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初中浙教版第五章 特殊平行四边形5.2 菱形同步练习题
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这是一份初中浙教版第五章 特殊平行四边形5.2 菱形同步练习题，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共13小题）
1. 下列命题中，是真命题的是
A. 两条对角线相等的四边形是矩形
B. 两条对角线互相平分且相等的四边形是矩形
C. 两条对角线互相垂直且相等的四边形是菱形
D. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形
2. 下列命题是假命题的是
A. 四个角相等的四边形是矩形
B. 对角线相等的平行四边形是矩形
C. 对角线互相垂直的四边形是菱形
D. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
3. 如图，四边形 ABCD 中，AC=a，BD=b，且 AC⊥BD，顺次连接四边形 ABCD 各边中点，得到四边形 A1B1C1D1，再顺次连接四边形 A1B1C1D1 各边中点，得到四边形 A2B2C2D2，如此进行下去，得到四边形 AnBnCnDn．下列结论正确的是
①四边形 A4B4C4D4 是菱形；
②四边形 A3B3C3D3 是矩形；
③四边形 A7B7C7D7 周长为 a+b8；
④四边形 AnBnCnDn 面积为 a⋅b2n．
A. ①②③B. ②③④C. ①③④D. ①②③④
4. 如图，菱形 ABCD 中，E，F 分别是 AD，BD 的中点，若 EF=5，则菱形 ABCD 的周长为
A. 20B. 30C. 40D. 50
5. 下列命题正确的是
A. 对角线互相平分的四边形是菱形
B. 对角线互相平分且相等的四边形是菱形
C. 对角线互相垂直且相等的四边形是菱形
D. 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形
6. 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，且 AC≠BD，则图中全等三角形有
A. 4 对B. 6 对C. 8 对D. 10 对
7. 下列命题中，假命题的是
A. 矩形的四个角都相等B. 菱形的四条边都相等
C. 矩形的对角线相等且平分D. 菱形的对角线相等且垂直
8. 菱形的两条对角线的长分别是 6 和 8，则这个菱形的周长是
A. 24B. 20C. 10D. 25
9. 矩形具有而菱形不一定具有的的性质是
A. 四条边都相等B. 对角线平分每一组对角
C. 两条对角线互相垂直D. 两条对角线相等
10. 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，H 为 BC 中点，AC=6，BD=8．则线段 OH 的长为
A. 5B. 3C. 125D. 52
11. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知菱形 ABCD 的顶点 A，B 的坐标分别为 -3,0，3,0，点 D 在 y 轴上，则点 C 的坐标是
A. 33,6B. 6,33C. 6,3D. 6,23
12. 菱形和矩形都具有的性质是
A. 对角线互相垂直B. 对角线长度相等
C. 对角线平分一组对角D. 对角线互相平分
13. 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，H 为 BC 中点，AC=6，BD=8，则线段 OH 的长为：
A. 125B. 52C. 3D. 5
二、填空题（共6小题）
14. 如果一个菱形的一条边长为 2 cm，那么这个菱形的周长为 cm．
15. 已知菱形的两条对角线的长分别为 23 和 2，那么这个菱形的边长是 ．
16. 菱形 ABCD 的周长为 20 cm，∠DAB 与 ∠ABC 的度数之比为 1:2，对角线 BD 的长是 cm．
17. 已知菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AB=13 cm，AO=5 cm，那么 AC 和 BD 的长分别等于 ．
18. 如图，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为 16 cm．若墙上钉子间的距离 AB=BC=16 cm，则 ∠1= 度．
19. 如图，在菱形 ABCD 中，M，N 分别在 AB，CD 上，且 AM=CN，MN 与 AC 交于点 O，连接 BO，若 ∠DAC=28∘，则 ∠OBC 的度数为 ．
三、解答题（共6小题）
20. 如图，在菱形 ABCD 中，BD 为对角线，点 E 为 BD 上的点，求证：∠DAE=∠DCE．
21. 如图，已知四边形 ABCD 是平行四边形，点 E，F 分别是 AB，BC 上的点，AE=CF，并且 ∠AED=∠CFD．求证：
（1）△AED≌△CFD；
（2）四边形 ABCD 是菱形．
22. 已知菱形的一条边与它的两条对角线所成的两个角的大小的比为 3:2，求这个菱形的各个内角的度数．
23. 如图，已知菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AE 垂直且平分边 CD，垂足为 E．求 ∠BCD 的度数．
24. 如图，在四边形 ABCD 中，AB∥DC，AB=AD，对角线 AC，BD 交于点 O，AC 平分 ∠BAD，过点 C 作 CE⊥AB 交 AB 的延长线于点 E，连接 OE．
（1）求证：四边形 ABCD 是菱形；
（2）若 AB=5，BD=2，求 OE 的长．
25. 如图，矩形 OABC 的顶点 A，C 分别在 x，y 的正半轴上，点 B 的坐标为 3,4，一次函数 y=-23x+b 的图象与边 OC，AB 分别交于点 D，E，并且满足 OD=BE．点 M 是线段 DE 上的一个动点．
（1）求 b 的值；
（2）连接 OM，若三角形 ODM 的面积与四边形 OAEM 的面积之比为 1:3，求点 M 的坐标；
（3）设点 N 是 x 轴上方平面内的一点，以 O，D，M，N 为顶点的四边形是菱形，求点 N 的坐标．
答案
1. B
2. C
【解析】A选项：四个角相等的四边形是矩形，故A正确；
B选项：对角线相等的平行四边形是矩形，故B正确；
C选项：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故C错误；
D选项：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故D正确．
3. A
【解析】∵ 四边形 A1B1C1D1 是矩形，四边形 A2B2C2D2 是菱形，
∴ 四边形 AnBnCnDn，当 n 为奇数时，四边形为矩形；当 n 为偶数时，四边形为菱形．
四边形 A1B1C1D1 的周长是 a+b，四边形 A3B3C3D3 的周长是 a+b2，四边形 A5B5C5D5 的周长是 a+b4，四边形 A7B7C7D7 的周长是 a+b8．
四边形 A1B1C1D1 的面积是 14ab，四边形 A2B2C2D2 的面积是 18ab，四边形 A3B3C3D3 的面积是 116ab，⋯，四边形 AnBnCnDn 的面积是 12n+1ab．
4. C
【解析】∵E，F 分别是 AD，BD 的中点，
∴EF 为 △ABD 的中位线，
∴AB=2EF=2×5=10，
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴AD=CD=BC=AB=10，
∴ 菱形 ABCD 的周长为 10×4=40．
5. D
6. C
7. D
8. B
【解析】如图所示：
∵ 四边形 ABCD 是菱形，BD=8，AC=6，
∴AC⊥BD，OA=OC=3，OD=OB=4，AB=BC=CD=AD，
在 Rt△AOD 中，AD=OA2+OD2=5，
∴ 菱形 ABCD 的周长为：4×5=20，
故选：B．
9. D
10. D
11. B
12. D
13. B
14. 8
15. 2
16. 5
17. 10 cm；24 cm
18. 120∘
19. 62∘
【解析】因为 四边形 ABCD 为菱形，
所以 AB∥CD，AB=BC，
所以 ∠MAO=∠NCO，∠AMO=∠CNO，
在 △AMO 和 △CNO 中，
∠MAO=∠NCO,AM=CN,∠AMO=∠CNO.
所以 △AMO≌△CNOASA，
所以 AO=CO，
因为 AB=BC，
所以 BO⊥AC，
所以 ∠BOC=90∘，
因为 ∠DAC=28∘，
所以 ∠BCA=∠DAC=28∘，
所以 ∠OBC=90∘-28∘=62∘．
20. ∵ 四边形 ABCD 为菱形，
∴AD=CD，∠ADB=∠CDB，
在 △ADE 与 △CDE 中，
AD=CD,∠ADE=∠CDE,DE=DE,
∴△ADE≌△CDESAS，
∴∠DAE=∠DCE．
21. （1） ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴∠A=∠C．
在 △AED 与 △CFD 中，
∠A=∠C,AE=CF,∠AED=∠CFD.
∴△AED≌△CFDASA．
（2） 由（1）知，△AED≌△CFD，则 AD=CD．
又 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ 四边形 ABCD 是菱形．
22. 提示：由题意可设这两个角的度数分别是 3x，2x，
则 2x+3x=90，
解得 x=18，
∴ 菱形四个内角的度数分别是 4x，6x，4x，6x，即 72∘，108∘，72∘，108∘．
23. 由条件可推出 AC=AD，即 △ACD，△ACB 都是等边三角形，于是可得 ∠BCD=120∘．
24. （1） ∵AB∥CD，
∴∠CAB=∠ACD．
∵AC 平分 ∠BAD．
∴∠CAB=∠CAD．
∴∠CAD=∠ACD．
∴AD=CD．
又 ∵AD=AB，
∴AB=CD．
又 ∵AB∥CD，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形．
又 ∵AB=AD，
∴ 平行四边形 ABCD 是菱形．
（2） ∵ 四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC，BD 交于点 O，
∴AC⊥BD，OA=OC=12AC，OB=OD=12BD．
∴OB=12BD=1．
在 Rt△AOB 中，∠AOB=90∘．
∴OA=AB2-OB2=2．
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90∘．
在 Rt△AEC 中，∠AEC=90∘，O 为 AC 中点．
∴OE=12AC=OA=2．
25. （1） y=-23x+b 中，令 x=0，解得 y=b，则 D 的坐标是 0,b，OD=b，
∵OD=BE，
∴BE=b，则 E 的坐标是 3,4-b，
把 E 的坐标代入 y=-23x+b 得 4-b=-2+b，
解得：b=3．
∴y=-23x+3．
（2） S四边形OAED=12OD+AE⋅OA=12×3+1×3=6，
∵ 三角形 ODM 的面积与四边形 OAEM 的面积之比为 1:3，
∴S△ODM=1.5．
设 M 的横坐标是 a，则 12×3a=1.5，
解得：a=1，
把 x=a=1 代入 y=-23x+3 得 y=-23×1+3=73．
则 M 的坐标是 1,73．
（3） 当四边形 OMDN 是菱形时，如图（1），
M 的纵坐标是 32，把 y=32 代入 y=-23x+3，得 -23x+3=32，解得：x=94，
则 M 的坐标是 94,32，
则 N 的坐标是 -94,32；
当四边形 OMND 是菱形时，如图（2），
OM=OD=3，设 M 的横坐标是 m，则纵坐标是 -23m+3，
则 m2+-23m+32=9，
解得：m=3613或0舍去．
则 M 的坐标是 3613,1513．
则 DM 的中点是 1813,2713．
则 N 的坐标是 3613,5413．
故 N 的坐标是 -94,32 或 3613,5413．
一、选择题（共13小题）
1. 下列命题中，是真命题的是
A. 两条对角线相等的四边形是矩形
B. 两条对角线互相平分且相等的四边形是矩形
C. 两条对角线互相垂直且相等的四边形是菱形
D. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形
2. 下列命题是假命题的是
A. 四个角相等的四边形是矩形
B. 对角线相等的平行四边形是矩形
C. 对角线互相垂直的四边形是菱形
D. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
3. 如图，四边形 ABCD 中，AC=a，BD=b，且 AC⊥BD，顺次连接四边形 ABCD 各边中点，得到四边形 A1B1C1D1，再顺次连接四边形 A1B1C1D1 各边中点，得到四边形 A2B2C2D2，如此进行下去，得到四边形 AnBnCnDn．下列结论正确的是
①四边形 A4B4C4D4 是菱形；
②四边形 A3B3C3D3 是矩形；
③四边形 A7B7C7D7 周长为 a+b8；
④四边形 AnBnCnDn 面积为 a⋅b2n．
A. ①②③B. ②③④C. ①③④D. ①②③④
4. 如图，菱形 ABCD 中，E，F 分别是 AD，BD 的中点，若 EF=5，则菱形 ABCD 的周长为
A. 20B. 30C. 40D. 50
5. 下列命题正确的是
A. 对角线互相平分的四边形是菱形
B. 对角线互相平分且相等的四边形是菱形
C. 对角线互相垂直且相等的四边形是菱形
D. 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形
6. 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，且 AC≠BD，则图中全等三角形有
A. 4 对B. 6 对C. 8 对D. 10 对
7. 下列命题中，假命题的是
A. 矩形的四个角都相等B. 菱形的四条边都相等
C. 矩形的对角线相等且平分D. 菱形的对角线相等且垂直
8. 菱形的两条对角线的长分别是 6 和 8，则这个菱形的周长是
A. 24B. 20C. 10D. 25
9. 矩形具有而菱形不一定具有的的性质是
A. 四条边都相等B. 对角线平分每一组对角
C. 两条对角线互相垂直D. 两条对角线相等
10. 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，H 为 BC 中点，AC=6，BD=8．则线段 OH 的长为
A. 5B. 3C. 125D. 52
11. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知菱形 ABCD 的顶点 A，B 的坐标分别为 -3,0，3,0，点 D 在 y 轴上，则点 C 的坐标是
A. 33,6B. 6,33C. 6,3D. 6,23
12. 菱形和矩形都具有的性质是
A. 对角线互相垂直B. 对角线长度相等
C. 对角线平分一组对角D. 对角线互相平分
13. 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，H 为 BC 中点，AC=6，BD=8，则线段 OH 的长为：
A. 125B. 52C. 3D. 5
二、填空题（共6小题）
14. 如果一个菱形的一条边长为 2 cm，那么这个菱形的周长为 cm．
15. 已知菱形的两条对角线的长分别为 23 和 2，那么这个菱形的边长是 ．
16. 菱形 ABCD 的周长为 20 cm，∠DAB 与 ∠ABC 的度数之比为 1:2，对角线 BD 的长是 cm．
17. 已知菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AB=13 cm，AO=5 cm，那么 AC 和 BD 的长分别等于 ．
18. 如图，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为 16 cm．若墙上钉子间的距离 AB=BC=16 cm，则 ∠1= 度．
19. 如图，在菱形 ABCD 中，M，N 分别在 AB，CD 上，且 AM=CN，MN 与 AC 交于点 O，连接 BO，若 ∠DAC=28∘，则 ∠OBC 的度数为 ．
三、解答题（共6小题）
20. 如图，在菱形 ABCD 中，BD 为对角线，点 E 为 BD 上的点，求证：∠DAE=∠DCE．
21. 如图，已知四边形 ABCD 是平行四边形，点 E，F 分别是 AB，BC 上的点，AE=CF，并且 ∠AED=∠CFD．求证：
（1）△AED≌△CFD；
（2）四边形 ABCD 是菱形．
22. 已知菱形的一条边与它的两条对角线所成的两个角的大小的比为 3:2，求这个菱形的各个内角的度数．
23. 如图，已知菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AE 垂直且平分边 CD，垂足为 E．求 ∠BCD 的度数．
24. 如图，在四边形 ABCD 中，AB∥DC，AB=AD，对角线 AC，BD 交于点 O，AC 平分 ∠BAD，过点 C 作 CE⊥AB 交 AB 的延长线于点 E，连接 OE．
（1）求证：四边形 ABCD 是菱形；
（2）若 AB=5，BD=2，求 OE 的长．
25. 如图，矩形 OABC 的顶点 A，C 分别在 x，y 的正半轴上，点 B 的坐标为 3,4，一次函数 y=-23x+b 的图象与边 OC，AB 分别交于点 D，E，并且满足 OD=BE．点 M 是线段 DE 上的一个动点．
（1）求 b 的值；
（2）连接 OM，若三角形 ODM 的面积与四边形 OAEM 的面积之比为 1:3，求点 M 的坐标；
（3）设点 N 是 x 轴上方平面内的一点，以 O，D，M，N 为顶点的四边形是菱形，求点 N 的坐标．
答案
1. B
2. C
【解析】A选项：四个角相等的四边形是矩形，故A正确；
B选项：对角线相等的平行四边形是矩形，故B正确；
C选项：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故C错误；
D选项：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故D正确．
3. A
【解析】∵ 四边形 A1B1C1D1 是矩形，四边形 A2B2C2D2 是菱形，
∴ 四边形 AnBnCnDn，当 n 为奇数时，四边形为矩形；当 n 为偶数时，四边形为菱形．
四边形 A1B1C1D1 的周长是 a+b，四边形 A3B3C3D3 的周长是 a+b2，四边形 A5B5C5D5 的周长是 a+b4，四边形 A7B7C7D7 的周长是 a+b8．
四边形 A1B1C1D1 的面积是 14ab，四边形 A2B2C2D2 的面积是 18ab，四边形 A3B3C3D3 的面积是 116ab，⋯，四边形 AnBnCnDn 的面积是 12n+1ab．
4. C
【解析】∵E，F 分别是 AD，BD 的中点，
∴EF 为 △ABD 的中位线，
∴AB=2EF=2×5=10，
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴AD=CD=BC=AB=10，
∴ 菱形 ABCD 的周长为 10×4=40．
5. D
6. C
7. D
8. B
【解析】如图所示：
∵ 四边形 ABCD 是菱形，BD=8，AC=6，
∴AC⊥BD，OA=OC=3，OD=OB=4，AB=BC=CD=AD，
在 Rt△AOD 中，AD=OA2+OD2=5，
∴ 菱形 ABCD 的周长为：4×5=20，
故选：B．
9. D
10. D
11. B
12. D
13. B
14. 8
15. 2
16. 5
17. 10 cm；24 cm
18. 120∘
19. 62∘
【解析】因为 四边形 ABCD 为菱形，
所以 AB∥CD，AB=BC，
所以 ∠MAO=∠NCO，∠AMO=∠CNO，
在 △AMO 和 △CNO 中，
∠MAO=∠NCO,AM=CN,∠AMO=∠CNO.
所以 △AMO≌△CNOASA，
所以 AO=CO，
因为 AB=BC，
所以 BO⊥AC，
所以 ∠BOC=90∘，
因为 ∠DAC=28∘，
所以 ∠BCA=∠DAC=28∘，
所以 ∠OBC=90∘-28∘=62∘．
20. ∵ 四边形 ABCD 为菱形，
∴AD=CD，∠ADB=∠CDB，
在 △ADE 与 △CDE 中，
AD=CD,∠ADE=∠CDE,DE=DE,
∴△ADE≌△CDESAS，
∴∠DAE=∠DCE．
21. （1） ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴∠A=∠C．
在 △AED 与 △CFD 中，
∠A=∠C,AE=CF,∠AED=∠CFD.
∴△AED≌△CFDASA．
（2） 由（1）知，△AED≌△CFD，则 AD=CD．
又 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ 四边形 ABCD 是菱形．
22. 提示：由题意可设这两个角的度数分别是 3x，2x，
则 2x+3x=90，
解得 x=18，
∴ 菱形四个内角的度数分别是 4x，6x，4x，6x，即 72∘，108∘，72∘，108∘．
23. 由条件可推出 AC=AD，即 △ACD，△ACB 都是等边三角形，于是可得 ∠BCD=120∘．
24. （1） ∵AB∥CD，
∴∠CAB=∠ACD．
∵AC 平分 ∠BAD．
∴∠CAB=∠CAD．
∴∠CAD=∠ACD．
∴AD=CD．
又 ∵AD=AB，
∴AB=CD．
又 ∵AB∥CD，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形．
又 ∵AB=AD，
∴ 平行四边形 ABCD 是菱形．
（2） ∵ 四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC，BD 交于点 O，
∴AC⊥BD，OA=OC=12AC，OB=OD=12BD．
∴OB=12BD=1．
在 Rt△AOB 中，∠AOB=90∘．
∴OA=AB2-OB2=2．
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90∘．
在 Rt△AEC 中，∠AEC=90∘，O 为 AC 中点．
∴OE=12AC=OA=2．
25. （1） y=-23x+b 中，令 x=0，解得 y=b，则 D 的坐标是 0,b，OD=b，
∵OD=BE，
∴BE=b，则 E 的坐标是 3,4-b，
把 E 的坐标代入 y=-23x+b 得 4-b=-2+b，
解得：b=3．
∴y=-23x+3．
（2） S四边形OAED=12OD+AE⋅OA=12×3+1×3=6，
∵ 三角形 ODM 的面积与四边形 OAEM 的面积之比为 1:3，
∴S△ODM=1.5．
设 M 的横坐标是 a，则 12×3a=1.5，
解得：a=1，
把 x=a=1 代入 y=-23x+3 得 y=-23×1+3=73．
则 M 的坐标是 1,73．
（3） 当四边形 OMDN 是菱形时，如图（1），
M 的纵坐标是 32，把 y=32 代入 y=-23x+3，得 -23x+3=32，解得：x=94，
则 M 的坐标是 94,32，
则 N 的坐标是 -94,32；
当四边形 OMND 是菱形时，如图（2），
OM=OD=3，设 M 的横坐标是 m，则纵坐标是 -23m+3，
则 m2+-23m+32=9，
解得：m=3613或0舍去．
则 M 的坐标是 3613,1513．
则 DM 的中点是 1813,2713．
则 N 的坐标是 3613,5413．
故 N 的坐标是 -94,32 或 3613,5413．
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