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高中数学高考专题30 根据步骤列出离散型随机变量的分布列(解析版)
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这是一份高中数学高考专题30 根据步骤列出离散型随机变量的分布列(解析版)，共39页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
专题30 根据步骤列出离散型随机变量的分布列
一、解答题
1．垃圾是人类日常生活和生产中产生的废弃物，由于排出量大，成分复杂多样，且具有污染性，所以需要无害化、减量化处理.某市为调查产生的垃圾数量，采用简单随机抽样的方法抽取20个县城进行了分析，得到样本数据，其中和分别表示第个县城的人口（单位：万人）和该县年垃圾产生总量（单位：吨），并计算得，，，，.
（1）请用相关系数说明该组数据中与之间的关系可用线性回归模型进行拟合；
（2）求关于的线性回归方程；
（3）某科研机构研发了两款垃圾处理机器，其中甲款机器每台售价100万元，乙款机器每台售价80万元，下表是以往两款垃圾处理机器的使用年限统计表：
1年
2年
3年
4年
合计
甲款
5
20
15
10
50
乙款
15
20
10
5
50
根据以往经验可知，某县城每年可获得政府支持的垃圾处理费用为50万元，若仅考虑购买机器的成本和每台机器的使用年限（使用年限均为整年），以频率估计概率，该县城选择购买一台哪款垃圾处理机器更划算？
参考公式：相关系数，对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.
【答案】（1）因为与的相关系数接近，所以与之间具有较强的线性相关关系，可用线性回归模型进行拟合；（2）；（3）甲款.
【分析】
（1）根据相关系数的计算公式及参考数据即可得出结论；
（2）根据参考公式及参考数据即可求解；
（3）分别求出从两款机器中购买一台节的政府支持的拉圾外理费用的分布列，然后分别求出期望，比较即可得出结果
【详解】
解（1）由题意知相关系数，
因为与的相关系数接近，
所以与之间具有较强的线性相关关系，可用线性回归模型进行拟合.
（2）由题意可得，，
，
所以.
（3）以频率估计概率，购买一台甲款垃圾处理机器节约政府支持的垃圾处理费用（单位：万元）的分布列为：
0
50
100
（万元）.
购买一台乙款垃圾处理机器节约政府支持的垃圾处理费用（单位：万元）的分布列为：
20
70
120
（万元）.
因为，所以该县城选择购买一台甲款垃圾处理机器更划算.
【点睛】
思路点睛：
求解回归直线方程时，一般根据题中数据，计算变量的平均值，根据最小二乘法，结合公式求解.
2．某电子产品加工厂购买配件并进行甲、乙两道工序处理，若这两道工序均处理成功，则该配件加工成型，可以直接进入市场销售；若这两道工序均处理不成功，则该配件报废；若这两道工序只有一道工序处理成功，则该配件需要拿到丙部门检修，若检修合格，则该配件可以进入市场销售，若检修不合格，则该配件报废．根据以往经验，对于任一配件，甲、乙两道工序处理的结果相互独立，且处理成功的概率分别为，，丙部门检修合格的概率为．
（1）求该工厂购买的任一配件可以进入市场销售的概率．
（2）已知配件的购买价格为元/个，甲、乙两道工序的处理成本均为元/个，丙部门的检修成本为元个，若配件加工成型进入市场销售，售价可达元/个；若配件报废，要亏损购买成本以及加工成本．若市场大量需求配件的成型产品，试估计该工厂加工个配件的利润．（利润售价购买价格加工成本）
【答案】（1）；（2）万元．
【分析】
（1）根据题意分析出哪种情形下配件可进入市场销售，利用相互独立事件的概率计算公式进行求解即可；
（2）先设工厂加工5000个配件的利润为元，加工一个配件的利润为元，则，再求出的所有可能取值及其对应的概率，进而可得的期望，最后利用数学期望的性质即可得解．
【详解】
（1）记任一配件加工成型可进入市场销售为事件，甲、乙两道工序分别处理成功为事件，，丙部门检修合格为事件．
则．
（2）设该工厂加工个配件的利润为元，加工一个配件的利润为元，则．
由题可知的所有可能取值为，，，，
则，
，
，
．
的分布列为
104
88
∴，
∴.
∴估计该工厂加工个配件的利润为万元．
【点睛】
关键点点睛：求解本题第（2）问的关键是准确求出离散型随机变量的所有取值及其对应的概率，并且在求出分布列后，注意运用分布列的两个性质（①，；②）检验所求的分布列是否正确；（2）在求出后，会利用期望的性质求．
3．某生物研究所为研发一种新疫苗，在200只小白鼠身上进行科研对比实验，得到如下统计数据：
未感染病毒
感染病毒
总计
未注射疫苗
35
注射疫苗
65
总计
100
100
200
现从未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率为．
（1）能否有的把握认为注射此种疫苗有效？
（2）现从感染病毒的小白鼠中任意抽取2只进行病理分析，记注射疫苗的小白鼠只数为，求的概率分布和数学期望．
附：，
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
【答案】（1）有99.9%的把握认为注射此种疫苗有效；（2）概率分布见解析，．
【分析】
（1）根据题中条件，先得出，，，，由公式求出，结合临界值表，即可得出结果；
（2）根据题意，得到的所有可能取值为0，1，2；分别求出对应的概率，即可得出分布列，以及期望.
【详解】
（1）由条件知，，，，
，
所以有99.9%的把握认为注射此种疫苗有效．…
（2）由题意，的所有可能取值为0，1，2．
，，，
所以的概率分布为
0
1
2
数学期望．
【点睛】
本题主要考查独立性检验的基本思想，考查离散型随机变量的分布列与期望，属于常考题型.
4．某市高考模拟考试数学试卷解答题的网上评卷采用“双评仲裁”的方式：两名老师独立评分，称为一评和二评，当两者所评分数之差的绝对值小于或等于1分时，取两者平均分为该题得分；当两者所评分数之差的绝对值大于1分时，再由第三位老师评分，称之为仲裁，取仲裁分数和一、二评中与之接近的分数的平均分为该题得分；当一、二评分数和仲裁分数差值的绝对值相同时，取仲裁分数和一、二评中较高的分数的平均分为该题得分．有的学生考试中会做的题目答完后却得不了满分，原因多为答题不规范，比如：语言不规范、缺少必要文字说明、卷面字迹不清、得分要点缺失等等，把这样的解答称为“缺憾解答”．该市教育研训部门通过大数据统计发现，满分为12分的题目，这样的“缺憾解答”，阅卷老师所评分数及各分数所占比例如表：
教师评分
11
10
9
分数所占比例
将这个表中的分数所占比例视为老师对满分为12分题目的“缺憾解答”所评分数的概率，且一、二评与仲裁三位老师评分互不影响．
已知一个同学的某道满分为12分题目的解答属于“缺憾解答”．
（1）求该同学这个题目需要仲裁的概率；
（2）求该同学这个题目得分的分布列及数学期望（精确到整数）．
（1）；（2）答案见解析.
【分析】
（1）首先设表示事件：“该同学这个解答题需要仲裁”，设一评、二评所打分数分别为，，由题设知事件的所有可能情况有：，或，由此能求出该同学这个题目需要仲裁的概率．
（2）随机事件的可能取值为9，9.5，10，10.5，11，设仲裁所打分数为，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和数学期望．
【详解】
（1）记表示事件：“该同学这个解答题需要仲裁”，设一评、二评所打分数分别为，，
由题设知事件的所有可能情况有：，或，
（A）．
（2）随机事件的可能取值为9，9.5，10，10.5，11，设仲裁所打分数为，
则，
，
，
，
，
的分布列为：
9
9.5
10
10.5
11
．
【点睛】
易错点点睛：概率问题一般都是背景习题，所以第一步注意审题，避免因审题不清楚，造成错误，第二个错误就是写随机变量时，要做到准确，并理解每一个事件表示的意义，才能正确求概率，属于中档题．
5．为研究一种新药的耐受性，要对白鼠进行连续给药后观察是否出现症状的试验，该试验的设计为：对参加试验的每只白鼠每天给药一次，连续给药四天为一个给药周期，试验共进行三个周期．假设每只白鼠给药后当天出现症状的概率均为，且每次给药后是否出现症状与上次给药无关．
（1）从试验开始，若某只白鼠连续出现次症状即对其终止试验，求一只白鼠至少能参加一个给药周期的概率；
（2）若在一个给药周期中某只白鼠至少出现次症状，则在这个给药周期后，对其终止试验，设一只白鼠参加的给药周期数为，求的分布列和数学期望．
【答案】（1）；（2）分布列见解析，.
【分析】
（1）利用“正难则反”思想，计算一个给药周期也没有参加完的概率，则至少能参加一个给药周期的概率为；
（2）先计算出一个给药周期内至少出现次症状的概率，然后根据题目条件确定随机变量的可能取值，分别计算每一个值所对应的概率，列出分布列并求出数学期望.
【详解】
解：（1）设“一只白鼠至少能参加一个给药周期”为事件，则的对立事件为一个给药周期也没有参加完．
设一次给药出现症状为事件，则一个给药周期也没有参加完的概率为，
所以一只白鼠至少能参加一个给药周期的概率为．
（2）设事件为“在一个给药周期中某只白鼠至少出现次症状”，
则，
则随机变量的取值为．
，
，
，
所以X的分布列为
所以随机变量的数学期望为．
【点睛】
本题考查概率的乘法公式及加法公式，考查随机变量的分布列及数学期望计算，难度一般.解答时易错点如下：
（1）每次给药相互独立；
（2）在解答第（2）小题时，注意若前一个给药周期能通过，才可以参加下一个给药周期.
6．第13届女排世界杯于2019年9月14日在日本举行，共有12支参赛队伍.本次比赛启用了新的排球用球MIKSA-V200W ，已知这种球的质量指标ξ (单位:g )服从正态分布N (270， ).比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11场比赛(采取5局3胜制)，最后靠积分选出最后冠军积分规则如下:比赛中以3:0或3:1取胜的球队积3分，负队积0分;而在比赛中以3:2取胜的球队积2分，负队积1分.已知第10轮中国队对抗塞尔维亚队，设每局比赛中国队取胜的概率为p(0
（2）第10轮比赛中，记中国队3:1取胜的概率为.
（i）求出f(p)的最大值点;
（ii）若以作为p的值记第10轮比赛中，中国队所得积分为X，求X的分布列.
参考数据:ζ ~N(u，)，则p(μ-σ
【分析】
（1）由正态分布原则即可求出排球个数；
（2）（i）根据二项分布先求出，再利用导数求出取得最大值时的值；
（ii）根据比赛积分规则，得出中国队得分可能的取值，然后求出分布列.
【详解】
（1）因为ξ服从正态分布N (270， )，所以，
所以质量指标在(260，265]内的排球个数为个；
（2）（i），
令，得，
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减；
所以的最大值点；
（ii）的可能取值为0，1，2，3.
；；
；；
所以的分布列为
0
1
2
3
P
【点睛】
求随机变量的分布列的步骤：(1)理解X的意义，写出X可能取得全部值；
(2)求X取每个值的概率；
(3)写出X的分布列；
(4)根据分布列的性质对结果进行检验.
还可判断随机变量满足常见分布列：两点分布，二项分布，超几何分布，正态分布.
7．某校从高二年级随机抽取了20名学生的数学总评成绩和物理总评成绩，记第i位学生的成绩为() (i=1，2，3...20)，其中分别为第i位学生的数学总评成绩和物理总评成绩.抽取的数据列表如下( 按数学成绩降序整理):
序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
数学总评成绩x
95
92
91
90
89
88
88
87
86
85
物理总评成绩y
96
90
89
87
92
81
86
88
83
84
序号
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
数学总评成绩x
83
82
81
80
80
79
78
77
75
74
物理总评成绩
81
80
82
85
80
78
79
81
80
78
（1）根据统计学知识，当相关系数|r|≥0.8时，可视为两个变量之间高度相关.根据抽取的数据，能否说明数学总评成绩与物理总评成绩高度相关?请通过计算加以说明.
参考数据：
参考公式：相关系数
（2）规定:总评成绩大于等于85分者为优秀，小于85分者为不优秀，对优秀赋分1，对不优秀赋分0，从这20名学生中随机抽取2名学生，若用X表示这2名学生两科赋分的和，求X的分布列和数学期望.
【答案】（1）“数学学期综合成绩”与“物理学期综合成绩”高度相关；答案见解析；（2）分布列见解析，.
【分析】
（1）代入公式计算，解得即可得解；
（2）由超几何分布概率公式计算出、、、、，进而可得分布列，再由数学期望的公式即可得数学期望.
【详解】
（1）由题意，
，
所以“数学学期综合成绩”与“物理学期综合成绩”高度相关；
(2) 由题意得：的可能取值为0，1，2，3，4.，
根据赋分规则可知，7人赋分为2，4人赋分为1，9个人赋分为0，
所以，，，，，
所以的分布列为：
0
1
2
3
4
所以.
【点睛】
关键点点睛：解决本题的关键是对的值合理放缩及超几何分布的应用.
8．在20人身上试验某种血清对预防感冒的作用，把他们一年中是否患感冒的人数与另外20名未用血清的人是否患感冒的人数作比较，结果如下表所示．
未感冒
感冒
使用血清
17
3
未使用血清
14
6
（1）从上述患过感冒的人中随机选择4人，以进一步研究他们患感冒的原因．记这4人中使用血清的人数为，试写出的分布列；
（2）有多大的把握得出“使用该种血清能预防感冒”的结论？你的结论是什么？请说明理由．
附：对于两个研究对象Ⅰ（有两类取值：类A，类B）和Ⅱ（有两类取值：类1，类2）统计数据的一个2×2列联表：
Ⅱ
类1
类2
Ⅰ
类A
类B
有，其中.
临界值表（部分）为
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
0.445
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.
【分析】
（1）根据题中条件，确定的可能取值为0，1，2，3；分别求出其对应的概率，即可得出分布列；
（2）先将题中所给的列联表整理，根据公式，求出，结合临界值表，即可得出结论.
【详解】
（1）因为使用血清的人中感冒的人数为3，未使用血清的人中感冒的人数为6，一共9人，从这9人中选4人，其中使用血清的人数为，则随机变量的可能值为0，1，2，3．
因为，，
，，
所以随机变量的分布列为
0
1
2
3
（2）将题中所给的2×2列联表进行整理，得
未感冒
感冒
总数
使用血清
17
3
20
未使用血清
14
6
20
总数
31
9
40
提出假设：是否使用该种血清与感冒没有关系.
根据公式，求得.
因为当成立时，“”的概率约为0.40，“”的概率约为0.25，所以有60%的把握认为：是否使用该种血清与感冒有关系，即“使用该种血清能预防感冒”，得到这个结论的把握不到75%．
由于得到这个结论的把握低于90%，因此，我的结论是：没有充分的证据显示使用该种血清能预防感冒，也不能说使用该种血清不能预防感冒.
【点睛】
思路点睛：
求离散型随机变量的分布列的一般步骤：
（1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；
（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；
9．面对环境污染，党和政府高度重视，各级环保部门制定了严格措施治理污染，同时宣传部门加大保护环境的宣传力度，因此绿色低碳出行越来越成为市民的共识，为此某市在八里湖新区建立了公共自行车服务系统，市民凭本人二代身份证到公共自行车服务中心办理诚信借车卡，初次办卡时卡内预先赠送20分，当诚信积分为0时，借车卡自动锁定，限制借车，用户应持卡到公共自行车服务中心以1元购1个积分的形式再次激活该卡，为了鼓励市民租用公共自行车出行，同时督促市民尽快还车，方便更多的市民使用，公共自行车按每车每次的租用时间进行扣分缴费，具体扣分标准如下：
①租用时间不超过1小时，免费；
②租用时间为1小时以上且不超过2小时，扣1分；
③租用时间为2小时以上且不超过3小时，扣2分；
④租用时间为3小时以上且不超过4小时，扣3分；
⑤租车时间超过4小时除扣3分外，超出时间按每小时扣2分收费（不足1小时的部分按1小时计算）
甲、乙两人独立出行，各租用公共自行车一次，且两人租车时间都不会超过4小时，设甲、乙租用时间不超过一小时的概率分别是，；租用时间为1小时以上且不超过2小时的概率分别是，；租用时间为2小时以上且不超过3小时的概率分别是，．
（1）求甲、乙两人所扣积分相同的概率；
（2）设甲、乙两人所扣积分之和为随机变量，求的分布列和数学期望．
【答案】（1）0.32；（2）分布列见解析，1.8.
【分析】
（1）根据题意，分别记“甲扣分为0分、1分、2分、3分”为事件，，，，它们彼此互斥，分别记“乙扣分为0分、1分、2分、3分”为事件，，，，它们彼此也互斥，则，由此可求事件的概率
（2）根据题的可能取值为：0，1，2，3，4，5，6，然后，相应的的值，即可求出列出的分布列，并由公式求出的数学期望
【详解】
（1）解：根据题意，分别记“甲扣分为0分、1分、2分、3分”为事件，，，它们彼此互斥，
且，，，，
分别记“乙扣分为0分、1分、2分、3分”为事件，，，，它们彼此互斥，
且，，，，
由题知，事件，，，与事件，，，相互独立，
记甲、乙两人所付租车费相同为事件，则，
所以
．
（2）解：根据题的可能取值为：0，1，2，3，4，5，6，
，
，
，
，
，
，
，
所以的分布列为：
0
1
2
3
4
5
6
的数学期望．
【点睛】
关键点睛：解题关键在于列出式子，然后利用概率的相关公式求解，以及根据题意得出的分布列，主要考查学生的运算能力和逻辑推理能力，难度属于中档题
10．为了解本学期学生参加公益劳动的情况，某校从初高中学生中抽取100名学生，收集了他们参加公益劳动时间（单位：小时）的数据，绘制图表的一部分如下．
[0，5）
[5，10）
[10，15）
[15，20）
[20，25）
[25，30）
性别
男
6
9
10
10
9
4
女
5
12
13
8
6
8
学段
初中
x
8
11
11
10
7
高中
（Ⅰ）从男生中随机抽取一人，抽到的男生参加公益劳动时间在[10，20）的概率；
（Ⅱ）从参加公益劳动时间[25，30）的学生中抽取3人进行面谈，记X为抽到高中的人数，求X的分布列；
（Ⅲ）当时，高中生和初中生相比，那学段学生平均参加公益劳动时间较长．（直接写出结果）
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）初中生.
【分析】
（Ⅰ）由表中数据，结合古典概型概率公式即可得解；
（Ⅱ）由超几何分布概率公式可求得，，，，进而可得分布列；
（Ⅲ）由表中数据，分析各时间段内初高中生的人数即可得解.
【详解】
（Ⅰ）抽取的100名学生中，男生有名，
其中公益劳动时间在的有名，
故所求概率；
（Ⅱ）参加公益劳动时间的学生有12人，其中初中生7人，高中生5人，
X的所有可能取值为，
，，，
，
所以X的分布列为：
X
0
1
2
3
P
（Ⅲ）由表格信息可得，初中生平均参加公益劳动时间较长.
【点睛】
关键点点睛：解决本题的关键是有效提取表格中的数据，熟练掌握超几何分布的适用条件及概率公式.
11．2020年伊始，“新冠肺炎病毒”在我国传播，全体中国人民众志成城、全力抗疫，病毒即将被彻底驱离，但境外疫情正在迅速蔓延，我国海外留学生的安危也牵动着国人的心，不少留学生选择就地居家隔离，也有部分留学生选择回国，但是航班紧张.现有A、B、C、D、E五名在英留学生，各自通过互联网订购回国机票，若订票成功即可回国，假定他们能否获得机票互不影响，A、B、C、D、E获得机票的概率分布是.
（1）求这五名留学生均不能回国的概率；
（2）若A、B、C在英国学习期间租住在同一间房子，于是三人商定，若都获得机票才一起回国，否则三人均不回国（已购票者，则选择退票），设X表示五名留学生中回国的人数，求X的概率分布列和数学期望.
【答案】（1）；（2）分布列见解析，
【分析】
（1）根据相互独立事件的概率公式计算可得；
（2）首先求出、、三位学生均回国的概率及均不回国的概率，依题意可得的可能取值为、、、、、，根据相互独立事件的概率公式求出对应的概率，从而求出分布列及期望；
【详解】
解：（1）因为A、B、C、D、E获得机票的概率分布是.
所以五名留学生均不能回国的概率
（2）对于、、三位学生，三人均回国的概率，则均不回国的概率，
则的可能取值为、、、、、；
所以的分布列为：
所以
【点睛】
本题考查离散型随机变量的分布列及相互独立事件的概率公式的应用，对于相互独立事件同时发生的概率为各事件的概率之积；
12．有甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司底薪80元，送餐员每单抽成4元；乙公司无底薪，40单以内（含40单）的部分送餐员每单抽成6元，超过40单的部分送餐员每单抽成7元.现从这两家公司各随机选取一名送餐员，分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数分布表：
送餐单数
8
9
0
1
2
甲公司天数
0
0
5
0
乙公司天数
0
5
0
0
（1）从记录甲公司的50天送餐单数中随机抽取3天，求这3天的送餐单数都不小于40单的概率；
（2）假设同一个公司的送餐员一天的送餐单数相同，将频率视为概率，回答下列两个问题：
①求乙公司送餐员日工资的分布列和数学期望；
②小张打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日均工资的角度考虑，小张应选择哪家公司应聘？说明你的理由.
（1）；（2）①答案见解析，；②选择甲，理由见解析.
【分析】
（1）记抽取的3天送餐单数都不小于40为事件，可得（A）的值．
（2）①设乙公司送餐员送餐单数为，可得当时，，以此类推可得：当时，当时，的值．当时，的值，同理可得：当时，的值．求出的所有可能取值．可得的分布列及其数学期望．
②依题意，甲公司送餐员日平均送餐单数．可得甲公司送餐员日平均工资，与乙数学期望比较即可得出．
【详解】
（1）由表知，50天送餐单数中有30天的送餐单数不小于40单，记抽取的3天送餐单数都不小于40为事件，则.
（2）（ⅰ）设乙公司送餐员的送餐单数为，日工资为元，则
当时，；当时，；当时，；当时，；当时，.所以的分布列为：
228
234
240
247
254
.
（ⅱ）依题意，甲公司送餐员的日平均送餐单数为，
所以甲公司送餐员的日平均工资为元，
因为，所以小张应选择甲公司应聘.（意对即可）
【点睛】
关键点点睛：根据题意求出随机变量的可能取值，写出随机变量的分布列与数学期望，根据古典概率计算公式、组合计算公式，计算所求概率，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
13．某学校为了了解学生暑假期间学习数学的情况，抽取了人数相等的甲、乙两班进行调查，甲班同学每天学习数学的平均时间的频率分布直方图（将时间分成共6组）和乙班同学每天学习数学的平均时间的频数分布表如图所示（单位：小时）.
（1）从甲班每天学习数学的平均时间在的人中随机选出3人，求3人中恰有1人学习数学的平均时间在范围内的概率；
（2）从甲、乙两个班每天学习数学平均时间不小于5个小时的学生中随机抽取4人进一步了解其他情况，设4人中乙班学生的人数为，求的分布列和数学期望.
【答案】（1）；（2）分布列见解析，.
【分析】
（1）先求出甲班的总人数，再利用频率分布直方图求出甲班在[0，1），[1，2）的人数，从而可以计算出抽取 3人中恰有1人学习数学的平均时间在范围内的概率；（2）首先计算出甲，乙两班中数学平均时间在区间[5，6]的人数，从而可以得到随机变量的取值，并计算出对应的概率，写出随机变量的分布列，即可计算出随机变量的数学期望.
【详解】
（1）因为乙班学生的总人数为2+5+10+16+14+3=50，
所以甲班中学习平均时间在[0，1）内的人数为50×0.04=2，
甲班中学习平均时间在[1，2）内的人数为50×0.08=4.
设“3人中恰有1人学习数学的平均时间在[0，1）范围内”为事件，
则；
（2）甲班学习数学平均时间在区间[5，6]的人数为50×0.08=4.
由频数分布表知乙班学习数学平均时间在区间[5，6]的人数为3，
两班中学习数学平均时间不小于5小时的同学共7人，的所有可能取值为0，1，2，3.
，
，
，
.
所以的分布列为
0
1
2
3
.
【点睛】
思路点睛：离散型随机变量分布列：
（1）明取值；（2）求概率；（3）画表格；（4）做检验.
14．2020年10月16日，是第40个世界粮食日.中国工程院院士袁隆平海水稻团队迎来了海水稻的测产收割，其中宁夏石嘴山海水稻示范种植基地YC-801测产，亩产超过648.5公斤，通过推广种植海水稻，实现亿亩荒滩变粮仓，大大提高了当地居民收入.某企业引进一条先进食品生产线，以海水稻为原料进行深加工，发明了一种新产品，若该产品的质量指标值为，其质量指标等级划分如下表：
质量指标值
质量指标等级
良好
优秀
良好
合格
废品
为了解该产品的经济效益并及时调整生产线，该企业先进行试生产.现从试生产的产品中随机抽取了1000件，将其质量指标值的数据作为样本，绘制如下频率分布直方图：
（1）若将频率作为概率，从该产品中随机抽取3件产品，记“抽出的产品中至少有1件不是废品”为事件，求事件发生的概率；
（2）若从质量指标值的样本中利用分层抽样的方法抽取7件产品，然后从这7件产品中任取3件产品，求质量指标值的件数的分布列及数学期望；
（3）若每件产品的质量指标值与利润（单位：元）的关系如下表：
质量指标值
利润（元）
试分析生产该产品能否盈利？若不能，请说明理由；若能，试确定为何值时，每件产品的平均利润达到最大（参考数值：，）.
【答案】（1）0.973；（2）分布列见解析，；（3）能盈利，当时，每件产品的平均利润达到最大
【分析】
（1）先由频率分布直方图求出1件产品为废品的概率，再利用二项分布的概率公式即可求解；
（2）分别求出、、的频率，再计算出对应抽出的人数，的所有可能取值为0，1，2，求出对应的概率，列出分布列，求出数学期望；
（3）先根据频率分布直方图，确定每个范围内产品利润取值对应的概率，进而求出每件产品的利润，再利用导数求出一件产品利润的最大值，即可判断能否盈利，也可得出每件利润最大时的值.
【详解】
（1）设事件的概率为，则由频率分布直方图可得，
1件产品为废品的概率为，
则.
（2）由频率分布直方图可知，质量指标值大于或等于85的产品中，
的频率为；的频率为；
的频率为.
故利用分层抽样抽取的7件产品中，的有4件，的有2件，的有1件.
从这件产品中任取件产品，质量指标值的件数的所有可能取值为，，，
，，，
所以的分布列为
0
1
2
所以.
（3）由频率分布直方图可得该产品的质量指标值与利润（元）的关系如下表所示（）：
质量指标值
利润
0.05
0.1
0.15
0.4
0.3
故每件产品的利润.
则，令得，
故当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减.
所以当时，取得最大值，为.
所以生产该产品能够盈利，当时，每件产品的利润取得最大值元.
【点睛】
关键点点睛：本题的关键点是读懂频率分布直方图，每个小矩形的面积代表每一组的频率，准确利用分层抽样的特点，计算出质量指标值的有件，第三问的关键是读懂题意，求出每件产品的平均利润与的关系，利用导数求最值.
15．中国华为手机的芯片均从台积电､联发科､高通三个外国公司进口，设其进口数量的频率如图.
（1）若用分层抽样的方法从库存的芯片中取枚芯片，属于台积电的芯片有几枚？
（2）在（1）的条件下，从取出的枚芯片中任取枚，设这枚中属于台积电的芯片数为，求的分布列和数学期望；
（3）在华为公司海量库存中任取枚芯片，其中属于台积电的芯片数为，求的数学期望.
【答案】（1）芯片有5枚；（2）分布列答案见解析，数学期望：；（3）.
【分析】
（1）根据频率分布图求解即可；
（2）根据超几何分布模型，写出随机变量的分布列，并求出期望值；
（3）根据二项分布性质求解即可.
【详解】
解：（1）用分层抽样的方法从库存的芯片中取枚芯片，属于台积电的芯片有枚，
有，得，即用分层抽样的方法从库存的芯片中取枚芯片，属于台积电的芯片有5枚；
（2）在（1）的条件下，的可能取值为，且的分布列符合超几何分布,
，，
，，
所以所求分布列为：
0
1
2
3
所以；
（3）抽取1枚芯片，属于台积电的概率为，且海量库存中任取枚芯片，其中属于台积电的芯片数为，则服从二项分布，所以.
【点睛】
本题主要考查超几何分布与二项分布，掌握两种分布的特点及区别是关键，难度一般.一般地，若，则，.
16．为了调查糖尿病是否与不爱运动有关，在某地300名40岁以上的人中进行抽样调查，结果如下：
患糖尿病
未患糖尿病
总计
不爱运动
爱运动
总计
（1）根据以上数据判断是否有97.5%的把握认为“40岁以上的人患糖尿病与不爱运动有关”；
（2）从调查的患糖尿病的人中任意抽取2人作进一步了解，求抽取的爱运动人数X的分布列与数学期望.
参考公式：，其中.
参考数据：
【答案】（1）有97.5%的把握认为“40以上的人患糖尿病与不爱运动有关”；（2）分布列答案见解析，数学期望：.
【分析】
（1）根据题中所给的公式进行运算，结合题中所给的参考数据进行判断即可；
（2）根据古典概型计算公式，计算出X每个可能取值的概率，然后列出X的分布列，再结合数学期望运算公式进行计算求解即可.
【详解】
（1）由表中数据可得，
∴有97.5%的把握认为“40以上的人患糖尿病与不爱运动有关”.
（2）X的可能取值为0，1，2.
，，，
故X的分布列为
X
0
1
2
P
.
17．为初步了解学生家长对艺术素质评价的了解程度，某校随机抽取100名学生家长参与问卷测试，并将问卷得分绘制频数分布表如下：
得分
男性人数
4
9
12
13
11
6
3
女性人数
1
2
2
21
10
4
2
（1）将学生家长对艺术素质评价的了解程度分为“比较了解”(得分不低于60分)和“不太了解”(得分低于60分)两类，完成列联表，并判断是否有99.9%的把握认为“学生家长对艺术素质评价的了解程度”与“性别”有关？
（2）以这100名学生家长中“比较了解”的频率代替该校学生家长“比较了解”的概率.现在再随机抽取3名学生家长，设这3名家长中“比较了解”的人数为X，求X的概率分布列和数学期望.
0.010
0.005
0.001
6.635
7.879
10.828
附：，.
【答案】（1）有的把握认为学生家长对艺术素质评价的了解程度与性别有关．
（2）分布列见解析，
【分析】
（1）完成列联表，求出，从而有的把握认为学生家长对艺术素质评价的了解程度与性别有关．
（2）推导出，由此能求出的概率分布和数学期望．
【详解】
解：（1）由题意得到列联表如下：
不太了解
比较了解
合计
男性
25
33
58
女性
5
37
42
合计
30
70
100
．
，
有的把握认为学生家长对艺术素质评价的了解程度与性别有关．
（2）由题意得该校1名学生家长“比较了解”的概率为，且，
，
，
，
，
的分布列为：
0
1
2
3
．
【点睛】
独立性检验得出的结论是带有概率性质的，只能说结论成立的概率有多大，而不能完全肯定一个结论，因此才出现了临界值表，在分析问题时一定要注意这点，不可对某个问题下确定性结论，否则就可能对统计计算的结果作出错误的解释．
18．盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6的六个球.
（1）从中任意取出两个球求这两个球的编号之和为偶数的概率；
（2）从中任意取出三个球，记为编号为偶数的球的个数，求的分布列和数学期望.
【答案】（1）；（2）分布列见详解，期望为.
【分析】
（1）先求出从六个球中任取两个所包含的基本事件总数，再确定满足两球编号之和为偶数对应的基本事件个数，基本事件个数比即为所求概率；
（2）根据题中条件，得出的可能取值，求出对应的概率，即可得出对应的分布列，从而可求出期望.
【详解】
（1）从编号为1，2，3，4，5，6的六个球任意取出两个球，共有种可能，
取出的两球编号之和为偶数包含的基本事件有：，，，，，共个基本事件，
因此从六个球中任意取出两个球求这两个球的编号之和为偶数的概率为；
（2）由题意，的可能取值为，，，，
则，，，
，
所以的分布列为：
因此期望为.
【点睛】
本题主要考查求古典概型的概率，考查离散型随机变量的分布列和期望，属于常考题型.
19．某单位共有员工45人，其中男员工27人，女员工18人．上级部门为了对该单位员工的工作业绩进行评估，采用按性别分层抽样的方法抽取5名员工进行考核．
（1）求抽取的5人中男、女员工的人数分别是多少；
（2）考核前，评估小组从抽取的5名员工中，随机选出3人进行访谈．设选出的3人中女员工人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望；
（3）考核分笔试和答辩两项．5名员工的笔试成绩分别为78，85，89，92，96；结合答辩情况，他们的考核成绩分别为95，88，102，106，99．这5名员工笔试成绩与考核成绩的方差分别记，试比较与的大小．（只需写出结论）
【答案】（1）男员工3人，女员工2人；（2）分布列见解析，；（3）.
【分析】
（1）根据题意得抽样比例为，进而可得男女员工人数；
（2）根据题意得X满足超几何分布，再根据超几何分布得概率分布列与数学期望；
（3）根据题意得考核成绩是笔试成绩均加10得到，故方差不变.
【详解】
(1)抽取的5人中男员工的人数为，
女员工的人数为.
(2)由(1)可知，抽取的5名员工中，有男员工3人，女员工2人.
所以，随机变量X的所有可能取值为0，1，2.
根据题意，，
，.
随机变量X的分布列是：
X
0
1
2
P
数学期望.
（3）.
【点睛】
本题考查分层抽样，超几何分布，方差等，考查运算能力，是中档题.
20．在一场青年歌手比赛中，由20名观众代表平均分成，两个评分小组，给参赛选手评分，下面是两个评分小组对同一名选手的评分情况：
组
8.3
9.3
9.6
9.4
8.5
9.6
8.8
8.4
9.4
9.7
组
8.6
9.1
9.2
8.8
9.2
9.1
9.2
9.3
8.8
8.7
（1）分别计算这两个小组评分的平均数和方差，并根据结果判断哪个小组评分较集中；
（2）在评分较集中的小组中，去掉一个最高分和一个最低分，从剩余的评分中任取2名观众的评分，记为这2个人评分之差的绝对值，求的分布列和数学期望.
【答案】（1），；，；组的评分更集中一些；（2）分布列见解析；.
【分析】
（1）首先求出平均数，再利用方差公式求方差，在平均数一样的情况下，选择方差较小的小组；
（2）根据判断，列举随机变量的所有可能取值，求出对应的概率，列出分布列，计算数学期望.
【详解】
（1）；
.
；
.
根据方差的概念及实际含义可知，组的评分较集中.
（2）从组评分中去掉一个最高分9.3，去掉一个最低分8.6，
易知的所有可能取值为0，0.1，0.3，0.4，0.5.
从8人的评分中任取2人的评分，共有种等可能的结果，
把组成绩按照从大到小排成一列为8.7，8.8，8.8，9.1，9.1，9.2，9.2，9.2，
则，，
，，
，
所以的分布列是
0
0.1
0.3
0.4
0.5
的数学期望.
【点睛】
本题考查平均数、方差的计算及含义，随机变量的分布列和数学期望，属于中档题.
21．共享单车进驻城市，绿色出行引领时尚.某市2017年对共享单车的使用情况进行了调查，数据显示，该市共享单车用户年龄分布如图1所示，一周内市民使用单车的频率分布扇形图如图2所示.若将共享单车用户按照年龄分为“年轻人”(20岁~39岁)和“非年轻人”(19岁及以下或者40岁及以上)两类，将一周内使用的次数为6次或6次以上的称为“经常使用共享单车用户”，使用次数为5次或不足5次的称为“不常使用共享单车用户”.已知在“经常使用共享单车用户”中有是“年轻人”.
（1）现对该市市民进行“经常使用共享单车与年龄关系”的分析，采用随机抽样的方法，抽取了一个容量为200的样本.请你根据题目中的数据，补全下列2×2列联表：
年轻人
非年轻人
合计
经常使用共享单车用户
120
不常使用共享单车用户
80
合计
160
40
200
根据列联表独立性检验，判断有多大把握认为经常使用共享单车与年龄有关？
参考数据：
0.150
0.100
0.050
0.025
0.010
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
其中，，.
（2）以频率为概率，用分层抽样的方法在（1）的200户用户中抽取一个容量为5的样本，从中任选3户，记经常使用共享单车的用户数为随机变量X，求X的分布列和数学期望.
【答案】（1）列联表答案见解析，有以上的把握认为经常使用共享单车与年龄有关；（2）分布列答案见解析，数学期望：.
【分析】
（1）由由图2计算出经常使用共享单车的用户数占百分比为，据此计算可得列联表；
（2）计算容量为5的样本中，经常使用共享单车的用户数为，可得X的可能取值为1，2，3，再根据古典概型的概率公式计算概率，可得分布列和数学期望.
【详解】
（1）由图2可知经常使用共享单车的用户数占，所以经常使用共享单车的人数为人，经常使用共享单车的年轻人人数为人，所以经常使用共享单车的非年轻人人数为人，
补全的列联表如下：
年轻人
非年轻人
合计
经常使用共享单车用户
100
20
120
不常使用共享单车用户
60
20
80
合计
160
40
200
∵，，，，
∴，
故有以上的把握认为经常使用共享单车与年龄有关.
（2）由题意知，容量为5的样本中，经常使用共享单车的用户数为人，不经常使用共享单车的用户数为人，所以X的可能取值为1，2，3.
则，，
∴X的分布列为：
X
1
2
3
P
数学期望.
【点睛】
关键点点睛：正确识别条形图和饼图，并利用两个图形计算频数是解题关键，属于中档题.
22．工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟，如果有一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人．现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别，，，假设，，互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立．
（Ⅰ）如果按甲最先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率．若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？
（Ⅱ）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为，，（，，是，，的一个排列），求所需派出人员数目X的分布列和数学期望（结果用，，表示）．
【答案】（Ⅰ）；不会发生变化；（Ⅱ）分布列见解析；.
【分析】
（Ⅰ）首先求出任务不能完成的概率，再根据对立事件的概率以及相互独立事件的概率乘法公式即可求解.
（Ⅱ）首先求出随机变量X的取值，利用相互独立事件的概率即可列出分布列，结合分布列即可求和数学期望.
【详解】
（Ⅰ）无论以怎样的顺序派出人员，任务不能被完成的概率都是
，
所以任务能被完成的概率与三个人被派出去的先后顺序无关，
都等于，
（Ⅱ）当依次派出去的三个人各自完成任务的概率分别为，，时，
随机变量X的分布列为：
所派出人员数目的数学期望是
【点睛】
本题考查了相互独立事件的概率、离散型随机变量的分布列、数学期望，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
23．已知集合和集合，从集合A中任取三个不同的元素，其中最小的元素用S表示；从集合B中任取三个不同的元素，其中最大的元素用T表示，记.
（1）当时，有多少种情况？
（2）求随机变量的概率分布和数学期望.
【答案】（1）6；（2）分布列见解析，.
【分析】
（1）当时，即从1,2,3,4中再选2个即可；
（2）计算的取值对应的S和T的取值，利用组合数公式计算概率，得出分布列和数学期望；
【详解】
（1）当时，即5被选中，再从其余4个中选两个即可，即，
∴共有6种情况.
（2）S的可能取值为1，2，T的可能取值为3，4，5；
则X的可能取值为1，2，3，4，
； ；
； ；
X的分布列为：
X
1
2
3
4
P
.
【点睛】
关键点点睛：
（1）理解新定义中的意义，得到其对应的事件结果；
（2）利用相互独立事件同时发生的概率乘法公式得到其对应的概率.
24．某商场为回馈消费者，将对单次消费满100元的顾客进行抽奖活动.为了增加抽奖的趣味性，按如下的游戏形式进行抽奖图，在数轴点O处有一个棋子，顾客有两次游戏机会，在每次游戏中，顾客可抛掷两粒骰子，若两粒骰子的点数之和超过9时，棋子向前(右)进一位；若两粒骰子的点数之和小于5时，棋子向后(左)走一位；若两粒骰子点数之和为5到9时，则原地不动，设棋子经过两次游戏后所在的位置为X，若，则该顾客获得.价值100元的一等奖；若，则该顾客获得价值10元的二等奖；若，则该顾客不得奖.
（1）求一次游戏中棋子前进､后退以及原地不动时的概率；
（2）求参与游戏的顾客能够获得的奖品价值的分布列以及数学期望.
【答案】（1）前进一格概率为，后退一格概率为，原地不动概率为；（2）分布列答案见解析，数学期望：.
【分析】
（1）依题意列出表格，记前进一格为事件A，后退一格为事件B，原地不动为事件C，然后根据古典概型的定义计算即可得解；
（2）设顾客获得奖品的价值为Y，据题意分别求出、和的值，然后写出分布列并求出数学期望即可.
【详解】
（1）如图，
抛掷两粒骰子所产生的结果共有36种；其中点数之和小于5的结果共有6种；
其中点数之和为5到9的结果共有24种；其中点数之和超过9的结果共有6种；
记前进一格为事件A，后退一格为事件B，原地不动为事件C，
根据古典概型的定义可得：
，，；
（2）设顾客获得奖品的价值为Y，据题意可得：
当两次游戏均前进或均后退时，，
即可知；
当两次游戏均原地不动或前后移动各一次时，，
即可知；
根据对立事件可得.
由上可得Y的分布列如下表：
Y
0
10
100
P
由此可得，Y的期望值为.
【点睛】
本题考查古典概型的概率计算，考查随机变量的分布列和数学期望的求法，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.
25．某蔬菜种植基地有一批蔬菜需要两天内采摘完毕，天气预报显示这两天每天是否有雨相互独立，无雨的概率都为0.8.现有两种方案可以选择：
方案一：基地人员自己采摘，不额外聘请工人，需要两天完成，两天都无雨收益为2万元，只有一天有雨收益为1万元，两天都有雨收益为0.75万元.
方案二：基地额外聘请工人，只要一天就可以完成采摘.当天无雨收益为2万元，有雨收益为1万元.额外聘请工人的成本为万元.
问：（1）若不额外聘请工人，写出基地收益的分布列及基地的预期收益；
（2）该基地是否应该外聘工人？请说明理由.
【答案】（1）分布列见解析；期望为万元；（2）答案不唯一，具体见解析.
【分析】
（1）求出每种收益情况的概率，列出分布列，最后根据数学期望公式进行求解即可；
（2）根据题意求出基地额外聘请工人情况下的数学期望，结合（1）中数据，利用比较法分类讨论进行判断即可.
【详解】
（1）基地收益的可能值为2，1，0.75，
因为两天每天无雨的概率都为0.8，所以两天每天有雨的概率都为，
则，
，
，
故的分布列为
2
1
0.75
0.64
0.32
0.04
则.
（2）设基地额外聘请工人时的收益为万元，则其预期收益
，
，
当时，即时，不外聘工人；
当时，即时，外聘工人；
当时，即时，是否外聘工人均可以，
综上可得，当额外聘请工人的成本高于0.17万元时，不外聘工人，
当成本低于0.17万元时，外聘工人，
当成本恰为0.17万元时，是否外聘工人均可以.
【点睛】
本题考查了离散型随机变量分布列，考查了数学期望的应用，考查了数学阅读能力和数学运算能力.
专题30 根据步骤列出离散型随机变量的分布列
一、解答题
1．垃圾是人类日常生活和生产中产生的废弃物，由于排出量大，成分复杂多样，且具有污染性，所以需要无害化、减量化处理.某市为调查产生的垃圾数量，采用简单随机抽样的方法抽取20个县城进行了分析，得到样本数据，其中和分别表示第个县城的人口（单位：万人）和该县年垃圾产生总量（单位：吨），并计算得，，，，.
（1）请用相关系数说明该组数据中与之间的关系可用线性回归模型进行拟合；
（2）求关于的线性回归方程；
（3）某科研机构研发了两款垃圾处理机器，其中甲款机器每台售价100万元，乙款机器每台售价80万元，下表是以往两款垃圾处理机器的使用年限统计表：
1年
2年
3年
4年
合计
甲款
5
20
15
10
50
乙款
15
20
10
5
50
根据以往经验可知，某县城每年可获得政府支持的垃圾处理费用为50万元，若仅考虑购买机器的成本和每台机器的使用年限（使用年限均为整年），以频率估计概率，该县城选择购买一台哪款垃圾处理机器更划算？
参考公式：相关系数，对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.
【答案】（1）因为与的相关系数接近，所以与之间具有较强的线性相关关系，可用线性回归模型进行拟合；（2）；（3）甲款.
【分析】
（1）根据相关系数的计算公式及参考数据即可得出结论；
（2）根据参考公式及参考数据即可求解；
（3）分别求出从两款机器中购买一台节的政府支持的拉圾外理费用的分布列，然后分别求出期望，比较即可得出结果
【详解】
解（1）由题意知相关系数，
因为与的相关系数接近，
所以与之间具有较强的线性相关关系，可用线性回归模型进行拟合.
（2）由题意可得，，
，
所以.
（3）以频率估计概率，购买一台甲款垃圾处理机器节约政府支持的垃圾处理费用（单位：万元）的分布列为：
0
50
100
（万元）.
购买一台乙款垃圾处理机器节约政府支持的垃圾处理费用（单位：万元）的分布列为：
20
70
120
（万元）.
因为，所以该县城选择购买一台甲款垃圾处理机器更划算.
【点睛】
思路点睛：
求解回归直线方程时，一般根据题中数据，计算变量的平均值，根据最小二乘法，结合公式求解.
2．某电子产品加工厂购买配件并进行甲、乙两道工序处理，若这两道工序均处理成功，则该配件加工成型，可以直接进入市场销售；若这两道工序均处理不成功，则该配件报废；若这两道工序只有一道工序处理成功，则该配件需要拿到丙部门检修，若检修合格，则该配件可以进入市场销售，若检修不合格，则该配件报废．根据以往经验，对于任一配件，甲、乙两道工序处理的结果相互独立，且处理成功的概率分别为，，丙部门检修合格的概率为．
（1）求该工厂购买的任一配件可以进入市场销售的概率．
（2）已知配件的购买价格为元/个，甲、乙两道工序的处理成本均为元/个，丙部门的检修成本为元个，若配件加工成型进入市场销售，售价可达元/个；若配件报废，要亏损购买成本以及加工成本．若市场大量需求配件的成型产品，试估计该工厂加工个配件的利润．（利润售价购买价格加工成本）
【答案】（1）；（2）万元．
【分析】
（1）根据题意分析出哪种情形下配件可进入市场销售，利用相互独立事件的概率计算公式进行求解即可；
（2）先设工厂加工5000个配件的利润为元，加工一个配件的利润为元，则，再求出的所有可能取值及其对应的概率，进而可得的期望，最后利用数学期望的性质即可得解．
【详解】
（1）记任一配件加工成型可进入市场销售为事件，甲、乙两道工序分别处理成功为事件，，丙部门检修合格为事件．
则．
（2）设该工厂加工个配件的利润为元，加工一个配件的利润为元，则．
由题可知的所有可能取值为，，，，
则，
，
，
．
的分布列为
104
88
∴，
∴.
∴估计该工厂加工个配件的利润为万元．
【点睛】
关键点点睛：求解本题第（2）问的关键是准确求出离散型随机变量的所有取值及其对应的概率，并且在求出分布列后，注意运用分布列的两个性质（①，；②）检验所求的分布列是否正确；（2）在求出后，会利用期望的性质求．
3．某生物研究所为研发一种新疫苗，在200只小白鼠身上进行科研对比实验，得到如下统计数据：
未感染病毒
感染病毒
总计
未注射疫苗
35
注射疫苗
65
总计
100
100
200
现从未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率为．
（1）能否有的把握认为注射此种疫苗有效？
（2）现从感染病毒的小白鼠中任意抽取2只进行病理分析，记注射疫苗的小白鼠只数为，求的概率分布和数学期望．
附：，
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
【答案】（1）有99.9%的把握认为注射此种疫苗有效；（2）概率分布见解析，．
【分析】
（1）根据题中条件，先得出，，，，由公式求出，结合临界值表，即可得出结果；
（2）根据题意，得到的所有可能取值为0，1，2；分别求出对应的概率，即可得出分布列，以及期望.
【详解】
（1）由条件知，，，，
，
所以有99.9%的把握认为注射此种疫苗有效．…
（2）由题意，的所有可能取值为0，1，2．
，，，
所以的概率分布为
0
1
2
数学期望．
【点睛】
本题主要考查独立性检验的基本思想，考查离散型随机变量的分布列与期望，属于常考题型.
4．某市高考模拟考试数学试卷解答题的网上评卷采用“双评仲裁”的方式：两名老师独立评分，称为一评和二评，当两者所评分数之差的绝对值小于或等于1分时，取两者平均分为该题得分；当两者所评分数之差的绝对值大于1分时，再由第三位老师评分，称之为仲裁，取仲裁分数和一、二评中与之接近的分数的平均分为该题得分；当一、二评分数和仲裁分数差值的绝对值相同时，取仲裁分数和一、二评中较高的分数的平均分为该题得分．有的学生考试中会做的题目答完后却得不了满分，原因多为答题不规范，比如：语言不规范、缺少必要文字说明、卷面字迹不清、得分要点缺失等等，把这样的解答称为“缺憾解答”．该市教育研训部门通过大数据统计发现，满分为12分的题目，这样的“缺憾解答”，阅卷老师所评分数及各分数所占比例如表：
教师评分
11
10
9
分数所占比例
将这个表中的分数所占比例视为老师对满分为12分题目的“缺憾解答”所评分数的概率，且一、二评与仲裁三位老师评分互不影响．
已知一个同学的某道满分为12分题目的解答属于“缺憾解答”．
（1）求该同学这个题目需要仲裁的概率；
（2）求该同学这个题目得分的分布列及数学期望（精确到整数）．
（1）；（2）答案见解析.
【分析】
（1）首先设表示事件：“该同学这个解答题需要仲裁”，设一评、二评所打分数分别为，，由题设知事件的所有可能情况有：，或，由此能求出该同学这个题目需要仲裁的概率．
（2）随机事件的可能取值为9，9.5，10，10.5，11，设仲裁所打分数为，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和数学期望．
【详解】
（1）记表示事件：“该同学这个解答题需要仲裁”，设一评、二评所打分数分别为，，
由题设知事件的所有可能情况有：，或，
（A）．
（2）随机事件的可能取值为9，9.5，10，10.5，11，设仲裁所打分数为，
则，
，
，
，
，
的分布列为：
9
9.5
10
10.5
11
．
【点睛】
易错点点睛：概率问题一般都是背景习题，所以第一步注意审题，避免因审题不清楚，造成错误，第二个错误就是写随机变量时，要做到准确，并理解每一个事件表示的意义，才能正确求概率，属于中档题．
5．为研究一种新药的耐受性，要对白鼠进行连续给药后观察是否出现症状的试验，该试验的设计为：对参加试验的每只白鼠每天给药一次，连续给药四天为一个给药周期，试验共进行三个周期．假设每只白鼠给药后当天出现症状的概率均为，且每次给药后是否出现症状与上次给药无关．
（1）从试验开始，若某只白鼠连续出现次症状即对其终止试验，求一只白鼠至少能参加一个给药周期的概率；
（2）若在一个给药周期中某只白鼠至少出现次症状，则在这个给药周期后，对其终止试验，设一只白鼠参加的给药周期数为，求的分布列和数学期望．
【答案】（1）；（2）分布列见解析，.
【分析】
（1）利用“正难则反”思想，计算一个给药周期也没有参加完的概率，则至少能参加一个给药周期的概率为；
（2）先计算出一个给药周期内至少出现次症状的概率，然后根据题目条件确定随机变量的可能取值，分别计算每一个值所对应的概率，列出分布列并求出数学期望.
【详解】
解：（1）设“一只白鼠至少能参加一个给药周期”为事件，则的对立事件为一个给药周期也没有参加完．
设一次给药出现症状为事件，则一个给药周期也没有参加完的概率为，
所以一只白鼠至少能参加一个给药周期的概率为．
（2）设事件为“在一个给药周期中某只白鼠至少出现次症状”，
则，
则随机变量的取值为．
，
，
，
所以X的分布列为
所以随机变量的数学期望为．
【点睛】
本题考查概率的乘法公式及加法公式，考查随机变量的分布列及数学期望计算，难度一般.解答时易错点如下：
（1）每次给药相互独立；
（2）在解答第（2）小题时，注意若前一个给药周期能通过，才可以参加下一个给药周期.
6．第13届女排世界杯于2019年9月14日在日本举行，共有12支参赛队伍.本次比赛启用了新的排球用球MIKSA-V200W ，已知这种球的质量指标ξ (单位:g )服从正态分布N (270， ).比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11场比赛(采取5局3胜制)，最后靠积分选出最后冠军积分规则如下:比赛中以3:0或3:1取胜的球队积3分，负队积0分;而在比赛中以3:2取胜的球队积2分，负队积1分.已知第10轮中国队对抗塞尔维亚队，设每局比赛中国队取胜的概率为p(0
（2）第10轮比赛中，记中国队3:1取胜的概率为.
（i）求出f(p)的最大值点;
（ii）若以作为p的值记第10轮比赛中，中国队所得积分为X，求X的分布列.
参考数据:ζ ~N(u，)，则p(μ-σ
【分析】
（1）由正态分布原则即可求出排球个数；
（2）（i）根据二项分布先求出，再利用导数求出取得最大值时的值；
（ii）根据比赛积分规则，得出中国队得分可能的取值，然后求出分布列.
【详解】
（1）因为ξ服从正态分布N (270， )，所以，
所以质量指标在(260，265]内的排球个数为个；
（2）（i），
令，得，
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减；
所以的最大值点；
（ii）的可能取值为0，1，2，3.
；；
；；
所以的分布列为
0
1
2
3
P
【点睛】
求随机变量的分布列的步骤：(1)理解X的意义，写出X可能取得全部值；
(2)求X取每个值的概率；
(3)写出X的分布列；
(4)根据分布列的性质对结果进行检验.
还可判断随机变量满足常见分布列：两点分布，二项分布，超几何分布，正态分布.
7．某校从高二年级随机抽取了20名学生的数学总评成绩和物理总评成绩，记第i位学生的成绩为() (i=1，2，3...20)，其中分别为第i位学生的数学总评成绩和物理总评成绩.抽取的数据列表如下( 按数学成绩降序整理):
序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
数学总评成绩x
95
92
91
90
89
88
88
87
86
85
物理总评成绩y
96
90
89
87
92
81
86
88
83
84
序号
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
数学总评成绩x
83
82
81
80
80
79
78
77
75
74
物理总评成绩
81
80
82
85
80
78
79
81
80
78
（1）根据统计学知识，当相关系数|r|≥0.8时，可视为两个变量之间高度相关.根据抽取的数据，能否说明数学总评成绩与物理总评成绩高度相关?请通过计算加以说明.
参考数据：
参考公式：相关系数
（2）规定:总评成绩大于等于85分者为优秀，小于85分者为不优秀，对优秀赋分1，对不优秀赋分0，从这20名学生中随机抽取2名学生，若用X表示这2名学生两科赋分的和，求X的分布列和数学期望.
【答案】（1）“数学学期综合成绩”与“物理学期综合成绩”高度相关；答案见解析；（2）分布列见解析，.
【分析】
（1）代入公式计算，解得即可得解；
（2）由超几何分布概率公式计算出、、、、，进而可得分布列，再由数学期望的公式即可得数学期望.
【详解】
（1）由题意，
，
所以“数学学期综合成绩”与“物理学期综合成绩”高度相关；
(2) 由题意得：的可能取值为0，1，2，3，4.，
根据赋分规则可知，7人赋分为2，4人赋分为1，9个人赋分为0，
所以，，，，，
所以的分布列为：
0
1
2
3
4
所以.
【点睛】
关键点点睛：解决本题的关键是对的值合理放缩及超几何分布的应用.
8．在20人身上试验某种血清对预防感冒的作用，把他们一年中是否患感冒的人数与另外20名未用血清的人是否患感冒的人数作比较，结果如下表所示．
未感冒
感冒
使用血清
17
3
未使用血清
14
6
（1）从上述患过感冒的人中随机选择4人，以进一步研究他们患感冒的原因．记这4人中使用血清的人数为，试写出的分布列；
（2）有多大的把握得出“使用该种血清能预防感冒”的结论？你的结论是什么？请说明理由．
附：对于两个研究对象Ⅰ（有两类取值：类A，类B）和Ⅱ（有两类取值：类1，类2）统计数据的一个2×2列联表：
Ⅱ
类1
类2
Ⅰ
类A
类B
有，其中.
临界值表（部分）为
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
0.445
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.
【分析】
（1）根据题中条件，确定的可能取值为0，1，2，3；分别求出其对应的概率，即可得出分布列；
（2）先将题中所给的列联表整理，根据公式，求出，结合临界值表，即可得出结论.
【详解】
（1）因为使用血清的人中感冒的人数为3，未使用血清的人中感冒的人数为6，一共9人，从这9人中选4人，其中使用血清的人数为，则随机变量的可能值为0，1，2，3．
因为，，
，，
所以随机变量的分布列为
0
1
2
3
（2）将题中所给的2×2列联表进行整理，得
未感冒
感冒
总数
使用血清
17
3
20
未使用血清
14
6
20
总数
31
9
40
提出假设：是否使用该种血清与感冒没有关系.
根据公式，求得.
因为当成立时，“”的概率约为0.40，“”的概率约为0.25，所以有60%的把握认为：是否使用该种血清与感冒有关系，即“使用该种血清能预防感冒”，得到这个结论的把握不到75%．
由于得到这个结论的把握低于90%，因此，我的结论是：没有充分的证据显示使用该种血清能预防感冒，也不能说使用该种血清不能预防感冒.
【点睛】
思路点睛：
求离散型随机变量的分布列的一般步骤：
（1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；
（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；
9．面对环境污染，党和政府高度重视，各级环保部门制定了严格措施治理污染，同时宣传部门加大保护环境的宣传力度，因此绿色低碳出行越来越成为市民的共识，为此某市在八里湖新区建立了公共自行车服务系统，市民凭本人二代身份证到公共自行车服务中心办理诚信借车卡，初次办卡时卡内预先赠送20分，当诚信积分为0时，借车卡自动锁定，限制借车，用户应持卡到公共自行车服务中心以1元购1个积分的形式再次激活该卡，为了鼓励市民租用公共自行车出行，同时督促市民尽快还车，方便更多的市民使用，公共自行车按每车每次的租用时间进行扣分缴费，具体扣分标准如下：
①租用时间不超过1小时，免费；
②租用时间为1小时以上且不超过2小时，扣1分；
③租用时间为2小时以上且不超过3小时，扣2分；
④租用时间为3小时以上且不超过4小时，扣3分；
⑤租车时间超过4小时除扣3分外，超出时间按每小时扣2分收费（不足1小时的部分按1小时计算）
甲、乙两人独立出行，各租用公共自行车一次，且两人租车时间都不会超过4小时，设甲、乙租用时间不超过一小时的概率分别是，；租用时间为1小时以上且不超过2小时的概率分别是，；租用时间为2小时以上且不超过3小时的概率分别是，．
（1）求甲、乙两人所扣积分相同的概率；
（2）设甲、乙两人所扣积分之和为随机变量，求的分布列和数学期望．
【答案】（1）0.32；（2）分布列见解析，1.8.
【分析】
（1）根据题意，分别记“甲扣分为0分、1分、2分、3分”为事件，，，，它们彼此互斥，分别记“乙扣分为0分、1分、2分、3分”为事件，，，，它们彼此也互斥，则，由此可求事件的概率
（2）根据题的可能取值为：0，1，2，3，4，5，6，然后，相应的的值，即可求出列出的分布列，并由公式求出的数学期望
【详解】
（1）解：根据题意，分别记“甲扣分为0分、1分、2分、3分”为事件，，，它们彼此互斥，
且，，，，
分别记“乙扣分为0分、1分、2分、3分”为事件，，，，它们彼此互斥，
且，，，，
由题知，事件，，，与事件，，，相互独立，
记甲、乙两人所付租车费相同为事件，则，
所以
．
（2）解：根据题的可能取值为：0，1，2，3，4，5，6，
，
，
，
，
，
，
，
所以的分布列为：
0
1
2
3
4
5
6
的数学期望．
【点睛】
关键点睛：解题关键在于列出式子，然后利用概率的相关公式求解，以及根据题意得出的分布列，主要考查学生的运算能力和逻辑推理能力，难度属于中档题
10．为了解本学期学生参加公益劳动的情况，某校从初高中学生中抽取100名学生，收集了他们参加公益劳动时间（单位：小时）的数据，绘制图表的一部分如下．
[0，5）
[5，10）
[10，15）
[15，20）
[20，25）
[25，30）
性别
男
6
9
10
10
9
4
女
5
12
13
8
6
8
学段
初中
x
8
11
11
10
7
高中
（Ⅰ）从男生中随机抽取一人，抽到的男生参加公益劳动时间在[10，20）的概率；
（Ⅱ）从参加公益劳动时间[25，30）的学生中抽取3人进行面谈，记X为抽到高中的人数，求X的分布列；
（Ⅲ）当时，高中生和初中生相比，那学段学生平均参加公益劳动时间较长．（直接写出结果）
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）初中生.
【分析】
（Ⅰ）由表中数据，结合古典概型概率公式即可得解；
（Ⅱ）由超几何分布概率公式可求得，，，，进而可得分布列；
（Ⅲ）由表中数据，分析各时间段内初高中生的人数即可得解.
【详解】
（Ⅰ）抽取的100名学生中，男生有名，
其中公益劳动时间在的有名，
故所求概率；
（Ⅱ）参加公益劳动时间的学生有12人，其中初中生7人，高中生5人，
X的所有可能取值为，
，，，
，
所以X的分布列为：
X
0
1
2
3
P
（Ⅲ）由表格信息可得，初中生平均参加公益劳动时间较长.
【点睛】
关键点点睛：解决本题的关键是有效提取表格中的数据，熟练掌握超几何分布的适用条件及概率公式.
11．2020年伊始，“新冠肺炎病毒”在我国传播，全体中国人民众志成城、全力抗疫，病毒即将被彻底驱离，但境外疫情正在迅速蔓延，我国海外留学生的安危也牵动着国人的心，不少留学生选择就地居家隔离，也有部分留学生选择回国，但是航班紧张.现有A、B、C、D、E五名在英留学生，各自通过互联网订购回国机票，若订票成功即可回国，假定他们能否获得机票互不影响，A、B、C、D、E获得机票的概率分布是.
（1）求这五名留学生均不能回国的概率；
（2）若A、B、C在英国学习期间租住在同一间房子，于是三人商定，若都获得机票才一起回国，否则三人均不回国（已购票者，则选择退票），设X表示五名留学生中回国的人数，求X的概率分布列和数学期望.
【答案】（1）；（2）分布列见解析，
【分析】
（1）根据相互独立事件的概率公式计算可得；
（2）首先求出、、三位学生均回国的概率及均不回国的概率，依题意可得的可能取值为、、、、、，根据相互独立事件的概率公式求出对应的概率，从而求出分布列及期望；
【详解】
解：（1）因为A、B、C、D、E获得机票的概率分布是.
所以五名留学生均不能回国的概率
（2）对于、、三位学生，三人均回国的概率，则均不回国的概率，
则的可能取值为、、、、、；
所以的分布列为：
所以
【点睛】
本题考查离散型随机变量的分布列及相互独立事件的概率公式的应用，对于相互独立事件同时发生的概率为各事件的概率之积；
12．有甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司底薪80元，送餐员每单抽成4元；乙公司无底薪，40单以内（含40单）的部分送餐员每单抽成6元，超过40单的部分送餐员每单抽成7元.现从这两家公司各随机选取一名送餐员，分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数分布表：
送餐单数
8
9
0
1
2
甲公司天数
0
0
5
0
乙公司天数
0
5
0
0
（1）从记录甲公司的50天送餐单数中随机抽取3天，求这3天的送餐单数都不小于40单的概率；
（2）假设同一个公司的送餐员一天的送餐单数相同，将频率视为概率，回答下列两个问题：
①求乙公司送餐员日工资的分布列和数学期望；
②小张打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日均工资的角度考虑，小张应选择哪家公司应聘？说明你的理由.
（1）；（2）①答案见解析，；②选择甲，理由见解析.
【分析】
（1）记抽取的3天送餐单数都不小于40为事件，可得（A）的值．
（2）①设乙公司送餐员送餐单数为，可得当时，，以此类推可得：当时，当时，的值．当时，的值，同理可得：当时，的值．求出的所有可能取值．可得的分布列及其数学期望．
②依题意，甲公司送餐员日平均送餐单数．可得甲公司送餐员日平均工资，与乙数学期望比较即可得出．
【详解】
（1）由表知，50天送餐单数中有30天的送餐单数不小于40单，记抽取的3天送餐单数都不小于40为事件，则.
（2）（ⅰ）设乙公司送餐员的送餐单数为，日工资为元，则
当时，；当时，；当时，；当时，；当时，.所以的分布列为：
228
234
240
247
254
.
（ⅱ）依题意，甲公司送餐员的日平均送餐单数为，
所以甲公司送餐员的日平均工资为元，
因为，所以小张应选择甲公司应聘.（意对即可）
【点睛】
关键点点睛：根据题意求出随机变量的可能取值，写出随机变量的分布列与数学期望，根据古典概率计算公式、组合计算公式，计算所求概率，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
13．某学校为了了解学生暑假期间学习数学的情况，抽取了人数相等的甲、乙两班进行调查，甲班同学每天学习数学的平均时间的频率分布直方图（将时间分成共6组）和乙班同学每天学习数学的平均时间的频数分布表如图所示（单位：小时）.
（1）从甲班每天学习数学的平均时间在的人中随机选出3人，求3人中恰有1人学习数学的平均时间在范围内的概率；
（2）从甲、乙两个班每天学习数学平均时间不小于5个小时的学生中随机抽取4人进一步了解其他情况，设4人中乙班学生的人数为，求的分布列和数学期望.
【答案】（1）；（2）分布列见解析，.
【分析】
（1）先求出甲班的总人数，再利用频率分布直方图求出甲班在[0，1），[1，2）的人数，从而可以计算出抽取 3人中恰有1人学习数学的平均时间在范围内的概率；（2）首先计算出甲，乙两班中数学平均时间在区间[5，6]的人数，从而可以得到随机变量的取值，并计算出对应的概率，写出随机变量的分布列，即可计算出随机变量的数学期望.
【详解】
（1）因为乙班学生的总人数为2+5+10+16+14+3=50，
所以甲班中学习平均时间在[0，1）内的人数为50×0.04=2，
甲班中学习平均时间在[1，2）内的人数为50×0.08=4.
设“3人中恰有1人学习数学的平均时间在[0，1）范围内”为事件，
则；
（2）甲班学习数学平均时间在区间[5，6]的人数为50×0.08=4.
由频数分布表知乙班学习数学平均时间在区间[5，6]的人数为3，
两班中学习数学平均时间不小于5小时的同学共7人，的所有可能取值为0，1，2，3.
，
，
，
.
所以的分布列为
0
1
2
3
.
【点睛】
思路点睛：离散型随机变量分布列：
（1）明取值；（2）求概率；（3）画表格；（4）做检验.
14．2020年10月16日，是第40个世界粮食日.中国工程院院士袁隆平海水稻团队迎来了海水稻的测产收割，其中宁夏石嘴山海水稻示范种植基地YC-801测产，亩产超过648.5公斤，通过推广种植海水稻，实现亿亩荒滩变粮仓，大大提高了当地居民收入.某企业引进一条先进食品生产线，以海水稻为原料进行深加工，发明了一种新产品，若该产品的质量指标值为，其质量指标等级划分如下表：
质量指标值
质量指标等级
良好
优秀
良好
合格
废品
为了解该产品的经济效益并及时调整生产线，该企业先进行试生产.现从试生产的产品中随机抽取了1000件，将其质量指标值的数据作为样本，绘制如下频率分布直方图：
（1）若将频率作为概率，从该产品中随机抽取3件产品，记“抽出的产品中至少有1件不是废品”为事件，求事件发生的概率；
（2）若从质量指标值的样本中利用分层抽样的方法抽取7件产品，然后从这7件产品中任取3件产品，求质量指标值的件数的分布列及数学期望；
（3）若每件产品的质量指标值与利润（单位：元）的关系如下表：
质量指标值
利润（元）
试分析生产该产品能否盈利？若不能，请说明理由；若能，试确定为何值时，每件产品的平均利润达到最大（参考数值：，）.
【答案】（1）0.973；（2）分布列见解析，；（3）能盈利，当时，每件产品的平均利润达到最大
【分析】
（1）先由频率分布直方图求出1件产品为废品的概率，再利用二项分布的概率公式即可求解；
（2）分别求出、、的频率，再计算出对应抽出的人数，的所有可能取值为0，1，2，求出对应的概率，列出分布列，求出数学期望；
（3）先根据频率分布直方图，确定每个范围内产品利润取值对应的概率，进而求出每件产品的利润，再利用导数求出一件产品利润的最大值，即可判断能否盈利，也可得出每件利润最大时的值.
【详解】
（1）设事件的概率为，则由频率分布直方图可得，
1件产品为废品的概率为，
则.
（2）由频率分布直方图可知，质量指标值大于或等于85的产品中，
的频率为；的频率为；
的频率为.
故利用分层抽样抽取的7件产品中，的有4件，的有2件，的有1件.
从这件产品中任取件产品，质量指标值的件数的所有可能取值为，，，
，，，
所以的分布列为
0
1
2
所以.
（3）由频率分布直方图可得该产品的质量指标值与利润（元）的关系如下表所示（）：
质量指标值
利润
0.05
0.1
0.15
0.4
0.3
故每件产品的利润.
则，令得，
故当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减.
所以当时，取得最大值，为.
所以生产该产品能够盈利，当时，每件产品的利润取得最大值元.
【点睛】
关键点点睛：本题的关键点是读懂频率分布直方图，每个小矩形的面积代表每一组的频率，准确利用分层抽样的特点，计算出质量指标值的有件，第三问的关键是读懂题意，求出每件产品的平均利润与的关系，利用导数求最值.
15．中国华为手机的芯片均从台积电､联发科､高通三个外国公司进口，设其进口数量的频率如图.
（1）若用分层抽样的方法从库存的芯片中取枚芯片，属于台积电的芯片有几枚？
（2）在（1）的条件下，从取出的枚芯片中任取枚，设这枚中属于台积电的芯片数为，求的分布列和数学期望；
（3）在华为公司海量库存中任取枚芯片，其中属于台积电的芯片数为，求的数学期望.
【答案】（1）芯片有5枚；（2）分布列答案见解析，数学期望：；（3）.
【分析】
（1）根据频率分布图求解即可；
（2）根据超几何分布模型，写出随机变量的分布列，并求出期望值；
（3）根据二项分布性质求解即可.
【详解】
解：（1）用分层抽样的方法从库存的芯片中取枚芯片，属于台积电的芯片有枚，
有，得，即用分层抽样的方法从库存的芯片中取枚芯片，属于台积电的芯片有5枚；
（2）在（1）的条件下，的可能取值为，且的分布列符合超几何分布,
，，
，，
所以所求分布列为：
0
1
2
3
所以；
（3）抽取1枚芯片，属于台积电的概率为，且海量库存中任取枚芯片，其中属于台积电的芯片数为，则服从二项分布，所以.
【点睛】
本题主要考查超几何分布与二项分布，掌握两种分布的特点及区别是关键，难度一般.一般地，若，则，.
16．为了调查糖尿病是否与不爱运动有关，在某地300名40岁以上的人中进行抽样调查，结果如下：
患糖尿病
未患糖尿病
总计
不爱运动
爱运动
总计
（1）根据以上数据判断是否有97.5%的把握认为“40岁以上的人患糖尿病与不爱运动有关”；
（2）从调查的患糖尿病的人中任意抽取2人作进一步了解，求抽取的爱运动人数X的分布列与数学期望.
参考公式：，其中.
参考数据：
【答案】（1）有97.5%的把握认为“40以上的人患糖尿病与不爱运动有关”；（2）分布列答案见解析，数学期望：.
【分析】
（1）根据题中所给的公式进行运算，结合题中所给的参考数据进行判断即可；
（2）根据古典概型计算公式，计算出X每个可能取值的概率，然后列出X的分布列，再结合数学期望运算公式进行计算求解即可.
【详解】
（1）由表中数据可得，
∴有97.5%的把握认为“40以上的人患糖尿病与不爱运动有关”.
（2）X的可能取值为0，1，2.
，，，
故X的分布列为
X
0
1
2
P
.
17．为初步了解学生家长对艺术素质评价的了解程度，某校随机抽取100名学生家长参与问卷测试，并将问卷得分绘制频数分布表如下：
得分
男性人数
4
9
12
13
11
6
3
女性人数
1
2
2
21
10
4
2
（1）将学生家长对艺术素质评价的了解程度分为“比较了解”(得分不低于60分)和“不太了解”(得分低于60分)两类，完成列联表，并判断是否有99.9%的把握认为“学生家长对艺术素质评价的了解程度”与“性别”有关？
（2）以这100名学生家长中“比较了解”的频率代替该校学生家长“比较了解”的概率.现在再随机抽取3名学生家长，设这3名家长中“比较了解”的人数为X，求X的概率分布列和数学期望.
0.010
0.005
0.001
6.635
7.879
10.828
附：，.
【答案】（1）有的把握认为学生家长对艺术素质评价的了解程度与性别有关．
（2）分布列见解析，
【分析】
（1）完成列联表，求出，从而有的把握认为学生家长对艺术素质评价的了解程度与性别有关．
（2）推导出，由此能求出的概率分布和数学期望．
【详解】
解：（1）由题意得到列联表如下：
不太了解
比较了解
合计
男性
25
33
58
女性
5
37
42
合计
30
70
100
．
，
有的把握认为学生家长对艺术素质评价的了解程度与性别有关．
（2）由题意得该校1名学生家长“比较了解”的概率为，且，
，
，
，
，
的分布列为：
0
1
2
3
．
【点睛】
独立性检验得出的结论是带有概率性质的，只能说结论成立的概率有多大，而不能完全肯定一个结论，因此才出现了临界值表，在分析问题时一定要注意这点，不可对某个问题下确定性结论，否则就可能对统计计算的结果作出错误的解释．
18．盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6的六个球.
（1）从中任意取出两个球求这两个球的编号之和为偶数的概率；
（2）从中任意取出三个球，记为编号为偶数的球的个数，求的分布列和数学期望.
【答案】（1）；（2）分布列见详解，期望为.
【分析】
（1）先求出从六个球中任取两个所包含的基本事件总数，再确定满足两球编号之和为偶数对应的基本事件个数，基本事件个数比即为所求概率；
（2）根据题中条件，得出的可能取值，求出对应的概率，即可得出对应的分布列，从而可求出期望.
【详解】
（1）从编号为1，2，3，4，5，6的六个球任意取出两个球，共有种可能，
取出的两球编号之和为偶数包含的基本事件有：，，，，，共个基本事件，
因此从六个球中任意取出两个球求这两个球的编号之和为偶数的概率为；
（2）由题意，的可能取值为，，，，
则，，，
，
所以的分布列为：
因此期望为.
【点睛】
本题主要考查求古典概型的概率，考查离散型随机变量的分布列和期望，属于常考题型.
19．某单位共有员工45人，其中男员工27人，女员工18人．上级部门为了对该单位员工的工作业绩进行评估，采用按性别分层抽样的方法抽取5名员工进行考核．
（1）求抽取的5人中男、女员工的人数分别是多少；
（2）考核前，评估小组从抽取的5名员工中，随机选出3人进行访谈．设选出的3人中女员工人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望；
（3）考核分笔试和答辩两项．5名员工的笔试成绩分别为78，85，89，92，96；结合答辩情况，他们的考核成绩分别为95，88，102，106，99．这5名员工笔试成绩与考核成绩的方差分别记，试比较与的大小．（只需写出结论）
【答案】（1）男员工3人，女员工2人；（2）分布列见解析，；（3）.
【分析】
（1）根据题意得抽样比例为，进而可得男女员工人数；
（2）根据题意得X满足超几何分布，再根据超几何分布得概率分布列与数学期望；
（3）根据题意得考核成绩是笔试成绩均加10得到，故方差不变.
【详解】
(1)抽取的5人中男员工的人数为，
女员工的人数为.
(2)由(1)可知，抽取的5名员工中，有男员工3人，女员工2人.
所以，随机变量X的所有可能取值为0，1，2.
根据题意，，
，.
随机变量X的分布列是：
X
0
1
2
P
数学期望.
（3）.
【点睛】
本题考查分层抽样，超几何分布，方差等，考查运算能力，是中档题.
20．在一场青年歌手比赛中，由20名观众代表平均分成，两个评分小组，给参赛选手评分，下面是两个评分小组对同一名选手的评分情况：
组
8.3
9.3
9.6
9.4
8.5
9.6
8.8
8.4
9.4
9.7
组
8.6
9.1
9.2
8.8
9.2
9.1
9.2
9.3
8.8
8.7
（1）分别计算这两个小组评分的平均数和方差，并根据结果判断哪个小组评分较集中；
（2）在评分较集中的小组中，去掉一个最高分和一个最低分，从剩余的评分中任取2名观众的评分，记为这2个人评分之差的绝对值，求的分布列和数学期望.
【答案】（1），；，；组的评分更集中一些；（2）分布列见解析；.
【分析】
（1）首先求出平均数，再利用方差公式求方差，在平均数一样的情况下，选择方差较小的小组；
（2）根据判断，列举随机变量的所有可能取值，求出对应的概率，列出分布列，计算数学期望.
【详解】
（1）；
.
；
.
根据方差的概念及实际含义可知，组的评分较集中.
（2）从组评分中去掉一个最高分9.3，去掉一个最低分8.6，
易知的所有可能取值为0，0.1，0.3，0.4，0.5.
从8人的评分中任取2人的评分，共有种等可能的结果，
把组成绩按照从大到小排成一列为8.7，8.8，8.8，9.1，9.1，9.2，9.2，9.2，
则，，
，，
，
所以的分布列是
0
0.1
0.3
0.4
0.5
的数学期望.
【点睛】
本题考查平均数、方差的计算及含义，随机变量的分布列和数学期望，属于中档题.
21．共享单车进驻城市，绿色出行引领时尚.某市2017年对共享单车的使用情况进行了调查，数据显示，该市共享单车用户年龄分布如图1所示，一周内市民使用单车的频率分布扇形图如图2所示.若将共享单车用户按照年龄分为“年轻人”(20岁~39岁)和“非年轻人”(19岁及以下或者40岁及以上)两类，将一周内使用的次数为6次或6次以上的称为“经常使用共享单车用户”，使用次数为5次或不足5次的称为“不常使用共享单车用户”.已知在“经常使用共享单车用户”中有是“年轻人”.
（1）现对该市市民进行“经常使用共享单车与年龄关系”的分析，采用随机抽样的方法，抽取了一个容量为200的样本.请你根据题目中的数据，补全下列2×2列联表：
年轻人
非年轻人
合计
经常使用共享单车用户
120
不常使用共享单车用户
80
合计
160
40
200
根据列联表独立性检验，判断有多大把握认为经常使用共享单车与年龄有关？
参考数据：
0.150
0.100
0.050
0.025
0.010
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
其中，，.
（2）以频率为概率，用分层抽样的方法在（1）的200户用户中抽取一个容量为5的样本，从中任选3户，记经常使用共享单车的用户数为随机变量X，求X的分布列和数学期望.
【答案】（1）列联表答案见解析，有以上的把握认为经常使用共享单车与年龄有关；（2）分布列答案见解析，数学期望：.
【分析】
（1）由由图2计算出经常使用共享单车的用户数占百分比为，据此计算可得列联表；
（2）计算容量为5的样本中，经常使用共享单车的用户数为，可得X的可能取值为1，2，3，再根据古典概型的概率公式计算概率，可得分布列和数学期望.
【详解】
（1）由图2可知经常使用共享单车的用户数占，所以经常使用共享单车的人数为人，经常使用共享单车的年轻人人数为人，所以经常使用共享单车的非年轻人人数为人，
补全的列联表如下：
年轻人
非年轻人
合计
经常使用共享单车用户
100
20
120
不常使用共享单车用户
60
20
80
合计
160
40
200
∵，，，，
∴，
故有以上的把握认为经常使用共享单车与年龄有关.
（2）由题意知，容量为5的样本中，经常使用共享单车的用户数为人，不经常使用共享单车的用户数为人，所以X的可能取值为1，2，3.
则，，
∴X的分布列为：
X
1
2
3
P
数学期望.
【点睛】
关键点点睛：正确识别条形图和饼图，并利用两个图形计算频数是解题关键，属于中档题.
22．工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟，如果有一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人．现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别，，，假设，，互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立．
（Ⅰ）如果按甲最先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率．若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？
（Ⅱ）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为，，（，，是，，的一个排列），求所需派出人员数目X的分布列和数学期望（结果用，，表示）．
【答案】（Ⅰ）；不会发生变化；（Ⅱ）分布列见解析；.
【分析】
（Ⅰ）首先求出任务不能完成的概率，再根据对立事件的概率以及相互独立事件的概率乘法公式即可求解.
（Ⅱ）首先求出随机变量X的取值，利用相互独立事件的概率即可列出分布列，结合分布列即可求和数学期望.
【详解】
（Ⅰ）无论以怎样的顺序派出人员，任务不能被完成的概率都是
，
所以任务能被完成的概率与三个人被派出去的先后顺序无关，
都等于，
（Ⅱ）当依次派出去的三个人各自完成任务的概率分别为，，时，
随机变量X的分布列为：
所派出人员数目的数学期望是
【点睛】
本题考查了相互独立事件的概率、离散型随机变量的分布列、数学期望，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
23．已知集合和集合，从集合A中任取三个不同的元素，其中最小的元素用S表示；从集合B中任取三个不同的元素，其中最大的元素用T表示，记.
（1）当时，有多少种情况？
（2）求随机变量的概率分布和数学期望.
【答案】（1）6；（2）分布列见解析，.
【分析】
（1）当时，即从1,2,3,4中再选2个即可；
（2）计算的取值对应的S和T的取值，利用组合数公式计算概率，得出分布列和数学期望；
【详解】
（1）当时，即5被选中，再从其余4个中选两个即可，即，
∴共有6种情况.
（2）S的可能取值为1，2，T的可能取值为3，4，5；
则X的可能取值为1，2，3，4，
； ；
； ；
X的分布列为：
X
1
2
3
4
P
.
【点睛】
关键点点睛：
（1）理解新定义中的意义，得到其对应的事件结果；
（2）利用相互独立事件同时发生的概率乘法公式得到其对应的概率.
24．某商场为回馈消费者，将对单次消费满100元的顾客进行抽奖活动.为了增加抽奖的趣味性，按如下的游戏形式进行抽奖图，在数轴点O处有一个棋子，顾客有两次游戏机会，在每次游戏中，顾客可抛掷两粒骰子，若两粒骰子的点数之和超过9时，棋子向前(右)进一位；若两粒骰子的点数之和小于5时，棋子向后(左)走一位；若两粒骰子点数之和为5到9时，则原地不动，设棋子经过两次游戏后所在的位置为X，若，则该顾客获得.价值100元的一等奖；若，则该顾客获得价值10元的二等奖；若，则该顾客不得奖.
（1）求一次游戏中棋子前进､后退以及原地不动时的概率；
（2）求参与游戏的顾客能够获得的奖品价值的分布列以及数学期望.
【答案】（1）前进一格概率为，后退一格概率为，原地不动概率为；（2）分布列答案见解析，数学期望：.
【分析】
（1）依题意列出表格，记前进一格为事件A，后退一格为事件B，原地不动为事件C，然后根据古典概型的定义计算即可得解；
（2）设顾客获得奖品的价值为Y，据题意分别求出、和的值，然后写出分布列并求出数学期望即可.
【详解】
（1）如图，
抛掷两粒骰子所产生的结果共有36种；其中点数之和小于5的结果共有6种；
其中点数之和为5到9的结果共有24种；其中点数之和超过9的结果共有6种；
记前进一格为事件A，后退一格为事件B，原地不动为事件C，
根据古典概型的定义可得：
，，；
（2）设顾客获得奖品的价值为Y，据题意可得：
当两次游戏均前进或均后退时，，
即可知；
当两次游戏均原地不动或前后移动各一次时，，
即可知；
根据对立事件可得.
由上可得Y的分布列如下表：
Y
0
10
100
P
由此可得，Y的期望值为.
【点睛】
本题考查古典概型的概率计算，考查随机变量的分布列和数学期望的求法，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.
25．某蔬菜种植基地有一批蔬菜需要两天内采摘完毕，天气预报显示这两天每天是否有雨相互独立，无雨的概率都为0.8.现有两种方案可以选择：
方案一：基地人员自己采摘，不额外聘请工人，需要两天完成，两天都无雨收益为2万元，只有一天有雨收益为1万元，两天都有雨收益为0.75万元.
方案二：基地额外聘请工人，只要一天就可以完成采摘.当天无雨收益为2万元，有雨收益为1万元.额外聘请工人的成本为万元.
问：（1）若不额外聘请工人，写出基地收益的分布列及基地的预期收益；
（2）该基地是否应该外聘工人？请说明理由.
【答案】（1）分布列见解析；期望为万元；（2）答案不唯一，具体见解析.
【分析】
（1）求出每种收益情况的概率，列出分布列，最后根据数学期望公式进行求解即可；
（2）根据题意求出基地额外聘请工人情况下的数学期望，结合（1）中数据，利用比较法分类讨论进行判断即可.
【详解】
（1）基地收益的可能值为2，1，0.75，
因为两天每天无雨的概率都为0.8，所以两天每天有雨的概率都为，
则，
，
，
故的分布列为
2
1
0.75
0.64
0.32
0.04
则.
（2）设基地额外聘请工人时的收益为万元，则其预期收益
，
，
当时，即时，不外聘工人；
当时，即时，外聘工人；
当时，即时，是否外聘工人均可以，
综上可得，当额外聘请工人的成本高于0.17万元时，不外聘工人，
当成本低于0.17万元时，外聘工人，
当成本恰为0.17万元时，是否外聘工人均可以.
【点睛】
本题考查了离散型随机变量分布列，考查了数学期望的应用，考查了数学阅读能力和数学运算能力.
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