高中数学人教A版 (2019)必修第一册4.4 对数函数课前预习ppt课件

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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修第一册4.4 对数函数课前预习ppt课件，共56页。PPT课件主要包含了目标认知，同增异减，探究点一反函数，0+∞，1+∞，单调性，奇偶性，图4-4-11，图4-4-12，3+∞等内容，欢迎下载使用。

知识点一　反函数的概念
y=lgax(a>0,且a≠1)
一般地,指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数　　　　　　　　互为反函数.若两个函数互为反函数,则它们的图像关于直线y=x对称.
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y=lg4x与y=x4互为反函数.(　　)(2)y=3x与y=lg3x的图像关于直线y=x对称.(　　)(3)y=ax(a>0,且a≠1)与x=lgay(a>0,且a≠1)的图像相同.(　　)
2.函数y=ax(a>0,且a≠1)与y=lgax(a>0,且a≠1)的定义域和值域有什么关系?
解:y=ax的定义域为R,值域为(0,+∞),y=lgax的定义域为(0,+∞),值域为R,即它们的定义域和值域正好互换.
知识点二　y=lgaf(x)型函数性质的研究
1.定义域:由f(x)>0解得x的取值范围,即为函数的定义域.2.值域:先由函数y=lgaf(x)的定义域确定t=f(x)的值域,再由y=lgat的单调性确定函数y=lgaf(x)的值域.3.单调性:在定义域内考虑t=f(x)与y=lgat的单调性,根据　　　　法则判定.(或运用单调性的定义判定) 4.奇偶性:根据奇、偶函数的定义判定.5.最值:先在f(x)>0的条件下,确定t=f(x)的值域,再根据a确定函数y=lgat的单调性,最后确定最值.
2.你能求出函数y=lg2(x2+2x+2)+2的定义域、单调区间、值域吗?
解:因为x2+2x+2=(x+1)2+1>0恒成立,所以函数y=lg2(x2+2x+2)+2的定义域为R.令t=x2+2x+2,则函数t=x2+2x+2的单调递增区间为(-1,+∞),单调递减区间为(-∞,-1),故函数y=lg2(x2+2x+2)+2的单调递增区间为(-1,+∞),单调递减区间为(-∞,-1).由以上可知,当x=-1时,ymin=2,所以函数y=lg2(x2+2x+2)+2的值域为[2,+∞).
对反函数的理解(1)由y=ax(a>0,且a≠1)得出x=lgay,根据函数定义知,对每一个在区间(0,+∞)上的y值,均有唯一的x值与之对应,故x是y的函数,习惯上用x作自变量,用y作函数值,则称y=lgax是y=ax的反函数,y=ax与y=lgax(a>0,且a≠1)互为反函数.(2)指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的定义域、值域分别是对数函数y=lgax(a>0,且a≠1)的值域、定义域.
(3)指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图像与对数函数y=lgax(a>0,且a≠1)的图像关于直线y=x对称.(4)两函数在各自的定义域内单调性相同,即a>1时,都为增函数,0(2)函数y=lga(x+1)+2(a>0,且a≠1)的反函数的图像过定点　　　　.
[解析] (2)互为反函数的两个函数的图像关于直线y=x对称,因为函数y=lga(x+1)+2(a>0,且a≠1)的图像恒过定点(0,2),所以其反函数的图像过定点(2,0).
变式 (1)已知f(x)是函数y=lg2x的反函数,则y=f(x)的图像大致是(　　) A BC D图4-4-6
[解析] (1)y=lg2x的反函数为f(x)=2x,其图像恒过定点(0,1),且函数f(x)在R上单调递增.故选A.
(2)点(3,8)在函数f(x)=lgax(a>0,且a≠1)的反函数的图像上,则f(2)=(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.-2B.2C.-1D.1
[解析] (2)因为点(3,8)在函数f(x)=lgax的反函数的图像上,所以点(8,3)在函数f(x)=lgax的图像上,所以3=lga8,即a3=8,得a=2,所以f(2)=lg22=1.
[素养小结](1)互为反函数的两个函数的图像关于直线y=x对称;(2)原函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域.
探究点二　含有对数式的函数的图像
[探索] 给出函数解析式判断函数的图像,应首先考虑函数对应的基本初等函数是哪一种;其次找出函数图像的特殊点,判断函数的定义域、基本性质(　　　　、　　　　等);最后综合上述几个方面将图像选出.解决此类题目常采用排除法.
例2 (1)函数y=ln|x|-x2的图像大致为(　　) A BC D图4-4-7
[解析] (1)该函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),排除C,D;设f(x)=ln|x|-x2,因为f(-x)=ln|x|-x2=f(x),所以函数y=ln|x|-x2为偶函数,其图像关于y轴对称,排除B.故选A.
(2)[2021·辽宁辽阳高一期末] 函数f(x)=xln|x|的图像大致为(　　) A B C D图4-4-8
[解析] (2)因为f(-x)=-xln|-x|=-xln|x|=-f(x),所以f(x)是奇函数,其图像关于原点对称,排除C,D;当0变式 (1)函数f(x)=lg2|2x-1|的图像大致是(　　) AB C D图4-4-9
[素养小结]判断与对数函数有关的函数图像时,要熟记指数函数、对数函数的图像与性质,利用函数奇偶性和图像的对称性以及特殊值进行排除,结合复合函数的单调性进行判断.
探究点三　对数函数图像、性质的综合应用
[探索] 怎样认识函数f(x)=lg2(ex+1)?
解:函数f(x)=lg2(ex+1)是由函数t=ex+1和函数y=lg2t复合而成的,对该函数可以讨论它的定义域、值域、单调性、奇偶性等.
角度一　与对数函数有关的复合函数的单调性
[素养小结](1)求形如y=lgaf(x)的函数的单调区间,一定要树立定义域优先的意识,即由f(x)>0先求定义域.(2)求此类型函数单调区间的两种思路:①利用定义求证;②借助函数的性质研究函数t=f(x)和y=lgat在定义域内的单调性,从而判定y=lgaf(x)的单调性.
角度二　与对数函数有关的复合函数的值域或最值
变式 (1)[2021·厦门外国语学校高一期中] 已知函数f(x)=lga(-x+1)(a>0,且a≠1)在[-2,0]上的最大值是0,最小值是-1,则a=　　　　.
[素养小结]求与对数函数有关的复合函数的值域或最值时,主要考虑对数函数的单调性,若是与二次函数复合的函数,还要考虑二次函数的最值情况.
拓展已知函数f(x)=lga(kx2-2x+6)(a>0,且a≠1).(1)若函数f(x)的定义域为R,求实数k的取值范围;(2)若函数f(x)在[1,2]上恒有意义,求k的取值范围.
角度三　与对数函数有关的复合函数的奇偶性
C D
变式已知函数f(x)=lga(3+2x),g(x)=lga(3-2x),a>0,且a≠1.(1)求函数y=f(x)-g(x)的定义域;(2)判断函数y=f(x)-g(x)的奇偶性,并予以证明;(3)求使f(x)-g(x)>0的x的取值范围.
解:(2)y=f(x)-g(x)是奇函数.证明:由(1)知函数y=f(x)-g(x)的定义域关于原点对称.因为f(-x)-g(-x)=lga(3-2x)-lga(3+2x)=-[lga(3+2x)-lga(3-2x)]=-[f(x)-g(x)],所以函数y=f(x)-g(x)是奇函数.
[素养小结]要判断函数的奇偶性,首先应求出定义域,看函数的定义域是否关于原点对称.对于形如f(x)=lgag(x)的函数,利用f(-x)±f(x)=0来判断奇偶性较简便.
1.换元法对于与对数函数复合的函数,求其值域或判断其单调性时一般考虑换元法,即通过换元将复合函数转化为简单函数,再利用简单函数的单调性求其值域,利用复合函数“同增异减”的特性判断其单调性.
例1 函数y=lg0.1(2x2-5x-3)的单调递减区间是　　,值域为　　.
2.数形结合法对于由指数函数、对数函数和其他函数所构成的不等式,研究解的情况或求参数的范围时,我们常画出相应的函数图像,用数形结合的方法解决问题.
2.函数f(x)=lga[(a-1)x+1]在定义域上(　　)A.是增函数 B.是减函数C.先增后减D.先减后增
[解析] 当a>1时,y=lgat和t=(a-1)x+1在定义域上都是增函数,所以f(x)是增函数;当03.已知函数f(x)=lg(x2+1),则(　　)A.f(x)是偶函数B.f(x)是奇函数C.f(x)是R上的增函数D.f(x)是R上的减函数
[解析] 因为f(-x)=lg[(-x)2+1]=lg(x2+1)=f(x),且定义域为R,关于原点对称,所以f(x)是偶函数.故选A.
4.函数f(x)=lgax(0[解析] ∵0

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