2023年江苏省南通市海安市中考数学一模试卷（含解析）

2023年江苏省南通市海安市中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  以下是清华大学、北京大学、上海交通大学、中国人民大学四个大学的校徽，其中是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  手机移动支付给生活带来便捷如图是小颖某天微伯账单的收支明细正数表示收入，负数表示支出，单位：元，小颖当天微信收支的最终结果是(    )
 

A. 收入元 B. 收入元 C. 支出元 D. 支出元

3.  若点是线段的中点，且，则的长是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  年月日，中国科学家首次在月球上发现新矿物，并将其命名为“嫦娥石”在月球样品颗粒中，分离出一颗粒径约微米即米大小的单晶颗粒，并成功解译其晶体结构，确证为一种新矿物则数据用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  下列图形中，能折叠成正方体的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  我国古代数学名著张邱建算经中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值斗谷子，一斗醑酒价值斗谷子，现在拿斗谷子，共换了斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设清酒斗，那么可列方程为(    )

A.  B.
C.  D.

7.  如图，、两点分别在函数和的图象上，线段轴，点在轴上，则的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，中，，，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于、点，分别以点、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点，已知，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，在中，，点在上，延长到，使得，过点作，交射线于点，设，，则关于的函数图象大致为(    )

A.  B.
C.  D.

10.  二次函数的图象与轴相交于，两点，点在二次函数图象上，且到轴距离为，，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共30.0分）

11.  若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是          ．

12.  因式分解： ______ ．

13.  如图，，点在直线上，且，，那么的度数为______ ．

14.  海安七战七捷纪念碑的造型是一把直耸云霄的刺刀，象征着新四军将士驰骋华东的英勇气概某次红色寻访活动中，小华想利用自己的身高来测量纪念碑的高度，如图，小华身高米，测得米，米，且，，在一条直线上，则纪念碑的高度为______ 米
 

15.  将一次函数的图象向下平移个单位长度后经过点，则的值为______ ．

16.  如图所示，测得两幢大楼、的间距，，从处看的俯角为，从处看的俯角为，则的高度为______ 结果保留根号

17.  如图，在四边形中，，，，且，则的最大值为______ ．

18.  如图，直线与双曲线相交于，两点，点在双曲线上，直线交轴于点若的面积为，则点坐标为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
解方程组；
计算：．

20.  本小题分
为了增强学生的交通安全意识，某校举行了“交通法规”知识竞赛，组织七、八年级各名学生进行“交通法规知识测试”满分分现分别在七、八年级中各随机抽取名学生的测试成绩单位：分进行统计，整理如下：
七、八年级测试成绩频数统计表

七、八年级测试成绩分析统计表

根据以上信息，解答下列问题：
规定分数不低于分记为“优秀”，估计这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数一共是多少？
根据以上的数据分析，任选两个角度评价七八两个年级的学生掌握交通法规知识的水平．

21.  本小题分
小中：如图，有一张平行四边形纸片，你能帮我折出一个菱形吗？
小华：可以啊把平行四边形纸片对折，使，两点重合，折痕分别交边，于，两点，连接，，则四边形就是菱形了．
根据以上操作步骤，请判断小华的方法对吗？并说明理由．
 

22.  本小题分
小明学习物理电流和电路后设计如图所示的一个电路图，其中、、分别表示三个可开闭的开关，“”表示小灯泡，“”表示电池．
当开关闭合时，再随机闭合开关或其中一个，直接写出小灯泡发光的概率；
当随机闭合开关、、中的两个，试用树状图或列表法求小灯泡发光的概率．

23.  本小题分
如图，在中，，，点在上，以为直径的与相切于点，与相交于点，．
求的长度；
求阴影部分的面积．

24.  本小题分
小颖大学毕业后回家乡创业，开了一家服装专卖店代理某品牌服装的销售该服装初始售价为每件元，小颖统计开业个月以来该服装的每件售价元与月份的函数关系如图所示，该服装每件的进价元与月份的关系为．
求与之间的函数关系式；
第个月每件服装的利润是多少？
若小颖每个月购进该服装件，当月销售完毕，第几个月能获得最大利润？最大利润是多少？

25.  本小题分
如图，菱形中，，，点是线段上一点不含端点，将沿翻折，的对应边与相交于点．
当时，求的长；
若是等腰三角形，求的长；
若，求的取值范围．
 

26.  本小题分
定义：若函数图象上存在点，，且满足，则称为该函数的“域差值”例如：函数，当时，；当时，，则函数的“域差值”为．
点，在的图象上，“域差值”，求的值；
已知函数，求证该函数的“域差值”；
点为函数图象上的一点，将函数的图象记为，将函数的图象沿直线翻折后的图象记为当，两部分组成的图象上所有的点都满足“域差值”时，求的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：．
根据轴对称图形的定义，逐项判断即可求解．
本题主要考查了轴对称图形的定义，熟练掌握若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：元，
即小颖当天微信收支的最终结果是收入元．
故选：．
根据有理数的加法法则进行计算即可求解．
本题考查了正负数的意义，掌握有理数的加运算是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：点是线段的中点，且，
，
故选：．

根据中点的定义进行计算即可．
本题主要考查两点间的距离，解题的关键是根据线段中点的定义得出．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
根据科学记数法的要求计算即可．
本题考查了科学记数法记小数，熟练掌握科学记数法的要求是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：、不能折叠成正方体，不符合题意；
B、能折叠成正方体，符合题意；
C、不能折叠成正方体，不符合题意；
D、不能折叠成正方体，不符合题意；
故选：．
根据正方体的展开图，逐一进行判断即可．
本题考查正方体的展开图，掌握正方体的种展开图是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：设清酒斗，则醑酒斗，
由题意可得：，
故选：．
根据共换了斗酒，其中清酒斗，则可得到醑酒斗，再根据拿斗谷子，共换了斗酒，即可列出相应的方程．
本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
 

7.【答案】 

【解析】解：连接、，
轴，
的面积等于的面积，
的面积：，
的面积为：．
故选：．
由轴，推的面积等于的面积，因为的面积为，根据已知求出面积．
本题考查了反比例函数比例系数的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，掌握由平行推三角形面积相等，熟练运用反比例函数比例系数的几何意义是解题关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：过点作于点，于点，过点作于点，
由作图痕迹可知，为的平分线，
，
，，
：：，
，，
：：：，
．
故选：．
过点作于点，于点，过点作于点，由作图痕迹可知，为的平分线，则根据角平分线的性质可得，进而可得：：，则：：，即可得出答案．
本题考查作图基本作图、角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质以及作图方法是解答本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：过作于，如图所示：

在和中，
，
≌，
，，
，，

，，
≌，
，
，，
，
，
关于的函数图象大致为开口向上的抛物线，当时，有最小值，
当和时，有最大值，
故选：．
过作于，通过证明≌和≌得出即可．
本题考查了动点问题的函数图象，全等三角形的判定和性质，勾股定理，根据全等三角形的性质求得是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，作轴，
设、两点横坐标为和，设点，
轴，
，，
，
，
，
，
整理得，，
，
，
点在抛物线上，
，
．
故选：．
设出抛物线与轴交点及点坐标，利用勾股定理整理出相关等式，利用韦达定理解答即可．
本题考查了二次函数的关系式与系数的关系，结合题意绘图解答是解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
解得：．
故答案为：．
根据二次根式有意义的条件得到，解之即可求出的取值范围．
本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式有意义时被开方数是非负数．
 

12.【答案】 

【解析】解：原式，
故答案为：
原式提取，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图，
，
，
，，
，
，
．
故答案为：．
由垂线的性质和平角的定义，求出的度数，再由平行线的性质，即可得出的度数．
本题考查了平行线的性质、垂线的性质，熟练掌握平行线的性质，求出的度数是解本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：由题意得∽，
：：，
米，米，米，
：：，
解得：，
故答案为：．
从实际问题中抽象出相似三角形，利用相似三角形的性质列式求得的长即可．
本题考查了相似三角形的知识，解题的关键是了解相似三角形的性质，难度较小．
 

15.【答案】 

【解析】解：根据直线的平移规律：平移后的直线为，
再将点代入，
得，
解得，
故答案为：．
根据直线的平移规律：上加下减可得平移后的直线为，再将点代入求解即可．
本题考查了一次函数图象与几何变换，熟练掌握直线的平移规律是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：过点作，垂足为，

由题意得：，，
在中，，
，
在中，，
，
，
，
故答案为：．
过点作，垂足为，根据题意可得：，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：如图，在直线的右侧作等腰直角三角形，使得，，．

，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
．
的最大值为．
故答案为：．
如图，在直线的右侧作等腰直角三角形，使得，，只要证明∽，可得，利用三角形的三边关系即可解决问题．
本题考查旋转变换、三角形的三边关系、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
 

18.【答案】 

【解析】解：连接，
直线与双曲线相交于，两点，
，、关于原点对称，
双曲线为，
点在双曲线上，
设，
设直线的解析式为，
把、代入得，
解得，
，
、关于原点对称，
，
，
，
解得，
．
故答案为：．
连接，根据待定系数法求得双曲线为，设，利用待定系数法求得直线的解析式，进而求得点的坐标，由反比例函数的对称性可知，即可得出，然后利用三角形面积公式得到，解得，即可求得．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数的对称性，三角形的面积，正确表示出交点坐标是解题的关键．
 

19.【答案】解：，
得：，
得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
故原方程组的解是：；



． 

【解析】利用加减消元法进行求解即可；
把能分解的因式进行分解，再约分，最后进行分式的减法运算即可．
本题主要考查分式的混合运算，解二元一次方程组，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用．
 

20.【答案】解：七年级名学生的成绩中不低于分的所占比例为：，
八年级名学生的成绩中不低于分的所占比例为：，
七年级测试成绩达到“优秀“的学生人数为：名，
八年级测试成绩达到“优秀“的学生人数为：名，
名．
答：估计这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数一共约名；
七、八年级测试成绩的平均数相等，七年级测试成绩的方差小于八年级测试成绩的方差，
七年级的学生掌握交通法规知识的水平较好答案不唯一． 

【解析】分别求出七、八年级优秀的比例，再乘以总人数即可；
两组数据的平均数相同，通过方差的大小直接比较即可．
本题考查频数分布表，用样本估计总体，中位数，众数，方差的意义和计算方法，理解各个概念的内涵和计算方法是解题的关键．
 

21.【答案】解：小华的方法对，理由如下：
连接交于，

由折叠可知：，，
垂直平分线段，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
四边形是菱形． 

【解析】连接交于，利用全等三角形的性质证明，再根据四边相等的四边形是菱形即可判断．
本题考查翻折变换，线段的垂直平分线的判定和性质，平行四边形的性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

22.【答案】解：当开关闭合时，再随机闭合开关或其中一个，小灯泡发光的概率为；
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中小灯泡发光的结果有种，
小灯泡发光的概率为． 

【解析】直接由概率公式求解即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中小灯泡发光的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查了用树形图法求概率，树状图法可以不重不漏的列举出所有可能发生的情况，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

23.【答案】解：与相切于点，
，
，
，
，
，
过作于，连接，
则，，
，，
，
，
是等边三角形，
，
，
；
，，
，
，
，
，，
，
≌，
，
阴影部分的面积扇形的面积． 

【解析】根据切线的性质得到，根据直角三角形的性质得到，求得，过作于，连接，则，，根据等边三角形的性质得到，于是得到结论；
根据等边三角形的性质得到，根据全等三角形的判定定理得到≌，求得，根据扇形的面积公式即可得到结论．
本题考查了切线的性质，扇形面积的计算，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

24.【答案】解：当时，设与之间的函数关系式为，
根据题意得：，
解得：，
，
；
当时，，
，
第个月每件服装的利润为元；
设每月的利润为，
则，
当时，，
该函数的对称轴为直线，
，
在该函数图象上，离对称轴越远的点所对应的函数值越大，
当时，取得最大值，最大值为元；
当时，，
该函数的对称轴为直线，
当时，随的增大而增大，
当时，取得最大值，最大值为元．
，
第个月能获得最大利润，最大利润是元． 

【解析】当时，设与之间的函数关系式为，根据待定系数法即可求解，当时，，以此即可求解；
将分别代入和中，求得售价和进价，再根据“利润售价进价”即可求解；
设每月的利润为，当时，，根据二次函数性质得当时，取得最大值为元；当时，，根据二次函数的性质得当时，取得最大值，最大值为元，以此即可求解．
本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量的取值范围．
 

25.【答案】解：菱形中，，，
是等边三角形，，，，
，，
由折叠得，
，
，
在中，，
，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
；
若是等腰三角形，分三种情况：
当时，
由知，，，
；
当时，
，
，
点是线段上一点不含端点，
舍去；
当时，如图，

，
，
，
；
综上，的长为或；
过点作于，作于，

由折叠得，
，
，
又，
，
，
，
，
点在上，
的最大值为，当，即点与点重合时，的值最小为，
，
，
的取值范围为． 

【解析】根据菱形的性质以及折叠的性质可得是等边三角形，，，，，则，根据勾股定理求出，根据等腰直角三角形的性质可得，即可得的长；
分三种情况：当时，当时，当时，根据等腰三角形的性质分别求解即可；
过点作于，作于，根据三角形的面积公式可得，则，由得，由点在上可得的最大值为，当，即点与点重合时，的值最小为，可得，即可得的取值范围．
本题是几何变换综合题，考查了折叠的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质等，分类思想的运用是解题的关键．
 

26.【答案】解：点，在的图象上，
，，
“域差值”，
，
即，
整理，得：，
解得：，，
经检验，，均是方程的解，
的值为或；
证明：设函数图象上存在点，，且满足，，
当时，，
当时，，
，
，
，
，
即，
故该函数的“域差值”；
点为函数图象上的一点，
，
由得：，
当两部分组成的图象上所有的点都满足“域差值”时，
则，
解得：，
当时，函数的图象上所有的点都满足“域差值”，如图，

对于函数的图象沿直线翻折后的图象记为：，
可得：，
． 

【解析】由题意得：，，由，得，即可求得答案；
设函数图象上存在点，，且满足，，可得，再利用不等式的性质即可得出，即；
当两部分组成的图象上所有的点都满足“域差值”时，则，可得，对于函数的图象沿直线翻折后的图象记为：，利用对称性可得，即可得出答案．
本题是函数背景下新定义问题，主要考查二次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，数形结合思想等，解题关键是正确理解并运用新定义解决问题．