北师大版数学七年级下册《生活中的轴对称》全章复习与巩固（基础）知识讲解 (含答案)

《生活中的轴对称》全章复习与巩固（基础）

【学习目标】

1.认识和欣赏身边的轴对称图形，增进学习数学的兴趣.

2.了解轴对称的概念，探索轴对称、轴对称图形的基本性质及它们的简单应用.

3.探索线段的垂直平分线、角平分线和等腰三角形的性质以及判定方法.

4.能按照要求，画出一些轴对称图形.

【知识网络】

【要点梳理】

要点一、轴对称

1.轴对称图形和轴对称　　

（1）轴对称图形
　　如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.

（2）轴对称

定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.

要求诠释：成轴对称的两个图形的性质：①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形；

②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；

③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上.

（3）轴对称图形与轴对称的区别和联系

要点诠释: 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．

2.线段的垂直平分线

线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.

要点诠释：

线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件.

三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心.

3.角平分线

角平分线性质是：角平分线上的任意一点，到角两边的距离相等；反过来，在角的内部到角两边的距离相等的点在角平分线上.

要点诠释：

    前者的前提条件是已经有角平分线了，即角被平分了；后者则是在结论中确定角被平分，一定要注意着两者的区别，在使用这两个定理时不要混淆了.

要点二、作轴对称图形

1.作轴对称图形

（1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形；

（2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.

要点三、等腰三角形

1.等腰三角形
　　（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.

如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．

要点诠释：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）．

∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ ．

（2）等腰三角形性质

   　①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；

②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.

（3）等腰三角形的判定

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等　 　　边”）.

要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理．

2.等边三角形

（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.

要点诠释：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包

括等边三角形．

（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.　　

（3）等边三角形的判定：

 ①三条边都相等的三角形是等边三角形；

 ②三个角都相等的三角形是等边三角形；

 ③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形.

【典型例题】

类型一、轴对称的判断与应用 

1、（2020•泰安模拟）如图所示，把一个正方形对折两次后沿虚线剪下，展开后所得的图形是（　　）

　 A． B．  C．  D． 

【答案】B．

【详解】按照题意，动手操作一下，可知展开后所得的图形是选项B．

【总结升华】对于一下折叠、展开图的问题，亲自动手操作一下，可以培养空间想象能力．

举一反三：

【变式】如图,是一只停泊在平静水面上的小船,它的“倒影”应是图中的（     ）.

【答案】B ；

提示：从水中看物体——上下颠倒

2、如图，C、D、E、F是一个长方形台球桌的4个顶点，A、B是桌面上的两个球，怎样击打A球，才能使A球撞击桌面边缘CF后反弹能够撞击B球？请画出A球经过的路线，并写出作法．

【答案与详解】

解：作点A关于直线CF对称的点G，连接BG交CF于点P，则点P即为A球撞击桌面边缘CF的位置，A球经过的路线如下图.

【总结升华】这道题利用了轴对称的性质，把AP转化成了线段GP，通过找A点的对称点，从而确定点P的位置.

举一反三：

【变式】已知∠MON内有一点P，P关于OM，ON的对称点分别是和，分别交OM, ON与点A、B，已知＝15，则△PAB 的周长为（      ）

A. 15        B 7.5        C. 10          D. 24

【答案】A；

提示：根据轴对称的性质，PA=P1A，PB=P2B，△PAB 的周长等于.

类型二、线段垂直平分线性质

3、如图，已知AD是线段BC的垂直平分线，且BD=3cm，△ABC的周长为20cm，求AC的长．

【思路点拨】根据线段垂直平分线的性质，可得AB=AC，BD=CD，然后根据等量代换，解答出即可．

【答案与详解】

解：∵AD是线段BC的垂直平分线，

∴AB=AC，BD=CD，

又∵BD=3cm，

∴BC=6cm，

又∵△ABC的周长=AB+BC+AC=20cm，

∴2AC=14，

AC=7cm．

【总结升华】本题主要考查线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．

举一反三

【变式】如图所示，DE是线段AB的垂直平分线，下列结论一定成立的是（　　）

Ａ．ED=CD　　Ｂ．∠DAC=∠B　　Ｃ．∠C＞2∠B　　Ｄ．∠B+∠ADE=90°

【答案】Ｄ；

类型三、角平分线性质

4、如图，点O到△ABC的两边AB，AC的距离相等，且OB=OC．求证：AB=AC．

【思路点拨】根据题意过点O分别作OE⊥AB，OF⊥AC，E，F分别是垂足，则OE=OF，已知OB=0C，可证Rt△OEB≌Rt△OFC，从而得∠OBE=∠OCF，又由OB=OC得∠OBC=∠OCB，可得∠ABC=∠ACD，即AB=AC．

【答案与详解】

证明：过点O分别作OE⊥AB，OF⊥AC，E，F分别是垂足，

由题意知，OE=OF．

在Rt△OEB和Rt△OFC中，

∵OE=OF，OB=OC，

∴Rt△OEB≌Rt△OFC，

∴∠OBE=∠OCF，

又由OB=OC知∠OBC=∠OCB，

∴∠ABC=∠ACD，

∴AB=AC．

【总结升华】本题考查了三角形全等的判定与性质．关键是根据题意证明三角形全等，得出相等角，利用等角对等边证明结论．

举一反三

【变式】点D到△ABC的两边AB、AC的距离相等，则点D在（　　）

A. BC的中线上                 B. BC边的垂直平分线上

C. BC边的高线上               D.∠A的平分线所在的直线上

【答案】D；

类型四、等腰三角形的性质与判定

5、已知：一等腰三角形的两边长，满足方程组，则此等腰三角形的周长为（　　）

A.5       B.4         C.3        D.5或4

【思路点拨】通过解方程组算出等腰三角形的两边长，由于没有指定边长是腰还是底，所以需要分类讨论，最后还要注意检验能否构成三角形.

【答案】A；

【详解】

解：解方程组得，

当腰为1，2为底时，1＋1＝2，不能构成三角形，

当腰为2，1为底时，能构成三角形，周长为2＋2＋1＝5

【总结升华】本题从边的方面考查等腰三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．

举一反三：

【变式】已知等腰三角形的一个内角为70°，则另两个内角的度数是（　　）

A.55°，55°  B.70°，40°    C.55°，55°或70°，40°   D.以上都不对

【答案】C；

提示：当70°为顶角时,另外两个角是底角，它们的度数是相等的，为（180°－70°）÷2＝55°，当70°为底角时,另外一个底角也是70°,顶角是180°－140°＝40°．

6、（2020春•杨浦区期末）已知：如图，在△ABC中，AC=BC，点D在AB边上，DE∥AC交BC边于点E，DF⊥AB，垂足是D，交直线BC于点F，试说明△DEF是等腰三角形的理由．

【思路点拨】由等边对等角和平行线的性质得：∠B=∠BDE=∠A，由DF⊥AB得△BDF是直角三角形，得∠BDE+∠EDF=90° 和∠B+∠F=90°，则∠F=∠EDF，从而得出结论．

【答案与详解】

解：∵AC=BC，

∴∠A=∠B，

∵DE∥AC，

∴∠BDE=∠A，

∴∠B=∠BDE，

∵FD⊥AB，

∴∠BDF=90°，

∴∠BDE+∠EDF=90°，

∵∠B+∠F+∠BDF=180°，

∴∠B+∠F=90°，

∴∠F=∠EDF，

∴DE=DF，

即△DEF是等腰三角形．

【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质和判定，是常考题型；熟练掌握等边对等角，等角对等边；以及直角三角形的两个锐角互余．

举一反三：

【变式1】如图，∠1＝∠2，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，请判断△AEC的形状，并说明理由．

【答案】

解：△AEC是等腰三角形．

理由如下：∵∠1＝∠2，

∴∠1＋∠3＝∠2＋∠3，即∠BAC＝∠DAE，

又∵AB＝AD，∠B＝∠D，

∴△ABC≌△ADE（ASA），

∴AC＝AE．

即△AEC是等腰三角形．

【变式2】如图，∠BAC＝90°，以△ABC的边AB、AC为直角边向外作等腰直角△ABE和△ACD，M是BC的中点，请你探究线段DE与AM之间的数量关系．

【答案】ED＝2AM

解：连接DE，

∵∠BAC＝90°，M是BC的中点

∴AM＝BM＝MC＝

∠EAD＝∠BAC＝90°，AE＝AB，AC＝AD

∴△ABC≌△AED

∴ED＝BC

∴ED＝2AM

类型五、等边三角形的性质与判定

7、如图，设Ｄ为等边△ABC内一点，且AD＝BD，BP＝AB, ∠DBP＝∠DBC.求∠BPD的度数.

【答案与详解】

解：如图，连接CD，

∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝AC＝BC，又AD＝BD，DC是公共边，

∴△BDC≌△ADC（SSS），

∴∠DCB＝∠DCA＝×60°＝30°，∠DBC＝∠DAC，

∵∠DBP＝∠DBC，

∴∠DAC＝∠DBP，

又已知BP＝AB，

∴BP＝AC，

∴△DBP≌△DAC（SAS），

∴∠P＝∠ACD＝30°．

【总结升华】本题主要考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质，在判定三角形

全等时，关键是选择恰当的判定条件．

举一反三：

【变式】（2020•营口）如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是（　　）

　 A．25° B． 30° C． 35° D． 40°

【答案】B．

解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，

分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：

∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，

∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA；

∵点P关于OB的对称点为C，

∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB，

∴OC=OP=OD，∠AOB=∠COD，

∵△PMN周长的最小值是5cm，

∴PM+PN+MN=5，

∴DM+CN+MN=5，

即CD=5=OP，

∴OC=OD=CD，

即△OCD是等边三角形，

∴∠COD=60°，

∴∠AOB=30°；

故选：B．