数学（辽宁沈阳卷）-学易金卷：2023年中考第一次模拟考试卷

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2023年中考数学第一次模拟考试卷
数学·全解全析
第Ⅰ卷
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
C
B
A
C
C
B
C
B
D
A

一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．−12023的倒数是（    ）
A．2023 B．12023 C．−2023 D．−12022
【答案】C
【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数求解即可．
【详解】解：∵−12023×−2023=1，
∴−12023的倒数是−2023．
故选C．
【点睛】本题考查了倒数的定义，熟练掌握倒数的定义是解答本题的关键．正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数．
2．如图，这是由6个相同的小正方体组合而成的几何体，它的俯视图是（    ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】俯视图是从上往下看得出的图形，结合选项即可判断．
【详解】解：从上往下看，共有两层，第一层有三个正方形，第二层有两个不相邻的正方形，
故选：B．
【点睛】此题考查了简单几何体的三视图，解题的关键是掌握三视图的画法．
3．下列运算正确的是（    ）
A．0.1−3=1000 B．a32=a5 C．a2⋅a3=a6 D．a+b2=a2+b2
【答案】A
【分析】根据负整数指数幂的含义可判断A，根据积的乘方运算可判断B，根据同底数幂的乘法可判断C，根据完全平方公式可判断D，从而可得答案．
【详解】解：0.1−3=110−3=1000，故A符合题意；
a32=a6，故B不符合题意；
a2⋅a3=a5，故C不符合题意；
a+b2=a2+2ab+b2，故D不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查的是负整数指数幂的含义，幂的乘方运算，同底数幂的乘法运算，完全平方公式的应
用，熟记以上运算法则是解本题的关键．
4．若点P在第四象限，到x轴的距离是3，到y轴的距离是4，则点P的坐标是（    ）
A．3,4 B．−4,3 C．4,−3 D．3,−4
【答案】C
【分析】根据点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，点到y轴的距离是横坐标的绝对值，根据第四象限内点的横坐标大于零，纵坐标小于零，可得答案．
【详解】解：由点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，得
y=3，x=4，
由点P位于第四象限，得
y=−3，x=4，
点P的坐标为4,−3，
故选：C．
【点睛】本题考查了点的坐标，熟记点的坐标特征是解题关键．
5．某班五个合作学习小组的人数分别如下：5，5，x，6，8，已知这组数据的平均数是6，则x的值是（    ）
A．5 B．5.5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】直接根据数据的平均数是6求解即可．
【详解】∵数据的平均数是6，
∴5+5+x+6+85=6，
解得x=6，
故选C．
【点睛】本题考查了根据平均数求数据，熟练掌握运算法则是解题的关键．
6．已知关于x的不等式组x−a>0−3+2x≤1恰有二个整数解，则a的取值范围为（    ）
A．−1 【答案】B
【分析】根据解不等式组的方法可以求出不等式组的解集，又因为关于x的不等式组恰有二个整数解，从而可以得到a的取值范围，本题得以解决．
【详解】解：解不等式x−a>0，得：x>a，
解不等式−3+2x≤1，得：x≤2，
则不等式组的解集为a ∵不等式组恰有2个整数解，
∴不等式组的整数解为1、2，
∴0≤a<1，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解题的关键是明确题意，会解一元一次不等式组．
7．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则等腰三角形的底角度数为（    ）
A．15° B．30° C．15°或75° D．30°或150°
【答案】C
【分析】本题要分情况讨论．当等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角两种情况．
【详解】解：①当为锐角三角形时，如图1，

∵∠ABD=60°，BD⊥AC，
∴∠A=90°−∠ABD=30°，
∵△ABC是等腰三角形，
∴∠C=∠ABC=12180°−30°=75°
∴三角形的底角为75°；
②当为钝角三角形时，如图2，

∵∠ABD=60°，BD⊥AC，
∴∠BAC=90°+∠ABD=150°，
∵△ABC是等腰三角形，
∴∠C=∠ABC=12180°−150°=15°
∴三角形的底角为15°；
∴三角形的底角为15°或75°；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，三角形的外角，做题时，考虑问题要全面，必要的时候可以做出模型帮助解答，进行分类讨论是正确解答本题的关键．
8．已知Aa,−1，Bb,−3两点都在关于x的一次函数y=−2x+m的图象上，则a，b的大小关系为(    )
A．a≥b B．a>b C．a 【答案】C
【分析】根据一次函数的解析式可得k=−2<0，则y随x的增大而减小，进而根据A,B的坐标即可求解．
【详解】解：∵y=−2x+m，k=−2<0，
∴y随x的增大而减小，
∵Aa,−1，Bb,−3两点都在关于x的一次函数y=−2x+m的图象上，−3<−1，
∴a 故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是牢记“当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小”．
9．下列说法中，正确的是（    ）
A．对载人航天器零部件的检查适合采用抽样调查
B．某种彩票中奖的概率是110，则购买10张这种彩票一定会中奖
C．为了了解一批洗衣粉的质量情况，从仓库中随机抽取100袋洗衣粉进行检验，这个问题中的样本是100
D．甲．乙两人各进行了10次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是s甲2=3.2，s乙2=1，则乙的射击成绩较稳定
【答案】D
【分析】根据抽样调查、全面调查、概率、方差、样本以及样本容量的意义进行判断即可．
【详解】解：A.为确保载人航天器的每个零件合格，应采取全面调查，不能用抽查，因此选项A不符合题意；
B．某种彩票中奖的概率是，买10张这种彩票也不一定会中奖，因此选项B不符合题意；
C．为了了解一批洗衣粉的质量情况，从仓库中随机抽取100袋洗衣粉进行检验，这个问题中的样本是100袋洗衣粉的质量，样本容量为100，因此选项C不符合题意；
D．由于平均数相同，方差小的比较稳定，因此乙的射击成绩较稳定，所以选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查抽样调查、全面调查、概率、方差、样本以及样本容量，理解抽样调查、全面调查、概率、方差、样本以及样本容量的意义是正确判断的前提．
10．如图，直线y=−3x+33与x轴、y轴分别交于A、B两点，P1,0，⊙P与y轴相切于点O，将⊙P向上平移m个单位长度，当⊙P与直线AB第一次相切时，则m的值是（    ）

A．23−2 B．23 C．33−3 D．23−3
【答案】A
【分析】求出A、B的坐标，得到OA、OB的长，设平移后⊙P'与直线AB相切与点E，与y轴相切于点F，连接PE,PF,PA,PB，则四边形PP'FO是矩形，然后利用面积法求解即可．
【详解】解：当x=0时，y=33，
当y=0时，x=3；
∴OA=3，OB=33，
∴AB=32+332=6．

设平移后⊙P'与直线AB相切与点E，与y轴相切于点F，连接PE,PF,PA,PB，则四边形PP'FO是矩形，
∴OF=PP'=m，
∴BF=33−m．
∵P1,0，⊙P与y轴相切于点O，
∴OP=P'E=P'F=1，
∴AP'=3−1=2．
∵S矩形PP'FO+S△APP'+S△ABP'+S△BFP'=S△ABC，
∴m+12×2×m+12×6×1+12×33−m×1=12×3×33，
∴m=23−2．
故选A．
【点睛】本题考查对直线与圆的位置关系，勾股定理，面积法求线段的长，一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握面积法是解此题的关键．

第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．分解因式：n-2mn+m2n=_____．
【答案】n(m-1)2
【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式继续分解即可．
【详解】解：n-2mn+m2n
=n(1-2m+m2)
=n(m-1)2．
故答案为：n(m-1)2．
【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
12．已知关于x的不等式组2x−a+b<1x−ab>−2的解集是−1 【答案】±13
【分析】先求出不等式组中各个不等式的解集，再根据不等式组的解集是−1 【详解】解：2x−a+b<1①x−ab>−2②
解不等式①得，x<1+a−b2，
解不等式②，x>ab−2，
∵不等式组2x−a+b<1x−ab>−2的解集是−1 ∴1+a−b2=2ab−2=−1，
∴a−b=3,ab=1，
∴a+b2=a−b2+4ab=32+4×1=13，
∴a+b=±13，
故答案为：±13
【点睛】此题考查了一元一次不等式组的解法、完全完全平方公式的变形、平方根等相关知识，读懂题意正确计算是解题的关键．
13．化简：a+1a2−2a+1÷2a−1+1=______．
【答案】1a−1
【分析】先计算括号内的分式加法，再计算分式的除法即可得．
【详解】解：原式=a+1(a−1)2÷2a−1+a−1a−1
=a+1(a−1)2÷a+1a−1
=a+1(a−1)2⋅a−1a+1
=1a−1，
故答案为：1a−1．
【点睛】本题考查了分式的除法与加法，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．
14．已知点Ax1,y1，Bx2,y2，Cx3,y3在反比例函数y=−k−2x（k是常数）的图象上，若x3 【答案】y2>y3>y1
【分析】根据比例系数得到反比例函数y=−k−2x的图象的两个分支分别在第二，四象限内，y随x的增大而增大，利用横坐标的大小关系得到答案．
【详解】解：∵−k−2<0，
∴反比例函数y=−k−2x的图象的两个分支分别在第二，四象限内，
∴y随x的增大而增大，
∵x3 ∴y2>y3>y1，
故答案为：y2>y3>y1．
【点睛】此题考查了反比例函数的图象和性质，正确掌握反比例函数的增减性及图象与k的关系是解题的关键．
15．某服装店购进单价为15元童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，当每件的定价为___元时，该服装店平均每天的销售利润最大．
【答案】22．
【分析】根据“利润=（售价−成本）×销售量”列出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，把二次函数解析式转化为顶点式方程，利用二次函数的性质进行解答.
【详解】设定价为x元，每天的销售利润为y元，
根据题意得：y=x−158+225−x=−2x2+88x−870，
∴ y=−2x2+88x−870=−2x−222+98，
∵ a=−2<0，
∴抛物线开口向下，
∴当x=22时，y最大值=98.
故答案为：22.
【点睛】此题考查二次函数的实际应用，为数学建模题，借助二次函数解决实际问题，解决本题的关键是二次函数图象的性质.
16．如图，在正方形ABCD中，AB=4，点E为对角线BD上一点，EF⊥AE，交BC边于点F，连接AF交BD于点G，若∠BAF=30°，则△AEG的面积为______．

【答案】24−833
【分析】连接CE，作EH⊥AF于H，利用正方形的性质可得△ADG∽△FBG，△ABE≌△CBE，则有∠BAE=∠BCE，AE=CE，据四边形的内角和可得∠BAE+∠BFE=180°，可得∠BAE=∠EFC，得∠EFC=∠BCE，便可得△AEF为等腰直角三角形，则有HE=12AF，利用∠BAF=30°，AB=4可求得BF=433，AF=833，再利用相似三角形列比例式可得AGGF=31，进而可求得AG=43−1，便可计算出△AEG的面积．
【详解】解：连接CE，作EH⊥AF于H，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，AD=CD，∠ABF=∠BCD=90°，∠ADB=∠CDB=45°，AB=AD=4
∴△ADG∽△FBG，
∵BE=BE，
∴△ABE≌△CBE，
∴∠BAE=∠BCE，AE=CE，
又∵EF⊥AE，
∴∠AEF=90°，
则在四边形ABFE中：∠BAE+∠BFE=180°
又∵∠BFE+∠EFC=180°，
∴∠BAE=∠EFC，
∴∠EFC=∠BCE，
∴CE=FE，
∴AE=FE，即△AEF为等腰直角三角形，
∵EH⊥AF，
∴HE=12AF，
∵∠BAF=30°，AB=4，∠ABF=90°
∴BF=433，AF=833，则HE=12AF=433
又∵△ADG∽△FBG，
∴AGGF=ADBF，即：AGGF=4433=31，
∴AG=33+1AF=33+1×833=83+1=43−1，
∴S△AEG=12AG⋅HE=12×43−1×433=24−833．
故答案为：24−833．
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，含30°的直角三角形，添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键．
三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分）
17．计算：3−π0−2cos30°+1−3+12
【答案】12
【分析】根据零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值的性质计算即可．
【详解】解：3−π0−2cos30°+1−3+12
=1−2×32+3−1+12
=1−3+3−1+12
=12．
【点睛】本题主要考查实数的混合运算，掌握零指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值的性质是解题的关键．
18．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE垂直且平分CD，垂足为点E．

(1)求∠BCD的大小．
(2)若AB=4，则菱形ABCD的面积为 　　．
【答案】(1)120°
(2)83

【分析】（1）由菱形的性质得AD=CD，∠ACB=∠ACD，再证△ACD是等边三角形，得∠ACD=60°，即可得出结论；
（2）由（1）可知，AC=AD=4，则OA=OC=2，再由勾股定理得OD=23，则BD=2OD=43，然后由菱形面积公式列式计算即可．
【详解】（1）∵AE垂直且平分边CD，
∴AC=AD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD，∠ACB=∠ACD，
∴AC=AD=CD，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ACD=60°，
∴∠BCD=2∠ACD=120°．
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC，OB=OD，AD=AB=4，AC⊥BD，
由（1）可知，AC=AD=4，
∴OA=OC=2，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：OD= AD2−OA2= 42−22 =2 3，
∴BD=2OD=43，
∴菱形ABCD的面积=12AC·BD=12×4×43=83，
故答案为：83．
【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质，证明△ACD为等边三角形是解题的关键．
19．将分别标有数字1，2，3，5的四张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上．
(1)随机地抽取一张，则抽到奇数的概率是___；
(2)随机地抽取一张作为十位上的数字（不放回），再抽取一张作为个位上的数字，请利用列表或画树状图的方法，求这个两位数能被3整除的概率是多少？
【答案】(1)34
(2)13

【分析】（1）先求出这组数中奇数的个数，再利用概率公式解答即可；
（2）首先根据题意可直接列出所有可能出现的结果，再算出这个两位数能被3整除的概率；
【详解】（1）随机抽取1张，抽到卡片数字是奇数的概率为=34；
（2）树状图如下：

共会出现12种等可能的结果12，13，15，21，23，25，31，32，35，51，52，53
其中能被3整除的有4种，
所求概率为P＝412＝13；
答：能被3整除的概率是13．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，熟记概率公式是解决本题的关键．

四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
20．某中学决定在本校学生中，开展足球、篮球、羽毛球、乒乓球四种活动，为了了解学生对这四种活动的喜爱情况，学校随机调查了该校m名学生，看他们喜爱哪一种活动（每名学生必选一种且只能从这四种活动中选择一种)，现将调查的结果绘制成的不完整的统计图(如图所示)．

(1)m= ，n=
(2)请补上全图中的条形统计图；
(3)根据抽样调查的结果，请估算全校2000名学生中，大约有多少人喜爱踢足球；
(4)在抽查的m名学生中，喜爱乒乓球的有10名同学（其中有4名女生，包括小花，小颖），现将喜爱打乒乓球的同学平均分成两组进行训练，且女生每组分两人，求小花、小颖能分在同一组的概率．
【答案】(1)100，15
(2)图见解析
(3)800人
(4)13

【分析】（1）根据喜爱乒乓球的有10人，占10%可以求得m的值，从而可以求得n的值；
（2）根据题意和m的值可以求得喜爱篮球的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（3）先用喜欢足球的人数用除以总人数，求出喜欢足球的人数占总人数的百分比，后用这个百分比乘以2000计算．
（4）先列表或树状图的方法求出总共的情况以及恰好小花，小颖能分在一组的情况数，进而用概率进行计算即可．
【详解】（1）m=10÷10%=100，n%=15÷100=15%，
故答案为：100，15；
（2）喜爱篮球的有：100×35%=35（人），
补全的条形统计图，如下图所示；

（3）20000×40%=800 (人)，      
答：全校2000名学生中，大约有800人喜爱踢足球．
（4）把小花标记为A、小颖标记为B、另外两名同学分别标记为C和D，列表如下：

A
B
C
D
A

(A，B)
(A，C)
(A，D)
B
(B，A)

(B，C)
(B，D)
C
(C，A)
(C，B)

(C，D)
D
(D，A)
(D，B)
(D，C)


由上表可知，共有12种等可能的情况，其中，小花，小颖分别在同一组的情况有（A，B）,（B，A）,（C，D）,（D，C）共4种．
∴P（小花，小颖分在同一组）=412=13．
【点睛】本题考查学生数据的分析和数据的整合能力，这是一道概率统计与应用题，侧重数据分析和模型构建．本题来源于真实的数学情境，联系生活实际对本题进行解读的话，会很容易理解，但如果没有联系生活实际，在最后一小题，是很容易忽略掉最后两种情况的．此题贴近生活、常中见拙、拙中藏巧、一题多问、层层递进，为不同层次的学生展示自己的才华创设了平台，培养了学生的数学综合素养．
21．学校举行厨艺大赛，参赛选手人数是评委人数的5倍少2人，每位参赛者需在规定时间内，将制作好的菜品分到小盘中给每位评委一小盘试吃评分，若本次比赛评委共试吃168个小盘菜品，求参赛选手的人数．
【答案】参赛选手有28人
【分析】设评委有x人，则参加选手有（5x﹣2）人，根据“本次比赛评委共试吃168个小盘菜品”列出方程并解答．
【详解】解：设评委有x人，则参加选手有（5x﹣2）人，
根据题意，得x（5x﹣2）＝168，
解这个方程，得x1＝6，x2＝﹣285，
经检验x1＝6，x2＝﹣285都是原方程的根，但x2＝﹣285不合题意，舍去．
所以5x﹣2＝5×6﹣2＝28．
答：参赛选手有28人．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出方程．

五、解答题（本题10分）
22．如图，AB为⊙O的直径，AC为弦，过点C的切线与AB的延长线交于点P，E为⊙O上一点，且CE=AC，连接EB并延长交CP于点H．

(1)求证：BH⊥CP．
(2)若AB=35，tan∠E=12，求PH的长．
【答案】(1)见解析
(2)455

【分析】（1）连接OC，OE,由切线的性质可知∠OCP=90∘,再证明EH∥OC,则∠BHP=∠OCP=90∘,可得BH⊥CP；
（2）连接OC，BC,根据AB为⊙O的直径得∠ACB=90∘，根据∠A=∠E得tan∠E=tan∠A=BCAC =12，得AC=2BC，利用勾股定理AC2+BC2=AB2，解得BC=3或BC=−3（舍去），则AC=2BC=6，证明△PCB∽△PAC，则PBPC=PCPA=CBAC =12，设PB=x，则PC=2PB=2x，PA=2PC=4x，可得4x−x=35，解x=5，则PB=5，PC=25，由（1）可得BH∥OC，PHPC=PBPO=25，从而可得PH=25PC=455．
【详解】（1）解：如图①，连接OC，OE，

在△ACO和△ECO中，AC=ECOC=OCOA=OE，
∴ △ACO≌△ECOSSS，
∴ ∠ACO=∠ECO，
∵ OA=OC，
∴ ∠A=∠ACO，
∴ ∠A=∠ECO，
又∵ ∠A=∠CEB，
∴ ∠ECO=∠CEB，
∴ EH∥OC，∠BHP=∠OCP
∵ CP与⊙O相切，
∴ OC⊥CP，
∴ BH⊥CP．
（2）解：如图②，连接OC，BC，

∵ AB为⊙O的直径，
∴ ∠ACB=90∘，
∵ ∠A=∠E，
∴ tan∠E=tan∠A=BCAC =12，
∴ AC=2BC，
∵ AC2+BC2=AB2，
∴ 2BC2+BC2=352，解得BC=3或BC=−3（舍去），
∴ AC=2BC=6，
∵ CP为切线，
∴ ∠OCP=∠OCB+∠PCB=∠OBC+∠PCB=90∘．
∵ AB为⊙O的直径，
∴ ∠OBC+∠A=90∘，
∴ ∠PCB=∠A，
又∵ ∠P=∠P，
∴ △PCB∽△PAC，
∴ PBPC=PCPA=CBAC =36=12，
设PB=x，则PC=2PB=2x，PA=2PC=4x，
∵ PA−PB=AB=35，
∴ 4x−x=35，解x=5，
∴ PB=5，PC=25，由（1）可得BH∥OC，
∴ PHPC=PBPO=55+352=25，
∴ PH=25PC=25×25=455．
【点睛】此题考查切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、二次根式的化简等知识与方法，解题的关键是正确地作出所需要的辅助线，构造出直角三角形、全等三角形、相似三角形、矩形，利用全等三角形、相似三角形、矩形的性质以及勾股定理求得结果．
六、解答题（本题10分）
23．如图，在平面直角坐标系中，点A(2,a)，B(a+4,a)，其中a>0，直线y=kx−1与y轴相交于C点．

(1)已知a=1，
①求S△ABC的值；
②若直线y=kx−1将线段AB分成1：2两部分，求k的值；
③若反比例函数y=nx(x>0)过点A、B的中点，直接写出n的值；
(2)当k=12时，若直线y=kx−1与线段AB交于点D（点D不与A、B重合），且AD<2，直接写出a的取值范围．
【答案】(1)①3；②k的值为23或 12；③72；
(2)a的取值范围是0＜a＜1．

【分析】（1）①先分别求解A,B的坐标，再求解AB的长度及C的坐标，从而可得答案；②先确定线段AB的两个三等分点的坐标为（3 ，1）或（4 ，1），再利用待定系数法求解k即可；③先求解AB的中点坐标，再利用待定系数法求解n即可；
（2）由k=12时，则y=12x−1，再求解D的坐标， 且D在A的右侧，再列不等式组即可．
（1）
解：①当a=1时，则A（2，1），B（5，1），
∴AB=5-2=3，
∵直线y=kx-1与y轴相交于C点，
∴C（0，-1），
∴S△ABC=12×3×(1+1)=3；
②∵直线y=kx-1将线段AB分成1：2两部分，A（2，1），B（5，1），
∴直线y=kx-1与线段AB的交点为（3 ，1）或（4 ，1），
当交点为（ 3 ，1）时，代入y=kx-1得，1= 3 k-1，解得k=23；
当交点为（ 4 ，1）时，代入y=kx-1得，1= 4k-1，解得k=12；
∴直线y=kx-1将线段AB分成1：2两部分，k的值为23或 12；
③∵ A（2，1），B（5，1），
∴AB的中点坐标为：(72,1),
所以n=72×1=72.
（2）
当k=12时，y=12x−1，
当y=a时，则a=12x−1，解得x=2a+2，
∴D(2a+2,a)且D在A的右侧，
∵AD＜2，点A(2,a)，B(a+4,a)，
∴ 2a+2−2<2且 2a+2>2， 解得0＜a＜1．
故a的取值范围是0＜a＜1．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形，一次函数的图象与系数的关系，表示出点D的坐标是解题的关键．
七、解答题（本题12分）
24．在ΔABC中，AB=AC，∠BAC=α，点P为线段CA延长线上一动点，连接PB，将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD，连接DB，DC．

(1)如图1，当α=60°时，①求证：PA=DC；②求∠DCP的度数；
(2)如图2，当α=120°时，请直接写出PA和DC的数量关系．
(3)当α=120°时，若AB=6，BP=31，请直接写出点D到CP的距离为
【答案】(1)①见解析；②60°；
(2)CD=3PA；
(3)32或532．

【分析】（1）①证明ΔPBA≌ΔDBC(SAS)可得结论．②利用全等三角形的性质解决问题即可．
（2）证明ΔCBD∽ΔABP，可得CDPA=BCAB=3解决问题．
（3）分两种情形，解直角三角形求出CD即可解决问题．
【详解】（1）①证明：如图1中，

∵将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD，
∴PB=PD，
∵AB=AC，PB=PD，∠BAC=∠BPD=60°，
∴ΔABC，ΔPBD是等边三角形，
∴∠ABC=∠PBD=60°，
∴∠PBA=∠DBC，
∵BP=BD，BA=BC，
∴ΔPBA≌ΔDBC(SAS)，
∴PA=DC．
②解：如图1中，设BD交PC于点O．
∵ΔPBA≌ΔDBC，
∴∠BPA=∠BDC，
∵∠BOP=∠COD，
∴∠OBP=∠OCD=60°，即∠DCP=60°．
（2）解：结论：CD=3PA．
理由：如图2中，

∵AB=AC，PB=PD，∠BAC=∠BPD=120°，
∴BC=2⋅AB⋅cos30°=3BA，BD=2BP⋅cos30°=3BP，
∴ BCBA=BDBP=3，
∵∠ABC=∠PBD=30°，
∴∠ABP=∠CBD，
∴ΔCBD∽ΔABP，
∴ CDPA=BCAB=3，
∴CD=3PA．
（3）过点D作DM⊥PC于M，过点B作BN⊥CP交CP的延长线于N．
如图3−1中，当ΔPBA是钝角三角形时，

在RtΔABN中，∵∠N=90°，AB=6，∠BAN=60°，
∴AN=AB⋅cos60°=3，BN=AB⋅sin60°=33，
∵PN=PB2−BN2=31−27=2，
∴PA=3−2=1，
由（2）可知，CD=3PA=3，
∵∠BPA=∠BDC，
∴∠DCA=∠PBD=30°，
∵DM⊥PC，
∴DM=12CD=32
如图3−2中，当ΔABP是锐角三角形时，同法可得PA=2+3=5，CD=53，DM=12CD=532，

综上所述，满足条件的DM的值为32或532．
故答案为32或532．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题注意一题多解．

八、解答题（本题12分）
25．如图1，抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过点A(−4,0)及原点，且经过点B(4,8)．

(1)求该抛物线的解析式；
(2)连接OB，点P为x轴下方抛物线上一动点，过点P作OB的平行线交直线AB于点Q，当SΔPOQ:SΔBOQ=1:2时，求出点P的坐标；
(3)如图2，若经过点D(−2,0)的直线与抛物线交于E、F两点，点E在点F右边，经过点K的两直线KE、KF与抛物线均有唯一公共点，且KE、KF与y轴不平行，试说明点K在某条定直线上运动，并求出这条定直线．
【答案】(1)y=14x2+x
(2)P−22,−22+2
(3)y=−2，求证见解析

【分析】（1）先利用对称轴公式得出b=4a，进而利用待定系数法即可得出结论；
（2）先判断出OB=2PQ，进而判断出点C是OB中点，再求出AB解析式，判断出PC//AB，即可得出PC解析式，和抛物线解析式联立解方程组即可得出结论；
（3）分别设出点E和点F的横坐标，表示过点E和点F的直线，根据两个函数有一个交点，求出直线EQ和直线FQ所在的直线解析式，联立求出点Q的坐标，最后根据根与系数的关系可消去参数，得出结论．
【详解】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过点A(−4,0)，B(4,8)，
∴ 16a−4b=016a+4b=8，
解得：a=14b=1，
∴该抛物线的解析式为y=14x2+x；
（2）解：如图，取OB的中点C，

∴BC=12OB，
∵O(0,0)，B(4,8)，
∴C(2,4)，
∵PQ//OB，
∴点O到PQ的距离等于点Q到OB的距离，
∵SΔPOQ:SΔBOQ=1:2，
∴OB=2PQ，
∴PQ=BC，
∵PQ//OB，
∴四边形BCPQ是平行四边形，
∴PC//AB，
∵抛物线的解析式为y=14x2+x①，
令y=0，
∴ 14x2+x=0，
∴x=0或x=−4，
∴A(−4,0)，
∵B(4,8)，
∴直线AB解析式为y=x+4，
设直线PC的解析式为y=x+m，
∵C(2,4)，
∴直线PC的解析式为y=x+2②，
联立①②，得y=14x2+xy=x+2，
解得：x=22y=22+2（舍)或x=−22y=−22+2，
∴P(−22，−22+2)；
（3）解：设经过点D(−2,0)的直线解析式为y=kx+b，
则−2k+b=0，
∴b=2k，
∴y=kx+2k，
分别设E和点F的横坐标为m，n，
∴E(m,14m2+m)，F(n,14n2+n)．
令y=kx+2k=14x2+x，
整理得x2+4(1−k)x−8k=0，
∴m+n=4k−4，mn=−8k．
设过点E与抛物线只有唯一公共点的直线为：y=k'(x−m)+14m2+m，
设过点F与抛物线只有唯一公共点的直线为：y=k''(x−n)+14n2+n，
令k'(x−m)+14m2+m=14x2+x，整理得x2+4(1−k')x+4k'm−4m−m2=0，
由题意可知，Δ=[4(1−k')]2−4(4k'm−4m−m2)=0，整理得k'=12(m+2)．
同理可得k''=12(n+2)．
∴过点E与抛物线只有唯一公共点的直线为：y=12(m+2)(x−m)+14m2+m=12(m+2)x−14m2，
过点F与抛物线只有唯一公共点的直线为：y=12(n+2)(x−n)+14n2+n=12(n+2)x−14n2，
令12(m+2)x−14m2=12(n+2)x−14n2，解得x=12(m+n)=m+n2，
∴Q(m+n2，m+n2+14mn)，即Q(2k−2,−2)，
∴点Q的纵坐标为−2．
即点Q在定直线：y=−2上运动．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，一元二次方程的根与系数的关系，平行四边形的判定和性质，等高的两三角形面积的比等于底的比，（2）判断出OB=2PQ是解本题的关键，（3）得出点Q的坐标是解题关键．