第五章 生活中的轴对称B卷压轴题考点训练-七年级数学下册压轴题攻略（北师大版，成都专用）

第四章 三角形B卷压轴题考点训练

1．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为【     】

A．130° B．120° C．110° D．100°

【答案】B

【详解】如图，作A关于BC和ED的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，

则A′A″即为△AMN的周长最小值．作DA延长线AH．

∵∠BAD＝120°，∴∠HAA′＝60°．∴∠AA′M＋∠A″＝∠HAA′＝60°．

∵∠MA′A＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，且∠MA′A＋∠MAA′＝∠AMN，∠NAD＋∠A″＝∠ANM，

∴∠AMN＋∠ANM＝∠MA′A＋∠MAA′＋∠NAD＋∠A″＝2(∠AA′M＋∠A″)＝2×60°＝120°．

故选B．

2．如图，在 Rt∆ACB 中，∠ACB=90°, ∠A=25°, D 是 AB 上一点.将Rt∆ABC沿CD折叠，使B点落在C边上的B’处，则∠CDB’等于（   ）       

A．40° B．60° C．70° D．80°

【答案】C

【详解】解：∵在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，

∴∠ABC=90°-25°=65°．

∵△B′CD由△BCD翻折而成，∴∠BCD=∠B′CD=×90°=45°，∠CB′D=∠CBD=65°，

∴∠CDB′=180°-45°-65°=70°．

故选C．

3．如图，锐角三角形中，直线为的中垂线，直线为的角平分线，与相交于点．若，则是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】解：∵BP平分∠ABC，∴∠ABP=∠CBP，

∵直线l是线段BC的垂直平分线，∴BP=CP，

∴∠CBP=∠BCP，∴∠ABP=∠CBP=∠BCP，

∵∠A+∠ACB+∠ABC=180°，∠A=60°，∠ACP=24°，∴3∠ABP+24°+60°=180°，解得：∠ABP=32°．

故选：C．

4．如图，在边长为1正方形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，3AE=EB，有一只蚂蚁从E点出发，经过F、G、H，最后回点E点，则蚂蚁所走的最小路程是（       ）

A．2 B．4 C． D．

【答案】C

【详解】解：延长DC到D'，使CD=CD'，G关于C对称点为G'，

则FG=FG'，

同样作D'A'⊥CD'，D'A'=DA，H对应的位置为H'，

则G'H'=GH，

再作A'B'⊥D'A'，E的对应位置为E'，

则H'E'=HE．

容易看出，当E、F、G'、H'、E'在一条直线上时路程最小，

最小路程为EE'==2．

故选：C．

5．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE=2BF，给出下列四个结论：①DE=DF；②DB=DC；③AD⊥BC；④AC=3BF，其中正确的结论共有（ ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

【答案】A

【详解】解：∵，∴∠C=∠CBF，

∵BC平分∠ABF，

∴∠ABC=∠CBF，

∴∠C=∠ABC，

∴AB=AC，

∵AD是△ABC的角平分线，

∴BD=CD，AD⊥BC，故②，③正确，

在△CDE与△DBF中，

，

∴△CDE≌△DBF，

∴DE=DF，CE=BF，故①正确；

∵AE=2BF，

∴AC=3BF，故④正确．

故选A．

6．如图，将长方形纸片沿对角线折叠，使点落在处，交AD于E，若，则在不添加任何辅助线的情况下，则图中的角（虚线也视为角的边）的个数是（       ）

A．5个 B．4个 C．3个 D．2

【答案】A

【详解】由折叠知△BDC ≌△BDC

∴∠C′BD=∠CBD=22.5°

∠C′=∠C=90°，∴∠C′BC=45°

又∵∠ABC=90°

∴∠ABE=45°

易得：∠AEB=45°，∠C′ED=45°，∠C′DE=45°．

综上所述共有5个角为45°，故选A．

7．在等腰△ABC中，AB=AC，AC腰上的中线BD将三角形周长分为15和21两部分，则这个三角形的底边长为______．

【答案】16或8

【详解】解：∵BD是等腰△ABC的中线，可设AD=CD=x，则AB=AC=2x

又知BD将三角形周长分为15和21两部分，∴可知分为两种情况

①AB+AD=15，即3x=15，解得x=5，此时BC=21﹣x=21﹣5=16

②AB+AD=21，即3x=21，解得x=7；此时等腰△ABC的三边分别为14，14，8

经验证，这两种情况都是成立的

∴这个三角形的底边长为8或16

故答案为：16或8

8．如图所示，内一点P，，分别是P关于OA，OB的对称点，交OA于点M，交OB于点N，若，则的周长是__________．

【答案】5cm

【详解】∵，分别是P关于OA，OB的对称点，∴MP1=MP，NP2=NP，

∵P1P2=5cm，∴MP1+NP2+MN=MP+MN+NP=P1P2=5，∴△PMN的周长为5cm，

故答案为：5cm

9．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边ABC和等边CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．则下列结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③AP＝BQ；④DE＝DP．其中正确的有________．（填序号）

【答案】①②③

【详解】解：∵等边ABC和等边CDE，

∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60°，

∴180°﹣∠ECD＝180°﹣∠ACB，即∠ACD＝∠BCE，

在ACD与BCE中， ，∴ACD≌BCE（SAS），∴AD＝BE，故①小题正确；

∵ACD≌BCE（已证），∴∠CAD＝∠CBE，

∵∠ACB＝∠ECD＝60°（已证），∴∠BCQ＝180°﹣60°×2＝60°，

∴∠ACB＝∠BCQ＝60°，

在ACP与BCQ中， ，∴ACP≌BCQ（ASA），

∴AP＝BQ，故③小题正确；PC＝QC，∴PCQ是等边三角形，

∴∠CPQ＝60°，∴∠ACB＝∠CPQ，∴PQ∥AE，故②小题正确；

∵AD＝BE，AP＝BQ，∴AD﹣AP＝BE﹣BQ，即DP＝QE，

∠DQE＝∠ECQ+∠CEQ＝60°+∠CEQ，∠CDE＝60°，

∴∠DQE≠∠CDE，故④小题错误．

综上所述，正确的是①②③．

故答案为：①②③．

10．如图，等边的边长为，、分别是、上的点，将沿直线折叠，点落在点处，且点在外部，则阴影部分图形的周长为__________.

【答案】3

【详解】解：由折叠性质可得，，

所以.

故答案为：3.

11．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为_____度．

【答案】108．

【详解】如图，连接OB、OC，

∵∠BAC=54°，AO为∠BAC的平分线，∴∠BAO=∠BAC=×54°=27°．

又∵AB=AC，∴∠ABC=（180°﹣∠BAC）=（180°﹣54°）=63°．

∵DO是AB的垂直平分线，∴OA=OB．∴∠ABO=∠BAO=27°．∴∠OBC=∠ABC﹣∠ABO=63°﹣27°=36°．

∵DO是AB的垂直平分线，AO为∠BAC的平分线，

∴点O是△ABC的外心．∴OB=OC．∴∠OCB=∠OBC=36°．

∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，∴OE=CE．

∴∠COE=∠OCB=36°．

在△OCE中，∠OEC=180°﹣∠COE﹣∠OCB=180°﹣36°﹣36°=108°．

12．如图①，点分别是等边边上的动点（端点除外），点P从点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连续交于点M．

（1）求证：；

（2）点分别在边上运动时，变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．

（3）如图②，若点在运动到终点后继续在射线上运动，直线交点为M，求的度数．

【答案】（1）见解析；（2）60°；（3）120°

【详解】解：（1）证明：如图1，是等边三角形，

，，

又点、运动速度相同，，

在与中，，

；

（2）点、在、边上运动的过程中，不变．

理由：，，

是的外角，，

，；

（3）如图，点、在运动到终点后继续在射线、上运动时，不变．

理由：同理可得，，，

是的外角，，

，

即若点、在运动到终点后继续在射线、上运动，的度数为．

13．如图1所示，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为直角边，A为直角顶点，在AD左侧作等腰直角三角形ADF，连接CF，AB=AC，∠BAC=90°．

（1）当点D在线段BC上时（不与点B重合），线段CF和BD的数量关系与位置关系分别是什么？请给予证明．

（2）当点D在线段BC的延长线上时，（1）的结论是否仍然成立？请在图2中画出相应的图形，并说明理由．

【答案】（1）CF=BD，且CF⊥BD，证明见解析；（2）（1）的结论仍然成立，理由见解析

【详解】解：（1）CF=BD，且CF⊥BD，证明如下：

∵∠FAD=∠CAB=90°，∴∠FAC=∠DAB．

在△ACF和△ABD中，，

∴△ACF≌△ABD，∴CF=BD，∠FCA=∠DBA，

∴∠FCD=∠FCA+∠ACD=∠DBA+∠ACD=90°，∴FC⊥CB，故CF=BD，且CF⊥BD．

（2）（1）的结论仍然成立，如图2，

∵∠CAB=∠DAF=90°，∴∠CAB+∠CAD=∠DAF+∠CAD，即∠CAF=∠BAD，

在△ACF和△ABD中，，

∴△ACF≌△ABD，∴CF=BD，∠ACF=∠B，

∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠ACB=45°，

∴∠BCF=∠ACF+∠ACB=45°+45°=90°，∴CF⊥BD；

∴CF=BD，且CF⊥BD．

14．数学课上，李老师出示了如下框中的题目．

小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：

（1）特殊情况，探索结论

当点E为的中点时，如图1，确定线段与的大小关系．

请你直接写出结论：_____（填“>”，“<”或“=”）．

（2）特例启发，解答题目

解：如图2，题目中，与的大小关系是：____（填“>”“<”或“=”）．

理由如下：（请你完成以下解答过程）

（3）拓展结论，设计新题

在等边三角形中，点E在直线上，点D在直线上，且．若的边长为1，，求的长（请你直接写出结果）．

【答案】（1）=；（2）=；（3）3或1

【详解】解：（1）如图 1 ，过点作，交于点，

为等边三角形，

，∠A=60°，

∴为等边三角形，

，，

，

，，

，

在和中，

，

，

，

故答案为：；

（2）如图1，过E作EF∥BC交AC于F，

∵等边三角形ABC，

∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，AB=AC=BC，

∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，

即∠AEF=∠AFE=∠A=60°，

∴△AEF是等边三角形，

∴AE=EF=AF，

∵∠ABC=∠ACB=∠AFE=60°，

∴∠DBE=∠EFC=120°，∠D+∠BED=∠FCE+∠ECD=60°，

∵DE=EC，

∴∠D=∠ECD，

∴∠BED=∠ECF，

在△DEB和△ECF中，

∴△DEB≌△ECF（AAS），

∴BD=EF=AE，

即AE=BD，

故答案为：=．

（3）CD=1或3，理由是：分为两种情况：①如图2

过A作AM⊥BC于M，过E作EN⊥BC于N，则AM∥EN，

∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=1，

∵AM⊥BC，∴BM=CM=BC=，

∵DE=CE，EN⊥BC，∴CD=2CN，

∵AB=1，AE=2，∴AB=BE=1，

∵EN⊥DC，AM⊥BC，∴∠AMB=∠ENB=90°，

在△ABM和△EBN中，

∴△AMB≌△ENB（AAS），∴BN=BM=，∴CN=1+=，CD=2CN=3；

②如图3，作AM⊥BC于M，过E作EN⊥BC于N，

则AM∥EN，

∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=1，

∵AM⊥BC，∴BM=CM=BC=，

∵DE=CE，EN⊥BC，∴CD=2CN，

∵AM∥EN，∴，∴，∴MN=1，∴CN=1-=，∴CD=2CN=1，即CD=3或1．

15．我们已学习了角平分线的概念，那么你会用这一知识解决有关问题吗？

(1)如图①所示，将长方形笔记本的一张活页纸的一角折叠，使该角的顶点A落在点A′处，BC为折痕．若∠ABC＝55°，求∠A′BD的度数；

(2)在(1)的条件下，如果将它的另一个角也斜折过去，并使BD边与BA′重合，点D落在点D′处，折痕为BE，如图②所示，求∠D′BE和∠CBE的度数；

(3)若改变图②中∠ABC的大小，则BA′的位置也随之改变，那么(2)中∠CBE的大小会不会改变？请说明理由．

【答案】（1）∠A′BD＝70°；（2）∠D′BE＝35°，∠CBE＝90°；（3）∠CBE的大小不会改变，为定值90°，理由详见解析.

【详解】解：(1)因为∠ABC＝55°，

由折叠的性质，得∠A′BC＝∠ABC＝55°，

所以∠A′BD＝180°－∠ABC－∠A′BC＝180°－55°－55°＝70°.

(2)由(1)中的结论可知∠DBD′＝70°，

由折叠的性质，得，

所以.

(3)不会改变．理由：由折叠的性质，得

，，

所以，

所以∠CBE的大小不会改变，为定值90°.