数学（全国乙卷文）2023年高考第三次模拟考试卷（考试版）A3

2023年高考数学第三次模拟考试卷

高三数学

（考试时间：120分钟  试卷满分：150分）

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写

在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．已知复数，，则（    ）

A． B． C． D．

3．设，是两个不共线的向量，若向量(k∈R)与向量共线，则（    ）

A．k＝0 B．k＝1 C．k＝2 D．k＝

4．已知的平均数为5，方差为1，则，，，，的平均数和方差分别为（    ）

A．11，3 B．11，4 C．10，1 D．10，4

5．若变量，满足约束条件，则目标函数的最大值为（    ）

A． B． C． D．

6．已知为抛物线上一点，过抛物线的焦点作直线的垂线，垂足为，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

7．执行如图所示的程序框图，输出的结果是

A．56      B．54        C．36      D．64

8．函数的图象大致是（    ）

A． B．

C． D．

9． 在正方体中，点E，F，M分别是棱BC，，的中点，点，M到平面AEF的距离分别为，，则（    ）

A． B． C． D．

10．若数列为等差数列，数列为等比数列，则下列说法中正确的个数有（    ）

①（）为等差数列；

②为等比数列；

③为等比数列；

④为等差数列；

⑤为等比数列．

A．2 B．3 C．4 D．5

11．已知函数的定义域为，．若，，当时，，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

12．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，三棱锥A1-BC1D内切球表面积为，则正方体外接球的体积为

A． B．36  C．  D．

第Ⅱ卷

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13． 已知等比数列的前n项和为，若，，则_______．

14．某公司三个分厂的职工情况为：第一分厂有男职工4000人，女职工1600人；第二分厂有男职工3000人，女职工1400人；第三分厂有男职工800人，女职工500人．如果从该公司职工中随机抽选1人，则该职工为女职工或为第三分厂职工的概率为__________.

15．在平面直角坐标系中，三点,，，则三角形的外接圆方程是__________

16．已知函数（其中为自然对数的底数）为偶函数，则实数的值为__________

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）设的内角的对边分别为，，且为钝角．

（1）证明：；

（2）求的取值范围．

18．（12分）如图，在直四棱柱中，底面是边长为的菱形，且，、分别为、的中点．

（1）证明：平面；

（2）若，求点到的距离．

19．（12分）湖南省从2021年开始将全面推行“”的新高考模式,新高考对化学、生物、地理和政治等四门选考科目,制定了计算转换T分（即记入高考总分的分数）的“等级转换赋分规则”（详见附1和附2）,具体的转换步骤为：①原始分Y等级转换；②原始分等级内等比例转换赋分.某校的一次年级统考中,政治、生物两选考科目的原始分分布如下表：

现从政治、生物两学科中分别随机抽取了20个原始分成绩数据,作出茎叶图：

（1）根据茎叶图,分别求出政治成绩的中位数和生物成绩的众数；

（2）该校的甲同学选考政治学科,其原始分为82分,乙同学选考生物学科,其原始分为91分,根据赋分转换公式,分别求出这两位同学的转化分；

（3）根据生物成绩在等级B的6个原始分和对应的6个转化分,得到样本数据,请计算生物原始分与生物转换分之间的相关系数,并根据这两个变量的相关系数谈谈你对新高考这种“等级转换赋分法”的看法.

附1：等级转换的等级人数占比与各等级的转换分赋分区间.

附2：计算转换分T的等比例转换赋分公式：.（其中：,,分别表示原始分Y对应等级的原始分区间下限和上限；,分别表示原始分对应等级的转换分赋分区间下限和上限.T的计算结果按四舍五入取整数）

附3：,,.

20．（12分）已知函数：

(I)当时，求的最小值；

(II)对于任意的都存在唯一的使得，求实数a的取值范围．

21．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，短轴长为，点在椭圆上，轴，且．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）将椭圆按照坐标变换得到曲线，若直线与曲线相切且与椭圆相交于，两点，求的取值范围．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑．按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分.

[选修4—4：坐标系与参数方程]

22．（10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）．

（1）求和的普通方程；

（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．

23.（10分）设．

（1）证明：；

（2）用表示的最大值，证明：．