人教版九年级上册22.3 实际问题与二次函数巩固练习

22.4 实际问题与二次函数

知识点一、列二次函数解应用题  

列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式。

对于应用题要注意以下步骤

（1）审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)

（2）设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确

（3）列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式这就是二次函数

（4）按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。

（5）检验所得解是否符合实际，即是否为所提问题的答案

（6）写出答案，

要点诠释：常见的问题，求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式. 

知识点二、建立二次函数模型求解实际问题 

一般步骤(1)恰当地建立直角坐标系 

（2）将已知条件转化为点的坐标 

（3）合理地设出所求函数关系式 

（4）代入已知条件或点的坐标，求出关系式 

（5）利用关系式求解问题 

类型一、利润最值问题

例1、某种商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件；如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于72元），设每件商品的售价上涨x元（x为整数），每个月的销售利润为y元.

（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围;

（2）每件商品的售价定为多少时每个月可获得最大利润?最大利润是多少?

解析：(1)设每件商品的售价上涨x元(x为正整数)，

则每件商品的利润为：(60−50+x)元，

总销量为：(200−10x)件，

商品利润为：

y=(60−50+x)(200−10x),=(10+x)(200−10x),=−10x2+100x+2000.

∵原售价为每件60元，每件售价不能高于72元，

∴0<x⩽12且x为正整数；

(2)y=−10x2+100x+2000,=−10(x2−10x)+2000,=−10(x−5)2+2250.

故当x=5时，最大月利润y=2250元。

这时售价为60+5=65(元).

练习：1.某商品的进价为每件20元，售价为每件30，每个月可卖出180件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价不能高于35元，设每件商品的售价上涨元（为整数），每个月的销售利润为元。

（1）求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；

（2）每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？

（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰好是1920元？

2、某电子商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程发现，每月销量y（万件）与销售单价x（元）之间关系可以近似地看作一次函数y=－2x+100.(利润=售价－制造成本)

（1）写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间函数解析式；

（2）当销售单价为多少元时，厂商每月能够获得350万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能够获得最大利润？最大利润是多少？

（3）根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不得高于32元.如果厂商要获得每月不低于350万元的利润，那么制造这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？

类型二、面积最值问题

①围两边的矩形的面积最值

例2、如图1，用长为18米的篱笆（虚线部分）和两面墙围成矩形苗圃。

（1）设矩形的一边长为x（米），面积为y（平方米），求y关于x的函数关系式；

（2）当x为何值时，所围成的苗圃面积最大？最大面积是多少？

分析：关键是用含x的代数式表示出矩形的长与宽。

解析：（1）设矩形的长为x（米），则宽为（18- x）（米），

根据题意，得：；

又∵

（2）∵中，a= -1＜0，∴y有最大值，

即当时，

故当x=9米时，苗圃的面积最大，最大面积为81平方米。

②围三边的矩形的面积最值

例3、如图2，用长为50米的篱笆围成一个养鸡场，养鸡场的一面靠墙。问如何围，才能使养鸡场的面积最大？

分析：关键是明确问题中的变量是哪两个，并能准确布列出函数关系式

解析：设养鸡场的长为x（米），面积为y（平方米），则宽为（）（米），

根据题意，得：；

又∵

∵中，a=＜0，∴y有最大值，

即当时，

故当x=25米时，养鸡场的面积最大，养鸡场最大面积为平方米。

点评：如果设养鸡场的宽为x，上述函数关系式如何变化？请自己完成。

③围成正方形的面积最值

例4、将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．

 (1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?

 (2)两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗? 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．

解析：（1）设剪成两段后其中一段为xcm，则另一段为（20-x）cm

由题意得： 

解得：       

当时，20-x=4；当时，20-x=16

答：这段铁丝剪成两段后的长度分别是16厘米、4厘米。

（2）不能，解设第一个正方形的边长为xcm，则第二个正方形的边长为cm，围成两个正方形的面积为ycm2，

根据题意，得：，

∵中，a= 2＞0，∴y有最小值，

即当时，=12.5＞12,故两个正方形面积的和不可能是12cm2.

练习1、如图，正方形EFGH的顶点在边长为a的正方形ABCD的边上，若AE=x，正方形EFGH的面积为y.

(1)求出y与x之间的函数关系式；

(2)正方形EFGH有没有最大面积？若有，试确定E点位置；若没有，说明理由.

2、把一边长为40cm的正方形硬纸板，进行适当的剪裁，折成一个长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）。

（1）如图，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方形盒子。

①要使折成的长方体盒子的底面积为484cm2，那么剪掉的正方形的边长为多少？

②折成的长方形盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有，说明理由。

类型三、利用二次函数解决抛物线形建筑物问题

例4、如图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是        .

分析：由图中可以看出，所求抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，可设此函数解析式为：y=ax2，利用待定系数法求解.

解析：设此函数解析式为：

那么（2，-2）应在此函数解析式上．则

即得，那么．

练习1、某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA，O恰在水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上，抛物线形状如图（1）所示.图（2）建立直角坐标系，水流喷出的高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系是.请回答下列问题：

(1)柱子OA的高度是多少米？

(2)喷出的水流距水平面的最大高度是多少米？

(3)若不计其他因素，水池的半径至少要多少米才能使喷出的水流不至于落在池外？

2．一座桥如图，桥下水面宽度AB是20米，高CD是4米.要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米.

（1）如图1，若把桥看做是抛物线的一部分，建立如图坐标系.

①求抛物线的解析式；

②要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米?

（2）如图2，若把桥看做是圆的一部分.

①求圆的半径；

②要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米?

3、卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分．在大桥截面1∶11000的比例图上，跨度AB＝5 cm，拱高OC＝0.9 cm，线段DE表示大桥拱内桥长，DE∥AB，如图（1）．在比例图上，以直线AB为x轴，抛物线的对称轴为y轴，以1 cm作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图（2）．

（1）求出图（2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出自变量的取值范围；

（2）如果DE与AB的距离OM＝0.45 cm，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据：，

计算结果精确到1米）．

4、如图，小明在一次高尔夫球争霸赛中，从山坡下O点打出一球向球洞A点飞去，球的飞行路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大高度12米时，球移动的水平距离为9米．已知山坡OA与水平方向OC的夹角为30o，O、A两点相距8米．

（1）求出点A的坐标及直线OA的解析式；

（2）求出球的飞行路线所在抛物线的解析式；

（3）判断小明这一杆能否把高尔夫球从O点直接打入球洞A点．

类型四、利用二次函数解决动点问题

例5、如图8，如图9，在平行四边形ABCD中，AD=4 cm，∠A=60°，BD⊥AD. 一动点P从A出发，以每秒1 cm的速度沿A→B→C的路线匀速运动，过点P作直线PM，使PM⊥AD .

(1) 当点P运动2秒时，设直线PM与AD相交于点E，求△APE的面积；

(2) 当点P运动2秒时，另一动点Q也从A出发沿A→B→C的路线运动，且在AB上以每秒1 cm的速度匀速运动，在BC上以每秒2 cm的速度匀速运动. 过Q作直线QN，使QN∥PM. 设点Q运动的时间为t秒(0≤t≤10)，直线PM与QN截平行四边形ABCD所得图形的面积为S cm2 .

① 求S关于t的函数关系式；

② 求S的最大值.

解析：(1) 当点P运动2秒时，AP=2 cm，由∠A=60°，知AE=1，PE=.∴ SΔAPE=.

(2) ① 当0≤t≤6时，点P与点Q都在AB上运动，设PM与AD交于点G，QN与AD交于点F，则AQ=t，AF=，QF=，AP=t+2，AG=1+，PG=.

∴ 此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S=.

当6≤t≤8时，点P在BC上运动，点Q仍在AB上运动. 设PM与DC交于点G，QN与AD交于点F，则AQ=t，AF=，DF=4-，QF=，BP=t-6，CP=10-t，PG=，

而BD=，故此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S=.

当8≤t≤10时，点P和点Q都在BC上运动. 设PM与DC交于点G，QN与DC交于点F，则CQ=20-2t，QF=(20-2t)，CP=10-t，PG=.

∴ 此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S=.

故S关于t的函数关系式为

②当0≤t≤6时，S的最大值为

当6≤t≤8时，S的最大值为

当8≤t≤10时，S的最大值为

所以当t=8时，S有最大值为 .  

1、某地区准备筹办特色小商品展销会，芙蓉工艺厂设计一款成本为10元/件的工艺品投放市场进行试销。经过调查，得到如下数据：

（1）已知y与x之间是一次函数关系，求出此函数关系式；

（2）当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（利润=销售总价-成本总价）

2、政府大力支持大学生创业。大学毕业生小明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件30元的学生台灯。销售过程中发现，每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似的看作一次函数：=-10+700.

(1) 小明每月获得的利润为w(元)，试问当销售单价定为多少元时,每月可获得最大利润？

最大利润是多少？

(2) 如果小明想要每月获得3000元的利润，那么销售单价应定为多少元？

3、某汽车租赁公司拥有20辆同类汽车．据统计，当每辆车的日租金为400元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增加50元，未租出的车将增加1辆；公司平均每日的各项支出共4800元．设公司每日租出辆车时，日收益为y元．（日收益=日租金收入一平均每日各项支出）

（1）公司每日租出x辆车时，每辆车的日租金为　     　元（用含x的代数式表示，要求填写化简后的结果）；

（2）当每日租出多少辆时，租赁公司的日收益不盈也不亏？

（3）当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大？最大是多少元？

4、如图在长200米，宽80米的矩形广场内修建等宽的十字形道路，绿地面积()与路宽(m)之间的关系？

5、如图，用50m长的护栏全部用于建造一块靠墙的长方形花园，写出长方形花园的面积()与它与墙平行的边的长(m)之间的函数关系式？当x为多长时，花园面积最大？

6、某隧道横断面由抛物线与矩形的三边组成，尺寸如图10所示。

（1）以隧道横断面抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系，求该抛物线对应的函数关系式；

（2）某卡车空车时能通过此隧道，现装载一集装箱箱宽3m，车与箱共高4.5m，此车能否通过隧道？并说明理由。

7、如图是抛物线型的拱桥，已知水位在AB位置时，水面宽米，水位上升3米就达到警戒水位线CD，这时水面宽米，若洪水到来时，水位以每小时0.25米的速度上升，求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶？

8、如图，某大学的校门是一抛物线形状的水泥建筑物，大门的地面高度为8米，两侧距地面4米高处各有一个挂校名的横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，则校门的高度为        。（精确到0.1米）

9、如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-6)2+h.已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m。

（1）当h=2.6时，求y与x的关系式（不要求写出自变量x的取值范围）

（2）当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；

（3）若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围。

11. 有一个抛物线形拱桥，其最大高度为16m，跨度为40m，现把它的示意图放在平面直角坐标系中，

如图该抛物线的解析式为            。  

12.教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系为y＝－ (x－4)2＋3，由此可知铅球推出的距离是________m.

13、如图，一小孩将一只皮球从A处抛出去，它所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如果他的出手处A距地面的距离OA为1 m，球路的最高点B(8，9)，则这个二次函数的表达式为______，小孩将球抛出了约______米(精确到0.1 m) ．

14、有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4 m，跨度为10 m．如图所示，把它的图形放在直角坐标系中．

（1）          求这条抛物线所对应的函数关系式；

（2）          如图，在对称轴右边1 m处，桥洞离水面的高是多少

22.4 实际问题与二次函数

例1.(1)设每件商品的售价上涨x元(x为正整数)，

则每件商品的利润为：(60−50+x)元，

总销量为：(200−10x)件，

商品利润为：

y=(60−50+x)(200−10x)=(10+x)(200−10x)=−10x2+100x+2000.

∵原售价为每件60元，每件售价不能高于72元，

∴0<x⩽12且x为正整数；

(2)y=−10x2+100x+2000,=−10(x2−10x)+2000,=−10(x−5)2+2250.

故当x=5时，最大月利润y=2250元。

这时售价为60+5=65(元).

练习：1.解答：

（1）y=（30-20+x）（180-10x）=-10x2+80x+1800（0≤x≤5，且x为整数）；
（2）每件商品的售价为34元时，商品的利润最大，为1960元；
（3）售价为32元时，利润为1920元．

2.（1）∴z与x之间的函数解析式为z=−2x2+136x−1800；

(2)由z=350,得350=−2x2+136x−1800，

解这个方程得x1=25,x2=43,

所以，销售单价定为25元或43元，

将z═−2x2+136x−1800配方,得z=−2(x−34)2+512，

因此，当销售单价为34元时，每月能获得最大利润，最大利润是512万元；

(3)当x=32时,每月制造成本最低。最低成本是18×(−2×32+100)=648(万元)，

因此，所求每月最低制造成本为648万元。

例2-练习1：（1） （2）当x取最大值a或最小值0时，y有最大值，此时点E是AB的端点.

练习2：（1）剪掉的正方形的边长为9cm．
（2）侧面积有最大值．
设剪掉的小正方形的边长为acm，盒子的侧面积为ycm2，
则y与a的函数关系为：y=4（40-2a）a，
即y=-8a2+160a，
即y=-8（a-10）2+800，
∴a=10时，y最大=800．
即当剪掉的正方形的边长为10cm时，长方形盒子的侧面积最大为800cm2．

例4-练习1：解答：

(1)当x=0时,y=54，

故OA的高度为1.25米；

(2)∵y=−x2+2x+54=−(x−1)2+2.25，

∴顶点是(1,2.25)，

故喷出的水流距水面的最大高度是2.25米；

(3)B点坐标为(,0)，

∴OB=.

故不计其他因素，水池的半径至少要2.5米，才能使喷出的水流不至于落在水池外。

例4-练习2、(1)①抛物线解析式为：y=−x2+4，

②EF=10米；

(2)①r=14.5；

②宽度EF=4米。

练习3：（1） （2）约385m

练习4、（1）A（12，）（2）（3）不能

课后巩固

1. （1）（2）9000元 2.（1）当销售单价定为50元，每月可获得最大利润4000元，（2）60或40元
2. (1)1400-50x  （2）4辆 （3）14辆最大5000元 4.

5. ，，
6. 
    

（1）所以函数关系式为y=.

（2）如果此车能通过隧道，集装箱处于对称位置，

将x=1.5代入抛物线方程，得y=−0.75，

此时集装箱角离隧道的底为5−0.75=4.25米，不及车与箱总高4.5米，即4.25<4.5.

从而此车不能通过此隧道。

7.12小时

8.约9.1m

9.(1)y与x的关系式为：y=−160(x−6)2+2.6，

(2)球能过球网；但会出界；

(3)若球一定能越过球网,又不出边界,h的取值范围是：h

10.（1） （2）最大面积为300m2

11.  12.10m  13.16.5m 

14.（1） （2）3.84m