2023年中考数学三轮冲刺考前查漏补缺《角平分线的性质与线段的垂直平分线》(提高版)（含答案）

2023年中考数学三轮冲刺考前查漏补缺

《角平分线的性质与线段的垂直平分线》(提高版)

一              、选择题

1.如图，已知∠AOB.

按照以下步骤作图：

①以点O为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交∠AOB的两边于C，D两点，连接CD.

②分别以点C，D为圆心，以大于线段OC的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点E，

连接CE，DE.

③连接OE交CD于点M.

下列结论中错误的是(　　)

A.∠CEO＝∠DEO      B.CM＝MD     C.∠OCD＝∠ECD    D.S四边形OCED＝CD•OE

2.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E，若BC＝7，则AE的长为(　　)

A.4                          B.5                             C.6                            D.7

3.如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，S△ABD＝15，则CD长为(　　)

A.3             B.4            C.5             D.6

4.如图，已知，BD为△ABC的角平分线，且BD＝BC，E为BD延长线上的一点，BE＝BA.

下列结论：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD＝180°；③AD＝AE＝EC；④AC＝2CD.

其中正确的有(　　) 个.

A.1            B.2              C.3              D.4

5.如图，任意画一个∠A＝60°的△ABC，再分别作△ABC的两条角平分线BE和CD，BE和CD相交于点P，连接AP.

有以下结论：

①∠BPC＝120°；②AP平分∠BAC；③AP＝PC；④BD+CE＝BC；⑤S△PBD+S△PCE＝S△PBC.

其中正确的个数是(　　)

A.2         B.3           C.4             D.5

6.如图，已知AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线MN交AB于D，AC于M.以下结论：

①△BCD是等腰三角形；

②射线CD是△ACB的角平分线；

③△BCD的周长C△BCD＝AB＋BC；

④△ADM≌△BCD.

正确的有(　      )

A.①②           B.①③             C.②③             D.③④

7.如图：等腰△ABC的底边BC长为6，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点.若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为(　　)

A.6         B.8         C.9          D.10

8.如图所示，在△ABC中，内角∠BAC与外角∠CBE的平分线相交于点P，BE＝BC，PB与CE交于点H，PG∥AD交BC于F，交AB于G，连接CP.

下列结论：①∠ACB＝2∠APB；②S△PAC：S△PAB＝AC：AB；③BP垂直平分CE；④∠PCF＝∠CPF.

其中正确的有(　　)

A.1个         B.2个           C.3个        D.4个

二              、填空题

9.如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E.△ABC的面积为20，AB＝12，BC＝8，则DE的长为　　    .

10.直线 l1、l2、l3 表示三条两两相互交叉的公路，现在拟建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离都相等，则可供选择的地址有      处.

11.如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为50和38，则△EDF的面积为     .

12.如图，△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，EF＝BF，则∠EFC＝　　    °.

13.如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD是∠BAC的平分线.若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC＋PQ的最小值是　   　.

14.如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝5，S△ABC＝15，AD⊥BC于点D，EF垂直平分AB，交AC于点F，在EF上确定一点P，使PB＋PD最小，则这个最小值为__________.

三              、解答题

15.如图，已知在△ABC中，∠BAC的平分线与线段BC的垂直平分线PQ相交于点P，过点P分别作PN垂直于AB于点N，PM垂直于AC于点M，BN和CM有什么数量关系？请说明理由.

16.如图，在△ABC中，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F.

(1)求证：∠EFA＝90°﹣∠B；

(2)若∠B＝60°，求证：EF＝DF.

17.如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC＝CD.

(1)求证：△BCE≌△DCF；

(2)求证：AB＋AD＝2AE.

18.如图.在△ABC中，BE是角平分线，AD⊥BE，垂足为D.

求证：∠2＝∠1＋∠C.

19.如图1，已知△ABC中，AB＝AC，点D是△ABC外一点(与点A分别在直线BC两侧)，且DB＝DC，过点D作DE∥AC，交射线AB于E，连接AE交BC于F.

(1)求证：AD垂直BC；

(2)如图1，点E在线段AB上且不与B重合时，求证：DE＝AE；

(3)如图2，当点E在线段AB的延长线上时，写出线段DE，AC，BE的数量关系.

20.如图1，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F.

(1)直接写出∠AFC的度数：        ；

(2)请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；

(3)如图2，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，试判断线段AE、CD与AC之间的数量关系并说明理由.

参考答案

1.C.

2.D

3.A.

4.C.

5.C

6.B

7.C.

8.D.

9.答案为：2.

10.答案为：4.

11.答案为：6.

12.答案为：45.

13.答案为：9.6.

14.答案为：6.

15.证明：如图，连接PB，PC，

∵AP是∠BAC的平分线，PN⊥AB，PM⊥AC，

∴PM＝PN，∠PMC＝∠PNB＝90°，

∵P在BC的垂直平分线上，

∴PC＝PB，

在Rt△PMC和Rt△PNB中，

，

∴Rt△PMC≌Rt△PNB(HL)，

∴BN＝CM.

16.证明：(1)∵∠BAC＋∠BCA＝180°﹣∠B，

又∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，

∴∠FAC＝∠BAC，∠FCA＝∠BCA，

∴∠FAC＋∠FCA＝×(180°﹣∠B)＝90°﹣∠B，

∵∠EFA＝∠FAC＋∠FCA，

∴∠EFA＝90°﹣∠B.

(2)如图，过点F作FG⊥BC于G，作FH⊥AB于H，作FM⊥AC于M.

∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，

∴FG＝FH＝FM，

∵∠EFH＋∠DFH＝120°，

∠DFG＋∠DFH＝360°﹣90°×2﹣60°＝120°，

∴∠EFH＝∠DFG，

在△EFH和△DFG中，

，

∴△EFH≌△DFG(AAS)，

∴EF＝DF.

17.证明：(1)∵AC是角平分线，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，

∴CE＝CF，∠F＝∠CEB＝90°，

在Rt△BCE和Rt△DCF中，

∴△BCE≌△DCF；

(2)解：∵CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，

∴∠F＝∠CEA＝90°，

在Rt△FAC和Rt△EAC中，

，

∴Rt△FAC≌Rt△EAC，

∴AF＝AE，

∵△BCE≌△DCF，

∴BE＝DF，

∴AB＋AD＝(AE＋BE)＋(AF﹣DF)＝AE＋BE＋AE﹣DF＝2AE.

18.证明：如图，延长AD交BC于点F，

∵BE是角平分线，AD⊥BE，

∴△ABF是等腰三角形，且∠2＝∠AFB，

又∵∠AFB＝∠1＋∠C，

∴∠2＝∠1＋∠C.

19.证明：(1)∵AB＝AC，DB＝DC，

∴直线AD是BC的垂直平分线，

∴AD垂直BC；

(2)证明：在△ABD和△ACD中，

，

∴△ABD≌△ACD，

∴∠BAD＝∠CAD，

∵DE∥AC，

∴∠EDA＝∠CAD，

∴∠BAD＝∠EDA，

∴DE＝AE；

(3)DE＝AC＋BE.由(2)得，∠BAD＝∠CAD，

∵DE∥AC，

∴∠EDA＝∠CAD，

∴∠BAD＝∠EDA，

∴DE＝AE，

∵AB＝AC，

∴DE＝AB＋BE＝AC＋BE.

20.解：(1)∵∠ACB＝90°，∠B＝60°，

∴∠BAC＝90°﹣60°＝30°，

∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，

∴∠FAC＝15°，∠FCA＝45°，

∴∠AFC＝180°﹣(∠FAC＋∠ACF)＝120°

(2)解：FE与FD之间的数量关系为：DF＝EF.

理由：如图2，在AC上截取CG＝CD，

∵CE是∠BCA的平分线，

∴∠DCF＝∠GCF，

在△CFG和△CFD中，

，

∴△CFG≌△CFD(SAS)，

∴DF＝GF.

∵∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，

∴∠FAC＝∠BAC，∠FCA＝∠ACB，且∠EAF＝∠GAF，

∴∠FAC＋∠FCA＝(∠BAC＋∠ACB)＝(180°﹣∠B)＝60°，

∴∠AFC＝120°，

∴∠CFD＝60°＝∠CFG，

∴∠AFG＝60°，

又∵∠AFE＝∠CFD＝60°，

∴∠AFE＝∠AFG，

在△AFG和△AFE中，

，

∴△AFG≌△AFE(ASA)，

∴EF＝GF，

∴DF＝EF；

(3)结论：AC＝AE＋CD.

理由：如图3，在AC上截取AG＝AE，

同(2)可得，△EAF≌△GAF(SAS)，

∴∠EFA＝∠GFA.

又由题可知，∠FAC＝∠BAC，∠FCA＝∠ACB，

∴∠FAC＋∠FCA＝(∠BAC＋∠ACB)＝(180°﹣∠B)＝60°，

∴∠AFC＝180°﹣(∠FAC＋∠FCA)＝120°，

∴∠EFA＝∠GFA＝180°﹣120°＝60°＝∠DFC，

∴∠CFG＝∠CFD＝60°，

同(2)可得，△FDC≌△FGC(ASA)，

∴CD＝CG，

∴AC＝AG＋CG＝AE＋CD.