浙教版八年级下册第五章 特殊平行四边形5.2 菱形综合训练题

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浙教版八年级数学下册《5-2菱形》同步练习题
一．选择题
1．若菱形的两条对角线的长分别为6和10，则菱形的面积为（　　）
A．15 B．24 C．30 D．60
2．如图，由两个长为8，宽为4的全等矩形叠合而得到四边形ABCD，则四边形ABCD面积的最大值是（　　）

A．15 B．16 C．19 D．20
3．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形AECF．若AB＝3，则菱形AECF的面积为（　　）

A．1 B．2 C．2 D．4
4．如图，分别以直角△ABC的斜边AB，直角边AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，F为AB的中点，DE与AB交于点G，EF与AC交于点H，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°．给出如下结论：
①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD＝4AG；④FH＝BD；
其中正确结论的是（　　）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
5．如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，以A为圆心，AB长为半径画弧交AD于F，若BF＝12，AB＝10，则AE的长为（　　）

A．16 B．15 C．14 D．13
6．如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上一动点，过点P作PE⊥BC于点E．PF⊥AB于点F．若菱形ABCD的周长为20，面积为24，则PE+PF的值为（　　）

A．4 B． C．6 D．
7．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，E是边AD的中点，过点E作EF⊥BD，EG⊥AC，点F，G为垂足，若AC＝10，BD＝24，则FG的长为（　　）

A．5 B．6.5 C．10 D．12
8．如图，在菱形ABCD中，AB＝5cm，∠ADC＝120°，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB、CB方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为（　　）

A． B． C． D．
9．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝20°，则∠DHO的度数是（　　）

A．20° B．25° C．30° D．40°

10．如图，已知菱形ABCD的边长为6，点M是对角线AC上的一动点，且∠ABC＝120°，则MA+MB+MD的最小值是（　　）

A． B．3+3 C．6+ D．
二．填空题
11．一个平行四边形的一条边长为3，两条对角线的长分别为4和2，则它的面积为　 　．
12．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AB＝AD，连接BD，作∠BAD角平分线AE交BD、BC于点F、E．若EC＝3，CD＝4，那么AE长为 　 　．

13．已知在平面直角坐标系中，点A、B、C、D的坐标依次为（﹣1，0），（m，n），（﹣1，10），（﹣7，p），且p≤n．若以A、B、C、D四个点为顶点的四边形是菱形，则n的值是　 　．
14．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BD，连接BG、DF．若AG＝13，CF＝6，则四边形BDFG的周长为　 　．

15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝10cm，点P从点B出发，沿BA方向以每秒cm的速度向终点A运动；同时，动点Q从点C出发沿CB方向以每秒1cm的速度向终点B运动，将△BPQ沿BC翻折，点P的对应点为点P′，设Q点运动的时间为t秒，当四边形QPBP′为菱形时t的值为　 　．

三．解答题
16．如图，四边形ABCD中，BD垂直平分AC，垂足为点E，点F为四边形ABCD外一点，DA平分∠BDF，∠ADF＝∠BAD，且AF⊥AC．
（1）求证：四边形ABDF是菱形；
（2）若AB＝5，求AC的长．

17．如图，在平行四边形ABCD中，P是对角线BD上的一点，过点C作CQ∥DB，且CQ＝DP，连接AP、BQ、PQ．
（1）求证：△APD≌△BQC；
（2）若∠ABP+∠BQC＝180°，求证：四边形ABQP为菱形．

18．将两张完全相同的矩形纸片ABCD、FBED按如图方式放置，BD为重合的对角线．重叠部分为四边形DHBG，
（1）试判断四边形DHBG为何种特殊的四边形，并说明理由；
（2）若AB＝8，AD＝4，求四边形DHBG的面积．

19．如图，已知▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，且∠1＝∠2．
（1）求证：▱ABCD是菱形．
（2）F为AD上一点，连接BF交AC于E，且AE＝AF，若AF＝3，AB＝5，求AO的长．

20．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：∠DAC＝∠DCA；
（2）求证：四边形ABCD是菱形；
（3）若AB＝，BD＝2，求OE的长．

21．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝40cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤10）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．
（1）四边形AEFD能构成菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；
（2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．


参考答案
一．选择题
1．解：菱形的面积＝×6×10＝30，
故选：C．
2．解：如图1，作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，
，
∵AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵两个矩形的宽都是4，
∴AE＝AF＝4，
∵S四边形ABCD＝AE•BC＝AF•CD，
∴BC＝CD，
∴平行四边形ABCD是菱形．
如图2，当菱形的一条对角线为矩形的对角线时，四边形ABCD的面积最大，
，
设AB＝BC＝x，则BE＝8﹣x，
∵BC2＝BE2+CE2，
∴x2＝（8﹣x）2+42，
解得x＝5，
∴四边形ABCD面积的最大值是：
5×4＝20，
故选：D．
3．解：∵四边形AECF是菱形，AB＝3，
∴假设BE＝x，则AE＝3﹣x，CE＝3﹣x，
∵四边形AECF是菱形，
∴∠FCO＝∠ECO，
∵∠ECO＝∠ECB，
∴∠ECO＝∠ECB＝∠FCO＝30°，
2BE＝CE，
∴CE＝2x，
∴2x＝3﹣x，
解得：x＝1，
∴CE＝2，利用勾股定理得出：
BC2+BE2＝EC2，
BC＝＝＝，
又∵AE＝AB﹣BE＝3﹣1＝2，
则菱形的面积是：AE•BC＝2．
故选：C．

4．解：∵△ACE是等边三角形，
∴∠EAC＝60°，AE＝AC，
∵∠BAC＝30°，
∴∠FAE＝∠ACB＝90°，AB＝2BC，
∵F为AB的中点，
∴AB＝2AF，
∴BC＝AF，
∴△ABC≌△EFA，
∴FE＝AB，
∴∠AEF＝∠BAC＝30°，
∴EF⊥AC，故①正确，
∵EF⊥AC，∠ACB＝90°，
∴HF∥BC，
∵F是AB的中点，
∴HF＝BC，
∵BC＝AB，AB＝BD，
∴HF＝BD，故④说法正确；
∵AD＝BD，BF＝AF，
∴∠DFB＝90°，∠BDF＝30°，
∵∠FAE＝∠BAC+∠CAE＝90°，
∴∠DFB＝∠EAF，
∵EF⊥AC，
∴∠AEF＝30°，
∴∠BDF＝∠AEF，
∴△DBF≌△EFA（AAS），
∴AE＝DF，
∵FE＝AB，
∴四边形ADFE为平行四边形，
∵AE≠EF，
∴四边形ADFE不是菱形；
故②说法不正确；
∴AG＝AF，
∴AG＝AB，
∵AD＝AB，
则AD＝4AG，故③说法正确，
故选：C．

5．解：连接EF，AE与BF交于点O，如图，
∵AO平分∠BAD，
∴∠1＝∠2，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AF∥BE，
∴∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，
∴AB＝EB，
同理：AF＝BE，
又∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∴四边形ABEF是菱形，
∴AE⊥BF，OB＝OF＝6，OA＝OE，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：OA＝＝＝8，
∴AE＝2OA＝16．
故选：A．

6．解：连接BP，如图，
∵四边形ABCD为菱形，菱形ABCD的周长为20，
∴BA＝BC＝5，S△ABC＝S菱形ABCD＝12，
∵S△ABC＝S△PAB+S△PBC，
∴×5×PE+×5×PF＝12，
∴PE+PF＝，
故选：B．

7．解：连接OE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC＝5，OB＝OD＝12，AC⊥BD，
在Rt△AOD中，AD＝，
又∵E是边AD的中点，
∴，
∵EF⊥BD，EG⊥AC，AC⊥BD，
∴∠EFO＝90°，∠EGO＝90°，∠GOF＝90°，
∴四边形EFOG为矩形，
∴FG＝OE＝6.5．
故选：B．

8．解：连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠ADB＝∠ADC＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AD＝BD，
又∵△DEF是等边三角形，
∴∠EDF＝∠DEF＝60°，
又∵∠ADB＝60°，
∴∠ADE＝∠BDF，
在△ADE和△BDF中，，
∴△ADE≌△BDF（ASA），
∴AE＝BF，
∵AE＝t，CF＝2t，
∴BF＝BC﹣CF＝5﹣2t，
∴t＝5﹣2t
∴t＝，
故选：D．

9．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OD＝OB，AB∥CD，BD⊥AC，
∵DH⊥AB，
∴DH⊥CD，∠DHB＝90°，
∴OH为Rt△DHB的斜边DB上的中线，
∴OH＝OD＝OB，
∴∠1＝∠DHO，
∵DH⊥CD，
∴∠1+∠2＝90°，
∵BD⊥AC，
∴∠2+∠DCO＝90°，
∴∠1＝∠DCO，
∴∠DHO＝∠DCA，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DA＝DC，
∴∠CAD＝∠DCA＝20°，
∴∠DHO＝20°，
故选：A．

10．解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，连接BD，

∵菱形ABCD中，∠ABC＝120°，
∴∠DAB＝60°，AD＝AB＝DC＝BC，
∴△ADB是等边三角形，
∴∠MAE＝30°，
∴AM＝2ME，
∵MD＝MB，
∴MA+MB+MD＝2ME+2DM＝2DE，
根据垂线段最短，此时DE最短，即MA+MB+MD最小，
∵菱形ABCD的边长为6，
∴DE＝＝＝3，
∴2DE＝6．
∴MA+MB+MD的最小值是6．
故选：D．
二．填空题
11．解：∵平行四边形两条对角线互相平分，
∴它们的一半分别为2和，
∵22+（）2＝32，
∴两条对角线互相垂直，
∴这个四边形是菱形，
∴S＝4×2＝4．
故答案为：4．
12．解：连接DE．

在直角三角形CDE中，EC＝3，CD＝4，根据勾股定理，得DE＝5．
∵AB＝AD，AE⊥BD，
∴AE垂直平分BD，∠BAE＝∠DAE．
∴DE＝BE＝5．
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE＝5，
∴BC＝BE+EC＝8，
∴四边形ABED是菱形，
由勾股定理得出BD＝，
∴OE＝，
∴AE＝2OE＝2，
故答案为：2．
13．解：如图所示：当B（﹣7，2），B′（﹣7，5）时，都可以得到以A、B、C、D四个点为顶点的四边形是菱形，
同理可得：当D（﹣7，8）则对应点C的坐标为；（﹣7，18）可以得到以A、B、C、D四个点为顶点的四边形是菱形，
故n的值为：2，5，18．
故答案为：2，5，18．

14．解：∵AG∥BD，BD＝FG，
∴四边形BGFD是平行四边形，
∵CF⊥BD，
∴CF⊥AG，
又∵点D是AC中点，
∴BD＝DF＝AC，
∴四边形BGFD是菱形，
设GF＝x，则AF＝13﹣x，AC＝2x，
∵在Rt△ACF中，∠CFA＝90°，
∴AF2+CF2＝AC2，即（13﹣x）2+62＝（2x）2，
解得：x＝5，
故四边形BDFG的周长＝4GF＝20．
故答案为：20．
15．解：如图，连接PP′交BQ于D，
∵四边形QPBP′为菱形，
∴PP′⊥BQ，BD＝DQ，
∵点Q的速度是每秒1cm，
∴BD＝BQ＝（10﹣t）cm，
过点P作PO⊥AC于O，
则四边形CDPO是矩形，
∴CD＝PO，
∵∠C＝90°，AC＝BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠A＝45°，
∴PO＝AP，
∵点P的运动速度是每秒cm，
∴PO＝×（10﹣t）＝（10﹣t）cm，
∴10﹣t＝10﹣（10﹣t），
解得t＝．
故答案为：．

三．解答题
16．（1）证明：∵∠ADF＝∠BAD，
∴AB∥DF，
∵AF⊥AC，BD⊥AC，
∴AF∥BD，
∴四边形ABDF是平行四边形；
∵DA平分∠BDF，
∴∠ADF＝∠BDA，
∴∠BAD＝∠BDA，
∴BD＝AB，
∴四边形ABDF是菱形．

（2）解：∵DA平分∠BDF，
∴∠ADF＝∠BDA，
∵BD垂直平分线段AC，
∴DA＝DC，
∴∠ADB＝∠BDC＝∠ADF，
∵DA＝DF＝DC，
∴∠DAF＝∠F，∠DAC＝∠DCA，
∴∠ADC＝180°﹣2∠DAC，∠ADF＝180°﹣2∠DAF，
∵∠DAF+∠DAC＝90°，
∴∠ADF+∠ADC＝360°﹣2（∠DAC+∠DAF）＝180°，
∴C，D，F三点共线，
∴∠ADB＝∠BDC＝∠ADF＝60°，
∵FA＝FD，
∴△ADF是等边三角形，
∴AF＝DF＝CD＝5，
∵∠FAC＝90°，
∴AC＝＝5．

17．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵CQ∥DB，
∴∠BCQ＝∠DBC，
∴∠ADB＝∠BCQ
∵DP＝CQ，
∴△ADP≌△BCQ．
（2）证明：∵CQ∥DB，且CQ＝DP，
∴四边形CQPD是平行四边形，
∴CD＝PQ，CD∥PQ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴AB＝PQ，AB∥PQ，
∴四边形ABQP是平行四边形，
∵△ADP≌△BCQ，
∴∠APD＝∠BQC，
∵∠APD+∠APB＝180°，∠ABP+∠BQC＝180°，
∴∠ABP＝∠APB，
∴AB＝AP，
∴四边形ABQP是菱形．

18．解：（1）四边形DHBG是菱形．理由如下：
∵四边形ABCD、FBED是完全相同的矩形，
∴∠A＝∠E＝90°，AD＝ED，AB＝EB．
在△DAB和△DEB中，，
∴△DAB≌△DEB（SAS），
∴∠ABD＝∠EBD．
∵AB∥CD，DF∥BE，
∴四边形DHBG是平行四边形，∠HDB＝∠EBD，
∴∠HDB＝∠HBD，
∴DH＝BH，
∴▱DHBG是菱形．
（2）由（1），设DH＝BH＝x，则AH＝8﹣x，
在Rt△ADH中，AD2+AH2＝DH2，即42+（8﹣x）2＝x2，
解得：x＝5，即BH＝5，
∴菱形DHBG的面积为HB•AD＝5×4＝20．

19．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠2＝∠ACB，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠ACB，
∴AB＝CB，
∴▱ABCD是菱形．
（2）解：由（1）得：▱ABCD是菱形，
∴BC＝AB＝5，AO＝CO，
∵AD∥BC，
∴∠AFE＝∠CBE，
∵AE＝AF＝3，
∴∠AFE＝∠AEF，
又∵∠AEF＝∠CEB，
∴∠CBE＝∠CEB，
∴CE＝BC＝5，
∴AC＝AE+CE＝3+5＝8，
∴AO＝AC＝4．
20．（1）证明：∵AB∥DC，
∴∠OAB＝∠DCA，
∵AC平分∠BAD，
∴∠OAB＝∠DAC，
∴∠DAC＝∠DCA；
（2）证明：∵∠DAC＝∠DCA，AB＝AD，
∴CD＝AD＝AB，
∵AB∥DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴▱ABCD是菱形；
（3）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，OB＝OD，BD⊥AC，
∵CE⊥AB，
∴OE＝OA＝OC，
∵BD＝2，
∴OB＝BD＝1，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：OA＝＝＝2，
∴OE＝OA＝2．
21．（1）证明：能．
理由如下：在△DFC中，∠DFC＝90°，∠C＝30°，DC＝4t，
∴DF＝2t，
又∵AE＝2t，
∴AE＝DF，
∵AB⊥BC，DF⊥BC，
∴AE∥DF，
又∵AE＝DF，
∴四边形AEFD为平行四边形，
当AE＝AD时，四边形AEFD为菱形，
即40﹣4t＝2t，解得t＝．
∴当t＝秒时，四边形AEFD为菱形．
（2）①当∠DEF＝90°时，由（1）知四边形AEFD为平行四边形，
∴EF∥AD，
∴∠ADE＝∠DEF＝90°，
∵∠A＝60°，
∴∠AED＝30°，
∴AD＝AE＝t，
又AD＝40﹣4t，即40﹣4t＝t，解得t＝8；
②当∠EDF＝90°时，四边形EBFD为矩形，在Rt△AED中∠A＝60°，则∠ADE＝30°，
∴AD＝2AE，即40﹣4t＝4t，解得t＝5．
③若∠EFD＝90°，则E与B重合，D与A重合，此种情况不存在．
综上所述，当t＝8或5秒时，△DEF为直角三角形．