2023年江苏省南通市如东县、通州区中考数学一模试卷（含解析）

2023年江苏省南通市如东县、通州区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  计算(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列计算的结果为的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  清代袁枚的一首诗苔中的诗句：“白日不到处，青春恰自来，苔花如米小，也学牡丹开”若苔花的花粉直径约为米，则数据用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  某几何体由若干个小正方体组成，其俯视图如图所示，图中数字表示该位置上的小正方体的个数，则这个几何体的主视图是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  一副直角三角板按如图所示的位置摆放，如果，那么的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  如图，，为的两条弦，连接，，点为的延长线上一点，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  某人在甲、乙、丙、丁四个超市购买某品牌商品的总价和购买数量如图所示，按平均单价计算，购买该品牌商品最划算的超市是(    )

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

8.  如果一个函数同时满足条件：图象经过点；图象经过第四象限；当时，随的增大而减小，那么这个函数解析式可能是(    )

A.  B.
C.  D.

9.  如图，中，，，，点在折线上运动，过点作的垂线，垂足为设，，则关于的函数图象大致是(    )

A.  B.
C.  D.

10.  如图，将矩形纸片沿对角线所在直线折叠，点落在点处过的中点作交于点若，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共8小题，共30.0分）

11.  因式分解：______．

12.  计算的结果是          ．

13.  二元一次方程组的解是______ ．

14.  如图，，两点分别在，上，，要使≌，只需添加一个条件，则这个条件可以是______ ．

15.  如图，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，筒车盛水筒的运行轨迹是以为圆心的一个圆，可简化为图若被水面所截的弦长米，的半径为米，则筒车最低点距水面______ 米
 

16.  如图，学校有一旗杆为了测量旗杆高度，小明采用如下方案：在点处测得旗杆顶的仰角为，从与点相距的处测得旗杆顶的仰角为若，则旗杆的高度为______ 米结果保留小数点后一位，，

17.  如图，点是函数图象上一点，连接并延长，交函数的图象于点，作轴，垂足为，连接，则的面积为______ 用含的式子表示．

18.  如图，等边三角形中，，两点分别在边，上，，是的中点若，则的最小值是______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：；
解不等式组：．

20.  本小题分
如图是三个可以自由转动的转盘，甲、乙两人中甲转动转盘，乙记录转盘停下时指针所指的数字．当三个数字中有数字相同时，就算甲赢，否则就算乙赢．请判断这个游戏是否公平，并用概率知识说明理由．

21.  本小题分
【阅读材料】

【解答问题】
请根据材料中的信息，证明四边形是菱形．

22.  本小题分
某中学为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，随机抽取甲、乙两个班每个班均为人的学生进行测试，并对成绩进行整理成绩为整数，满分分．
甲班成绩统计表：

乙班良好这一组学生的成绩：
，，，，，，，，，．
乙班成绩统计图：

已知甲班没有人的成绩相同，成绩是分的学生，在______ 班的名次更好些；
从两个不同的角度推断哪个班的整体成绩更好．

23.  本小题分
如图，为的直径，为上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为．
求证：平分；
若，，求图中阴影部分的面积．

24.  本小题分
某商场销售一种成本为元的商品，市场调研反映：在某个月的第天的销售价格为元，日销售量与的函数关系如图所示．
求与的函数解析式；
销售该商品第几天时，日销售利润最大？
结合函数图象回答，在当月有多少天的日销售利润大于元？

25.  本小题分
如图，等边三角形中，是边上的一个动点不与，点重合，连接，将绕点顺时针旋转至，过点作，交的延长线于点．
探究的形状；
求证：≌；
若延长交于点，，求的正切值．

26.  本小题分
定义：若函数的图象上至少存在一个点，该点关于轴的对称点落在函数的图象上，则称函数，为关联函数，这两个点称为函数，的一对关联点例如，函数与函数为关联函数，点和点是这两个函数的一对关联点．
判断函数与函数是否为关联函数？若是，请直接写出一对关联点；若不是，请简要说明理由；
若对于任意实数，函数与始终为关联函数，求的值；
若函数与函数为常数为关联函数，且只存在一对关联点，求的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：原式，
故选：．
根据有理数除法运算法则“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”计算即可．
本题考查有理数除法法则的运用，熟悉有理数除法法则是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项符合题意；
D、，故此选项不符合题意；
故选：．
根据幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法法则进行计算，从而作出判断．
本题考查幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，理解运算法则是解题基础．
 

3.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查简单组合体的三视图及由三视图判断几何体，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．根据主视图的定义判断即可．
【解答】
解：主视图是从正面看得到的图形，应该是选项B，
故选：．  

5.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
．
故选：．
在中，由两角互余得，根据直线得，再由三角形外角的性质即可求解．
本题综合考查了平行线的性质，三角形的外角的性质等相关知识，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，三角形的外角的性质等知识．
 

6.【答案】 

【解析】解：如图，在优弧上取点，连接，，

，
，
，
故选：．
根据的度数可先求出弧所对应的圆周角的度数，进而可得答案．
本题考查圆内接四边形的性质与圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：由图象知，甲超市的平均单价为元千克，
乙超市的平均单价为元千克，
丙超市的平均单价为元千克，
丁超市的平均单价为元千克，
，
购买该品牌商品最划算的是丙超市，
故选：．
根据图象，分别求得各超市的平均单价，比较即可得到答案．
本题考查了函数的图象，掌握坐标与图形，有理数的除法运算，有理数的大小比较是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：、是一次函数，，随的增大而增大，故A不可能；
B、是反比例函数，，图象经过一、三象限，故B不可能；
C、是二次函数，，开口向下，对称轴，当时，随的增大而减小，故C不可能；
D、是二次函数，经过点，图象经过第四象限，，开口向下，对称轴，当时，随的增大而减小，故D可能．
故选：．
根据一次函数、反比例函数、二次函数的图象及性质逐个判断即可．
本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象及性质，区别各个函数的性质特点是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：由题意得，，
当点与点重合时，，此时，
当时，∽，
，
，
，
，此抛物线开口方向向上；
当时，∽，
，
，
，
，此抛物线开口方向向下；
故符合题意的图象是选项A．
故选：．
分段函数，当时，是的二次函数，开口方向向上；当时，是的二次函数，开口方向向下，据此判断即可．
本题考查了动点问题的函数图象，数形结合并熟练写出相关函数的解析式是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，设交于点，交于点，

四边形为矩形，，，
，，，，
为的中点，，
为的中位线，，
，，，
根据折叠的性质可得，，，，，
，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，
，，
在中，，
在中，，
．
故选：．
根据题意易证明为的中位线，得到，，由折叠可知，，，，根据平行线的性质可得，于是，，设，则，在中，根据勾股定理建立方程，解得，因此，在中，，在中，，再根据进一步计算即可求解．
本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的性质、解直角三角形，利用平行线的性质和折叠的性质推理论证出是解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
提取公因式，即可将此多项式因式分解．
此题考查了提公因式分解因式的知识．此题比较简单，注意准确找到公因式是解此题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并是解答此题的关键．
先把各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可．
【解答】
解：原式
．
故答案为：．  

13.【答案】 

【解析】解：，
，得，
解得：，
把代入，得，
解得：，
所以方程组的解是．
故答案为：．
得出，求出，把代入求出即可．
本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．
 

14.【答案】答案不唯一 

【解析】解：添加的条件为，
理由：在与中，
，
≌．
故答案为：答案不唯一．
根据全等三角形的判定定理即可得到结论．
本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即、、、，直角三角形可用定理，但、，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目．
 

15.【答案】 

【解析】解：过点作于点，并延长与相交于点，连接，

点为筒车最低点，筒车最低点距水面的距离为的长，
米，，
米，
又的半径为米，即米，
米，
又米，
米，
筒车最低点距水面米．
故答案为：．
过点作于点，并延长与相交于点，连接，可得点为筒车最低点，筒车最低点距水面的距离为的长，再根据垂径定理，得出米，再根据勾股定理，得出米，再根据线段之间的数量关系，计算即可得出答案．
本题考查了垂径定理的应用、勾股定理的应用，解本题的关键在熟练掌握垂径定理、勾股定理．
 

16.【答案】 

【解析】解：延长，交于点如图所示：
则，
设．
在中，，
是等腰直角三角形，
，
，
．
在中，，，
，
解得：，
，
故答案为：．
延长，交于点则，设先证，则再由锐角三角函数定义，即可解决问题．
本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
 

17.【答案】 

【解析】解：作轴于点，
轴，
，
∽，
，即，
，
．
故答案为：．
根据反比例函数系数的几何意义三角形相似的性质得到，即，然后根据即可求得．
本题考查了反比例函数的几何意义，三角形相似的判定和性质，求得与的数量关系是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：当和分别为，的中点时，最短，
，是等边三角形，
，，
是等边三角形，
是的中点，当时，最短，
，
故答案为：．
当和分别为，的中点时，最短，且最小，进而利用等边三角形的性质解答即可．
此题考查三角形中位线定理，等边三角形的性质，关键是根据三角形中位线定理得出解答．
 

19.【答案】解：



；
，
解不等式得：，
解不等式得：，
原不等式组的解集为：． 

【解析】先计算分式的除法，再算分式的减法，即可解答；
按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了分式的混合运算，解一元一次不等式组，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

20.【答案】解：不公平，理由如下：
画树状图如下：

由图可知：共有种结果，且是等可能的，其中含有相同数字的结果有种．
则甲获胜的概率，乙获胜的概率，
因为，
所以这个游戏不公平． 

【解析】画出树状图，计算出各种情况的概率，然后比较即可．相等则公平，否则不公平．
本题考查的是游戏公平性的判断、列表法与树状图法．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

21.【答案】证明：由作法得，，
在和中，
，
≌，
，，
，
为斜边上的中线，
，
，
，，
四边形为平行四边形，
，
四边形是菱形． 

【解析】由作法得，，则可判断≌，所以，，则，在根据斜边上的中线性质得到，则，然后根据菱形的判定方法可得到四边形是菱形．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了直角三角形斜边上的中线性质和菱形的判定与性质．
 

22.【答案】乙 

【解析】解：成绩是分的学生，在乙班的名次更好些．理由如下：
甲班成绩的中位数是分，而且没有人的成绩相同，所以成绩是分的学生在甲班位于第或第名；
乙班优秀学生有人，根据乙班良好学生的成绩可知成绩是分的学生在乙班位于第名，
所以成绩是分的学生，在乙班的名次更好些．
故答案为：乙；
甲班的整体成绩更好．理由如下：
甲班成绩的中位数是分，乙班成绩的中位数是分，
甲班成绩的优秀率是，乙班成绩的优秀率是，
甲班成绩的中位数、优秀率均高于乙班，所以甲班的整体成绩更好．
根据中位数的定义求解即可；
根据中位数与优秀率的意义进行解答即可答案不唯一．
本题考查了统计的应用，中位数、众数、优秀率的意义，掌握中位数的定义及其意义是解决问题的关键．
 

23.【答案】证明：连接，
与相切，
，
，
，
，
，
，
，
平分；
解：是的直径，
，
，，
是等边三角形，
，
，
，
作交于点，
，
图中阴影部分的面积


． 

【解析】连接，由切线的性质可知：，从而可知，由于，从而可证明平分；
由于，所以，所以，从而可求出的长度．
本题考查圆的综合问题，涉及切线的性质，角平分线的判定，圆周角定理，锐角三角函数等知识，综合程度较高，属于中等题型．
 

24.【答案】解：设，
把，代入上式得，
，
解得，，
与的函数解析式为：．
设日销售利润为元，
由题意得：

，
，，
当时，最大，
答：销售该商品第天时，日销售利润最大．
令，
则，
解得，，，
结合二次函数图象可知，
当时，，
有天的日销售利润大于元． 

【解析】设，根据图象取两个点坐标代入，求出，的值即可．
设日销售利润为元，列出关于的函数关系式，求最大值即可．
令，求出一元二次方程的两个解，结合二次函数的草图求出的范围，从而得到结果．
本题主要考查了一次函数的应用，二次函数的应用，读懂题意，正确列出函数关系式是解题的关键．
 

25.【答案】解：是等边三角形．
理由：是等边三角形，
，
将绕点顺时针旋转至，
，，
是等边三角形；
证明：是等边三角形，
，，
，
又，
，
，
，
将绕点顺时针旋转至，
，
，
又，
，
在和中，
，
≌；
解：过点作于，
设，
，
，，
≌，
，
，
∽，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的正切值为． 

【解析】由旋转的性质得出，，则可得出是等边三角形；
证明，根据可证明≌；
过点作于，设，证明∽，得出，求出，证出，由锐角三角函数的定义可得出答案．
本题属于三角形综合题，考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．
 

26.【答案】解：函数与函数为关联函数，理由如下：
设函数图象上一点为，这点关于轴的对称点坐标为，
把代入得：
，
解得或，
函数与函数的关联点为与或与；
设函数图象上一点为，这点关于轴的对称点坐标为，
把代入得：
，
整理得：，
对于任意实数，函数与始终为关联函数，
对于任意实数，恒成立，
，
解得，
的值为；
设函数图象上一点为，这点关于轴的对称点为，
把代入得：
，
整理得：，
函数与函数为常数为关联函数，且只存在一对关联点，
关于的方程有两个相等的实数解，
，
，
，
，
． 

【解析】设函数图象上一点为，把代入得，即可解得或，故函数与函数的关联点为与或与；
设函数图象上一点为，把代入得，根据对于任意实数，函数与始终为关联函数，可得，即可解得的值为；
设函数图象上一点为，把代入得，根据函数与函数为常数为关联函数，且只存在一对关联点，知，有，从而，即可得到答案．
本题考查二次函数综合应用，涉及新定义，一次函数与反比例函数等知识，解题的关键是读懂题意，理解关联点、关联函数的概念，用含字母的式子表示相关点坐标．