2023年江苏省南通市海门市中考数学一模试卷(含解析）

2023年江苏省南通市海门市中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  计算的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列图形中，是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  据国家统计局数据，年中国国内生产总值约亿元将用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列图形中，能围成正方体的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  若菱形的对角线，，则菱形的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，直线，若，，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如图，直线经过点，则关于的不等式的解集是(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，矩形中，，，动点从点出发，沿折线运动到点停止，过点作交于点，设点的运动路程为，，则与对应关系的图象大致是(    )

A.  B.
C.  D.

10.  抛物线经过点和，顶点坐标为，若，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共30.0分）

11.  代数式在实数范围内有意义的条件是______ ．

12.  分解因式： ______ ．

13.  中国古代数学著作孙子算经中有个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每三人乘一车，最终剩余辆车，若每人共乘一车，最终剩余个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？如果我们设有辆车，则可列方程______．

14.  如图，无人机的探测器显示，从无人机看树顶的仰角为，看树底部的俯角为，无人机与树的水平距离为，则树高为______ 结果保留根号．

15.  若关于的不等式恰有个正整数解，则的取值范围是______ ．

16.  如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，则水面下降时，水面宽度增加______

17.  如图，是四边形的对角线，，点在边上，连接交于，取的中点若，，，则的最小值为______ ．

18.  如图，在平面直角坐标系中，已知点，是函数图象上的两点，过点作轴的垂线与射线交于点若，则的值为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
求值：，其中；
解方程：．

20.  本小题分
不透明的袋子中装有个完全相同的小球，把他们分别标号为，，．
从袋子中随机摸出一个球，标号是奇数的概率是______ ；
从袋子中随机摸出一个球后，放回并摇匀，再随机摸出一个球求两次摸到球的标号的积为偶数的概率．

21.  本小题分
年月，在北京顺利召开了第十四届全国人民代表大会和中国人民政治协商会议某校组织全体学生开展了“学习两会精神，争做好少年”的主题阅读活动，为了解同学们的阅读篇数情况，七、八年级分别随机抽查了名学生，根据抽查结果绘制了如下的统计图表：

若该校七年级共有名学生，估计该校七年级学生参加主题阅读活动的阅读篇数不少于篇的学生约为______ 名；
请判断该校七、八年级中，哪个年级学生参加本次主题阅读活动情况较好，并说明理由．

22.  本小题分
【阅读材料】

【解答问题】
请你判断小明的作法是否正确，并说明理由．

23.  本小题分
如图，，是的切线，，为切点，是的直径，．
求的度数；
若，计算图中阴影部分的面积．

24.  本小题分
甲，乙两人沿同一条笔直的公路由地匀速驶往地，先到者原地休息，乙的速度是甲的速度的倍甲：出发，乙：出发，两人之间的距离与甲所用的时间之间的函数关系如图所示．
甲的速度为______ ；的值为______ ；，两地之间的距离为______ ；
当甲，乙两人之间的距离为时，求甲所用的时间．

25.  本小题分
正方形中，，点是对角线上的一动点，将沿翻折得到，直线交射线于点．
当时，求的度数用含的式子表示；
点在运动过程中，试探究的值是否发生变化？若不变，求出它的值若变化，请说明理由；
若，求的值．
 

26.  本小题分
定义：在平面直角坐标系中，对于点与某函数图象上的一点，若，则称点为点在该函数图象上的“直差点”．
已知点，求点在函数图象上“直差点”的坐标；
若点在函数的图象上恰好存在唯一的“直差点”，求的值；
若点在函数的图象上有且只有个“直差点”，求的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：

，
故选：．
运用有理数加法的计算方法进行求解．
此题考查了有理数加法的运算能力，关键是能准确理解并运用该知识进行正确地计算．
 

2.【答案】 

【解析】解：选项A、、均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，
选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，
故选：．
根据中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
本题考查了中心对称图形的概念，判断中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

3.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】 

【解析】解：由题意知，图形可以折叠成正方体，
故选：．
根据正方体的展开图得出结论即可．
本题主要考查正方体的展开图熟练掌握正方体的展开图是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，，，
，，，
，
，
菱形的面积．
故选：．
由菱形的性质可得的长，，利用三角函数可得的长，从而可得的长，利用菱形的面积公式可得答案．
此题考查的是菱形的性质，解直角三角形等知识，正确画出图形是解决此题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
所以，，
所以．
故选：．
先把常数项移到方程右边，再把方程两边除以，接着把方程两边加上，然后把方程左边配成完全平方式，从而得到、的值，最后计算它们的和即可．
本题考查了解一元二次方程配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
，
，，
，
，
，
，
，
，
故选：．
根据平行线的性质得出，即，由等腰三角形的性质得出，即可求得，利用三角形内角和定理即可求得．
本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图所示：可得直线经过，
不等式可变形为：，
由图象可得：的解集是：，
不等式的解集是．
故选：．
由题意可得，直线与直线相交于点，观察直线落在直线的上方的部分对应的的取值即为所求．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
 

9.【答案】 

【解析】解：当点在上运动时，
，
即：，为一次函数；
当点在上运动时，如图，

则，，，
，
，，
，
∽，
，
，
，为二次函数．
故选：．
分别求出点在、段运动时函数的表达式，即可求解．
本题考查的是动点图象问题，涉及到二次函数、正比例函数、相似三角形等知识，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．
 

10.【答案】 

【解析】解：抛物线顶点坐标为，
抛物线对称轴为，
抛物线经过点和，，
，
，
故选：．
根据二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征得出的取值范围．
本题考查二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，掌握这两个知识点的综合应用是解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：要使二次根式有意义，必须，
解得：．
故答案为：．
根据二次根式有意义的条件得出，再求出答案即可．
本题考查了二次根式有意义的条件，能熟记中是解此题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：
．
故答案为：．
直接提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：设有辆车，则可列方程：
．
故答案是：．
根据每三人乘一车，最终剩余辆车，每人共乘一车，最终剩余个人无车可乘，进而表示出总人数得出等式即可．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：过点作，垂足为，

在中，，，
，
在中，，
，
，
树高为，
故答案为：
过点作，垂足为，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
，
关于的不等式恰有个正整数解，
，
解得：．
故答案为：．
根据已知不等式恰有个正整数解，确定出的范围即可．
此题考查了一元一次不等式的整数解，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：建立平面直角坐标系，设横轴通过，纵轴通过中点且通过点，则通过画图可得知为原点，

抛物线以轴为对称轴，且经过，两点，和可求出为的一半米，抛物线顶点坐标为，
通过以上条件可设顶点式，其中可通过代入点坐标，
到抛物线解析式得出：，所以抛物线解析式为，
当水面下降米，通过抛物线在图上的观察可转化为：
当时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线与抛物线相交的两点之间的距离，
可以通过把代入抛物线解析式得出：
，
解得：，
所以水面宽度增加到米，比原先的宽度当然是增加了，
故答案为：．
根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．
此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：，，，
，
如图，过点作于，
则，，
，
，
∽，
，
，
，
，
，，
，
，
，
又是的中点，
，
当时，长度最小，最小，
此时四边形是矩形，
，
的最小值，
故答案为：．
过点作于，由勾股定理求出，由∽求出，由证出，根据三角形的中位线定理得到，由垂线段最短得，当时，长度最小，最小，此时四边形是矩形，由求得结果．
本题考查的是三角形中位线定理，垂线段最短，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：如图，作轴于点，设直线与轴交于点，

点，，，
点，，，
，
，
，
，
点，，
点，是函数图象上的两点，
，
解得，
，
故答案为：．
作轴于点，设直线与轴交于点，根据，得，所以，即可得到点，，代入即可求出答案．
此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，平行线分线段成比例定理，关键是根据，得，求出
 

19.【答案】解：

，
当时，
原式


；
，
，
，
，
，
经检验：是原方程的根，
故原方程的解是：． 

【解析】先去括号，再合并同类项，最后把相应的值代入运算即可；
利用解分式方程的方法进行求解即可．
本题主要考查解分式方程，整式的混合运算，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用．
 

20.【答案】 

【解析】解：从袋子中随机摸出一个球，标号是奇数的概率是，
故答案为：；
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中两次摸到球的标号的积为偶数的结果有种，
两次摸到球的标号的积为偶数的概率为．
直接由概率公式求解即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中两次摸到球的标号的积为偶数的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

21.【答案】 

【解析】解：

名，
即估计该校七年级学生参加主题阅读活动的阅读篇数不少于篇的学生约为名，
故答案为：；
八年级学生参加本次主题阅读活动情况较好，
理由：由统计表可知，八年级的平均数和中位数都高于七年级，故八年级学生参加本次主题阅读活动情况较好．
根据扇形统计图中的数据，可以计算出该校七年级学生参加主题阅读活动的阅读篇数不少于篇的学生人数；
根据统计表中的数据，可以写出哪个年级学生参加本次主题阅读活动情况较好．
本题考查众数、中位数、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

22.【答案】解：小明的作法正确，理由如下：
由作法得垂直平分，
，，，
，
，
，
，
，
四边形为菱形． 

【解析】先利用基本作图得垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到，，，再根据平行线的性质得到，进而得到，得到，所以，然后根据菱形的判定方法可判断四边形为菱形．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质和菱形的判定．
 

23.【答案】解：连接，
，是的切线，，为切点，
，
，
，
是等边三角形，
；
连接，
，，
≌，
的面积的面积，，
，
，
，
，
，
的面积，
扇形的面积，
阴影的面积的面积扇形的面积． 

【解析】连接，由切线的性质得到，由切线长定理推出，求出，推出是等边三角形，得到的度数；
由证明≌得到的面积的面积，求出的长，即可求出的面积，求出扇形的面积，即可求出阴影的面积．
本题考查切线的性质，扇形面积、三角形面积的计算，关键是求出扇形的面积，的面积．
 

24.【答案】     

【解析】解：由图象知，甲的速度为千米、小时，
乙的速度是甲的速度的倍，
乙的速度是千米小时，
由题意得，
解得；
由图象知，甲小时走完全程，
，两地之间的距离为千米．
故答案为：，，；
甲、乙两人相遇前距离为时，
根据题意得：，
解得舍去；
甲、乙两人相遇后距离为时，
根据题意得：，
解得；
当乙到达地，两人相距时，即甲距离地，
此时甲所用时间为：．
综上所述，当甲，乙两人之间的距离为时，甲所用的时间为或．
根据图象可以求出甲的速度，再得出乙的速度，然后根据甲乙相遇时所走路程相同列出方程，解方程求出的值；根据甲的速度和甲走完全程所用时间求出、之间的距离；
分甲、乙相遇前后和乙到达地甲未到达地三种情况讨论即可．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想和时间距离图象进行解答．
 

25.【答案】解：如图中，设交于点．

四边形是正方形，
，，
，
由翻折变换的性质可知，，，
，
，
∽，
，
，
，
∽，
；

，是定值．
理由：如图中，连接，．

四边形是正方形，
，，
，
≌，
，
，
，
同法可证，，
，，
，
，
，
，
，
；

如图中，当时，
，
，
，
，
，
，
． 

【解析】证明，，，四点共圆，可得结论；
如图中，连接，证明是等腰直角三角形，可得结论；
证明是等边三角形，可得结论．
本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
 

26.【答案】解：设点在函数图象上“直差点”的坐标为，
根据“直差点”定义可得：，
解得，
点在函数图象上“直差点”的坐标为；
设点在函数的图象上的“直差点”为，
，
整理得：，
点在函数的图象上恰好存在唯一的“直差点”，
，即，
解得：舍去或，
的值为；
设点在函数的图象上的“直差点”为，
，
，
点在函数的图象上有且只有个“直差点”，
的图象与的图象有且只有个交点，
在中，令得或，
的图象与轴交点坐标为，，
如图：

把代入得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
由图象可知，点在函数的图象上有且只有个“直差点”，的范围是． 

【解析】设点在函数图象上“直差点”的坐标为，可得：，即可解得答案；
设点在函数的图象上的“直差点”为，可得，，由，即，得的值为；
设点在函数的图象上的“直差点”为，得，根据点在函数的图象上有且只有个“直差点”，知的图象与的图象有且只有个交点，画出函数图象，可得的范围是．
本题考查一次函数，反比例函数，二次函数图象上点坐标的特征，解题的关键是读懂题意，理解“直差点”的定义．