数学（宜昌卷）-学易金卷：2023年中考第一次模拟考试卷

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第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共11小题，共33.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列四个数中，最小的数是( )
A. −3B. |−7|C. −(−4)D. −12
【答案】
A
【解析】
【分析】
本题考查的是有理数的大小比较，熟知数轴上右边的数总比左边的大是解题的关键．
在数轴上表示出各数，根据数轴的特点即可得出结论．
【解答】
解：如图，
由图可知，最小的数是−3．
故选：A．
2. 下列垃圾分类标识的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
【答案】
C
【解析】解：A、不是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、不是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3. 某种计算机完成一次基本运算的时间约为1纳秒(ns)，已知1纳秒=0.000 000 001秒，该计算机完成15次基本运算，所用时间用科学记数法表示为( )
A. 1.5×10−9秒B. 15×10−9秒C. 1.5×10−8秒D. 15×10−8秒
【答案】
C
【解析】
【分析】
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】
解：所用时间=15×0.000 000001=1.5×10−8．
故选：C．
4. 下列运算中正确的是( )
A. 2a3−a3=2B. 2a3⋅a4=2a7C. (2a3)2=4a5D. a8÷a2=a4
【答案】
B
【解析】
【解答】
解：A.2a3−a3=a3，故此选项错误；
B.2a3⋅a4=2a7，故此选项正确；
C.(2a3)2=4a6，故此选项错误；
D.a8÷a2=a6，故此选项错误；
故选：B．
【分析】
直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则、积的乘方运算法则分别化简得出答案．
此题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘除运算、积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
5. 如图，以两条直线l1，l2的交点坐标为解的方程组是( )
A. x−y=12x−y=1B. x−y=−12x−y=−1C. x−y=−12x−y=1D. x−y=12x−y=−1
【答案】
C
【解析】
【分析】
两条直线的交点坐标应该是联立两个一次函数解析式所组方程组的解．因此本题需先根据两直线经过的点的坐标，用待定系数法求出两直线的解析式．然后联立两函数的解析式可得出所求的方程组．
本题主要考查了函数解析式与图象的关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．
【解答】
解：直线l1经过(2,3)、(0,−1)，易知其函数解析式为y=2x−1；
直线l2经过(2,3)、(0,1)，易知其函数解析式为y=x+1；
因此以两条直线l1，l2的交点坐标为解的方程组是：x−y=−12x−y=1．
故选：C．
6. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AC>BC.用直尺和圆规在边AC上确定一点P，使点P到点A、点B的距离相等，则符合要求的作图痕迹是( )
A. B.
C. D.
【答案】
A
【解析】
【分析】
本题考查了作图−基本作图、线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．根据线段垂直平分线的性质即可进行判断．
【解答】
解：要使点P到点A、点B的距离相等，
需作AB的垂直平分线，
所以A选项符合题意．
故选：A．
7. 如图，点A、B、C、D、E都是⊙O上的点，AC=AE，∠D=128°，则∠B的度数为【 】
A. 128°B. 126°C. 118°D. 116°
【答案】
D
【解析】解：连接AC、CE，
∵点A、C、D、E都是⊙O上的点，
∴∠CAE+∠D=180°，
∴∠CAE=180°−128°=52°，
∵AC=AE，
∴∠ACE=∠AEC=12×(180°−52°)=64°，
∵点A、B、C、E都是⊙O上的点，
∴∠AEC+∠B=180°，
∴∠B=180°−64°=116°，
故选：D．
连接AC、CE，根据圆内接四边形的性质求出∠CAE，根据圆心角、弧、弦之间的关系定理求出∠ACE，根据圆内接四边形的性质计算，得到答案．
本题考查的是圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质、掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
8. 《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为x人，物价为y钱，以下列出的方程组正确的是( )
A. y−8x=3y−7x=4B. y−8x=37x−y=4C. 8x−y=3y−7x=4D. 8x−y=37x−y=4
【答案】
C
【解析】解：设合伙人数为x人，物价为y钱，根据题意，
可列方程组：8x−y=3y−7x=4，
故选：C．
设合伙人数为x人，物价为y钱，根据题意得到相等关系：①8×人数−物品价值=3，②物品价值−7×人数=4，据此可列方程组．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系．
9. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=ax+b和反比例函数y=cx在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
A. B. C. D.
【答案】
C
【解析】解：因为二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，得出a>0，与y轴交点在y轴的负半轴，得出c<0，利用对称轴x=−b2a<0，得出b>0，
所以一次函数y=ax+b经过一、二、三象限，反比例函数y=cx经过二、四象限，
故选：C．
根据二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，得出a>0，与y轴交点在y轴的负半轴，得出c<0，利用对称轴x=−b2a<0，得出b>0，进而对照四个选项中的图象即可得出结论．
本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象以及二次函数的图象，根据二次函数图象，得出a>0、b>0、c<0是解题的关键．
10. 如图，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上，其中A点的坐标是(−1,0)，现将△ABC绕A点按逆时针方向旋转90°，则旋转后点C的坐标是( )
A. (2,−3)B. (−2,3)C. (−2,2)D. (−3,2)
【答案】
B
【解析】解：观察图像，可知C′(−2,3)，
故选：B．
利用旋转变换的性质分别作出B，C的对应点B′，C′可得结论．
本题考查坐标与图形变化−旋转，平移等知识，解题的关键是熟练掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型．
11. 下列说法正确的是( )
A. 一个游戏的中奖概率是110 则做10次这样的游戏一定会中奖
B. 为了解全国中学生的心理健康情况，应该采用普查的方式
C. 一组数据 8，8，7，10，6，8，9 的众数和中位数都是8
D. 若甲组数据的方差S2=0.01，乙组数据的方差s2=0.1，则乙组数据比甲组数据稳定
【答案】
C
【解析】解：A、一个游戏的中奖概率是110，则做10次这样的游戏可能中奖，故本选项错误；
B、了解全国中学生的心理健康情况，范围比较广，应采用抽查的反思调查，故本选项错误；
C、数据8，8，7，10，6，8，9中8出现的次数最多的为8，故众数为8，排序后中位数为8，故本选项正确；
D、根据方差越小越稳定可知乙组数据比甲组数据稳定，故本选项错误．
故选：C．
利用概率的意义、全面调查与抽样调查、中位数、众数及概率的意义逐项判断即可得到正确的答案．
本题考查了概率的意义、全面调查与抽样调查、中位数、众数及概率的意义，考查的知识点比较多，但相对比较简单．
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
12. 一个正方体的平面展开图如图所示．若将展开图折叠成正方体后，相对面上所标的两个数互为相反数，则b−a+c的值为______．
【答案】
−14
【解析】解：由正方体的表面展开图的“相间、Z端是对面”可知：
“a”的对面是“−7”，
“b”的对面是“9”，
“c”的对面是“−2”，
又∵相对面上所标的两个数互为相反数，
∴a=7，b=−9，c=2，
∴b−a+c=−9−7+2=−14，
故答案为：−14．
根据正方体表面展开图的特征判断相对面，根据相反数的定义求出a、b、c，再代入计算即可．
本题考查正方体相对两个面上的文字，代数式求值，掌握正方体表面展开图的特征以及相反数的定义是正确计算的前提．
13. 如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△COD，若∠AOB=15°，则∠AOD的度数是 ．
【答案】
60°
【解析】
【分析】
该题主要考查了旋转变换的性质及其应用问题；牢固掌握旋转变换的性质是灵活运用、解题的关键．
首先运用旋转变换的性质求出∠AOC的度数，结合∠AOB=15°，即可解决问题．
【解答】
解：由题意及旋转变换的性质得：∠AOC=45°，
∵∠AOB=15°，
∴∠AOD=45°+15°=60°，
故答案为：60°．
14. 如图，小明从A地沿北偏东30°方向走1003m到B地，再从B地向正南方向走200 m到C地，此时小明离A地 m.
【答案】
100
【解析】解：如图，
∵∠EAB=30°，
∴∠BAD=60°．
∵AB=1003，
∴AD=100⋅sin30°=503，BD=ABcs30°=150．
∵BC=200，
∴CD=50．
∴AC=AD2+CD2=100(m)．
15. 如图，四边形OABC是矩形，点A的坐标为(8,0)，点C的坐标为(0,4)，把矩形OABC沿OB折叠，点C落在点D处，则点D的坐标为______．
【答案】
(165,−125)
【解析】
【分析】
此题考查了翻折变化(折叠问题)，坐标与图形变换，以及矩形的性质，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键．由折叠的性质得到一对角相等，对应边相等，再由矩形对边相等且平行，得到一对内错角相等，等量代换及等角对等边得到BE=OE，AE=DE，过D作DF垂直OA，利用勾股定理及面积法求出DF与OF的长，即可确定出D坐标．
【解答】
解：由折叠得：∠CBO=∠DBO，0C=0D，BC=BD
∵矩形ABCO，
∴BC//OA，BC=OA=8，OC=AB=4，
∴∠CBO=∠BOA，OA=BD
∴∠DBO=∠BOA，
∴BE=OE，
∵OA=BD，
∴AE=DE，
设DE=AE=x，则有OE=BE=8−x，
在Rt△ODE中，根据勾股定理得：42+x2=(8−x)2
解得：x=3，即OE=5，DE=3，
过D作DF⊥OA，
∵S△OED=12OD⋅DE=12OE⋅DF，
∴DF=125，OF=42−(125)2=165，
则D(165,−125).
故答案为(165,−125).
三、解答题（本大题共9小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题6.0分)
关于x的方程4x−(3a+1)=6x+2a−1的解与5(x−3)=4x−10的解互为相反数，求−3a2+7a−1的值．
【答案】
解：解方程5(x−3)=4x−10得：x=5，（1分）
∵两个方程的根互为相反数，
∴另一个方程的根为x=−5，（1分）
把x=−5代入方程 4x−(3a+1)=6x+2a−1得：
4×(−5)−(3a+1)=6×(−5)+2a−1，
解这个方程得：a=2，（2分）
∴−3a2+7a−1=−3×22+7×2−1=1． （2分）
【解析】本题考查了解一元一次方程、一元一次方程的解、相反数、代数式求值有关知识，
先求出5(x−3)=4x−10的解，再根据两个方程的解互为相反数可得 4x−(3a+1)=6x+2a−1的解为x=−5，把x=−5代入 4x−(3a+1)=6x+2a−1，求出a，再把a的值代入代数式中计算即可．
17. (本小题6.0分)
解一元一次不等式组3x−8【答案】
解：2x−8故不等式组的解集为：1≤x<4，（2分）
在数轴上表示为：
． （2分）
【解析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18. (本小题7.0分)
我市华恒小区居民在“一针疫苗一份心，预防接种尽责任”的号召下，积极联系社区医院进行新冠疫苗接种.为了解接种进度，该小区管理人员对小区居民进行了抽样调查，按接种情况可分如下四类：A类——接种了只需要注射一针的疫苗；B类——接种了需要注射二针，且二针之间要间隔一定时间的疫苗；C类——接种了要注射三针，且每二针之间要间隔一定时间的疫苗；D类——还没有接种.图1与图2是根据此次调查得到的统计图(不完整)．
请根据统计图回答下列问题
(1)此次抽样调查的人数是多少人？
(2)接种B类疫苗的人数的百分比是多少？接种C类疫苗的人数是多少人？
(3)请估计该小区所居住的18000名居民中有多少人进行了新冠疫苗接种．
(4)为了继续宣传新冠疫苗接种的重要性，小区管理部门准备在已经接种疫苗的居民中征集2名志愿宣传者，现有3男2女共5名居民报名，要从这5人中随机挑选2人，求恰好抽到一男和一女的概率是多少．
【答案】
解：(1)此次抽样调查的人数为：20÷10%=200(人)；（1分）
(2)接种B类疫苗的人数的百分比为：80÷200×100%=40%，
接种C类疫苗的人数为：200×15%=30(人)；（2分）
(3)18000×(1−35%)=11700(人)，
即估计该小区所居住的18000名居民中有11700人进行了新冠疫苗接种．（2分）
(4)画树状图如图：
共有20种等可能的结果，恰好抽到一男和一女的结果有12种，
∴恰好抽到一男和一女的概率为1220=35． （2分）
【解析】(1)由B类的人数除以所占百分比即可求解；
(2)由接种B类疫苗的人数除以此次抽样调查的人数得出此次抽样调查的人数所占的百分比，再由此次抽样调查的人数乘接种C类疫苗的人数所占的百分比即可；
(3)由该小区所居住的总人数乘A、B、C三类所占的百分比之和即可；
(4)画树状图，共有20种等可能的结果，恰好抽到一男和一女的结果有12种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
19. (本小题7.0分)
如图，C，D是以AB为直径的半圆上的两点，∠CAB=∠DBA，连结BC，CD．
(1)求证：CD//AB．
(2)若AB=4，∠ACD=30°，求阴影部分的面积．
【答案】
(1)证明：∵AD=AD，
∴∠ACD=∠DBA，
又∵∠CAB=∠DBA，
∴∠CAB=∠ACD，
∴CD//AB．（3分）
(2)如图，连结OD，过点D作DE⊥AB，垂足为E．
∵∠ACD=30°，
∴∠AOD=60°，
∴∠BOD=180°−∠AOD=120°，
∴S扇形BOD=nπr2360=120×π×22360=43π．（2分）
在Rt△ODE中，
∵DE=sin60°⋅OD=32×2=3，
∴S△BOD=12OB⋅DE=12×2×3=3，
∴S阴影=S扇形BOD−S△BOD=43π−3．
∴S阴影=43π−3． （2分）
【解析】(1)根据圆周角定理可得，∠ACD=∠DBA，由已知条件可得∠CAB=∠ACD，再根据平行线的判定方法即可得出答案；
(2)连结OD，过点D作DE⊥AB，垂足为E.由∠ACD=30°，可得∠ACD=∠CAB=30°，根据圆周角定理可得∠AOD=∠COB=60°，即可得出∠COD=180°−∠AOD−∠COB=60°，∠BOD=180°−∠AOD=120°，即可算出S扇形BOD=nπr2360的面积，在Rt△ODE中，根据三角函数可算出DE=cs30°OD的长度，即可算出S△BOD=12OB⋅DE的面积，根据S阴影=S扇形BOD−S△BOD代入计算即可得出答案．
本题主要考查了扇形面积的计算，平行线的性质与判定及圆周角定理，熟练掌握扇形面积的计算，平行线的性质与判定及圆周角定理进行求解是解决本题的关键．
20. (本小题8.0分)
(1)如图1，在△ABC中，D，E，F分别为AB，AC，BC上的点，DE//BC，BF=CF，AF交DE于点G，求证：DG=EG．
(2)如图2，在(1)的条件下，连接CD，CG.若CG⊥DE，CD=6，AE=3，求DEBC的值．
【答案】
(1)证明：∵DE//BC，
∴△AGD∽△AFB，△AFC∽△AGE，
∴DGBF=AGAF,GEFC=AGAF，
∴DGBF=GEFC，
∵BF=CF，
∴DG=EG；（4分）
(2)解：∵DG=EG，CG⊥DE，
∴CE=CD=6，
∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴DEBC=AEAC=33+6=13． （4分）
【解析】(1)证明△AGD∽△AFB，△AFC∽△AGE，根据相似三角形的性质得到=，进而证明结论；
(2)根据线段垂直平分线的性质求出CE，根据相似三角形的性质计算，得到答案．
本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
21. (本小题8.0分)
如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．点A、B、C是格点，请用无刻度的直尺在网格中完成下列画图；
(1)线段BC的长为______；
(2)作∠ACB的角平分线交AB于D；
(3)在线段BC上取一点E，使∠EAC=∠ECA．
【答案】
52
【解析】解：(1)BC=72+12=52，
故答案为：52；（2分）

(2)如图点D即为所求；（3分）
(3)如图，点E即为所求．（3分）
(1)利用勾股定理求解即可；
(2)判断出AD：DB=3：5，利用平行线分线段成比例定理，解决问题即可，取格点P，Q，连接PQ交AB于点D，点D即为所求；
(3)作线段AC的垂直平分线MN交BC于点E，点E即为所求．
本题考查作图−应用与设计作图，勾股定理，角平分线的性质定理，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22. (本小题10.0分)
某农产品公司以64000元的成本收购了某种农产品80吨，目前可以1200元/吨的价格直接售出．而该公司对这批农产品有以下两种处理方式可供选择：
方式一：公司可将部分农产品直接以1200元/吨的价格售出，剩下的全部加工成半成品出售(加工成本忽略不计)，每吨该农产品可以加工得到0.8吨的半成品，每吨半成品的售价为2500元．
方式二：公司将该批农产品全部储藏起来，这样每星期会损失2吨，且每星期需支付各种费用1600元，但同时每星期每吨的价格将上涨200元．
(1)若该公司选取方式一处理该批农产品，最终获得了75%的利润率，求该公司直接销售了多少吨农产品？
(2)若该公司选取方式二处理该批农产品，最终获利122000元，求该批农产品储藏了多少个星期才出售？
【答案】
解：(1)设直接出售的农产品x吨，则有(80−x)吨需要加工成半成品，由题意得：
1200x+2500(80−x)×0.8−64000=64000×75%，
解得：x=60，
当x=60时，80−x=20，
答：公司直接销售了60吨农产品．（5分）
(2)设储存y周才出售，由题意得：
(1200+200y)(80−2y)−1600y=122000+64000，
整理得：y2−30y+225=0，
∴y1=y2=15，
答：该批农产品储藏了15个星期才出售． （5分）
【解析】(1)根据利润率的意义和产品销售的成本、利润、销售额之间的关系，设未知数列方程进行解答，
(2)先把销售单价、销售量、储存支出用含有周数的代数式表示，然后用：销售额−成本−各种支出=利润，列方程求解即可．
考查销售过程中的销售单价、销售量、销售成本、销售利润以及各种支出之间的数量关系的理解和应用，数量之间的关系相互影响，切实理清数量之间的变化关系和掌握基本的数量关系是解决问题的关键．
23. (本小题11.0分)
等腰Rt△ABC，CA=CB.D在AB上，CD=CE，CD⊥CE．
(1)如图1，连接BE，探究线段AD与线段BE的关系并证明；
(2)如图2，连接AE，CF⊥AE交AB于F，T为垂足，
①求证：FD=FB；
②如图3，若AE交BC于N，O为AB的中点，连接OC，交AN于M，连FM，FN.当S△FMN=42，则OF2+BF2的最小值为______．
【答案】
162
【解析】(1)解：AD⊥BE，AD=BE，
理由如下：在等腰Rt△ABC中，CA=CB，
∴∠ACB=90°，∠A=∠ABC=45°，
∵CD⊥CE，
∴∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
AC=BC∠ACD=∠BCECD=CE，
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴∠A=∠CBE=45°，AD=BE，
∴∠CBE+∠ABC=90°=∠ABE，
∴AD⊥BE；（3分）
(2)①证明：如图2，过点D作DH⊥CF于H，过点B作BG⊥CF，交CF的延长线于G，

∵CF⊥AE，
∴∠ACT+∠CAT=90°，
又∵∠ACT+∠BCG=90°，
∴∠CAT=∠BCG，
在△ACT和△BCG中，
∠CAT=∠BCGAC=BC∠ATC=∠BGC=90°，
∴△ACT≌△BCG(ASA)，
∴CT=BG，
同理可证△DCH≌△ECT，
∴CT=DH，
∴DH=BG，
在△DHF和△BGF中，
∠DFH=∠BFG∠DHF=∠BGF=90°DH=BG，
∴△DHF≌△BGF(AAS)，
∴FD=FB；（4分）
②解：如图3，过点F作FK⊥BC于K，

在等腰Rt△ABC中，CA=CB，
∵点O是AB的中点，
∴AO=CO=BO，CO⊥AB，∠ABC=45°，
∴∠OCF+∠OFC=90°，
∵AT⊥CF，
∴∠OFC+∠FAT=90°，
∴∠FAT=∠OCF，
在△AOM和△COF中，
∠FAT=∠OCFOA=OC∠AOM=∠COF=90°，
∴△AOM≌△COF(ASA)，
∴OM=OF，
又∵CO⊥AO，
∴MF=2OF，∠OFM=∠OMF=45°，
∴∠OFM=∠ABC，
∴MF//BC，
∵∠ABC=45°，FK⊥BC，
∴∠ABC=∠BFK=45°，
∴FK=BK，
∴FK=22BF，
∵S△FMN=42，
∴12×MF×FK=42，
∴2OF×22BF=82，
∴OF×BF=82，
∵(BF−OF)2≥0，
∴BF2+OF2−2BF×OF≥0，
∴BF2+OF2≥2×82=162，
∴BF2+OF2的最小值为162，
故答案为：162．（4分）
(1)由“SAS”可证△ACD≌△BCE，可得∠A=∠CBE=45°，AD=BE，可证AD⊥BE；
(2)①过点D作DH⊥CF于H，过点B作BG⊥CF，交CF的延长线于G，由“ASA”可证△ACT≌△BCG，△DCH≌△ECT，可得CT=BG，CT=DH，由“AAS”可证△DHF≌△BGF，可得FD=FB；
②过点F作FK⊥BC于K，由“ASA”可证△AOM≌△COF，可得OF=OM，由等腰直角三角形的性质可得MF=2OF，FK=22BF，由三角形的面积公式可求OF×BF=82，即可求解．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形的面积公式，完全平方公式等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
24. (本小题12.0分)
抛物线y=ax2+c(a>0)与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且OB=2OC，S△ABC=2．
(1)如图1，求抛物线的解析式；
(2)如图2，若M(−4,m)，N是抛物线上两点，N在对称轴右侧，且tan∠OMN=13，求N点坐标；
(3)如图3，D是B点右侧抛物线上的一动点，D、E两点关于y轴对称，直线DB、EB分别交直线x=−1于G、Q两点，GQ交x轴于P，求PG−PQ的值．
【答案】
解：(1)如图1，连接AC、BC，
∵抛物线y=ax2+c(a>0)，令x=0，得y=c，
∴C(0,c)，
∴OC=−c，
令y=0，得ax2+c=0，
解得：x=±−aca，
∴A(−−aca,0)，B(−aca,0)，
∴OB=−aca，
∵OB=2OC，AB=2OB=2−aca，
∴−aca=−2c，
∴ac=−14①，
∵S△ABC=2，
∴12×2−aca×(−c)=2，
∴c=−4a②，
把②代入①，得a×(−4a)=−14，
解得：a=14或a=−14(不符合题意，舍去)，
∴c=−4×14=−1，
∴抛物线的解析式为y=14x2−1；（3分）
(2)过点M作MF⊥x轴于点F，过点O作OG⊥OM，使OG=13OM，过点G作GH⊥x轴于点H，如图2，
∵点M(−4,m)在抛物线y=14x2−1上，
∴m=14×(−4)2−1=3，
∴M(−4,3)，
∵MF⊥x轴，
∴MF=3，OF=4，∠OFM=90°，
∴OM=MF2+OF2=32+42=5，∠MOF+∠OMF=90°，
∵GH⊥x轴，
∴∠OHG=90°，
∴∠OHG=∠OFM，
∵OG⊥OM，
∴∠MOF+∠GOH=90°，
∴∠GOH=∠OMF，
∴△GOH∽△OMF，
∴OHMF=GHOF=OGOM，即OH3=GH4=13，
∴OH=1，GH=43，
∴G(1,43)，
设直线MG的解析式为y=kx+b，把M(−4,3)，G(1,43)代入，
得：−4k+b=3k+b=43，
解得：k=−13b=53，
∴直线MG的解析式为y=−13x+53，
联立方程组得：y=−13x+53y=14x2−1，
解得：x1=−4y1=3(舍去)，x2=83y2=79，
∴N(83,79)；
如图2，在OG的反向延长线上截取OK=13OM，连接MK交抛物线于点N′，
∵点K与点G关于原点对称，
∴K(−1,−43)，
同理可得：直线MK的解析式为y=−139x−259，
联立方程组得：y=−139x−259y=14x2−1，
解得：x1=−4y1=3(舍去)，x2=−169y2=−1781，
N′(−169,−1781)；
综上所述，N点坐标为(83,79)或(−169,−1781)；（5分）
(3)∵抛物线y=14x2−1，令y=0，得14x2−1=0，
∴x1=−2，x2=2，
∴A(−2,0)，B(2,0)，如图3，
∵D、E两点关于y轴对称，
∴设D(m,14m2−1)，则E(−m,14m2−1)，
设直线BD的解析式为y=k1x+b1，
则2k1+b1=0mk1+b1=14m2−1，
解得：k1=m+24b1=−m+22，
∴直线BD的解析式为y=m+24x−m+22，
当x=−1时，y=m+24×(−1)−m+22=−3m+64，
∴G(−1,−3m+64)，
同理可得：直线BE的解析式为y=2−m4x+m−22，
当x=−1时，y=3m−64，
∴Q(−1,3m−64)，
∵P(−1,0)，
∴PG=0−(−3m+64)=3m+64，PQ=3m−64，
∴PG−PQ=3m+64−3m−64=3，
故PG−PQ的值为3． （4分）
【解析】(1)如图1，连接AC、BC，可求得：A(−−aca,0)，B(−aca,0)，C(0,c)，再结合S△ABC=2，建立方程求解即可得出答案；
(2)过点M作MF⊥x轴于点F，过点O作OG⊥OM，使OG=13OM，过点G作GH⊥x轴于点H，如图2，可证明△GOH∽△OMF，利用OHMF=GHOF=OGOM，求得G(1,43)，运用待定系数法求得直线MG的解析式为y=−13x+53，联立方程组求解可得N(83,79)；如图2，在OG的反向延长线上截取OK=13OM，连接MK交抛物线于点N′，同理可求得N′(−169,−1781)；
(3)设D(m,14m2−1)，则E(−m,14m2−1)，利用待定系数法可得直线BD的解析式为y=m+24x−m+22，得出G(−1,−3m+64)，同理可得：直线BE的解析式为y=2−m4x+m−22，Q(−1,3m−64)，再由P(−1,0)，即可求得PG−PQ的值为3．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式，三角形面积，解直角三角形，二次函数的性质，解方程组等知识，利用参数列方程组是本题的关键．
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9
10
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A
C
C
B
C
A
D
C
C
B
C