人教版八年级上册13.3.1 等腰三角形精品达标测试

这是一份人教版八年级上册13.3.1 等腰三角形精品达标测试，共8页。试卷主要包含了故选C等内容，欢迎下载使用。

13.3　等腰三角形
典型例题
题型一　等腰三角形概念的应用
例1　已知等腰三角形的底边长为10，周长不大于40，求腰长的取值范围.
分析：由周长不大于40和三角形两边的和大于第三边可以确定两个不等式，腰长的取值范围就是这两个不等式的公共解集.
解：设腰长为x，∵ 等腰三角形两腰相等，∴ 2x+ 10≤40，∴ x≤15.又∵ 底边长为10，两边之和要大于第三边，∴ x+x>10，∴ x>5，∴ 腰长的取值范围是5 例2　等腰三角形的周长是20，有一边长是4，则其他两边的长分别为　　　　.
解析：已知长为4的边，不确定是腰还是底边，∴ 要分两种情况求解.当4为底边长时，其他两边长为(20-4)÷2＝8；当4为腰长时，其他两边长分别为4和20-4-4＝12，∵ 4+4<12，不符合三角形的三边关系，∴ 当4为腰长时，不成立.故答案为8，8.　　
答案：8，8
规律总结：遇到等腰三角形的边长的问题时，要利用分类讨论的方法，求出边长之后，务必用三角形三边关系定理进行验证.
题型二　等腰三角形性质的应用
例3　(1)(2020·青海中考)若等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是(　　)
A.55°，55° B.70°，40°或70°，55°
C.70°，40° D.55°，55°或70°，40°
(2)若等腰三角形的一个角为100°，则顶角的度数为　　　.
解析：(1)分情况讨论：
①当等腰三角形的顶角为70°时，底角＝(180°-70°)÷2＝55°；
②当等腰三角形的底角为70°时，它的另外一个底角为70°，顶角为180°-70°-70°＝40°.
故选D.
(2)若顶角的度数为100°，设底角的度数为x.
∵ 100°+2x＝180°，∴ x＝40°.
若底角为100°，则两底角和为200°，不符合三角形内角和定理，∴ 顶角的度数为100°.　　
答案：(1)D　(2)100°
例4　(2020·四川自贡中考)如图13-3-1，在Rt△ABC中，∠ACB＝
90°，∠A＝50°，以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是 (　　)
图13-3-1
A.50° B. 40° C.30° D. 20°
解析：∵ 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，∴ ∠B=40°.
∵ BC=BD，∴ ∠BCD=∠BDC=(180°-40°)＝70°，
∴ ∠ACD=90°-70°＝20°.
答案：D
例5　(2019·浙江衢州中考)“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图13-3-2所示的“三等分角仪”能三等分任一角.如图13-3-4，这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动.C点固定，OC＝CD＝DE，点D，E可在槽中滑动，若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是(　　)
A.60° B.65° C.75° D.80°
　　
　　 图13-3-2　　　　　　图13-3-3
解析：如图13-3-3，∵ OC＝CD＝DE，∴ ∠O＝∠CDO，∠DCE＝∠CED.∴ ∠DCE＝2∠O，∠EDB＝3∠O＝75°，∴ ∠O＝25°，∠CED＝∠ECD＝50°，∴ ∠CDE＝180°-∠CED- ∠ECD＝180°-50°-50°＝80°.
答案：D
图13-3-4
例6　(2020·浙江绍兴中考)问题：如图13-3-4，在△ABD中，BA＝BD，在BD的延长线上取点E，C，作△AEC，使EA＝EC.若∠BAE＝90°，∠B＝45°，求∠DAC的度数.
答案：∠DAC＝45°.
思考：(1)如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，其余条件不变，那么
∠DAC的度数会改变吗？说明理由.
(2)如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，再将“∠BAE＝90°”改为
“∠BAE＝n°”，其余条件不变，求∠DAC的度数.
分析：(1)根据等腰三角形的性质得到∠EAC＝∠C，①求得∠DAE=90°-∠BAD=90°-(45°+∠C)=45°-∠C②，由①②即可得到结论；
(2)设∠ABC＝m°，根据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质即可得到结论.
解：(1)∠DAC的度数不会改变.
理由如下：
∵ EA＝EC，
∴ ∠EAC＝∠C.①
∵ BA＝BD，∴ ∠BAD＝∠BDA.
∵ ∠BAE＝90°，
∴ ∠B＝90°-∠AED＝90°-2∠C，
∴ ∠BAD＝(180°-∠B)＝[180°-(90°-2∠C)]＝45°+∠C，
∴ ∠DAE＝90°-∠BAD＝90°-(45°+∠C)＝45°-∠C.②
由①②得∠DAC＝∠DAE+∠CAE＝45°-∠C+∠C＝45°.
(2)设∠ABC＝m°，
则∠BAD＝(180°-m°)＝90°-m°，∠AEB＝180°-n°-m°，
∴ ∠DAE＝n°-∠BAD＝n°-90°+m°.
∵ EA＝EC，∴ ∠CAE＝∠AEB＝90°-n°-m°，
∴ ∠DAC＝∠DAE+∠CAE＝n°-90°+m°+90°-n°-m°＝n°.
题型三　等腰三角形的判定
例7　(广西桂林中考)如图13-3-5，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数是　　　　.
解析：∵ AB＝AC，∠A＝36°，
图13-3-5
∴ △ABC是等腰三角形.
∴ ∠ABC＝∠ACB＝＝72°.
∵ BD平分∠ABC，
∴ ∠ABD＝∠DBC＝36°，
∴ 在△ABD中，∠A＝∠ABD＝36°，AD＝BD，
∴ △ABD是等腰三角形.
在△BDC中，∠C＝∠BDC＝72°，BD＝BC，
∴ △BDC是等腰三角形.
∴ 共有3个等腰三角形.　　
答案：3
点拨：首先根据已知条件分别计算出图中每一个三角形每个角的度数，然后根据等腰三角形“等角对等边”解答，做题时要注意，从最明显的找起，由易到难，不重不漏.
例8　如图13-3-6，△ABC的边AB的延长线上有一点D，过点D作DF⊥AC于点F，交BC于点E，且BD＝BE，求证：△ABC为等腰三角形.
图13-3-6
分析：要证△ABC为等腰三角形，可证∠A＝∠C，而由题意可知DF⊥AC，BD＝BE，因此，可以通过角的加减证得∠A与∠C相等，从而判定△ABC为等腰三角形.
证明：∵ DF⊥AC，
∴ ∠DFA＝∠EFC＝90°.
∵ BD＝BE，∴ ∠BED＝∠D.
∵ ∠BED＝∠CEF，∴ ∠D＝∠CEF.
∵ ∠A＝90°-∠D，∠C＝90°-∠CEF，
∴ ∠A＝∠C.
∴ △ABC为等腰三角形.
例9　如图13-3-7，已知在△ABC中，AD平分∠BAC，交BC于点D，EF∥AD，交AC于点E，交BA的延长线于点F.求证：△AEF为等腰三角形.
图13-3-7
分析：欲证△AEF为等腰三角形，只需证明∠AEF＝∠F.由EF∥AD可得∠AEF＝∠CAD，∠F＝∠BAD.而AD平分∠BAC，可得∠CAD＝∠BAD，从而得到∠AEF＝∠F.
证明：∵ EF∥AD，
∴ ∠AEF＝∠CAD，∠F＝∠BAD.
∵ AD平分∠BAC，∴ ∠CAD＝∠BAD，
∴ ∠AEF＝∠F，∴ AE＝AF，
即△AEF为等腰三角形.
题型四　等腰三角形中的分类讨论问题
例10　(哈尔滨中考)在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，点D在BC边上，连接AD，若△ABD为直角三角形，则∠ADC的度数是　　　　.
解析：∵ 在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，
∴ ∠B＝∠C＝40°.
∵ 点D在BC边上，△ABD为直角三角形，
∴ 当∠BAD＝90°时，∠ADB＝50°，∴ ∠ADC＝130°.
当∠ADB＝90°时，∠ADC＝90°.
答案：130°或90°
例11　直线上依次有A，B，C，D四个点，AD＝7，AB＝2，若AB，BC，CD可构成以BC为腰的等腰三角形，则BC的长为　　　　.
解析：如图13-3-8，
图13-3-8
∵ AB＝2，AD＝7，
∴ BD＝BC+CD＝5.
∵等腰三角形是以BC为腰，
∴ BC＝AB或BC＝CD，
∴ BC＝2或2.5.
故答案为2或2.5.
答案：2或2.5
例12　已知：在等腰三角形ABC中，BC边上的高AD＝BC，求∠BAC的度数.
分析：若BC是底边，则AB＝AC；若BC是腰，则BC＝BA或BC＝AC，分点D在BC边上和点D在CB的延长线上这两种情况讨论.
解：∵ AD是BC边上的高，
若BC是底边，则AB＝AC，如图13-3-9①所示，
∴ BD＝DC，AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD.
∵ AD＝BC，∴ AD＝BD.
∴ ∠B＝∠BAD＝45°，
∴ ∠BAC＝2∠BAD＝90°.
若BC是腰，则BC＝BA或BC＝AC.(说明：BC＝AC的情况和BC＝BA的情况相同，在此只讨论BC＝BA的情况)
①若点D在BC边上，如图13-3-9②所示，
则在Rt△BAD中，
∵ AD＝BC，
∴ BA＝2AD，∴ ∠B＝30°，
∴ ∠BAC＝75°.
②若点D在CB的延长线上，如图13-3-9③所示，
类似地，得∠DBA＝30°，
则∠ABC＝150°，∴ ∠BAC＝15°.
综上，∠BAC为90°或75°或15°.
　
　　　 ①　　　　　 ②　　　　　　③
图13-3-9
题型五　等边三角形性质的运用
例13　如图13-3-10所示，已知△ABC是等边三角形，E，F分别是AC，BC上的点，且AE＝CF，BE，AF相交于点D，则∠BDF＝　　　　.
解析：由△ABC为等边三角形可知∠C＝∠BAE＝60°，AC＝BA.又由AE＝CF，可得△ABE≌△CAF，所以∠CAF＝∠ABE，所以∠BDF＝∠ABE+∠BAD＝∠CAF+∠BAD＝∠BAE＝60°.　　
图13-3-10
答案：60°
例14　(2019·甘肃天水中考)如图13-3-11，等边△OAB的边长
为2，则点B的坐标为(　　)
A.(1，1) B.(1，)
C.(，1) D.(，)
　　　
图13-3-11　　　　　 　图13-3-12　
解析：如图13-3-12，过点B作BH⊥AO于点H.
∵ △OAB是等边三角形，
∴ OH＝1，BH＝＝，
∴ 点B的坐标为(1，).
答案：B
例15　(2020·南京建邺区期末)如图13-3-13，在Rt△ABC中，
∠ACB＝90°，△CAP和△CBQ都是等边三角形，BQ和CP交于点H，求证：BQ⊥CP.
图13-3-13
分析：由等边三角形的性质可得出∠CAP＝∠CBQ＝60°，求出∠BCP＝30°，由三角形内角和定理得出∠BHC＝90°，则可得出结论.
证明：∵ △CAP和△CBQ都是等边三角形，
∴ ∠CAP＝∠CBQ＝60°.
∵ ∠ACB＝90°，
∴ ∠BCP＝∠ACB-∠ACP＝30°.
在△BCH中，∠BHC＝180°-∠BCH-∠CBH＝180°-30°-60°＝90°，
∴ BQ⊥CP.
方法归纳
利用等边三角形的性质证明线段相等的方法：把要证的两条线段放到一个三角形中证其为等腰或等边三角形，或者放到两个三角形中，利用全等三角形的性质证明.注意等边三角形的三个内角相等，三条边相等是隐含的条件.
题型六　等边三角形判定的运用
图13-3-14
例16　(2019·四川宜宾中考)如图13-3-14，△ABC和△CDE都是等边三角形，且点A，C，E在同一直线上，AD与BE，BC分别交于点F，M，BE与CD交于点N.下列结论正确的是　　　　. (写出所有正确结论的序号)
①AM＝BN；②△ABF≌△DNF；③∠FMC+ ∠FNC＝180°；
④＝+.
解析：①∵ △ABC和△CDE都是等边三角形，
∴ AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝∠ECD＝60°，
∴ ∠BCE＝∠ACD.
在△BCE和△ACD中，
∴ △BCE≌△ACD(SAS).
∴ AD＝BE，∠ADC＝∠BEC，∠CAD＝∠CBE.
在△DMC和△ENC中，
∴ △DMC≌△ENC(ASA)，
∴ DM＝EN，CM＝CN，
∴ AD-DM＝BE-EN，即AM＝BN.
②∵ ∠ABC＝60°＝∠BCD，
∴ AB∥CD，∴ ∠BAF＝∠CDF.
∵ ∠AFB＝∠DFN，
∴ △ABF∽△DNF，找不出全等的条件.
③∵ ∠AFB+∠ABF+∠BAF＝180°，∠FBC＝∠CAF，
∴ ∠AFB+∠ABC+∠BAC＝180°，
∴ ∠AFB＝60°，∴ ∠MFN＝120°.
∵ ∠MCN＝60°，∴ ∠FMC+∠FNC＝180°.
④∵ CM＝CN，∠MCN＝60°，
∴ △MCN是等边三角形，∴ ∠MNC＝60°.
∵ ∠DCE＝60°，∴ MN∥AE，
∴ ＝＝.
∵ CD＝CE，MN＝CN，
∴ ＝，∴＝1-，
两边同时除以MN得＝-，
∴ ＝+.　　
答案：①③④
例17　如图13-3-15所示，E为等边△ABC的边AC上一点，∠1＝∠2，CD＝BE，判断△ADE的形状.
分析：观察图形不难发现△ABE ≌△ACD，从而AE＝AD，∠CAD＝∠BAE＝60°，由此得△ADE为等边三角形.
图13-3-15
解：△ADE为等边三角形.
理由：∵ △ABC为等边三角形，
∴ AB＝AC，∠BAE＝60°.
在△ABE和△ACD中，
∴ △ABE≌△ACD(SAS)，
∴ AE＝AD，∠CAD＝∠BAE＝60°.
∴ △ADE为等边三角形.
题型七　含30°角的直角三角形的性质
例18　(山东青岛中考)如图13-3-16，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E， DE＝1，则BC＝(　　)
A. B.2
图13-3-16
C.3 D.+2
解析：∵ AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴ CD＝DE＝1.
又∵ 在Rt△BDE中，∠B＝30°，∴ BD＝2DE＝2，
∴ BC＝CD+BD＝1+2＝3.故选C.　　
答案：C
点拨：使用含30°角的直角三角形的性质的条件：(1)在直角三角形中；(2)存在30°的角.结论：30°角所对的直角边等于斜边的一半.
图13-3-17
例19　如图13-3-17所示，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上的点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，∠BAC＝120°.求证：DE+DF＝BC.
分析：∵ AB＝AC，∠BAC＝120°，∴ ∠B＝∠C＝30°.
又DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ 可以利用含30°角的直角三角形的性质证明.
证明：∵ AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴ ∠B＝∠C＝(180°-120°)＝30°.
又∵ DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ ∠BED＝∠CFD＝90°.
在Rt△BDE中，∵ ∠B＝30°，∴ DE＝BD.
同理，在Rt△CDF中，DF＝CD.
∴ DE+DF＝BD+CD＝(BD+CD)＝BC.
拓展资料
等边三角形的尺规作图
可以利用尺规作图的方式画出正三角形，其作法相当简单：如图13-3-18所示，先用直尺画出一条任意长度的线段(这条线段的长度决定等边三角形的边长)，再分别以线段两端点为圆心、线段长为半径画圆，两圆交于两点，任选一点，和原来线段的两个端点画线段，则这两条线段和原来线段即可构成一个正三角形.

图13-3-18
黄金三角形
所谓黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值.
黄金三角形分两种：一种是等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°，这种三角形既美观又标准，如图13-3-19.这样的三角形的底边长与一腰长之比为黄金比：.另一种黄金三角形也是等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°，这种三角形的一腰长与底边长之比为黄金比：.

图13-3-19