初中数学北京课改版八年级下册第十四章 一次函数14.3 函数图象的画法教学设计

京改版数学八年级下册教案 14.3 函数图象的画法 教案

【教学目标】

1．学会用列表、描点、连线画函数图象。

2．学会观察、分析函数图象信息。

3．提高识图能力、分析函数图象信息能力。

4．体会数形结合思想，并利用它解决问题，提高解决问题能力。

【教学重点】

1.函数图象的画法。

2.观察分析图象信息。

【教学难点】

分析概括图象中的信息。

【教学过程】

一、提出问题，创设情境

我们在前面学习了函数意义，并掌握了函数关系式的确立。但有些函数问题很难用函数关系式表示出来，然而可以通过图来直观反映。例如用心电图表示心脏生物电流与时间的关系。

即使对于能列式表示的函数关系，如果也能画图表示则会使函数关系更清晰。

我们这节课就来解决如何画函数图象的问题及解读函数图象信息。

二、导入新课

问题1 在前面，我们曾经从如图所示的气温曲线上获得许多信息，回答了一些问题。现在让我们来回顾一下。

先考虑一个简单的问题：你是如何从图上找到各个时刻的气温的？

分析 图中，有一个直角坐标系，它的横轴是t轴，表示时间；它的纵轴是T轴，表示气温。这一气温曲线实质上给出了某日的气温T (℃)与时间t（时）的函数关系。例如，上午10时的气温是2℃，表现在气温曲线上，就是可以找到这样的对应点，它的坐标是(10，2)。实质上也就是说，当t＝10时，对应的函数值T＝2．气温曲线上每一个点的坐标(t，T)，表示时间为t时的气温是T。

问题2 如图，这是2004年3月23日上证指数走势图，你是如何从图上找到各个时刻的上证指数的？

分析 图中，有一个直角坐标系，它的横轴表示时间；它的纵轴表示上证指数。这一指数曲线实质上给出了3月23日的指数与时间的函数关系。例如，下午14：30时的指数是1746．26，表现在指数曲线上，就是可以找到这样的对应点，它的坐标是(14：30， 1746．26)。实质上也就是说，当时间是14：30时，对应的函数值是1746．26．

上面气温曲线和指数走势图是用图象表示函数的两个实际例子。

一般来说，函数的图象是由直角坐标系中的一系列点组成的图形。图象上每一点的坐标(x，y)代表了函数的一对对应值，它的横坐标x表示自变量的某一个值，纵坐标y表示与它对应的函数值。

一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象（graph）。上图中的曲线即为函数Ｓ＝x2（x>0）的图象。

函数图象可以数形结合地研究函数，给我们带来便利。

 [活动一]

下图是自动测温仪记录的图象，它反映了北京的春季某天气温Ｔ如何随时间t的变化而变化。你从图象中得到了哪些信息？

引导学生从两个变量的对应关系上认识函数，体会函数意义；可以指导学生找出一天内最高、最低气温及时间；在某些时间段的变化趋势；认识图象的直观性及优缺点；总结变化规律……。

结论：

1.一天中每时刻t都有唯一的气温Ｔ与之对应。可以认为，气温Ｔ是时间t的函数。

2.这天中凌晨4时气温最低为-3℃，14时气温最高为8℃。

3.从0时至4时气温呈下降状态，即温度随时间的增加而下降。从4时至14时气温呈上升状态，从14时至24时气温又呈下降状态。

4.我们可以从图象中直观看出一天中气温变化情况及任一时刻的气温大约是多少。

[活动二]

下图反映的过程是小明从家去菜地浇水，又去玉米地锄草，然后回家。其中x表示时间，y表示小明离他家的距离。

根据图象回答下列问题：

1.菜地离小明家多远？小明走到菜地用了多少时间？

2.小明给菜地浇水用了多少时间？

3.菜地离玉米地多远？小明从菜地到玉米地用了多少时间？

4.小明给玉米地锄草用了多长时间？

5.玉米地离小明家多远？小明从玉米地走回家平均速度是多少？

引导学生分析图象、寻找图象信息，特别是图象中有两段平行于x轴的线段的意义。

结论：

1.由纵坐标看出，菜地离小明家1．1千米；由横坐标看出，小明走到菜地用了15分钟。

2.由平行线段的横坐标可看出，小明给菜地浇水用了10分钟。

3.由纵坐标看出，菜地离玉米地0.9千米。由横坐标看出，小明从菜地到玉米地用了12分钟。

4.由平行线段的横坐标可看出，小明给玉米地锄草用了18分钟。

5.由纵坐标看出，玉米地离小明家2千米。由横坐标看出，小明从玉米地走回家用了25分钟。所以平均速度为：2÷25=0.08（千米／分钟）。

我们通过两个活动已学会了如何观察分析图象信息，那么已知函数关系式，怎样画出函数图象呢？

例1 画出函数y＝x＋1的图象。

分析 要画出一个函数的图象，关键是要画出图象上的一些点，为此，首先要取一些自变量的值，并求出对应的函数值。

解 取自变量x的一些值，例如x＝－3，－2，－1，0，1，2，3 …，计算出对应的函数值。为表达方便，可列表如下：

由这一系列的对应值，可以得到一系列的有序实数对：

…，(－3，－2)，(－2，－1)，(－1，0)，(0，1)，(1，2)，(2，3)，(3，4)，…在直角坐标系中，描出这些有序实数对(坐标)的对应点，如图所示。

通常，用光滑曲线依次把这些点连起来，便可得到这个函数的图象，如图所示。

总结归纳一下描点法画函数图象的一般步骤

第一步：列表。在自变量取值范围内选定一些值。通过函数关系式求出对应函数值列成表格。

第二步：描点。在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应函数值为纵坐标，描出表中对应各点。

第三步：连线。按照坐标由小到大的顺序把所有点用平滑曲线连结起来。

练习：

（1）下图是一种古代计时器──“漏壶”的示意图，在壶内盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出，壶壁内画出刻度。人们根据壶中水面的位置计算时间。用x表示时间，y表示壶底到水面的高度。下面的哪个图象适合表示y与x的函数关系？

（2）a是自变量x取值范围内的任意一个值，过点（a，0）画y轴的平行线，与图中曲线相交。下列哪个图中的曲线表示y是x的函数？为什么？

（提示：当x=a时，x的函数y只能有一个函数值）

解：1.由题意可知，开始时壶内有一定量水，最终漏完，即开始时间x=0时，壶底水面高y≠0.最终漏完即时间x到某一值时y=0.

故（1）图错。

又因为壶内水面高低影响水的流速，开始漏得快，逐渐慢下来。

所以（3）图更适合表示这个函数关系。

2.图（1）曲线表示y是x的函数。

因为过（a，0）画y轴平行线与图形曲线只有一个交点，即x=a时，y有唯一的值与其对应，符合函数意义。

图（2）曲线不表示y是x的函数。

因为过点（a，0）画y轴平行线，与图中曲线有三个交点，即x=a时，y有三个值与其对应，不符合函数意义。

三、随堂练习

  1．在所给的直角坐标系中画出函数的图象（先填写下表，再描点、连线）。

2．画出函数的图象（先填写下表，再描点、然后用光滑曲线顺次连结各点）。

3．画出下列函数的图象：

（1）y＝4x－1；　　　　　  （2）y＝4x＋1．

四、课时小结

本节学会了分析图象信息，解答有关问题。通过例题学会了用描点法画出函数图象，这样我们又一次利用了数形结合的思想。

五、活动与探究

某商店售货时，在进价的基础上加一定利润，其数量x与售价y如下表表示。请你根据表中所提供的信息，列出售价y与数量x的函数关系式，并求出当数量为2．5千克时的售时是多少元。

结果：由表中可以看出：y=（8+0.4）·x=8．4x

当x=2．5千克时  y=8．4×2．5=21（元）。