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北师大版 (2019)必修 第一册第七章 概率4 事件的独立性学案
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这是一份北师大版 (2019)必修 第一册第七章 概率4 事件的独立性学案，共15页。学案主要包含了教学目标，知识清单，经典例题，课堂达标，能力提升，参考答案等内容，欢迎下载使用。
重点、难点
重点：独立事件同时发生的概率
难点：有关独立事件发生的概率计算
学科素养
通过本节的学习，感受社会生活中大量事件是相互独立的，体会数学来源于实践，发现数学应用意识和创新意识，力求对现实世界中蕴涵的一些数学模式进行思考和作出判断。
【知识清单】
1，独立性定义：
设A，B为两个事件，如果满足P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立。
2 独立与互斥
回顾：不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件；如果两个互斥事件有一个发 时另一个
必不发生，这样的两个互斥事件叫对立事件.
区别：互斥事件和相互独立事件是两个不同概念：
两个事件互斥是指这两个事件不可能同时发生；
两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．
两事件相互独立: P(AB)=P(A)P(B); 两事件互斥: AB=φ。二者没有必然联系。
事实上，当P(A)>0，P(B)>0时，若A，B互斥，则AB=φ，从而P(AB)=0，但P(A)P(B)>0，因而等式P(AB)=P(A)P(B)不成立，即互斥 不独立．
若A，B独立，则P(AB)=P(A)P(B)>0，从而A，B不互斥（否则，P(AB)=0，导致矛盾）．
所以，独立事件一定不互斥.互斥事件一定不独立.
小结1：若事件相互独立，试用符号语言表示下列事件
（1）同时发生的概率
（2）都不发生的概率
（3）恰有一个发生的概率
（4）至少有一个发生的概率 1—
（5）至多有一个发生的概率 +
小结2：
【经典例题】
例1 某商场推出二次开奖活动。凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券。奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动。如果两次兑奖活动的中奖概率都是0.05，求两次抽奖中以下事件的概率：
（1）都抽到某一指定号码；
（2）恰有一次抽到某一指定号码；
（3）至少有一次抽到某一指定号码。
例2.一个口袋内装有2个白球和2个黑球。求
（1）先摸出一个白球不放回，再摸出一个白球的概率是多少？
（2）先摸出一个白球后放回，再摸出一个白球的概率是多少？
例3.天气预报中，在元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3。假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，计算在这段时间内：
（1）甲乙两地都降雨的概率
（2）甲乙两地都不降雨的概率
例4：某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券。奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动。如果两次兑奖活动的中奖概率都是0.05，求两次抽奖中以下事件的概率：
（1）都抽到某一指定号码
（2）恰有一次抽到某一指定号码
（3）至少有一次抽到某一指定号码
【课堂达标】
1．甲乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为，乙中靶的概率为.甲乙各射击一次，则两人都中靶的概率为（ ）
A．B．C．D．
2．甲、乙两队进行篮球决赛，采取五场三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束）.根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主”.设甲队主场取胜的概率为，客场取胜的概率为，且各场比赛结果相互独立，则甲队不超过场即获胜的概率是（ ）
A．B．C．D．
3．根据天气预报，某一天A城市和B城市降雨的概率均为0.6，假定这一天两城市是否降雨相互之间没有影响，则该天这两个城市中，至少有一个城市降雨的概率为（ ）
A．0.16B．0.48C．0.52D．0.84
4．甲乙两人投球命中率分别为，，且是否投中互不影响，两人各投球一次，恰好有一人命中的概率为（ ）
A．B．C．D．
5． 一件产品要经过2道独立的加工程序，第一道工序的次品率为a，第二道工序的次品率为b，则产品的正品率为( )
A．1－a－bB．1－abC．(1－a)(1－b)D．1－(1－a)(1－b)
6．在一次反恐演习中，我方三架武装直升机分别从不同方位对同一目标发动攻击（各发射一枚导弹），由于天气原因，三枚导弹命中目标的概率分别为0．9，0．9，0．8，若至少有两枚导弹命中目标方可将其摧毁，则目标被摧毁的概率为（ ）
A．0．998B．0．046C．0．002D．0．954
7．若事件A与B相互独立，P（A）＝，P（B）＝，则P（A∪B）＝（ ）
A．B．C．D．
8．5G指的是第五代移动通信技术，是最新一代蜂窝移动通信技术，某公司研发5G项目时遇到一项技术难题，由甲、乙两个部门分别独立攻关，已知甲部门攻克该技术难题的概率为0.8，乙部门攻克该技术难题的概率为0.7，则该公司攻克这项技术难题的概率为（ ）
A．0.56B．0.86C．0.94D．0.96
9．甲､乙､丙三人参加学业水平测试，已知他们通过测试的概率分别为，且每人是否通过测试相互独立，则这三人中至少有一人通过测试的概率为（ ）
A．B．C．D．
10．某医药企业有甲、乙两个研发小组，他们研发某种新药成功的概率分别为0.6，0.5，且甲、乙两组研发结果相互独立，则至少有一组研发新药成功的概率为（ ）
A．0.2B．0.3C．0.8D．0.9
【能力提升】
11．世卫组织就新型冠状病毒感染的肺炎疫情称，新型病毒可能造成“持续人传人”．通俗点说就是存在A传B，B又传C，C又传D，这就是“持续人传人”．那么A、B、C就会被称为第一代、第二代、第三代传播者．假设一个身体健康的人被第一代、第二代、第三代传播者感染的概率分别为0.9，0.8，0.7，健康的小明参加了一次多人宴会，事后知道，参加宴会的人有5名第一代传播者，3名第二代传播者，2名第三代传播者，试计算，小明参加聚会，仅和感染的10个人其中一个接触，感染的概率有多大________．
12．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________．
13．已知甲、乙、丙3名运动员击中目标的概率分别为0.7，0. 8，0.85，若他们3人向目标各发1枪，则目标没有被击中的概率为___________.
14．在一场对抗赛中，两人争夺冠军，若比赛采用“五局三胜制”，每局获胜的概率均为，且各局比赛相互独立，则在第一局失利的情况下，经过五局比赛最终获得冠军的概率是_____．
15．在一段线路中有4个自动控制的常用开关A、B、C、D，如图连接在一起，假定在2019年9月份开关A，D能够闭合的概率都是0.7，开关B，C能够闭合的概率都是0.8，则在9月份这段线路能正常工作的概率为________.
16．袋中装有除颜色外完全相同的黑球和白球共7个，其中白球3个，现有甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取，…，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止．每个球在每一次被取出的机会是等可能的．
（1）求取球3次即终止的概率；
（2）求甲取到白球的概率．
17．某学校就学生对端午节文化习俗的了解情况，进行了一次20道题的问卷调查，每位同学都是独立答题，在回收的试卷中发现甲同学答对了12个，乙同学答对了16个.假设答对每道题都是等可能的，试求：
（1）任选一道题目，甲乙都没有答对的概率；
（2）任选一道题目，恰有一人答对的概率.
【参考答案】
【经典例题】
例1解：设第一次抽奖抽到某一指定号码为事件A，第二次抽奖抽到某一指定号码为事件B,则两次抽奖都抽到某一指定号码就是事件AB.由于两次抽奖结果互不影响，因此A与B相互独立。
P（AB）＝P（A）P（B）＝0.05×0.05＝0.0025
=0.05×（1－0.05）＋（1－0.05）×0.05
＝0.095
＝0.0025＋0.095＝0.0975
例2.分析：（1）先摸出一白球不放回这件事对再摸出一个白球的概率产生了影响，再摸时只有一个白球，两个黑球，则概率为
（2）先摸出一白球后放回这件事对再摸出一个白球的概率没有影响，还是从两个白球两个黑球中摸，则概率为
例3.分析：“甲地降雨”为时间A，“乙地降雨”为事件B。
（1）“甲乙两地都不下雨”表示时间A,B同时发生，且甲乙两地是否降雨相互之间没有影响，即事件A与事件B相互独立。所以=0.2*0.3=0.06
（2）“甲乙两地都不降雨”即事件与同时发生。利用独立事件的性质2可知，事件与相互独立。所以=(1—0.2)*（1—0.3）=0.56
（3）“至少一个地方降雨”用字母表示应为
=0.2*0.7+0.8*0.3+0.2*0.3=0.44
例4：分析：设“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件A，“第二次抽奖抽到某一指定号码”为事件B，“两次抽奖都抽到某一指定号码”为事件AB。
由于两次抽奖结果互不影响，因此事件A与B相互独立。于是由独立性可得，两次抽奖抽到某一指定号码的概率为P(AB)=P(A)P(B)=。
“两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码”可以用表示。由于事件互斥，根据概率的加法公式和相互独立事件的定义可得，所求事件的概率为
“两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码”可以用。由于事件两两互斥，根据概率的加法公式和相互独立事件的定义可得，所求事件的概率为
【课堂达标】
1．B
【解析】
【分析】
利用独立事件的概率乘法公式可求得所求事件的概率.
【详解】
甲乙各射击一次，则“甲中靶”与“乙中靶”相互独立，
所以，甲乙各射击一次，则两人都中靶的概率为.
故选：B.
【点睛】
本题考查利用独立事件的概率的乘法公式计算事件的概率，考查计算能力，属于基础题.
2．C
【解析】
【分析】
利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式直接求解．
【详解】
解：甲、乙两队进行排球决赛，采取五场三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，决赛结束）．
根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主”．
设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，
则甲队以获胜的概率是：
．
甲队以获胜的概率是：
则甲队不超过场即获胜的概率
故选：C
【点睛】
本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
3．D
【解析】
【分析】
求其对立事件两城市均未降雨的概率，进而可得结果.
【详解】
记A城市和B城市降雨分别为事件和事件，故，，
可得，,
两城市均未降雨的概率为，
故至少有一个城市降雨的概率为，
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了相互独立事件的概率公式的应用，以及对立事件的应用，属于基础题.
4．C
【解析】
【分析】
恰有一人命中有两种情形：甲中乙不中和甲不中乙中
【详解】
甲命中的概率为，不命中的概率为；
乙命中的概率为，不命中的概率为；
设恰好有一人命中的概率为，则
.
故选：C
【点睛】
此题为基本概念题，考查独立事件发生的概率算法.
5．C
【解析】
【分析】
【详解】
第一道工序的正品率为1-a，第二道工序的正品率为1-b
因为产品为正品时需要这两道工序都为正品，
根据独立事件的概率乘法公式可得，
产品的正品率为（1-ａ）（1-ｂ），故选C
考点：本题考查了对立与独立事件概率的求法
点评：区分对立事件与独立事件是解决此类问题的关键，属基础题
6．D
【解析】
7．C
【解析】
【分析】
根据事件A与B相互独立，则P（AB）＝P（A）P（B），再由P（A∪B）＝P（A）+P（B）-P（AB）求解.
【详解】
因为事件A与B相互独立，且P（A）＝，P（B）＝，
所以P（AB）＝P（A）P（B）＝，
所以P（A∪B）＝P（A）+P（B）-P（AB）=+-=
故选：C
【点睛】
本题主要考查独立事件的概率以及并集事件的概率，属于基础题.
8．C
【解析】
【分析】
计算不能攻克的概率，得到答案.
【详解】
根据题意：.
故选：C.
【点睛】
本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.
9．D
【解析】
【分析】
先求得三人都没通过测试的概率，由此求得三人中至少有一人通过测试的概率.
【详解】
所求事件的对立事件为“三人均未通过测试”，概率为，故至少一人通过测试的概率为.
故选：D
【点睛】
本小题主要考查相互独立事件概率计算，属于基础题.
10．C
【解析】
【分析】
利用事件的独立性和对立事件的概率公式，计算即可求解.
【详解】
设至少有一组研发新药成功的事件为事件，事件为事件的对立事件，则事件为甲、乙两组都没研发成功，
因为甲、乙研发新药成功的概率分别为0.6，0.5．
则，
再根据对立事件的概率之间的公式可得，
故至少有一组研发新药成功的概率为．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了事件的独立性和对立事件的概率，考查了学生的计算能力，属于基础题．
【能力提升】
11．
【解析】
【分析】
求出小明与第一代、第二代、第三代传播者接触的概率，利用独立事件、互斥事件的概率公式求解即可．
【详解】
设事件，，为第一代、第二代、第三代传播者接触，
事件为小明被感染，由已知得：
（A），（B），（C），，，，
（D）（A）（B）（C）
．
小明参加聚会，仅和感染的10个人其中一个接触，感染的概率为0.83．
故答案为：0.83．
【点睛】
本题考查概率的求法，考查独立事件、互斥事件的概率公式以及条件概率的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
12．0.18
【解析】
【分析】
本题应注意分情况讨论，即前五场甲队获胜的两种情况，应用独立事件的概率的计算公式求解．题目有一定的难度，注重了基础知识、基本计算能力及分类讨论思想的考查．
【详解】
前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以获胜的概率是
前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以获胜的概率是
综上所述，甲队以获胜的概率是
【点睛】
由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是思维的全面性是否具备，要考虑甲队以获胜的两种情况；易错点之三是是否能够准确计算．
13．0.009
【解析】
由相互独立事件的概率计算公式，三人项目标各发枪一次，
目标没有被击中的概率为：
14．.
【解析】
【分析】
第一局失利，最终经过5局比赛获得冠军，说明第2,3,4局胜2局，胜1局，根据相互独立事件的概率公式计算即可．
【详解】
第1局失利为事实，经过5局获胜，第2,3,4局胜2局，胜1局，5局比赛最终获得冠军的概率是.
【点睛】
本题主要考查了相互独立事件的概率乘法公式，属于中档题．
15．
【解析】
【分析】
先计算线路不能正常工作的概率，用减去这个概率，求得正常工作的概率.
【详解】
段不能正常工作的概率为.线路不能正常工作的概率为，故能正常工作的概率为.
【点睛】
本小题主要考查相互独立事件概率计算，考查对立事件的方法计算概率，属于基础题.
16．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）依题意甲第一次取到的是黑球，接着乙取到的是黑球，第三次取球甲取到的是白球，即可求出概率；
（2）依题意甲只可能在第1次，第3次和第5次取到白球，再根据互斥事件的概率公式计算可得；
【详解】
解：（1）设事件A为“取球3次即终止”.即甲第一次取到的是黑球，接着乙取到的是黑球，甲取到的是白球，因此，
（2）设事件B为“甲取到白球”，“第i次取到白球”为事件，，因为甲先取，所以甲只可能在第1次，第3次和第5次取到白球，
所以
．
【点睛】
考查运用概率知识解决实际问题的能力，相互独立事件是指，两事件发生的概率互不影响，而对立事件是指同一次试验中，不会同时发生的事件，遇到求用至少来表述的事件的概率时，往往先求它的对立事件的概率．属于中档题.
17．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
根据古典概型求出任选一道题目，甲答对和乙答对的概率，再利用相互独立事件和互斥事件的概率，求出（1）和（2）中的每一个事件的概率.
【详解】
记“任选一道题目，甲答对”为事件，“任选一道题目，乙答对” 为事件，
根据古典概型概率计算公式，得
，
所以，
（1）“两人都没答对记为，
所以.
（2）“恰有一人答对”
所以
.
【点睛】
本题主要考查了古典概型，概率的加法公式和乘法公式，属于基础题.
重点、难点
重点：独立事件同时发生的概率
难点：有关独立事件发生的概率计算
学科素养
通过本节的学习，感受社会生活中大量事件是相互独立的，体会数学来源于实践，发现数学应用意识和创新意识，力求对现实世界中蕴涵的一些数学模式进行思考和作出判断。
【知识清单】
1，独立性定义：
设A，B为两个事件，如果满足P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立。
2 独立与互斥
回顾：不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件；如果两个互斥事件有一个发 时另一个
必不发生，这样的两个互斥事件叫对立事件.
区别：互斥事件和相互独立事件是两个不同概念：
两个事件互斥是指这两个事件不可能同时发生；
两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．
两事件相互独立: P(AB)=P(A)P(B); 两事件互斥: AB=φ。二者没有必然联系。
事实上，当P(A)>0，P(B)>0时，若A，B互斥，则AB=φ，从而P(AB)=0，但P(A)P(B)>0，因而等式P(AB)=P(A)P(B)不成立，即互斥 不独立．
若A，B独立，则P(AB)=P(A)P(B)>0，从而A，B不互斥（否则，P(AB)=0，导致矛盾）．
所以，独立事件一定不互斥.互斥事件一定不独立.
小结1：若事件相互独立，试用符号语言表示下列事件
（1）同时发生的概率
（2）都不发生的概率
（3）恰有一个发生的概率
（4）至少有一个发生的概率 1—
（5）至多有一个发生的概率 +
小结2：
【经典例题】
例1 某商场推出二次开奖活动。凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券。奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动。如果两次兑奖活动的中奖概率都是0.05，求两次抽奖中以下事件的概率：
（1）都抽到某一指定号码；
（2）恰有一次抽到某一指定号码；
（3）至少有一次抽到某一指定号码。
例2.一个口袋内装有2个白球和2个黑球。求
（1）先摸出一个白球不放回，再摸出一个白球的概率是多少？
（2）先摸出一个白球后放回，再摸出一个白球的概率是多少？
例3.天气预报中，在元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3。假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，计算在这段时间内：
（1）甲乙两地都降雨的概率
（2）甲乙两地都不降雨的概率
例4：某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券。奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动。如果两次兑奖活动的中奖概率都是0.05，求两次抽奖中以下事件的概率：
（1）都抽到某一指定号码
（2）恰有一次抽到某一指定号码
（3）至少有一次抽到某一指定号码
【课堂达标】
1．甲乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为，乙中靶的概率为.甲乙各射击一次，则两人都中靶的概率为（ ）
A．B．C．D．
2．甲、乙两队进行篮球决赛，采取五场三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束）.根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主”.设甲队主场取胜的概率为，客场取胜的概率为，且各场比赛结果相互独立，则甲队不超过场即获胜的概率是（ ）
A．B．C．D．
3．根据天气预报，某一天A城市和B城市降雨的概率均为0.6，假定这一天两城市是否降雨相互之间没有影响，则该天这两个城市中，至少有一个城市降雨的概率为（ ）
A．0.16B．0.48C．0.52D．0.84
4．甲乙两人投球命中率分别为，，且是否投中互不影响，两人各投球一次，恰好有一人命中的概率为（ ）
A．B．C．D．
5． 一件产品要经过2道独立的加工程序，第一道工序的次品率为a，第二道工序的次品率为b，则产品的正品率为( )
A．1－a－bB．1－abC．(1－a)(1－b)D．1－(1－a)(1－b)
6．在一次反恐演习中，我方三架武装直升机分别从不同方位对同一目标发动攻击（各发射一枚导弹），由于天气原因，三枚导弹命中目标的概率分别为0．9，0．9，0．8，若至少有两枚导弹命中目标方可将其摧毁，则目标被摧毁的概率为（ ）
A．0．998B．0．046C．0．002D．0．954
7．若事件A与B相互独立，P（A）＝，P（B）＝，则P（A∪B）＝（ ）
A．B．C．D．
8．5G指的是第五代移动通信技术，是最新一代蜂窝移动通信技术，某公司研发5G项目时遇到一项技术难题，由甲、乙两个部门分别独立攻关，已知甲部门攻克该技术难题的概率为0.8，乙部门攻克该技术难题的概率为0.7，则该公司攻克这项技术难题的概率为（ ）
A．0.56B．0.86C．0.94D．0.96
9．甲､乙､丙三人参加学业水平测试，已知他们通过测试的概率分别为，且每人是否通过测试相互独立，则这三人中至少有一人通过测试的概率为（ ）
A．B．C．D．
10．某医药企业有甲、乙两个研发小组，他们研发某种新药成功的概率分别为0.6，0.5，且甲、乙两组研发结果相互独立，则至少有一组研发新药成功的概率为（ ）
A．0.2B．0.3C．0.8D．0.9
【能力提升】
11．世卫组织就新型冠状病毒感染的肺炎疫情称，新型病毒可能造成“持续人传人”．通俗点说就是存在A传B，B又传C，C又传D，这就是“持续人传人”．那么A、B、C就会被称为第一代、第二代、第三代传播者．假设一个身体健康的人被第一代、第二代、第三代传播者感染的概率分别为0.9，0.8，0.7，健康的小明参加了一次多人宴会，事后知道，参加宴会的人有5名第一代传播者，3名第二代传播者，2名第三代传播者，试计算，小明参加聚会，仅和感染的10个人其中一个接触，感染的概率有多大________．
12．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________．
13．已知甲、乙、丙3名运动员击中目标的概率分别为0.7，0. 8，0.85，若他们3人向目标各发1枪，则目标没有被击中的概率为___________.
14．在一场对抗赛中，两人争夺冠军，若比赛采用“五局三胜制”，每局获胜的概率均为，且各局比赛相互独立，则在第一局失利的情况下，经过五局比赛最终获得冠军的概率是_____．
15．在一段线路中有4个自动控制的常用开关A、B、C、D，如图连接在一起，假定在2019年9月份开关A，D能够闭合的概率都是0.7，开关B，C能够闭合的概率都是0.8，则在9月份这段线路能正常工作的概率为________.
16．袋中装有除颜色外完全相同的黑球和白球共7个，其中白球3个，现有甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取，…，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止．每个球在每一次被取出的机会是等可能的．
（1）求取球3次即终止的概率；
（2）求甲取到白球的概率．
17．某学校就学生对端午节文化习俗的了解情况，进行了一次20道题的问卷调查，每位同学都是独立答题，在回收的试卷中发现甲同学答对了12个，乙同学答对了16个.假设答对每道题都是等可能的，试求：
（1）任选一道题目，甲乙都没有答对的概率；
（2）任选一道题目，恰有一人答对的概率.
【参考答案】
【经典例题】
例1解：设第一次抽奖抽到某一指定号码为事件A，第二次抽奖抽到某一指定号码为事件B,则两次抽奖都抽到某一指定号码就是事件AB.由于两次抽奖结果互不影响，因此A与B相互独立。
P（AB）＝P（A）P（B）＝0.05×0.05＝0.0025
=0.05×（1－0.05）＋（1－0.05）×0.05
＝0.095
＝0.0025＋0.095＝0.0975
例2.分析：（1）先摸出一白球不放回这件事对再摸出一个白球的概率产生了影响，再摸时只有一个白球，两个黑球，则概率为
（2）先摸出一白球后放回这件事对再摸出一个白球的概率没有影响，还是从两个白球两个黑球中摸，则概率为
例3.分析：“甲地降雨”为时间A，“乙地降雨”为事件B。
（1）“甲乙两地都不下雨”表示时间A,B同时发生，且甲乙两地是否降雨相互之间没有影响，即事件A与事件B相互独立。所以=0.2*0.3=0.06
（2）“甲乙两地都不降雨”即事件与同时发生。利用独立事件的性质2可知，事件与相互独立。所以=(1—0.2)*（1—0.3）=0.56
（3）“至少一个地方降雨”用字母表示应为
=0.2*0.7+0.8*0.3+0.2*0.3=0.44
例4：分析：设“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件A，“第二次抽奖抽到某一指定号码”为事件B，“两次抽奖都抽到某一指定号码”为事件AB。
由于两次抽奖结果互不影响，因此事件A与B相互独立。于是由独立性可得，两次抽奖抽到某一指定号码的概率为P(AB)=P(A)P(B)=。
“两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码”可以用表示。由于事件互斥，根据概率的加法公式和相互独立事件的定义可得，所求事件的概率为
“两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码”可以用。由于事件两两互斥，根据概率的加法公式和相互独立事件的定义可得，所求事件的概率为
【课堂达标】
1．B
【解析】
【分析】
利用独立事件的概率乘法公式可求得所求事件的概率.
【详解】
甲乙各射击一次，则“甲中靶”与“乙中靶”相互独立，
所以，甲乙各射击一次，则两人都中靶的概率为.
故选：B.
【点睛】
本题考查利用独立事件的概率的乘法公式计算事件的概率，考查计算能力，属于基础题.
2．C
【解析】
【分析】
利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式直接求解．
【详解】
解：甲、乙两队进行排球决赛，采取五场三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，决赛结束）．
根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主”．
设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，
则甲队以获胜的概率是：
．
甲队以获胜的概率是：
则甲队不超过场即获胜的概率
故选：C
【点睛】
本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
3．D
【解析】
【分析】
求其对立事件两城市均未降雨的概率，进而可得结果.
【详解】
记A城市和B城市降雨分别为事件和事件，故，，
可得，,
两城市均未降雨的概率为，
故至少有一个城市降雨的概率为，
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了相互独立事件的概率公式的应用，以及对立事件的应用，属于基础题.
4．C
【解析】
【分析】
恰有一人命中有两种情形：甲中乙不中和甲不中乙中
【详解】
甲命中的概率为，不命中的概率为；
乙命中的概率为，不命中的概率为；
设恰好有一人命中的概率为，则
.
故选：C
【点睛】
此题为基本概念题，考查独立事件发生的概率算法.
5．C
【解析】
【分析】
【详解】
第一道工序的正品率为1-a，第二道工序的正品率为1-b
因为产品为正品时需要这两道工序都为正品，
根据独立事件的概率乘法公式可得，
产品的正品率为（1-ａ）（1-ｂ），故选C
考点：本题考查了对立与独立事件概率的求法
点评：区分对立事件与独立事件是解决此类问题的关键，属基础题
6．D
【解析】
7．C
【解析】
【分析】
根据事件A与B相互独立，则P（AB）＝P（A）P（B），再由P（A∪B）＝P（A）+P（B）-P（AB）求解.
【详解】
因为事件A与B相互独立，且P（A）＝，P（B）＝，
所以P（AB）＝P（A）P（B）＝，
所以P（A∪B）＝P（A）+P（B）-P（AB）=+-=
故选：C
【点睛】
本题主要考查独立事件的概率以及并集事件的概率，属于基础题.
8．C
【解析】
【分析】
计算不能攻克的概率，得到答案.
【详解】
根据题意：.
故选：C.
【点睛】
本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.
9．D
【解析】
【分析】
先求得三人都没通过测试的概率，由此求得三人中至少有一人通过测试的概率.
【详解】
所求事件的对立事件为“三人均未通过测试”，概率为，故至少一人通过测试的概率为.
故选：D
【点睛】
本小题主要考查相互独立事件概率计算，属于基础题.
10．C
【解析】
【分析】
利用事件的独立性和对立事件的概率公式，计算即可求解.
【详解】
设至少有一组研发新药成功的事件为事件，事件为事件的对立事件，则事件为甲、乙两组都没研发成功，
因为甲、乙研发新药成功的概率分别为0.6，0.5．
则，
再根据对立事件的概率之间的公式可得，
故至少有一组研发新药成功的概率为．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了事件的独立性和对立事件的概率，考查了学生的计算能力，属于基础题．
【能力提升】
11．
【解析】
【分析】
求出小明与第一代、第二代、第三代传播者接触的概率，利用独立事件、互斥事件的概率公式求解即可．
【详解】
设事件，，为第一代、第二代、第三代传播者接触，
事件为小明被感染，由已知得：
（A），（B），（C），，，，
（D）（A）（B）（C）
．
小明参加聚会，仅和感染的10个人其中一个接触，感染的概率为0.83．
故答案为：0.83．
【点睛】
本题考查概率的求法，考查独立事件、互斥事件的概率公式以及条件概率的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
12．0.18
【解析】
【分析】
本题应注意分情况讨论，即前五场甲队获胜的两种情况，应用独立事件的概率的计算公式求解．题目有一定的难度，注重了基础知识、基本计算能力及分类讨论思想的考查．
【详解】
前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以获胜的概率是
前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以获胜的概率是
综上所述，甲队以获胜的概率是
【点睛】
由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是思维的全面性是否具备，要考虑甲队以获胜的两种情况；易错点之三是是否能够准确计算．
13．0.009
【解析】
由相互独立事件的概率计算公式，三人项目标各发枪一次，
目标没有被击中的概率为：
14．.
【解析】
【分析】
第一局失利，最终经过5局比赛获得冠军，说明第2,3,4局胜2局，胜1局，根据相互独立事件的概率公式计算即可．
【详解】
第1局失利为事实，经过5局获胜，第2,3,4局胜2局，胜1局，5局比赛最终获得冠军的概率是.
【点睛】
本题主要考查了相互独立事件的概率乘法公式，属于中档题．
15．
【解析】
【分析】
先计算线路不能正常工作的概率，用减去这个概率，求得正常工作的概率.
【详解】
段不能正常工作的概率为.线路不能正常工作的概率为，故能正常工作的概率为.
【点睛】
本小题主要考查相互独立事件概率计算，考查对立事件的方法计算概率，属于基础题.
16．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）依题意甲第一次取到的是黑球，接着乙取到的是黑球，第三次取球甲取到的是白球，即可求出概率；
（2）依题意甲只可能在第1次，第3次和第5次取到白球，再根据互斥事件的概率公式计算可得；
【详解】
解：（1）设事件A为“取球3次即终止”.即甲第一次取到的是黑球，接着乙取到的是黑球，甲取到的是白球，因此，
（2）设事件B为“甲取到白球”，“第i次取到白球”为事件，，因为甲先取，所以甲只可能在第1次，第3次和第5次取到白球，
所以
．
【点睛】
考查运用概率知识解决实际问题的能力，相互独立事件是指，两事件发生的概率互不影响，而对立事件是指同一次试验中，不会同时发生的事件，遇到求用至少来表述的事件的概率时，往往先求它的对立事件的概率．属于中档题.
17．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
根据古典概型求出任选一道题目，甲答对和乙答对的概率，再利用相互独立事件和互斥事件的概率，求出（1）和（2）中的每一个事件的概率.
【详解】
记“任选一道题目，甲答对”为事件，“任选一道题目，乙答对” 为事件，
根据古典概型概率计算公式，得
，
所以，
（1）“两人都没答对记为，
所以.
（2）“恰有一人答对”
所以
.
【点睛】
本题主要考查了古典概型，概率的加法公式和乘法公式，属于基础题.
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