（﹣y）
＝x﹣5y，
当x＝﹣2，y＝﹣3时，原式＝﹣2+15＝13．
【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19．如图，每个小方格都是边长为1的正方形，A、B、C三点都是格点（每个小方格的顶点叫做格点）．
（1）找出格点D，画出AB的平行线CD；
（2）找出格点E，画AB的垂线CE，垂足为H；
（3）图中满足要求的格点D共可以找出 2 个；
（4）线段 BH 的长是点B到直线CE的距离．
【分析】（1）根据网格即可找出格点D，画出AB的平行线CD；
（2）根据网格即可找出格点E，画AB的垂线CE，垂足为H；
（3）根据网格即可得图中满足要求的格点D的个数；
（4）根据点到直线的距离定义即可解决问题．
解：（1）如图，点D即为所求；
（2）如图，点E，点H即为所求；
（3）图中满足要求的格点D共2个；
故答案为：2；
（4）线段BH的长是点B到直线CE的距离．
故答案为：BH．
【点评】本题考查了作图﹣应用与设计作图，点到直线的距离，平行线的判定与性质，掌握点到直线的距离定义是解决本题的关键．
20．如图，一块空地是由边长为（2a+3b）米，（2a﹣3b）米的两个正方形组成，计划在左侧留出一个长方形区域作水池，剩余阴影部分作花坛．
（1）根据图中的数据，用含有a、b的数据表示出花坛的总面积；（结果化为最简）
（2）若a＝2，b＝，求出此时花坛的总面积．
【分析】（1）用总面积减去水池的面积即可．
（2）将字母的值代入计算．
解：（1）花坛的面积＝（2a+3b）2+（2a﹣3b）2﹣（2a+3b）（2a﹣3b）＝4a2+12ab+9b2+4a2﹣12ab+9b2﹣4a2+9b2
＝4a2+27b2．
（2）当a＝2，b＝时，花坛面积为＝4×22+27×＝16+3＝19．
【点评】本题考查列代数式解决实际问题，根据图形正确表示图形面积是求解本题的关键．
四、（本题8分）
21．已知a、b、c为△ABC的三边长，且b、c满足（b﹣5）2+（c﹣7）2＝0，a为方程|a﹣3|＝2的解，求△ABC的周长，并判断△ABC的形状．
【分析】依据非负数的性质，即可得到b和c的值，再根据a为方程|a﹣3|＝2的解，即可得到a＝5或1，依据三角形三边关系，即可得到a＝5，进而得出△ABC的周长，以及△ABC的形状．
解：∵（b﹣5）2+（c﹣7）2＝0，
∴，
解得，
∵a为方程|a﹣3|＝2的解，
∴a＝5或1，
当a＝1，b＝5，c＝7时，1+5＜7，
不能组成三角形，故a＝1不合题意；
∴a＝5，
∴△ABC的周长＝5+5+7＝17，
∵a＝b＝5，
∴△ABC是等腰三角形．
【点评】本题主要考查了三角形的三边关系以及非负数的性质，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
五、（本题10分）
22．请将下面的说理过程和理由补充完整．
已知：如图，AD是△ABC的平分线，过点D作DE∥AC，交AB于点E，若∠B＝85°，∠ADE＝33°，求∠C的度数．
解：∵DE∥AC，
∴∠DAC＝① ∠ADE .（② 两直线平行，内错角相等 ）
∵∠ADE＝33°，
∴∠DAC＝33°．
∵AD是△ABC的平分线，
∴∠BAC＝2∠DAC．（③ 角平分线的定义 ）
∴∠BAC＝66°．
∵∠B+④ ∠BAC +∠C＝180°，（三角形的内角和为180°）
∠B＝85°，
∴∠C＝⑤ 29 °．
【分析】先根据平行线的性质得到∠DAC＝∠ADE＝33°，再根据角平分线的定义得到∠BAC＝66°，然后根据三角形内角和定理计算∠C的度数．
解：∵DE∥AC，
∴∠DAC＝∠ADE（两直线平行，内错角相等），
∵∠ADE＝33°，
∴∠DAC＝33°．
∵AD是△ABC的平分线，
∴∠BAC＝2∠DAC（角平分线的定义），
∴∠BAC＝66°，
∵∠B+∠ABC+∠C＝180°（三角形的内角和为180°），
∠B＝85°，
∴∠C＝29°．
故答案为：∠ADE，两直线平行，内错角相等；角平分线的定义；∠ABC，29．
【点评】本题考查了三角形内角和定理：利用三角形内角和定理根据两已知角求第三个角．也考查了平行线的性质．
六、（本题10分）
23．一辆货车从甲地到乙地，一辆轿车从乙地到甲地，两车沿同一条公路分别从甲、乙两地同时出发，匀速行驶．已知轿车比货车每小时多行驶30km，两车恰好在途中的服务区相遇，休息一段时间后，再同时以原速继续行驶，下图是两车之间的距离y（km）与货车行驶的时间x（h）之间的关系图，根据图象回答问题：
（1）甲、乙两地之间的距离是 300 km；
（2）两车的速度分别是多少km/h？
（3）求m的值；
（4）直接写出货车出发多长时间，与轿车相距30千米．
【分析】（1）根据y轴的含义可直接得出结论；
（2）设货车速度为akm/h，则轿车速度为（a+30）km/h，根据题意列出方程，解之即可；
（3）根据实际意义可知，m的含义是轿车到达甲地的时间；
（4）根据实际含义，有两种情况：相遇前，相遇后．分别列出方程求解即可．
解：（1）根据图象可知，甲、乙两地相距300千米；
故答案为：300．
（2）设货车速度为akm/h，则轿车速度为（a+30）km/h，
由图象得：2a+2（a+30）＝300．
解得：a＝60．
∴a+30＝60．
答：货车速度为60km/h，轿车速度为90km/h．
（3）根据图象可知，轿车从乙地到甲地所用的时间为t＝＝，
∴．
∴m的值为：．
（4）设两车在货车出发t小时与轿车相距30千米，
①两车相遇前：60t+90t+30＝300，
解得t＝1.8；
②两车相遇后：60（t﹣1）+90（t﹣1）﹣30＝300，
解得t＝3.2．
∴货车出发1.8h或3.2h．时间，与轿车相距30千米．
【点评】本题考查了函数的图象和一元一次方程的运用，行程问题的数量关系的运用，解答时认真分析读懂函数图象的意义是关键．
七、（本题10分）
24．探索与实践：数学兴趣小组的同学在学习了平行线的性质和判定后，用两个三角形纸片来探索平行．如图：在三角形ABC和三角形DEC中，∠ACB＝∠CDE＝90°，∠ABC＝30°，∠DCE＝45°，将三角形DEC绕着点C做旋转运动．
（1）当AB∥DC时，如图1所示，∠DCB＝ 30° ．
（2）当CD与CB重合时，如图2所示，DE与AC的位置关系是 平行 ，理由是 内错角相等，两直线平行 ；
（3）如图3所示，当AB∥EC时，∠DCB等于多少度？说明理由．
（4）当AB∥ED时，直接写出∠DCB的度数为 60°或120° ．
【分析】（1）根据两直线平行，内错相等可得答案；
（2）根据平行线的判定方法可得答案；
（3）由平行线的性质及角的各和差关系可得答案；
（4）分两种情况进行解答即可．
解：（1）由题意可知，∠B＝30°，
∵AB∥DC，
∴∠DCB＝∠B＝30°，
故答案为：30°；
（2）∵∠ACD＝∠EDC＝90°，
∴DE∥BC（内错角相等，两直线平行），
故答案为：平行，内错角相等，两直线平行；
（3）由题意可知，∠B＝30°，∠DCE＝45°，
∵AB∥EC，
∴∠ECB＝∠B＝30°，
∴∠DCB＝∠DCE﹣∠ECB＝45°﹣30°＝15°，
即∠DCB＝15°；
（4）如图1，当AB∥ED时，
∴∠AFC＝∠D＝90°，
∴∠DCB＝90°﹣∠A＝90°﹣30°＝60°；
如图2，当AB∥ED时，延长DC交AB于点H，
∵AB∥ED，
∴∠EDC＝∠CHB＝90°，
∴∠DCB＝∠CHB+∠B＝120°，
综上所述，满足条件的∠DCB的度数为60°或120°．
故答案为：60°或120°．
【点评】此题考查的是等腰直角三角形、平行线的判定与性质，正确进行讨论是解决此题的关键．
八、（本题12分）
25．（1）如图，已知在△ABC中，∠BAC＝48°，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE所在直线交于点F，求∠BFC的度数；
（2）在（1）的基础上，若∠BAC每秒扩大6°，且在变化过程中∠ABC与∠ACB始终保持是锐角，经过t秒（0＜t＜22），在∠BFC，∠BAC这两个角中，当一个为另一个的两倍时，求t的值；
（3）在（2）的基础上，∠ABD与∠ACE的角平分线交于点G，∠BGC是否为定值，如果是，请直接写出∠BGC的值，如果不是，请写出∠BGC是如何变化的．
【分析】（1）利用钝角的余角相等，证明∠CFD＝∠A即可解决问题．
（2）由题意∠A＝48°+6°×t，∠BFC＝180°﹣∠A＝132°﹣6°×t．分两种情形：①当0＜t＜7时，∠BFC＝2∠A．②当7＜t＜22时，∠A＝2∠BFC，分别构建方程求解即可．
（3）如图，结论∠BGC是定值．想办法证明∠G＝∠A+∠ABG+∠ACG，∠ABG+∠ACG＝∠ABD即可解决问题．
解：（1）∵BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，
∴∠AEC＝∠BDC＝90°，
∴∠A+∠ACE＝90°，∠ACE+∠CFD＝90°，
∴∠CFD＝∠A
∴∠BFC＝180°﹣∠DFC＝180°﹣∠A＝132°．
（2）由题意∠A＝48°+6°×t，∠BFC＝180°﹣∠A＝132°﹣6°×t，
①当0＜t＜7时，∠BFC＝2∠A，则有132﹣6t＝2（48+6t），
解得t＝2．
②当7＜t＜22时，∠A＝2∠BFC，
∴48+6t＝2（132﹣6t），
解得t＝12，
综上所述，当t＝2或12时，∠BFC，∠A两个角中，一个角是另一个角的两倍．
（3）如图，结论∠BGC是定值．
理由：∵BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，
∴∠AEC＝∠ADB＝90°，
∴∠A+∠ABD＝90°，∠A+∠ACE＝90°，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵BG平分∠ABD，CG平分∠ACE，
∠ABG＝∠ABD，∠ACG＝∠ACE，
∴∠ABG+∠ACG＝（∠ABD+∠ACE）＝∠ABD，
∵∠A+∠ABG+∠GBC+∠GCB+∠ACG＝180°，∠G+∠GBC+∠GCB＝180°，
∴∠G＝∠A+∠ABG+∠ACG＝∠A+∠ABD＝90°，
∴∠BGC是定值．
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了三角形内角和定理，等角的余角相等，直角三角形两锐角互余等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题．
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