数学（宁波卷）-学易金卷：2023年中考第一次模拟考试卷

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2023年中考数学第一次模拟考试卷（宁波卷）
数学·全解全析
1．2023的相反数是（ ）
A． B． C．﹣2023 D．2023
【答案】C
【分析】利用相反数的定义判断．
【详解】2023的相反数是﹣2023，
故选C．
【点评】本题考查了相反数，解题的关键是掌握相反数的定义．
2．卢塞尔体育场是卡塔尔世界杯的主体育场，由中国建造，是卡塔尔规模最大的体育场．世界杯之后，将有约170000个座位将捐赠给需要体育基础设施的国家，其中大部分来自世界杯决赛场地卢塞尔体育场，170000这个数用科学记数法表示为（ ）
A．0.17×105 B．1.7×105 C．17×104 D．1.7×106
【答案】B
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】170000＝1.7×105．
故选B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．下列计算正确的是（ ）
A．（x2）3＝x5 B．x2•x3＝x6 C．x3+x3＝2x3 D．x3÷x3＝x
【答案】C
【分析】利用合并同类项的法则，积的乘方的法则，同底数幂的乘法的法则，同底数幂的除法的法则对各项进行运算即可．
【详解】A、（x2）3＝x6，故A不符合题意；
B、x2•x3＝x5，故B不符合题意；
C、x3+x3＝2x3，故C符合题意；
D、x3÷x3＝1，故D不符合题意；
故选C．
【点评】本题主要考查合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，解答的关键对相应的运算法则的掌握．
4．下列几何体中，同一个几何体从正面和上面看到的图形不相同的是（ ）
A．正方体 B．四棱锥
C．圆柱 D．球
【答案】B
【分析】从正面看到的图形即为主视图，从上面看到的形状即俯视图，结合图形找出各图形的俯视图以及主视图，然后进行判断即可．
【详解】A、主视图为正方形，俯视图为正方形，不符合题意；
B、主视图为三角形，俯视图为中间有点的正方形，符合题意；
C、主视图为长方形，俯视图为长方形，不符合题意；
D、主视图为圆形，俯视图为圆形，不符合题意．
故选B．
【点评】本题考查了简单几何体的三视图，注意从正面看到的图形即为主视图，从上面看到的图形即为俯视图．
5．已知圆锥的底面半径为9cm，高线长为12cm，则圆锥的侧面积为（ ）
A．135π B．108π C．450π D．540π
【答案】A
【分析】利用勾股定理可求得圆锥的母线长，那么圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2．
【详解】底面半径为9cm，高线长为12cm，底面周长＝18π，由勾股定理得，母线长＝15，
那么侧面面积＝×18π×15＝135πcm2．
故选A．
【点评】本题考查了圆锥的计算，利用了勾股定理，圆的周长公式和扇形面积公式求解．
6．在抗击新型冠状病毒肺炎疫情中，某社区志愿者小分队10名队员年龄统计如表：则这10名队员年龄的中位数、众数分别是（ ）
年龄（岁）
18
22
30
35
43
人数
2
3
2
2
1
A．20岁，35岁 B．26岁，22岁 C．22岁，26岁 D．30岁，30岁
【答案】B
【分析】众数就是出现次数最多的数，而中位数就是大小处于中间位置的数，根据定义即可求解．
【详解】在10名队员的年龄数据里，第5和第6个数据分别是22岁和30岁，因而中位数是＝26（岁）．
这10名队员的年龄数据里，22岁出现了3次，次数最多，因而众数是22岁；
故选B．
【点评】本题考查了众数和中位数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
7．《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？”大意是：甲、乙二人带着钱，不知是多少，若甲得到乙的钱数的，则甲的钱数为50；若乙得到甲的钱数的，则乙的钱数也能为50，问甲、乙各有多少钱？设甲持钱为x，乙持钱为y，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据甲得到乙的钱数的，则甲的钱数为50；若乙得到甲的钱数的，则乙的钱数也能为50，可以得到相应的方程组，从而可以解答本题．
【详解】由题意可得，
，
故选B．
【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
8．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D，过点D作DE∥AC，交AB于E，若AB＝5，则线段DE的长为（ ）

A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【分析】求出∠CAD＝∠BAD＝∠EDA，推出AE＝DE，求出∠ABD＝∠EDB，推出BE＝DE，求出AE＝BE，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可．
【详解】∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵DE∥AC，
∴∠CAD＝∠ADE，
∴∠BAD＝∠ADE，
∴AE＝DE，
∵AD⊥DB，
∴∠ADB＝90°，
∴∠EAD+∠ABD＝90°，∠ADE+∠BDE＝∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝∠BDE，
∴DE＝BE，
∵AB＝5，
∴DE＝BE＝AE＝AB＝2.5，
故选B．
【点评】本题考查了三角形中位线定理、平行线的性质，等腰三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线性质的应用，关键是求出DE＝BE＝AE．
9．当1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣2ax+3的最小值为﹣1，则a的值为（ ）
A．2 B．±2 C．2或 D．2或
【答案】A
【分析】将二次函数化成顶点式，再求最值．
【详解】y＝x2﹣2ax+3＝（x﹣a）2+3﹣a2．
抛物线开口向上，对称轴为直线x＝a．
∴当a≤1时，若1≤x≤3时，y随x的增大而增大，
当x＝1时，y有最小值＝1﹣2a+3＝4﹣2a，
∴4﹣2a＝﹣1，
∴a＝，
不合题意，舍去．
当1＜a≤3时，x＝a，y有最小值3﹣a2．
∴3﹣a2＝﹣1．
∴a2＝4，
∵1≤a≤3，
∴a＝2．
当a≥3时，若1≤x≤3，y随x的增大而减小．
∴当x＝3时，y有最小值＝9﹣6a+3＝12﹣6a．
∴12﹣6a＝﹣1．
∴a＝．
∵a≥3．
∴不合题意，舍去．
综上：a＝2．
故选A．
【点评】本题考查二次函数的最值，对a的范围进行分类讨论是求解本题的关键．
10．如图，正六边形ABCDEF中，点P是边AF上的点，记图中各三角形的面积依次为S1，S2，S3，S4，S5，则下列判断正确的是（ ）

A．S1+S2＝2S3 B．S1+S4＝S3 C．S2+S4＝2S3 D．S1+S5＝S3
【答案】B
【分析】正六边形ABCDEF中，点P是边AF上的点，记图中各三角形的面积依次为S1，S2，S3，S4，S5，则有S3＝S正六边形ABCDEF，S1+S4＝S2+S5＝S正六边形ABCDEF，由此即可判断．
【详解】正六边形ABCDEF中，点P是边AF上的点，记图中各三角形的面积依次为S1，S2，S3，S4，S5，
则有S3＝S正六边形ABCDEF，S1+S4＝S2+S5＝S正六边形ABCDEF，
∴S3＝S1+S4＝S2+S5，
故选B．
【点评】本题考查正多边形与圆，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
二．填空题（共6小题）
11．写出一个比小的整数：如：﹣5（答案不唯一）．
【分析】先找到所求的无理数在哪两个和它接近的整数之间，然后即可判断出所求的整数的范围．
【详解】∵2＜＜3，
∴﹣3＜﹣＜﹣2，
∴所有小于或等于﹣3的整数都可以．
故答案为：﹣5．
【点评】此题主要考查了实数的大小的比较，其中“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
12．因式分解：9x2﹣4＝　（3x﹣2）（3x+2）　．
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出即可．
【详解】9x2﹣4＝（3x﹣2）（3x+2）．
故答案为：（3x﹣2）（3x+2）．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟练应乘法公式是解题关键．
13．某校围绕习近平总书记在庆祝中国共产主义青年团成立100周年大会上的重要讲话精神，开展了主题为“我叫中国青年”的线上演讲活动．九年级（1）班共有50人，其中男生有26人，现从中随机抽取1人参加该活动，恰好抽中男生的概率是 　　．
【分析】直接根据概率求解即可．
【详解】∵共有50人，男生有26人，
∴随机抽取1人，恰好抽中男生的概率是＝．
故答案为：．
【点评】此题考查了概率的求法．通过所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件结果数目m，然后根据概率公式P＝求出事件概率．
14．定义：[x]表示不大于x的最大整数，（x）表示不小于x的最小整数，例如：[2.3]＝2，（2.3）＝3，[﹣2.3]＝﹣3，（﹣2.3）＝﹣2，则[1.7]+（﹣1.7）＝　0　．
【分析】根据新定义求解即可．
【详解】原式＝1+（﹣1）
＝0．
故答案为：0．
【点评】本题考查了有理数的比较大小，新定义，掌握[x]表示不大于x的最大整数，（x）表示不小于x的最小整数是解题的关键．
15．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA、OC分别在x、y轴上，点B的坐标为（3，1.5），反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象分别与边AB、BC交于点D、E，连结DE，将△BDE沿DE翻折得到△B′DE，连结OE，当∠OEB'＝90°时，k的值为 　3　．

【分析】作∠COE的角平分线OF交BC于点F，设∠BED＝α，易证∠COF＝∠FOE＝α，由B（3，1.5）可知，E（k，），D（3，），所以BD＝﹣，EB＝3﹣k，所以tanα＝＝＝，即tanα＝＝，所以CF＝OC＝，设点F到OE的距离为h，则CF＝h，所以＝＝，则，由此建立方程，解方程即可．
【详解】如图，作∠COE的角平分线OF交BC于点F，

设∠BED＝α，根据折叠的性质可得，∠BEB′＝2α，
∵∠OEB′＝90°，
∴∠CEO＝90°﹣2α，
∵∠OCE＝90°，
∴∠COE＝2α，
∵OF平分∠COE，
∴∠COF＝∠FOE，
∵D，E在反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象上，B（3，1.5），矩形OABC的边OA，OC分别在x，y轴上，
则E（k，），D（3，），
∴BD＝﹣，EB＝3﹣k，
∵∠B＝90°，
∴tanα＝＝＝，
∴tanα＝＝，
∴CF＝OC＝，
设点F到OE的距离为h，则CF＝h，
∴＝＝，
∴，
∴＝，解得k＝0（舍去）或k＝3，
故答案为：3．
【点评】本题属于反比例函数与几何综合题，考查折叠的性质，角平分线的性质，两点间的距离公式，根据比例得出关于k的方程是解题关键．
16．如图，正方形ABCD的边长为4，正方形CEFG的边长为，将正方形CEFG绕点C旋转，BG和DE相交于点K，则AK的最大值是 　4　，连结BE，当点C正好是△BKE的内心时，CK的长是 　　．

【分析】证明∠DKB＝90°，从而确定点K在以BD为直径的圆上运动；根据内心特征，确定内心点C到BE的距离，进一步得出结果．
【详解】如图，

连接AC，BD，CF和EG，AC，BD交于点O，DC，BG交于点M，作CQ⊥BE于Q，作CR⊥BK于R，
∵四边形ABCD和四边形EFGC是正方形，
∴BC＝CD，CG＝CE，∠BCD＝∠ECG＝90°，∠ECF＝45°，AC＝，EN＝CN＝，
∴∠BCD+∠DCG＝∠ECG+∠DCG，
∴∠BCG＝∠DCE，
∴△BCG≌△DCE（SAS），
∴∠BGC＝∠CDE，
∵∠BMC＝∠DMK，
∴∠BKD＝∠BCD＝90°，
∴点K在以BD为直径的圆O上运动，
∴当AK为圆O直径时，AK最大，此时点K于点C重合，
∴AK最大＝AC＝＝4，
当点C为△BEK的内心时，
BC，CE，CK分别平分∠KBE，∠BEK和∠BKE，
∴CR＝CQ，
∵∠BKE＝90°，
∴∠BKC＝，＝，
∴∠ECF＝∠CBE+∠BEC，
∴点B、C、F共线，
∴BN＝BC+CN＝4+2＝6，
∴BE＝＝＝2，
∵sin∠NBE＝，
∴，
∴CR＝CQ＝，
∴CK＝＝＝，
故答案为：4，．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，确定圆的条件，解直角三角形等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关综合知识．
三．解答题（共8小题）
17．（1）计算：2a（a+b）﹣（a+b）2
（2）解不等式组 ，并将解集在数轴上表示．
【分析】（1）根据单项式乘多项式的法则和完全平方公式分别进行计算，再把所得的结果合并即可；
（2）先分别求出两个不等式的解集，再把解集在数轴上表示出来，找出解集的公共部分即可．
【详解】（1）2a（a+b）﹣（a+b）2＝2a2+2ab﹣（a2+2ab+b2），
＝2a2+2ab﹣a2﹣2ab﹣b2，
＝a2﹣b2，
（2），
由①得：x＞﹣5，
由②得：x≤3，
在数轴上表示：
，
则不等式组的解集为：﹣5＜x≤3，
【点评】此题考查了整式的混合运算和解一元一次不等式组，用到的知识点是整式混合运算的法则和乘法公式，解一元一次不等式组，注意结果的符号．
18．如图1是由边长为1的正方形构成的6×5的网格图，四边形ABCD的顶点都在格点上．
（1）求四边形ABCD的对角线AC的长；
（2）命题“对角线相等的四边形一定是矩形”是真命题还是假命题？如果是假命题，请在图2中画一个顶点都是格点的四边形说明；如果是真命题，请进行证明．

【分析】（1）根据勾股定理直接求解即可；
（2）对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形，画出图形即可．
【详解】（1）由题意可知，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，
∴AC＝＝＝5，
∴AC的长为5；
（2）对角线相等的四边形不一定是矩形，故命题“对角线相等的四边形一定是矩形”是假命题，如图：

在四边形ABCD中，AC＝BD，但四边形ABCD为等腰梯形．
【点评】本题主要考查命题与定理知识，熟练掌握绝对值的意义、对顶角的性质、余角的性质等知识是解题的关键．
19．某校积极落实“双减”政策，将要开设拓展课程．为让学生可以根据自己的兴趣爱好选择最喜欢的课程，进行问卷调查，问卷设置以下四种选项：A（综合模型）、B（摄影艺术）、C（音乐鉴赏）、D（劳动实践），随机抽取了部分学生进行调查，每名学生必须且只能选择其中最喜欢的一种课程，并将调查结果整理绘制成如下不完整的统计图．

根据以上信息，解答下列问题：
（1）此次被调查的学生人数为 　120　名；
（2）直接在答题卡中补全条形统计图；
（3）求拓展课程D（劳动实践）所对应的扇形的圆心角的度数；
（4）根据抽样调查结果，请你估计该校800名学生中，有多少名学生最喜欢C（音乐鉴赏）拓展课程．
【分析】（1）根据选择A的人数和所占的百分比，可以计算出本次调查的学生人数；
（2）根据条形统计图中的数据，即可计算出选择B的人数，然后即可将条形统计图补充完整；
（3）用360°乘以D（劳动实践）所占比例可得答案；
（4）用样本估计总体即可．
【详解】（1）此次被调查的学生人数为：12÷10%＝120（名），
故答案为：120；
（2）选择B的学生有：120﹣12﹣48﹣24＝36（名），
补全的条形统计图如图所示；

（3）360°×＝72°，
即拓展课程D（劳动实践）所对应的扇形的圆心角的度数是72°；
（4）800×＝320（名），
答：估计该校800名学生中，有320名学生最喜欢C（音乐鉴赏）拓展课程．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、频数（率）分布表，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
20．如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，已知OA＝，tan∠AOC＝，点B的坐标为（m，﹣2）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求一次函数的解析式．

【分析】（1）过A作AE⊥X轴于E，由tan∠AOE＝，得到OE＝3AE，根据勾股定理即可求出AE和OE的长，即得到A的坐标，代入双曲线即可求出k的值，得到解析式；（2）把B的坐标代入反比例函数的解析式即可求出B的坐标，把A和B的坐标代入一次函数的解析式即可求出a、b的值，即得到答案．
【详解】（1）过A作AE⊥X轴于E，
tan∠AOE＝，
∴OE＝3AE，
∵OA＝，由勾股定理得：OE2+AE2＝10，
解得：AE＝1，OE＝3，
∴A的坐标为（3，1），
A点在双曲线上，
∴1＝，
∴k＝3，
∴双曲线的解析式y＝．
答：反比例函数的解析式是y＝．
（2）解：B（m，﹣2）在双曲y＝上，
∴﹣2＝，
解得：m＝﹣，
∴B的坐标是（﹣，﹣2），
代入一次函数的解析式得：，
解得：，
∴一次函数的解析式为：y＝x﹣1．
答：一次函数的解析式是y＝x﹣1．

【点评】本题主要考查了锐角三角函数的定义，用待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求正比例函数的解析式，正比例函数图象上点的坐标特征，勾股定理等知识点，综合运用这些知识进行计算是解此题的关键，题型较好，综合性比较强．
21．某地一居民的窗户朝南．窗户的离地高度为0.8米，此地一年的冬至这一天的正午时刻太阳光与地面的夹角最小为α，夏至这一天的正午时刻太阳光与地面的夹角最大为β．若你是一名设计师，请你为教学楼的窗户设计一个直角形遮阳蓬BCD，要求它既能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．根据测量测得∠α＝30°，∠β＝60°，AB＝1.5米．若同时满足下面两个条件：
（1）当太阳光与地面的夹角是α时，太阳光刚好射入室内．
（2）当太阳光与地面的夹角是β时，太阳光刚好不射入室内．请你求出直角形遮阳蓬BCD中CD的长、CD离地面的高度．

【分析】在直角三角形△BCD和△ACD，利用相应的三角函数用BC分别表示出CD、AC长，而AC﹣BC＝AB，由此即可求得BC长，进而求得CD长．
【详解】设BC＝x米，
∵∠α＝30°，∠β＝60°，
∴∠CDB＝30°，∠CDA＝60°，
在Rt△BCD中，tan∠CDB＝＝tan30°＝＝，
∴CD＝x，
在Rt△ACD中，tan∠CDA＝tan60°＝＝＝，
∴CD＝，
∴＝x，
解得x＝，
∴CD＝（米），
CD离地面的高度0.8+1.5+＝3.05（米）．
答：直角形遮阳蓬BCD中CD的长为米，CD离地面的高度3.05米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，在解直角三角形的题目中，应先找到和所求线段相关的线段所在的直角三角形，然后确定利用什么形式的三角函数，最后解直角三角形即可求出结果．此题还需注意太阳光线是平行的．
22．2022年北京冬奥会举办期间，冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受广大人民的喜爱．某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆．每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；
（2）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大？最大利润是多少元？
（3）该店主热心公益事业，决定从每天的利润中捐出200元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于2200元，求销售单价x的范围．
【分析】（1）根据题意直接写出y与x之间的函数关系式和自变量的取值范围；
（2）根据销售利润＝销售量×（售价﹣进价），列出平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润；
（3）根据题意得剩余利润为w﹣200，利用函数性质求出w﹣200≥2200时的x的取值范围即可
【详解】（1）根据题意得：y＝300﹣10（x﹣44）＝﹣10x+740，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣10x+740（44≤x≤52）；
（2）根据题意得：w＝（﹣10x+740）（x﹣40）＝﹣10x2+1140x﹣29600＝﹣10（x﹣57）2+2890，
∵﹣10＜0，
∴当x＜57时，w随x的增大而增大，
∵44≤x≤52，
∴当x＝52时，w有最大值，最大值为﹣10×（52﹣57）2+2890＝2640，
∴将纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大，最大利润是2640元；
（3）依题意剩余利润为（w﹣200）元，
∵捐款后每天剩余利润不低于2200元，
∴w﹣200≥2200，即﹣10（x﹣57）2+2890﹣200≥2200，
由﹣10（x﹣57）2+2890﹣200＝2200得x＝50或x＝64，
∵﹣10＜0，44≤x≤52，
∴捐款后每天剩余利润不低于2200元，50≤x≤52，
答：捐款后每天剩余利润不低于2200元，销售单价x的范围是50≤x≤52．
【点评】本题考查二次函数应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
23．[证明体验]（1）如图1，在△ABC和△BDE中，点A、B、D在同一直线上，∠A＝∠CBE＝∠D＝90°，求证：△ABC∽△DEB．
（2）如图2，图3，AD＝20，点B线段AD上的点，AC⊥AD，AC＝4，连结BC，M为BC中点，将线段BM绕点B顺时针旋转90°至BE，连结DE．
[思考探究]①如图2，当DE＝ME时，求AB的长．
[拓展延伸]②如图3，点G是CA延长线上一点，且AG＝8，连结GE，∠G＝∠D，求ED的长．


【分析】（1）利用同角的余角相等得∠C＝∠DBE，可证明结论；
（2）①过点E作EF⊥AD，垂足为F，由（1）得△ABC∽△FEB，得，可得答案；
②过点M作AD的垂线交AD于点H，过点E作AD的垂线交AD于点F，过点D作DP⊥AD，过点E作NP⊥DP，交AC的延长线于N，首先利用AAS证明△MHB≌△BFE，得BF＝MH＝2，EF＝BH，设EF＝x，则DP＝x，BH＝AH＝x，EP＝FD＝20﹣2﹣2x＝18﹣2x，GN＝x+8，AF＝2x+2，再由∠GED＝∠GAH＝90°，由（1）得△NGE∽△PED，得，代入计算即可．
【解答】（1）证明：∵∠A＝∠CBE＝∠D＝90°，
∴∠C+∠CBA＝90°，∠CBA+∠DBE＝90°，
∴∠C＝∠DBE，
∴△ABC∽△DEB；
（2）解：①∵M绕点B顺时针旋转90°至E，M为BC的中点，
∴△BME为等腰直角三角形，，
∴BE＝，
又∵DE＝，
∴BE＝DE，
如图，过点E作EF⊥AD，垂足为F，

则BF＝DF，
∵∠A＝∠CBE＝∠BFE＝90°，
由（1）得△ABC∽△FEB，
∴，
∵AC＝4，
∴BF＝2，
∴AB＝AD﹣BF﹣FD＝20﹣2﹣2＝16；
②如图，过点M作AD的垂线交AD于点H，过点E作AD的垂线交AD于点F，过点D作DP⊥AD，过点E作NP⊥DP，交AC的延长线于N，

∵M为BC的中点，MH∥AC，
∴，
∴MH＝，BH＝AH，
∵∠MHB＝∠MBE＝∠BFE＝90°，
由（1）得：∠HBM＝∠FEB，
∵MB＝EB，
∴△MHB≌△BFE（AAS），
∴BF＝MH＝2，EF＝BH，
设EF＝x，则DP＝x，BH＝AH＝x，EP＝FD＝20﹣2﹣2x＝18﹣2x，GN＝x+8，AF＝2x+2，
∵∠G＝∠D，
∴∠GED＝∠GAH＝90°，
由（1）得△NGE∽△PED，
∴，
即，
解得x＝6或x＝﹣（舍去），
∴FD＝18﹣2x＝6，
∴ED＝＝6．
【点评】本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握一线三等角基本模型是解题的关键．
24．如图1，△ABC中，BC边上的中线AM＝AC，延长AM交△ABC的外接圆于点D，过点D作DE∥BC交圆于点E，延长ED交AB的延长线于点F，连接CE．
（1）若∠ACB＝60°，BC＝4，求MD和DF的长；
（2）①求证：BC＝2CE；
②设tan∠ACB＝x，＝y，求y关于x的函数表达式；
（3）如图2，作NC⊥AC交线段AD于N，连接EN，当△ABC的面积是△CEN面积的6倍时，求tan∠ACB的值．

【分析】（1）利用等边三角形的判定与性质，和直角三角形的判定与性质以及圆周角定理得到点M为圆心，则结论可求；
（2）①连接BD，利用平行弦所夹的弧相等，圆周角定理，等腰三角形的性质解答即可；
②过点A作AH⊥CM于点H，通过证明△AMC∽△BMD和平行线分线段成比例定理得到y＝＝＝＝，设CM＝2a，则BM＝CM＝2a，利用等腰三角形的性质和勾股定理求得，代入即可得出结论；
（3）连接ME，设ME与CN交于点K，在（2）的基础上，通过证明△BDM≌△CEM和△CMN≌△CEN，利用等高的三角形的面积比等于底的比，得出AM＝3DN，利用平行线分线段成比例定理可以求得＝，则得到y＝，IE关于x的方程即可求得结论．
【解答】（1）解：∵AM＝AC，∠ACB＝60°，
∴△AMC为等边三角形，
∴AM＝AC＝MC．
∵M是BC的中点，
∴CM＝BM＝BC＝2．
∴AM＝AC＝CM＝2，
∴AM＝BC，
∵BM＝MC，
∴△ABC为直角三角形，∠BAC＝90°，
∴点M为圆心，即AD为直径，
∴DM＝AM＝2；
∵DE∥BC，M为AD在中点，
∴BM为△AFD的中位线，
∴FD＝2BM＝4；
（2）①证明：连接BD，如图，

∵DE∥BC，
∴，
∴BD＝EC．
∵AM＝AC，
∴∠ACM＝∠AMC，
∵∠AMC＝∠BMD，∠ACM＝∠BDM，
∴∠BDM＝∠BMD，
∴BD＝BM，
∴BM＝CE，
∵BC＝2BM，
∴BC＝2EC；
②解：过点A作AH⊥CM于点H，如图，

∵∠AMC＝∠BMD，∠ACM＝∠BDM，
∴△AMC∽△BMD，
∴，
∵DE∥BC，
∴．
∵CM＝MB，
∴y＝＝＝＝，
设CM＝2a，则BM＝CM＝2a，
∵AM＝AC，AH⊥CM，
∴CH＝MH＝a，
∵tan∠ACB＝x＝，
∴AH＝ax，
∴AM＝AC＝＝＝a
∴＝，
∴y＝＝，
∴y关于x的函数表达式为：y＝；
（3）连接ME，设ME与CN交于点K，如图，

∵DE∥BC，
∴，
∴，BD＝EC，
∴∠CBD＝∠BCE，
在△BDM和△CEM中，，
∴△BDM≌△CEM（SAS）．
∴DM＝CE．
∵NC⊥AC，
∴∠MCN＝90°﹣∠ACM，
∵AH⊥CM，
∴∠ACM＝90°﹣∠CAH＝90°﹣∠CAM，
∴∠MCN＝∠CAM，
∵∠CAM＝∠CBD，∠CBD＝∠BCD，
∴∠MCN＝∠MCE，
即：∠MCN＝∠ECN，
由（2）知：CM＝BM＝BD，
∵CE＝BD，
∴CM＝CE，
在△CMN和△CEN中，，
∴△CMN≌△CEN（SAS）．
∴MN＝NE．
∵CM＝CE，
∴CN是ME的垂直平分线，
∴ME⊥CN，MK＝KE，
∵NC⊥AC，
∴ME∥AC．
∴，
∵△ABC的面积是△CEN面积的6倍，S△ABM＝S△ACM，
∴△ACM的面积是△CEN的3倍，
∵S△CEN＝S△CMN，
∴△ACM的面积是△CMN的3倍，
∴AM＝3MN，
∴，
∴＝，
∴＝，
∵ME＝MD，AC＝AM，
∴，
∴y＝，
∴，
解得：x＝，
∴tan∠ACB＝x＝．
【点评】本题主要考查了圆周角定理，圆的有关性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，直角三角形的边角关系，勾股定理，全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线，熟练掌握圆的有关性质恰当的添加辅助线是解题的关键．