初中浙教版4.2 平行四边形课后练习题

2022-2023学年浙教版八年级数学下册平行四边形同步练习

一、单选题

1．已知在平行四边形ABCD中，∠A=36°，则∠C为（　　） 

A．18° B．36° C．72° D．144°

2．在平行四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是（　　） 

A．1：2：3：4 B．1：2：2：1 C．1：2：1：2 D．1：1：2：2

3．下列正确结论的个数是（　　） 

①平行四边形内角和为360°；②平行四边形对角线相等；③平行四边形对角线互相平分；④平行四边形邻角互补．

A．1 B．2 C．3 D．4

4．在▱ABCD中，∠A：∠B：∠C=1：2：1，则∠D等于（　　） 

A．0° B．60° C．120° D．150°

5．如图所示，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE=EB，OE=3，AB=5，▱ABCD的周长（　　） 

A．11 B．13 C．16 D．22

6．如图，在▱ABCD中，已知AD=5cm，AB=3cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC等于（　　） 

A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm

7．如图，下列选项中能使平行四边形ABCD是菱形的条件有（　　） 

①AC⊥BD ②BA⊥AD ③AB=BC ④AC=BD．

A．①③ B．②③ C．③④ D．①②③

8．已知▱ABCD的周长是18，连接AC，若△ABC的周长是14，则对角线AC的长是（　　） 

A．5 B．6 C．7 D．8

9．△ABC与▱DEFG如图放置，点D，G分别在边AB，AC上，E，F在BC上，已知BE=DE，CF=FG，则∠A的度数为（　　） 

A．80° B．90° C．100° D．110°

10．平行四边形ABCD中，对角线AC=12，BD=8，交点为点O，则边AB的取值范围为（　　） 

A．1＜AB＜2 B．2＜AB＜10 C．4＜AB＜10 D．4＜AB＜20

11．如图，点E是▱ABCD的边CD的中点，AD，BE的延长线相交于点F，DF=3，DE=2，则▱ABCD的周长为（　　） 

A．5 B．7 C．10 D．14

12．如图，在▱ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交DC的延长线于点E，CE的长为（　　） 

A．2 B．3 C．4 D．2.5

13．在▱ABCD中，∠D、∠C的度数之比为3：1，则∠A等于（　　） 

A．45° B．135° C．50° D．130°

14．顺次连接一个四边形的各边中点，得到了一个矩形，则下列四边形①平行四边形；②菱形；③对角线互相垂直的四边形；④对角线相等的四边形，满足条件的是（　　） 

A．①③④ B．②③ C．①②④ D．①②③

二、填空题

15．平行四边形ABCD的周长为30 cm，AB：BC=2：3，则AB=　     　． 

16．如图，平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标分别是（0，0）、（5，0）、（2，3），则顶点C的坐标是　         　．

17．▱ABCD的对角线相交于点O，BC=7，BD=10，AC=6，则△AOD的周长是　     　． 

18．平行四边形ABCD的周长为20cm，对角线AC、BD相交于点O，若△BOC的周长比△AOB的周长大2cm，则CD=　     　cm． 

19．如图，AB=CD，AD=BC，∠1=50°，∠2=24°，则∠B的度数是　     　度． 

三、综合题

20．如图，平行四边形ABCD中，AD＞AB 

（1）分别作∠ABC和∠BCD的平分线，交AD于E、F． 

（2）线段AF与DE相等吗？请证明． 

21．如图，在▱ABCD中，AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC，交CD于点E、F，AE、BF相交于点M． 

（1）试说明：AE⊥BF； 

（2）判断线段DF与CE的大小关系，并予以说明． 

22．图1，图2都是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点成为格点，每个小正方形的边长均为1，在每个正方形网格中标注了6个格点，这6个格点简称为标注点 

（1）请在图1，图2中，以4个标注点为顶点，各画一个平行四边形（两个平行四边形不全等）； 

（2）图1中所画的平行四边形的面积为　     　． 

23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．

（1）求证：CE=AD；

（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；

（3）若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．

24．已知矩形OABC中，OA=3，AB=6，以OA，OC所在的直线为坐标轴，建立如图1的平面直角坐标系．将矩形OABC绕点O顺时针方向旋转，得到矩形ODEF，当点B在直线DE上时，设直线DE和x轴交于点P，与y轴交于点Q．

（1）求证：△BCQ≌△ODQ；

（2）求点P的坐标；

（3）若将矩形OABC向右平移（图2），得到矩形ABCG，设矩形ABCG与矩形ODEF重叠部分的面积为S，OG=x，请直接写出x≤3时，S与x之间的函数关系式，并且写出自变量x的取值范围．

25．在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．

（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图①），求证：△AEG≌△AEF；

（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图②），求证：EF2=ME2+NF2；

（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图③），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．

答案解析部分

1．【答案】B

2．【答案】C

3．【答案】C

4．【答案】C

5．【答案】D

6．【答案】B

7．【答案】A

8．【答案】A

9．【答案】B

10．【答案】B

11．【答案】D

12．【答案】B

13．【答案】A

14．【答案】B

15．【答案】6

16．【答案】（7，3）

17．【答案】15

18．【答案】4

19．【答案】106

20．【答案】（1）解： 

（2）解：AF与DE相等．理由如下： 

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=DC，AD=BC．

∵AD∥BC，BE平分∠ABC，

∴∠ABE=∠AEB，

∴AE=AB．

∵CF平分∠BCD，

∴∠DCF=∠FCB，

∴∠DCF=∠DFC，

∴DF=DC，

∴AF=DE．

21．【答案】（1）解：方法一：如图①， 

∵在▱ABCD中，AD∥BC，

∴∠DAB+∠ABC=180°．

∵AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC，

∴∠DAB=2∠BAE，∠ABC=2∠ABF．

∴2∠BAE+2∠ABF=180°．

即∠BAE+∠ABF=90°．

∴∠AMB=90°．

∴AE⊥BF．

方法二：如图②，延长BC、AE相交于点P，

∵在▱ABCD中，AD∥BC，

∴∠DAP=∠APB．

∵AE平分∠DAB，

∴∠DAP=∠PAB．

∴∠APB=∠PAB．

∴AB=BP．

∵BF平分∠ABP，

∴AP⊥BF，

即AE⊥BF

（2）解：方法一：线段DF与CE是相等关系，即DF=CE， 

∵在▱ABCD中，CD∥AB，

∴∠DEA=∠EAB．

又∵AE平分∠DAB，

∴∠DAE=∠EAB．

∴∠DEA=∠DAE．

∴DE=AD．

同理可得，CF=BC．

又∵在▱ABCD中，AD=BC，

∴DE=CF．

∴DE﹣EF=CF﹣EF．

即DF=CE．

方法二：如图，延长BC、AE设交于点P，延长AD、BF相交于点O，

∵在▱ABCD中，AD∥BC，

∴∠DAP=∠APB．

∵AE平分∠DAB，

∴∠DAP=∠PAB．

∴∠APB=∠PAB．

∴BP=AB．

同理可得，AO=AB．

∴AO=BP．

∵在▱ABCD中，AD=BC，

∴OD=PC．

又∵在▱ABCD中，DC∥AB，

∴△ODF∽△OAB，△PCE∽△PBA．

∴ = ， = ．

∴DF=CE．

22．【答案】（1）解：如图1，如图2； 

（2）6

23．【答案】（1）证明：∵DE⊥BC，

∴∠DFB=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠ACB=∠DFB，

∴AC∥DE，

∵MN∥AB，即CE∥AD，

∴四边形ADEC是平行四边形，

∴CE=AD；

（2）解：四边形BECD是菱形，

理由是：∵D为AB中点，

∴AD=BD，

∵CE=AD，

∴BD=CE，

∵BD∥CE，

∴四边形BECD是平行四边形，

∵∠ACB=90°，D为AB中点，

∴CD=BD，

∴▱四边形BECD是菱形；

（3）当∠A=45°时，四边形BECD是正方形，理由是：

解：∵∠ACB=90°，∠A=45°，

∴∠ABC=∠A=45°，

∴AC=BC，

∵D为BA中点，

∴CD⊥AB，

∴∠CDB=90°，

∵四边形BECD是菱形，

∴菱形BECD是正方形，

即当∠A=45°时，四边形BECD是正方形．

24．【答案】（1）证明：∵四边形OABC和四边形ODEF是矩形，

∴∠BCQ=∠ODE=∠ODQ=90°，BC=OD=3，

∵在△BCQ和△ODQ中

∴△BCQ≌△ODQ；

（2）解：∵△BCQ≌△ODQ，

∴CQ=DQ，

在Rt△ODQ中，∠ODQ=90°，OD=3，由勾股定理得：OQ2=OD2+DQ2，

则OQ2=（6﹣OQ）2+32，

解得：OQ= ，DQ= ，

即Q的坐标是（0， ），

∵矩形ABCO的边AB=6，OA=3，

∴B的坐标是（﹣3，6），

设直线BD的解析式是y=kx+ ，

把B的坐标代入得：k=﹣ ，

即直线BD的解析式是y=﹣ x+ ，

把y=0代入得：﹣ x+ =0，

解得：x=5，

即P的坐标是（5，0）；

（3）解：

过D作DM⊥OP于M，如图1，

∵∠DMO=∠ODQ=90°，OQ∥DM，

∴∠QOD=∠MDO，

∴△QDO∽△OMD，

∴ = = ，

∴ = = ，

即得：OM= ，DM= ，

OG=x，x≤3，

分为两种情况：①如图2，当0≤x≤ 时，

∵DM= ，OM= ，OG=x，CG∥DM，

∴△ONG∽△ODM，

∴ = ，

NG= x，

∴S= ×OG×GN= •x• x，

S= x2；

②如图3，当 ＜x≤3时，

在Rt△ODP中，由勾股定理得：PD= =4，

∵DM= ，OM= ，

∴PM=5﹣ = ，

∵OG=x，CG∥DM，

∴△PGN∽△PMD，

∴ = ，

∴NG= （5﹣x），

∴S=S△ADP﹣S△PGN= ×3×4﹣ •（5﹣x） （5﹣x），

S=﹣ x2+ x﹣ ，

即S和x的函数关系式是S= x2（0≤x≤ ）和S=﹣ x2+ x﹣ （ ＜x≤3）．

25．【答案】（1）证明：∵△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，

∴AF=AG，∠FAG=90°，

∵∠EAF=45°，

∴∠GAE=45°，

在△AGE与△AFE中，

，

∴△AGE≌△AFE（SAS）

（2）证明：设正方形ABCD的边长为a．

将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，连结GM．

则△ADF≌△ABG，DF=BG．

由（1）知△AEG≌△AEF，

∴EG=EF．

∵∠CEF=45°，

∴△BME、△DNF、△CEF均为等腰直角三角形，

∴CE=CF，BE=BM，NF= DF，

∴a﹣BE=a﹣DF，

∴BE=DF，

∴BE=BM=DF=BG，

∴∠BMG=45°，

∴∠GME=45°+45°=90°，

∴EG2=ME2+MG2，

∵EG=EF，MG= BM= DF=NF，

∴EF2=ME2+NF2

（3）解：EF2=2BE2+2DF2．

如图所示，延长EF交AB延长线于M点，交AD延长线于N点，

将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△AGH，连结HM，HE．

由（1）知△AEH≌△AEF，

则由勾股定理有（GH+BE）2+BG2=EH2，

即（GH+BE）2+（BM﹣GM）2=EH2

又∴EF=HE，DF=GH=GM，BE=BM，所以有（GH+BE）2+（BE﹣GH）2=EF2，

即2（DF2+BE2）=EF2