数学（全国乙卷文）2023年高考第三次模拟考试卷（参考答案）

2023年高考数学第三次模拟考试卷

数学·参考答案

13．140（5分） 

14．（5分）

15．（5分）

16．1（5分）

17．（12分）【解析】（1）由及正弦定理，得，

所以，即．

又为钝角，因此+(，)，故=+，即=；

（2）由（1）知，=(+)=(2+)=2>0，

所以，

于是==

=，

因为0<<，所以0<<，因此<2．

由此可知的取值范围是（，]．

18．（12分）【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1）证明：连接交于点，连接，

因为四边形为菱形，且，为的中点，

因为为的中点，所以，且，

在直四棱柱中，且，

为的中点，则且，且，

所以，四边形为平行四边形，所以，，

又∵，，，

∴平面，∴平面．

（2）解：若，则和为等边三角形，，

平面，平面，，

，则，由勾股定理可得，

同理，

连接，则，所以，

所以，

而，设点到面的距离为，

则由（1）知及，得，

解得，

所以点到面的距离．

19．（12分）【答案】解：（1）由茎叶图知：政治成绩的中位数为72,生物成绩的众数为73. (2分)

（2）甲同学选考政治学科的等级为A,

由转换赋分公式：,得.

乙同学选考生物学科的等级A,

由换赋分公式：,得.

故甲、乙两位同学的转换分都为87分. (6分)

（3）因为,,

说法1：等级转换赋分法公平,因为相关系数十分接近于1,接近于函数关系,因此高考这种“等级转换赋分法”具有公平性与合理性.

说法2：等级转换赋分法不公平.在同一等级内,原始分与转化分是确定的函数关系,理论上原始分与转化分的相关系数为1,而在实际赋分过程中由于数据的四舍五入,使得实际的转化分与应得的转化分有一定的误差,极小部分同学赋分后会出现偏高或偏低的现象. (12分)

20．（12分）【答案】(I)答案不唯一，见解析(II)

【解析】(I)

时，递增，,

时，递减，，

时，时递减，

时递增，

所以

综上，当；

当

当

(II)因为对于任意的都存在唯一的使得成立,

所以的值域是的值域的子集.

因为

递增，的值域为

(i)当时，在上单调递增，

又，

所以在[1,e]上的值域为,

所以，

即，

(ii)当时，因为时，递减，时，递增，且，

所以只需

即，所以

(iii)当时，因为在上单调递减，且，

所以不合题意.

综合以上，实数的取值范围是.

【点睛】本题考查了利用导数求函数的最值,分类讨论思想,等价转化思想,本题属于难题.

解题方法总结:

像”对于任意的都存在唯一的使得，”已知条件,一般是转化为两个函数的值域得包含关系,口诀是:任意是存在的子集.

21．（12分）【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）由已知可得，，，

则椭圆的标准方程为．

（2）由，

则曲线：，

当直线斜率存在且为时，设：，由直线与圆相切，

则，

由，

设，，则，且恒成立，

由

，

由，则，

令，则，

，

令，则，，则，；

当直线斜率不存在时，：，，

综上：．

【点评】本题考查了椭圆的标准方程、弦长公式、坐标变换，解题的关键是根据直线与曲线相切求出切线方程中参数的关系，化简后借助二次函数性质求出弦长范围．

22．（10分）【解析】（1）曲线的直角坐标方程为．

当时，的直角坐标方程为，

当时，的直角坐标方程为．

（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程

．①

因为曲线截直线所得线段的中点在内，所以①有两个解，设为，，则．

又由①得，故，于是直线的斜率．

23.(10分)【解析】（1）证明：

即

（2）证法一：不妨设，由可知，，

，，

当且仅当时，取等号，，即．

证法二：不妨设，则而

矛盾，∴命题得证．