初中数学人教版九年级下册28.1 锐角三角函数第1课时课后练习题

28.1  锐角三角函数
第1课时

一、教学目标

【知识与技能】

1.理解锐角正弦的概念，掌握正弦的表示方法；

2.会根据直角三角形的边长求一个锐角的正弦值，并且能利用正弦求直角三角形的边长。

【过程与方法】

1.经历探索直角三角形中的边与角的关系，培养学生由特殊到一般的演绎推理能力。

2.通过学生自我发现培养学生的自我反思能力，通过提出困惑提升学生发现问题的能力。

【情感态度与价值观】

1.在主动参与探索概念的过程中，开展学生的合情推理能力和合作交流、探究发现的意识。

2.培养学生独立思考的习惯以及使学生获得成功的体验，建立自信心。

二、课型

新授课

三、课时

第1课时 共4课时

四、教学重难点

【教学重点】 

理解正弦函数意义，并会求直角三角形中一个锐角的正弦值。

【教学难点】 

理解当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定这一事实.

五、课前准备 

教师：课件、三角尺、直尺等.

学生：三角尺、铅笔.

六、教学过程

(一)     导入新课（出示课件2）

美国人体工程研究学人员调查发现，当高跟鞋的鞋底与地面的夹角为11°左右时，人脚的感觉最舒适，假设某成年人前脚掌到脚后跟长为15厘米，请问鞋跟在几厘米高度为最佳？

(二)     探索新知

为了绿化荒山,某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管,在山坡上修建一座扬水站,对坡面的绿地进行喷灌.现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35ｍ,那么需要准备多长的水管？（出示课件4）

教师问：如右图所示，本题可看作是在三角形ABC中探求某些问题，你可以把已知条件用数学语言描述出来吗？（学生思考后，找同学回答）

学生答：这个问题可以归结为，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A＝30°，BC＝35m，求AB.

教师问：可以用学过的什么数学知识来解决这个问题？

学生答：根据“直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半”来解决.

师生一起解答：根据“直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半”，即==,可得AB＝2BC＝70m，也就是说，需要准备70m长的水管．

教师问:类比上面的问题，如果使出水口的高度为50 m，如图所示，那么需要准备多长的水管？（出示课件5）

学生讨论后作答：==，

AB′＝2B′C′＝2×50＝100m

所以需要准备100m长的水管.

教师问:对于有一个锐角为30°的任意直角三角形，30°角的对边与斜边有怎样的数量关系？可以用一个怎样的式子表示呢？

学生回答:30°角的对边是斜边的2倍，=。

归纳总结：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于.

教师问：在直角三角形中，如果锐角的大小发生了改变，其对边与斜边的比值还是吗？

例如：如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C＝90°，∠A＝45°，计算∠A的对边与斜边的比，你能得出什么结论？（出示课件6）
 

学生独立解决问题，利用勾股定理，得出AB=BC，体会数学结合思想.教师加以指导。

师生共同总结：在直角三角形中，当一个锐角等于45°时，不管这个直角三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于.

教师归纳总结：（出示课件7）

在Rt△ABC中，∠C＝90°，当∠A＝30°时，∠A的对边与斜边的比都等于，它是一个固定值；当∠A＝45°时，∠A的对边与斜边的比都等于，它也是一个固定值.

教师问：类比前面的结论进行猜想，一般地，当∠A 取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？（出示课件8）

思考下面问题：任意画Rt△ABC和Rt△A′B′C′，使得∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′＝α，那么与有什么关系？你能解释一下吗？（出示课件9）

师生共同探究,合作交流寻找规律:由已知条件得出 Rt△ABC ∽Rt△A′B′C′，可以得到,推出.（出示课件10）

教师讲解：在Rt△ABC中，当锐角A的度数一定时，无论这个直角三角形大小如何，∠A的对边与斜边的比都是一个固定值.

这个固定值随锐角A的度数的变化而变化，由此我们给这个“固定值”以专门的名称.（出示课件11）

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即

sinA=,

教师问：当∠A＝30°时，∠A的正弦为多少？当∠A＝45°时呢？

师生一起总结：当∠A＝30°时，sinA=sin30°=；

当∠A＝45°时sinA= sin45°=.

教师强调：（出示课件12）

1.sinA是一个完整的符号，它表示∠A的正弦，记号里习惯省去角的符号“∠”.正弦的三种表示方式：sinA、sin56°、sin∠DEF；

2.sinA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A的对边与斜边的比；

3.sinA不表示“sin”乘“A”.

考点1：利用正弦的定义求有关角的正弦值.

例 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值．（出示课件13）

师生共同讨论解答如下：

解：（1）在Rt△ABC中，

AB===5,

因此sinA=,sinB=。

（2）在Rt△ABC中,sinA=

AC===12,

因此sinB=。
出示课件14-15，学生独立思考后口答，教师订正.

考点2：在平面直角坐标系内求锐角的正弦值.

例  如图，在平面直角坐标系内有一点P(3，4)，连接OP，求OP与x轴正方向所夹锐角α的正弦值.（出示课件16）

学生独立思考后，师生共同解答.

解：如图，过P点向x轴作垂线交于点A，坐标为A(3，0).

在Rt△APO中，由勾股定理得

OP===5,

因此sin?=。

总结点拨：（出示课件17）

结合平面直角坐标系求某角的正弦函数值，一般过已知点向x轴或y轴作垂线，构造直角三角形，再结合勾股定理求解.

出示课件18，学生自主练习后口答，教师订正.

考点3：利用正弦求直角三角形的边长.

例 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，BC=3，求sinB及Rt△ABC的面积.（出示课件19）

师生共同分析：已知sinA及∠A的对边BC的长度，可以求出斜边AB的长.然后再利用勾股定理，求出AC的长度，进而求出sinB及Rt△ABC的面积.

一生板演，教师巡视并加以指导.（出示课件20）

师生共同归纳：（出示课件21）

1.在 Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=k，sinB=h，AB=c，

则BC=ck，AC=ch.

2.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=k，sinB=h，BC=a，

则AB=，AC=.

出示课件22，学生自主练习，教师给出答案。

考点4：利用方程和正弦求直角三角形中线段的长度

例 在△ABC中，∠C=90°，AC=24cm，sinA=，求这个三角形的周长．（出示课件23）

师生共同讨论解答如下：

解：设BC=7x，则AB=25x，在Rt△ABC中，由勾股定理得

AC===24x

即24x=24cm，解得x=1cm.

故BC=7x=7cm，AB=25x=25cm.

所以△ABC的周长为AB+BC+AC=7+24+25=56(cm).

出示课件24，学生自主练习，教师给出答案.

(三)     课堂练习（出示课件25-32）

教师引导学生练习课件25-32相应题目，巩固本课知识点，约用时20分钟。

(四)     课堂小结（出示课件33）

本节课你有哪些收获？你还有什么困惑吗？（引导学生思考答复）

师生一起提炼本节课的重要知识和必须掌握的技能：

（1）在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，无论这个直角三角形大小如何，∠A的对边与斜边的比都是一个固定值.

（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即

sin A =。

(五)     课前预习

预习下节课（28.1第2课时）的相关内容.

知道余弦、正切、锐角三角函数的定义

七、课后作业

1、教材第64页练习第1,2题.

2、七彩课堂第98页第2、11题.

八、板书设计：

锐角三角函数（第1课时）

概念：

在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即

sin A =

例题：

九、教学反思：

本节课的教学内容以实际生活中的问题情境呈现出来，给予学生亲切感，提高了学生的学习兴趣，让学生感受到了数学来源于生活。学生通过合作交流发现规律，能够深刻体会到学习的价值. 

在讲解正弦概念的时候，对正弦的写法给了特殊强调，并通过做练习题巩固对知识的理解.

从教学过程看，和学生的交流做的不够，讲与练时间控制的不太好，学生计算能力有待加强.要学会换位思考，学会真正把课堂还给学生，让学生来做课堂的主角。