人教版（五四学制）九上数学 31.1.3 弧、弦、圆心角 课件+教案

31.1.3  弧、弦、圆心角

一、教学目标

（一）学习目标

1.探索圆的中心对称性

2.了解圆心角的概念，探索并掌握在同圆或者等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量的相等，就可以推出其他两个量对应相等

3.掌握圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题

（二）学习重点

探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题．

（三）学习难点

圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明．

二、教学设计

（一）课前设计

1.预习任务

(1)旋转的三要素是  旋转中心，旋转方向，旋转角度    

(2)中心对称的定义：如果把一个图形绕某个点旋转，它能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这个点成中心对称.

2.预习自测

（1）圆是       图形，也是     图形

【知识点】圆的中心对称性与轴对称性

【答案】轴对称  中心对称

【解题过程】圆既是轴对称图形又是中心对称图形

【思路点拨】圆既是轴对称图形又是中心对称图形

（2）圆的对称中心是      ．

【知识点】圆的中心对称性

【答案】圆心

【解题过程】圆是中心对称图形，由于它绕着圆心旋转180°后和原图形重合，所以圆的对称中心是圆心

【思路点拨】根据中心对称图形的定义找到圆的对称中心

（3）如图，已知的半径相等，若，则，（填“”、“”或“=”）

【知识点】在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．

【答案】=  =

【解题过程】,,

【思路点播】在同圆或者等圆中，圆心角，弧，弦有一个量相等，就联想到其他的量也相等

(4)已知与半径相等，若，则，（填“”、“”或“=”）

【知识点】在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优（劣）弧相等．

【答案】=

【解题过程】，,,≌，

【思路点拨】在同圆或者等圆中，圆心角，弧，弦有一个量相等，就联想到其他的量也相等

（二）课堂设计

1.知识回顾

（1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线

（2）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧

（3）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

2.问题探究

探究一   圆的中心对称性

活动①  以旧引新

想一想：这些现象说明了什么？

现象一：一块圆形的蛋糕，糕点师只要过圆心点在互相垂直的两个方向上切两刀，不管糕点师站在哪里，分成的四块一定是均等的. 这个现象跟圆的哪个性质有关？

学生抢答

答案：现象一说明对折后能够完全重合，只要是过圆心的直线，分成的两部分均对称，说明圆是轴对称图形，对称轴是过圆心的任一条直线.

【设计意图】复习回顾圆的轴对称性，为引发新知识铺垫

现象二：机械式闹钟上钟时，每次只要转动发条上的钟钮时，看上去跟没转动以前是一个样的.这个现象跟圆的哪个性质有关？

现象二说明钟钮左右两端转动后完全重合，而两端均在以轴心为圆心的圆上运动，说明圆是中心对称图形，对称中心是圆心.

【设计意图】整合旧知识，探索圆的中心对称性

活动② 归纳概括

想一想：由以上现象，概括圆的对称性

结论：1. 圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线.

2. 圆是中心对称图形，对称中心为圆心.

探究二   圆心角、弧、弦之间的关系★ ▲

活动① 大胆操作 探究新知识

1.按下面的步骤做一做：

(1)在两张透明纸上，作两个半径相等的⊙O和⊙O′，沿圆周分别将两圆剪下；

(2)在⊙O和⊙O′上分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′O′B′，如图1所示，圆心固定．

注意：在画∠AOB与∠A′O′B′时，要使OB相对于OA的方向与O′B′相对于O′A′的方向一致，否则当OA与OA′重合时，OB与O′B′不能重合．

图1

(3)将其中的一个圆旋转一个角度．使得OA与O′A′重合．

通过上面的做一做，你能发现哪些等量关系?同学们互相交流一下，说一说你的理由．

教师叙述步骤，同学们一起动手操作． 由已知条件可知∠AOB＝∠A′O′B′；由两圆的半径相等，可以得到∠OAB＝∠OBA＝∠O′A′B′=∠O′B′A′；由△AOB≌△A′O′B′，可得到AB＝A′B′；由旋转法可知．

在学生分析完毕后，教师指出在上述做一做的过程中发现，固定圆心，将其中一个圆旋转一个角度，使半径OA与O′A′重合时，由于∠AOB＝∠A′O′B′．这样便得到半径OB与O′B′重合．因为点A和点A′重合，点B和点B′重合，所以和重合，弦AB与弦A′B′重合，即，AB=A′B′．

进一步引导学生语言归纳圆心角、弧、弦之间相等关系定理：

在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．

【设计意图】大胆猜想，大胆操作，激发学生兴趣，探究新知识

活动②  集思广益 证明新知

根据对上述定理的理解，你能证明下列命题是正确的吗？

（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；

（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优（劣）弧相等．

本问题由学生在思考的基础上讨论解决，可以证明上述命题是真命题．

【设计意图】创设问题情境，集思广益，证明新知识

活动③  反思过程 发现定理

定理“在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？

小组讨论，可以在教师的引导下，举出反例说明条件“在同圆或等圆中”不能去掉，比如可以请同学们画一个只能是圆心角相等的这个条件的图．

如图，虽然∠AOB=∠A′O′B′，但AB≠A′B′，弧AB≠弧A′B′．                                   

教师进一步引导学生用同样的思路考虑命题：（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优（劣）弧相等中的条件“在同圆和等圆中”是否能够去掉．

小结：弦、圆心角、弧三量关系，在同圆或者等圆中，圆心角，弧，弦有一个量相等，那么其他的量也对应相等

【设计意图】反思过程，发现定理，重新认识，拓展创新

探究三  圆心角、弧、弦之间关系定理的应用

活动①  旧题新解

例1.如图，的直径CD与弦AB交于点M，添加条件         （写出一个即可），就可得到M是AB的中点.

【知识点】垂径定理，圆心角、弧、弦之间关系定理

【解答过程】补入的条件是：或.

【思路点拨】

对开放性逆向思维的题目，首先应依题意抓住问题适合的依据定理，再由定理和题设补充条件.

【答案】或.

练习：如图，CD是的直径，AB是弦，于M，则可得出，等多个结论，请你按现有图形给出其他两个结论.

【知识点】垂径定理，圆心角、弧、弦之间关系定理

【解答过程】另两个结论是：，.

【思路点拨】对开放性思维的题目，首先应依题意抓住已知条件，再由定理和题设得到结论.

【设计意图】复习垂径定理，同时利用新知识解决旧问题

活动② 集思广益 求解角度

例2.如图，在⊙O中，，∠ACB＝60°，求证∠AOB=∠AOC=∠BOC．

【知识点】圆心角、弧、弦之间关系定理

【解答过程】

∵ 

∴  AB=AC，△ABC是等腰三角形．

又  ∠ACB＝60°，

∴  △ABC是等边三角形，AB=BC=CA．

∴  ∠AOB=∠AOC=∠BOC．

【思路点拨】由，有，可得△ABC是等边三角形，AB=AC=BC，所以得到∠AOB=∠AOC=∠BOC．

练习．如图，AB是⊙O的直径，BC、CD、DA是⊙O的弦，且BC＝CD＝DA，求∠BOD的度数．

【知识点】圆心角、弧、弦之间关系定理

【解答过程】由BC＝CD＝DA可以得到这三条弦所对的圆心角相等，

连接OC，得到∠AOD=∠DOC=∠BOC，

而AB是直径，于是∠BOD＝×180°＝120°

【思路点拨】求圆心角度数，可先求出该圆心角度数所对弧的度数

【答案】120°

【设计意图】利用圆心角、弧、弦之间关系定理解决圆中简单的角度问题

活动③  大胆探索 证明线段相等与弧度相等

例3.如图，AB，CD是的弦，M、N分别为AB、CD的中点且，求证：AB=CD.

【知识点】垂径定理， 圆心角、弧、弦之间关系定理，全等三角形的判定定理

【解答过程】证明：为AB，CD中点，，。

，

，.

连接OB、OD，

则OB=OD，≌。

，.

【思路点拨】由中点想到垂径定理，由等角对等边定理可以得到线段与角度的相等关系，可以为证明全等三角形创造条件

练习：如图，AB是⊙O的直径，P，Q是AB上两点，且AP=BQ，C、D是⊙O上两点，且，分别延长CP、DQ，交⊙O于M、N，求证：CP=DQ.

【知识点】圆心角、弧、弦之间关系定理， 全等三角形的判定定理

【解答过程】连接AC，BD，CO，DO，

∵，

∴=BD，∠COA=∠DOB

∵AP=BQ,

≌,∴CP=DQ .

【思路点拨】

由圆心角、弧、弦之间关系定理可以得到线段与角度的相等关系，可以为证明全等三角形创造条件.

【设计意图】利用圆心角、弧、弦之间关系定理证明圆中的线段相等或者弧相等

3.课堂总结

知识梳理

（1）圆心角概念：顶点在圆心的角叫圆心角

（2）圆是轴对称图形，也是中心对称图形

（3）在同圆或者等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量的相等，就可以推出其他两个量对应相等

重难点归纳

（1）在同圆或者等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量的相等，就可以推出其他两个量对应相等

（2）圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件不可忽略

（3）由圆心角、弧、弦之间关系定理可以求得圆中的角度，证明圆中的线段和弧相等.

（三）课后作业

基础型 自主突破

1．交通工具上的轮子都是圆做的，这是运用了圆的性质中的     ____.

【知识点】圆的旋转不变性

【解答过程】因为圆绕着圆心旋转任意角度，新图形与原图形重合，这样保证了交通工具运动中的平稳性，所以轮子会做成圆形

【思路点拨】根据圆的旋转不变性可以为我们生活带来便利

【答案】圆的旋转不变性

2．如图，AB和DE是的直径，弦AC∥DE，若弦BE=3，则弦CE=             

【知识点】圆心角、弧、弦之间关系定理，平行线的性质

【解答过程】连接OC，∥DE，

，，，,,.

【思路点拨】由平行线可以得到角的关系，再由角的关系可以得到弦的关系

【答案】3

3.如图，AB是直径，C、D在上，AD∥OC，，连接AC，则等于（    ）

   A. 15    B. 30    C. 45    D. 60

【知识点】平行线的性质 ， 等腰三角形性质 ，圆心角、弧、弦之间关系定理

【解答过程】AD∥OC，

【思路点拨】由平行线可以得到角的关系，此题注意隐藏条件是圆的半径处处相等

【答案】B

4.如图，AB是⊙O的直径，，∠COD=34°，则∠AEO的度数是（　　）

A. 51°   B. 56°   C. 68°   D. 78°

【知识点】圆心角、弧、弦的关系

【数学思想】数形结合

【解答过程】解：如图，∵，∠COD=34°，

∴∠BOC=∠EOD=∠COD=34°，

∴∠AOE=180°﹣∠EOD﹣∠COD﹣∠BOC=78°．

又∵OA=OE，

∴∠AEO=∠EAO，

∴∠AEO=×（180°﹣78°）=51°．

故选：A．

【思路点拨】由，可求得∠BOC=∠EOD=∠COD=34°，继而可求得∠AOE的度数；然后再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理来求∠AEO的度数．

【答案】A

5．在⊙O中，圆心角，则两条弧AB与弧CD关系是（    ）

   A.  B.   C.     D. 不能确定

【知识点】圆心角、弧、弦的关系

【解答过程】作的角平分线OE，

，

，，.

【思路点拨】当题目中出现二倍关系时，要善于把二倍关系分解一下

【答案】A

6．如图，以的顶点A为圆心，AB为半径作圆，分别交BC、AD于E、F，若，求弧BE的度数和弧EF的度数.

【知识点】平行四边形的性质，弧的度数

【解答过程】连接AE，，ABCD为平行四边形，，，，，的度数为，，，，的度数为.

【思路点拨】圆心角有角度，弧有角度也有长度，弦有长度，圆可以和以前学过的知识结合起来考线段长和角度

【答案】的度数为，的度数为.

能力型 师生共研

7.如图，，，，，求度数.

【知识点】圆心角、弧、弦的关系，全等三角形判定，等腰三角形性质

【解答过程】连接OB、OD，，，，

，，

又OB=OD

≌

.

【思路点拨】利用圆的半径相等常常可以建立全等三角形

【答案】25°

8．如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，点E是的中点，OE交BC于点D．连接AC，若BC=6，DE=1，则AC的长为　　．

【知识点】垂径定理，勾股定理

【数学思想】数形结合

【解答过程】连接OC，如图．

∵点E是的中点，

∴∠BOE=∠COE．

∵OB=OC，

∴OD⊥BC，BD=DC．

∵BC=6，

∴BD=3．

设⊙O的半径为r，则OB=OE=r．

∵DE=1，

∴OD=r﹣1．

∵OD⊥BC即∠BDO=90°，

∴OB2=BD2+OD2．

∵OB=r，OD=r﹣1，BD=3，

∴r2=32+（r﹣1）2．

解得：r=5．

∴OD=4．

∵AO=BO，BD=CD，

∴OD=AC．

∴AC=8．

【思路点拨】由垂径定理有OD⊥BC，得BD=3．由勾股定理列方程可求得⊙O的半径，从而求得AC长。

【答案】8

9.如图，P为直径AB上一点，EF、CD为过P点的两条弦，且∠DPB=∠EPB
求证：CD=EF ，弧CE=弧DF。

【知识点】等弦心距对等弦定理  全等三角形  等式的性质

【数学思想】数形结合

【解答过程】

证明：过圆心O作OM⊥CD于M，ON⊥EF于N，

∴∠OMP＝∠ONP＝90°

∠DPB＝∠EPB，OP＝OP

∴△OMP≌△ONP（AAS）
∴OM＝ON
∴CD＝EF
∴劣弧CD＝劣弧EF
∴劣弧CD－劣弧CF＝劣弧EF－劣弧CF
∴弧CE＝弧DF

【思路点拨】由角等构造全等三角形，根据弦心距相等推得弦等

【答案】弧CE＝弧DF  CD＝EF。

10.如图，圆中有两条相等的弦AC与BD相交与点P，∠ADB=∠BCA，

求证：PO⊥AB.                                         

【知识点】等对等定理  全等三角形的判定  等腰三角形的性质

【数学思想】数形结合

【解答过程】∵AC=BD,

∴弧AC=弧BD，

∴弧AC－弧DC=弧BD－弧CD，

即弧AD=弧BC，

∴AD=CB

又∠ADB=∠BCA ∠DPA=∠CPB

∴△ADP≌△BCP

∴AP=BP

∵O是AB中点

∴PO⊥AB

【思路点拨】由等对等定理可以实现弦等和弧等之间的相互转化。

【答案】PO⊥AB

自助餐

1．如果两个圆心角相等，那么（    ）

A. 这两个圆心角所对的弦相等          B. 这两个圆心角所对的弧相等

C. 这两个圆心角所对的弦的弦心距相等  D. 以上说法都不对

【知识点】圆心角、弧、弦的关系

【解答过程】由圆心角与弧的关系知，在同圆或等圆中，圆心角等，其所对的弧相等，故选D

【思路点拨】在圆心角、弧、弦的关系定理中，“在同圆或等圆中”这个前提不能忽略

【答案】D 

2.如图，中，如果弧，那么（    ）

   A. AB=AC   B. AB=2AC    

C.       D.

【知识点】圆心角、弧、弦的关系定理 ，三角形三边关系

【解答过程】取中点D，连接AD，BD，，，，，.

【思路点拨】题目中若出现二倍关系，常常要把二倍转化为一倍

【答案】C

3.如图，已知AB是O的直径，C、D是的三等分点，，

则是（ ）

A.      B.     

C.      D.

【知识点】弧的度数，圆心角定义

【解答过程】C，D是的三等分点，，, ，，.

【思路点拨】弧有长度，也可以等分，在同圆或者等圆中等分弧后，它的长度和角度都被等分

【答案】C

4.一条弦长恰好为半径长，则此弦所对的弧是半圆的             ，

【知识点】等边三角形的判定，一条弦对两条弧

【数学思想】分类思想

【解答过程】，是等边三角形，，AB所对的弧有优弧与劣弧，所对弧是半圆的或.

【思路点拨】注意圆的隐藏条件：半径处处相等，另外，注意一弦对二弧，此题易遗漏一个解

【答案】

5.如图，在中，C、D是直径AB上两点，且AC=BD，，，M、N在上.

(1)求证：AM=BN

(2)若C、D分别为OA、OB中点，则AM=MN=NB成立吗？

【知识点】全等三角形的判定，圆心角、弧、弦的关系定理

【数学思想】逻辑推理

【解答过程】(1)连结OM、ON，在和中OM=ON，OA=OB，

，，≌，

，

(2)AM=MN=NB成立，理由如下：

∵C、D分别为OA、OB的中点，∴OC=OA，OD=OB

∴OC=OM，OD=ON

∴∠OMC=∠OND=30°

∴∠MOC=∠NOD=60°

∴∠MON=60°

∴∠AOM=∠MON=∠BON

∴AM=MN=NB

【思路点拨】圆中，常常利用半径相等建立全等三角形

【答案】(1)连结OM、ON，在和中OM=ON，OA=OB，

，，≌，

（2）成立

6.如图，，C、D是弧AB三等分点，AB分别交OC、OD于点E、F，求证：AE=BF=CD.

【知识点】等腰三角形的性质，圆心角、弧、弦的关系定理

【数学思想】逻辑推理

【解答过程】连结AC、BD，C、D是AB三等分点，

，且=，

，

又，

，

同理可证BF=BD，

【思路点拨】弧有角度也有长度，等分时，角度与长度同时被等分

【答案】AE=BF=CD.