2022年北京市通州区中考数学一模试卷（含解析）

2022年北京市通州区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共16分）

1. 下列几何体中，其俯视图是三角形的是

A.  B.  C.  D.

2. 年月，在第十三届全国人民代表大会第五次会议上，国务院总理李克强在政府工作报告中指出：年，我国经济保持恢复发展，国内生产总值达到亿元，增长将用科学记数法表示应为

A.  B.  C.  D.

3. 年北京和张家口成功举办了第届冬奥会和冬残奥会．下面关于奥运会的剪纸图片中是轴对称图形的是

A.  B.
C.  D.

4. 实数在数轴上的对应点的位置如图所示，那么下列结论正确的是

A.  B.  C.  D.

5. 如果甲、乙、丙三位同学随机站成一排，那么甲站在中间的概率是

A.  B.  C.  D.

6. 如图，已知，那么的度数为

A.
B.
C.
D.

7. 已知、表示如表第一行中两个相邻的数，且，那么的值是

A.  B.  C.  D.

8. 如图，正方形的边长是，是上一点，是延长线上的一点，且，四边形是矩形，设的长为，的长为，矩形的面积为，则与，与满足的函数关系分别是

A. 一次函数关系，二次函数关系
B. 反比例函数关系，二次函数关系
C. 一次函数关系，反比例函数关系
D. 反比例函数关系，一次函数关系
 

二、填空题（本大题共8小题，共16分）

9. 如果分式的值为，那么的值是______．
10. 分解因式：______．
11. 如图所示，某种“视觉减速带”是由三个形状完全相同，颜色不同的菱形拼成，可以让平面图形产生立体图形般的视觉效果，则的度数为______．
    
     

12. 方程组的解为______．
13. 如图，，是的切线，切点分别为，，连接，如果，那么的度数为______．

14. 如果关于的方程有两个相等的实数根，那么的值是______，方程的根是______．
15. 如图，在中，点在上不与点，重合，连接只需添加一个条件即可证明与相似，这个条件可以是______写出一个即可．
16. 某学习兴趣小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：
    (ⅰ)男学生人数多于女学生人数；
    (ⅱ)女学生人数多于教师人数；
    (ⅲ)教师人数的两倍多于男学生人数，
    若教师人数为，则女学生人数的最大值为______；
    该小组人数的最小值为______．

三、解答题（本大题共12小题，共68分）

17. 计算：．
    
    
    
    
    
    
     
18. 解不等式组：．
    
    
    
    
    
    
     
19. 已知，求代数式的值．
    
    
    
    
    
    
     
20. 已知：如图，为锐角三角形，．
    求作：点，使得，且．
    作法：以点为圆心，长为半径画圆；
    以点为圆心，长为半径画弧，交于点异于点；
    连接并延长交于点．
    所以点就是所求作的点．
    使用直尺和圆规，依作法补全图形保留作图痕迹；
    完成下面的证明．
    证明：连接．
    ，
    点在上．
    ，
    ______填推理的依据，
    由作图可知，，
    ______．
    ．
    
    
    
    
    
    
     
21. 已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．
    当点的坐标为时．
    求，的值；当时，______填“”“”或“”．
    将一次函数的图象沿轴向下平移个单位长度后，使得点，关于原点对称，求的值．

22. 如图，在中，，平分交于点，点为的中点，连接，过点作交的延长线于点．
    求证：四边形是平行四边形；
    当，时，求的长．
    
    
    
    
    
    
     
23. 如图是某条公路的一个单向隧道的横断面．经测量，两侧墙和与路面垂直，隧道内侧宽米．为了确保隧道的安全通行，工程人员在路面上取点，测量点到墙面的距离和到隧道顶面的距离设米，米．
    通过取点、测量，工程人员得到了与的几组值，如表：

隧道顶面到路面的最大高度为______米；
请你帮助工程人员建立平面直角坐标系，描出表中各对对应值为坐标的点，画出可以表示隧道顶面的图象．

今有宽为米，高为米的货车准备在隧道中间通过如图根据隧道通行标准，其车厢最高点到隧道顶面的距离应大于米，结合所画图象，请判断该货车是否安全通过：______填写“是”或“否”．

24. 年，我国粮食总产量再创新高．小刘同学登录国家统计局网站，查询到了我国年个省、直辖市、自治区的粮食产量数据万吨，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
    反映年我国个省、直辖市、自治区的粮食产量数据频数分布直方图如图数据分成组：，，，，，，，：
    
    年我国各省、直辖市、自治区的粮食产量在这一组的是：
    ，，，，，，，，
    年我国各省、直辖市、自治区粮食产量的中位数为______万吨；
    小刘同学继续收集数据的过程中，发现北京市与河南省的单位面积粮食产量千克公顷比较接近，如图所示，他将自年至年北京市与河南省的单位面积粮食产量表示粮食总产量出来：单位面积粮食产量
    
    自年间，设北京市单位面积粮食产量的平均值为，方差为；河南省单位面积粮食产量的平均值为，方差为；则 ______， ______填写“”或“”；
    国家统计局公布，年全国粮食总产量亿斤，比上一年增长如果继续保持这个增长率，计算年全国粮食总产量约为多少亿斤保留整数．
    
    
    
    
    
    
     
25. 如图，是的直径，点是上不同于，的点，过点作的切线与的延长线交于点，连结，．
    求证：；
    如图，过点作于点，交于点，的延长线交于点若的直径为，，求线段的长．

26. 已知抛物线过，，三点．
    求的值用含有的代数式表示；
    若，求的取值范围．

27. 如图，在中，，点是延长线上一点，连接将线段绕点逆时针旋转，得到线段过点作，交于点．
    直接写出的度数是______；
    求证：；
    用等式表示线段与的数量关系，并证明．
    
    
    
    
    
    
     

在平面直角坐标系中，给出如下定义：点为图形上任意一点，将点到原点的最大距离与最小距离之差定义为图形的“全距”，特别地，点到原点的最大距离与最小距离相等时，规定图形的“全距”为．

如图，点，．
原点到线段上一点的最大距离为______，最小距离为______；
当点的坐标为时，且的“全距”为，求的取值范围；
已知，等边的三个顶点均在半径为的上．请直接写出的“全距”的取值范围．







答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：俯视图是圆，故本选项不合题意；
B.俯视图是矩形，故本选项不合题意；
C.俯视图是三角形，故本选项符合题意；
D.俯视图是圆，故本选项不合题意．
故选：．
根据俯视图是从物体上面看，所得到的图形，分别得出四个几何体的俯视图，即可解答．
本题考查了简单几何体的三视图，熟记常见几何体的三视图是解题关键．
 

2.【答案】
 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数，当原数绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】
 

【解析】解：选项A、、不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

4.【答案】
 

【解析】解：、，所以，故此选项正确；
B、，，所以，故此选项不正确；
C、取绝对值较大数的符号，由知，取的符号，是负数，故此选项不正确；
D、，所以，故此选项不正确．
故选：．
A、绝对值就是离开原点的距离，比较距离可知，此选项正确；
B、就是的绝对值，由知，此选项不正确；
C、和两数相加，取绝对值较大数的符号，是取的符号，此选项不正确；
D、，不妨取，而，此选项不正确．
本题考查实数与数轴的关系，关键是分清实数在数轴上的位置．
 

5.【答案】
 

【解析】解：画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中甲站在中间的结果有种，
甲站在中间的概率为，
故选：．
画树状图，共有种等可能的结果，其中甲站在中间的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

6.【答案】
 

【解析】解：，
，


，
故选：．
根据多边形的外角和等于解答即可．
本题考查了多边形的外角和，掌握多边形的外角和定理是解题的关键．
 

7.【答案】
 

【解析】解：根据表格中的数据直接得出，
故选：．
根据表格中的数据直接得出．
本题考查了估算无理数大小，掌握估算无理数大小要用逼近法是解题关键．
 

8.【答案】
 

【解析】解：正方形的边长为，
，
，，
，
，
，
与是一次函数关系，
，
矩形的面积，
与是二次函数关系，
故选：．
根据题意分别表示出与，与之间的关系式，即可得出答案．
本题考查了矩形的性质，一次函数的应用，二次函数的应用，理清题目中的关系，列出解析式是解决问题的关键．
 

9.【答案】
 

【解析】解：根据题意得且，
解得．
故答案为：．
利用分式值为零的条件得到且，求解即可．
本题考查了分式值为零的条件：分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
 

10.【答案】
 

【解析】解：
，
．
故答案为：．
先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
 

11.【答案】
 

【解析】解：该图形是由三个形状完全相同的菱形拼成，
该平面图形为正六边形，
正六边形的内角和为，
正六边形的每一个内角为，
的度数为，
故答案为：．
根据题意可知，三个形状完全相同的菱形拼成了一个正六边形，根据正多边形的内角和即可求解．
本题主要考查菱形的性质，理解平面图像镶嵌的定义是解题的关键．
 

12.【答案】
 

【解析】解：，
，得，
解得：，
把代入，得，
解得：，
所以原方程组的解是，
故答案为：．
得出，求出，再把代入求出即可．
本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．
 

13.【答案】
 

【解析】解：，是的切线，切点分别为，，
，，
，
，
，
，
．
故答案为：．
利用切线长定理和切线的性质得到，，则，所以，然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求的度数．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了切线长定理．
 

14.【答案】 
 

【解析】解：根据题意得，
解得，
此时方程为，
，
解得．
故答案为：，．
利用判别式的意义得到，解一次方程得到，然后利用配方法解方程即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

15.【答案】
 

【解析】解：添加的条件为：，
理由如下：，，
∽，
故答案为：．
利用相似三角形的判定方法可求解．
本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型．
 

16.【答案】 
 

【解析】解：设男学生人数为人，女学生人数为人，
由题意得：
，
，
，都是正整数，
的最大值为，的最大值为，
女学生人数的最大值为，
故答案为：；
设男学生人数为人，女学生人数为人，教师人数为人，
由题意得：，
，
，，都是正整数
当时，，不成立，
当时，，不成立，
当时，，，
此时，，，
，
该小组人数的最小值为，
故答案为：．
设男学生人数为人，女学生人数为人，根据题意可得，进行计算即可解答；
设男学生人数为人，女学生人数为人，教师人数为人，根据题意可得，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，根据题目的数量关系，列出一元一次不等式组是解题的关键．
 

17.【答案】解：

．
 

【解析】首先计算特殊角的三角函数值、负整数指数幂、开方和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
 

18.【答案】解：，
由得：，
由得：，
则不等式组的解集为．
 

【解析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解集是解本题的关键．
 

19.【答案】解：

，
当时，
原式

．
 

【解析】先去括号，再合并同类项，然后把代入化简后的式子进行计算即可解答．
本题考查了整式的混合运算化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

20.【答案】同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半 
 

【解析】解：图形如图所示：

证明：连接．
，
点在上．
，
同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，
由作图可知，，
．
．
故答案为：圆周角定理，．
根据题意画出图形即可；
利用圆周角定理解决问题即可．
本题考查作图复杂作图，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

21.【答案】
 

【解析】解：将点代入一次函数，
得，
解得，
将点代入反比例函数，
得；
一次函数中，
一次函数随着增大而增大，
反比例函数，
在第一象限，随着的增大而减小，
当时，；
故答案为：．
一次函数的图象沿轴向下平移个单位长度后，可得，
根据题意，得，
解得．
待定系数法求解析式即可；
根据函数的增减性即可判断；
根据正比例函数的中心对称性即可求出的值．
本题考查了反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握待定系数法求解析以及反比例函数的性质是解题的关键．
 

22.【答案】证明：，平分交于点，
，
点为的中点，
是的中位线，
，
，
，
四边形是平行四边形；
解：，平分交于点，
，
，
，，
，
是的中位线，
，
四边形是平行四边形，
，
．
 

【解析】根据等腰三角形的性质得到，根据三角形中位线定理得到，根据平行四边形的判定定理即可得到结论；
根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理得到，根据三角形的中位线定理和平行四边形的性质即可得到结论．
本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，等腰三角形的性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理是解题的关键．
 

23.【答案】  是
 

【解析】解：根据二次函数的对称性可知，当时，有最大值，
故答案为：．
根据题意，以点为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标；函数如图所示；

将代入，
得，解得，
抛物线的解析式为：．
在中，
令，得，
，
车厢最高点到隧道顶面的距离大于米，
该货车能安全通过；
故答案为：是．
根据二次函数的对称性可知在时取得最大值，由此可得结论；
根据题意，以点为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标；
先将代入抛物线，求出的值，在中，令，求得相应的值，结合卡车载物后的最高点到隧道顶面对应的点的距离应不小于，可得卡车载物最高点距地面的距离，然后精确到，即可得出答案．
本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合、理清题中的数量关系、熟练掌握待定系数法是解题的关键．
 

24.【答案】   
 

【解析】解：将这个省、直辖市、自治区的粮食产量从小到大排列后，处在中间位置的数为，
故答案为：；
北京市单位面积粮食产量的平均值为，
河南省单位面积粮食产量的平均值为，
，
由折线统计图可直观得到，北京市单位面积粮食产量的变化、波动要小，
．
故答案为：，；
亿斤．
答：年全国粮食总产量约为亿斤．
根据中位数的意义求解即可；
根据折线图中的数据可得平均值，根据折线统计图可直观得到，北京市单位面积粮食产量的变化、波动要小，可得答案；
根据年比上一年增长，计算即可得出．
本题考查频数分布直方图、折线统计图，方差、中位数，理解统计图中数量之间的关系是正确解答的前提．
 

25.【答案】证明：连接，如图，
为切线，
，
，
即，
是的直径，
，
即，
，
，
，
；
解：如图，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
 

【解析】连接，如图，根据切线的性质得到，再根据圆周角定理得到，则利用等角的余角相等得到，然后利用得到；
如图，先计算出，利用圆周角定理得到，再根据垂径定理得到，所以，接着证明，然后利用含度的直角三角形三边的关系求出，从而得到的长．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理和圆周角定理．
 

26.【答案】解：将代入得．
，
抛物线对称轴为直线，
抛物线顶点坐标为，
将代入得，
将代入得，
将代入得，
当时，抛物线开口向下，
若，
则，，，
，
解得，
当时，抛物线开口向上，
若，
则，，，
，
解得，
综上所述，或．
 

【解析】将代入解析式求解．
将，，代入解析式，求出，，与的关系，分类讨论，时满足的条件，进而求解．
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数的性质．
 

27.【答案】
 

【解析】解：，，
，
，
，
，
故答案为：；
证明：将线段绕点逆时针旋转，
，，
，
，，
；
解：，理由如下：
如图，延长交于，

，
，，
又，，
≌，
，
，
，
．
由等腰直角三角形的性质和平行线的性质可求，可求解；
由旋转的性质可得，，由角的数量关系可证；
由“”可证≌，可得，由等腰直角三角形的性质可得结论．
本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等腰直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

28.【答案】 
 

【解析】解：点，，
原点到线段上一点的最大距离为原点到点或点的距离，
，
最小距离为原点到线段中点的距离，
，
故答案为：；；
当点的坐标为，且的全距为时，
有两种情况讨论如下：
当点在线段上方时，
全距为，
，
则，
，
当点在线段下方时，三角形上一点到原点的最大距离为线段上的点或点到原点的距离，
，
三角形上一点到原点的最小距离为点到原点的距离，
，
此时若全距为，即，
，
假设，则，，三点不构成三角形，
，
若三角形上一点到原点的最大距离为的长，
，
，
，
，
综上，的取值范围为且；
，等边三角形的三个顶点均在半径为的上，
等边三角形的三个顶点与的交点不存在，，或或三点共线的情况，
原点到等边三角形上一点的最大距离为原点到与线段延长线的交点的距离，
即，
原点到等边三角形上一点的最小距离为原点到与线段的交点的距离，
即，
综上，“全距”的取值范围为．
根据线段轴可知，可知最大距离和最小距离；
当点在线段上方时，根据全距为，可知最大距离为，则，当点在线段下方时，分或为最大距离，从而得出答案；
根据原点到等边三角形上一点的最大距离为原点到与线段延长线的交点的距离，即，原点到等边三角形上一点的最小距离为原点到与线段的交点的距离，即，可得的范围．
本题是圆的综合题，主要考查了两点间的距离公式，点与线段的位置关系，点与圆的位置关系等知识，准确理解新定义是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想．