数学九年级上册21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系巩固练习

一元二次方程的根与系数的关系

1已知x1，x2是一元二次方程x2－2x＝0的两根，则x1＋x2的值是(　B　)

A．0　　　B．2　　　C．－2　　　D．4

2．[2013·湘潭]一元二次方程x2＋x－2＝0的解为x1，x2，则x1·x2＝(　D　)

A．1  B．－1  C．2  D．－2

3．[2013·包头]已知方程x2－2x－1＝0，则此方程(　C　)

A．无实数根

B．两根之和为－2

C．两根之积为－1

D．有一根为－1＋

4．已知一元二次方程x2－6x＋c＝0有一个根为2，则另一根为(　C　)

A．2  B．3  C．4  D．8

5．已知方程x2－5x＋2＝0的两个解分别为x1，x2，则x1＋x2－x1x2的值为(　D　)

A．－7  B．－3  C．7  D．3

【解析】 由根与系数的关系得x1＋x2＝5，x1x2＝2，所以x1＋x2－x1x2＝5－2＝3.

6．[2012·攀枝花]已知一元二次方程x2－3x－1＝0的两个根分别是x1，x2，则x12x2＋x1x22的值为(　A　)

A．－3  B．3  C．－6  D．6

【解析】 ∵一元二次方程x2－3x－1＝0的两个根分别是x1，x2，∴x1＋x2＝3，x1x2＝－1，∴x12x2＋x1x22＝x1x2(x1＋x2)＝－1×3＝－3.

7．设x1，x2是方程x2＋3x－3＝0的两个实数根，则＋的值为(　B　)

A．5  B．－5

C．1  D．－1

8．若x1，x2是方程x2＋x－1＝0的两个根，则x12＋x22＝__3__．

【解析】 由根与系数的关系得x1＋x2＝－1，x1x2＝－1，所以x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(－1)2－2×(－1)＝3.

9．已知m和n是方程2x2－5x－3＝0的两根，则＋＝__－__．

【解析】 ∵m和n是方程2x2－5x－3＝0的两根，

∴m＋n＝－＝，mn＝－，∴＋＝＝＝－.

10．已知x1，x2是方程x2＋6x＋3＝0的两实数根，试求下列代数式的值：(1)x12＋x22；(2)＋；

(3)(x1＋1)(x2＋1)．

解：由根与系数的关系得x1＋x2＝－6，x1x2＝3.

(1)x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(－6)2－2×3

＝36－6＝30；

(2)＋＝＝＝10；

(3)(x1＋1)(x2＋1)

＝x1x2＋(x1＋x2)＋1

＝3－6＋1＝－2.

11．已知2－是关于x的一元二次方程x2－4x＋c＝0的一个根，求方程的另一个根．

解：设方程的另一个根为x1，由x1＋2－＝4，得x1＝2＋.

12．已知关于x的方程x2－mx－3＝0的两实数根为x1，x2，若x1＋x2＝2，求x1，x2的值．

解： ∵x1＋x2＝2，∴m＝2.

∴原方程为x2－2x－3＝0，即(x－3)(x＋1)＝0，

解得x1＝3，x2＝－1或x1＝－1，x2＝3.

13．关于x的一元二次方程x2－mx＋2m－1＝0的两个实数根分别是x1，x2，且x12＋x22＝7，则(x1－x2)2的值是(　C　)

A．1  B．12

C．13  D．25

【解析】 由根与系数的关系知：x1＋x2＝m，x1x2＝2m－1，

∴x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝m2－2(2m－1)＝m2－4m＋2，

∴m2－4m＋2＝7，

∴m2－4m－5＝0，

解得m＝5或m＝－1.

当m＝5时，原方程为x2－5x＋9＝0，

Δ＝(－5)2－4×1×9＝25－36＝－11<0，此时方程无实根．

当m＝－1时，原方程为x2＋x－3＝0，方程有实根，

∴当m＝－1时，x1＋x2＝－1，x1x2＝－3，

∴(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2

＝(－1)2－4×(－3)＝1＋12＝13，故选C.

14．设a，b是方程x2＋x－2 012＝0的两个实数根，则a2＋2a＋b的值为(　A　)

A．2 011  B．2 012

C．2 013  D．2 014

【解析】 ∵a是方程x2＋x－2 012＝0的根，∴a2＋a－2 012＝0，∴a2＋a＝2 012.又由根与系数的关系得a＋b＝－1，∴a2＋2a＋b＝a2＋a＋(a＋b)＝2 012－1＝2 011，故选A.

15．已知m，n是方程x2＋2x＋1＝0的两根，则代数式的值为(　C　)

A．9  B．4  C．3  D．5

16．已知关于x的一元二次方程mx2－4x＋6＝0的两根为x1，x2，且x1＋x2＝－2，则m＝__－2__．

【解析】 ∵x1＋x2＝－＝，∴－2＝，∴m＝－2.

17．设α，β是一元二次方程x2＋3x－7＝0的两个根，则α2＋4α＋β＝__4__．

【解析】 因为α，β是一元二次方程x2＋3x－7＝0的两个根，则α2＋3α－7＝0，α＋β＝－3，α2＋4α＋β＝α2＋3α＋α＋β＝4.

18．关于x的一元二次方程x2＋3x＋m－1＝0的两个实数根分别为x1，x2.

(1)求m的取值范围；

(2)若2(x1＋x2)＋x1x2＋10＝0，求m的值．

解：(1)∵原方程有两个实数根，

∴Δ＝9－4(m－1)≥0，解得m≤.

(2)由根与系数的关系，得x1＋x2＝－3，x1x2＝m－1，

∴2×(－3)＋(m－1)＋10＝0，解得m＝－3，符合题意．

19．已知：关于x的方程kx2－(3k－1)x＋2(k－1)＝0.

(1)求证：无论k为何实数，方程总有实数根；

(2)若此方程有两个实数根x1，x2，且│x1－x2│＝2，求k的值．

解：(1)证明：Δ＝[－(3k－1)]2－4k·2(k－1)＝k2＋2k＋1＝(k＋1)2≥0，

所以无论k为何实数，方程总有实数根；

(2)由根与系数关系，得x1＋x2＝，x1x2＝，

∵│x1－x2│＝2，

∴(x1－x2)2＝4，即(x1＋x2)2－4x1x2＝4，

故()2－＝4，整理，得3k2－2k－1＝0.

解得k1＝1，k2＝－.

经检验，k1＝1，k2＝－都是原分式方程的解，

∴k1＝1，k2＝－.