资料中包含下列文件，点击文件名可预览资料内容
还剩33页未读，
继续阅读
所属成套资源：七年级数学下册同步精品讲义（北师大版）
成套系列资料，整套一键下载
初中数学北师大版七年级下册第二章 相交线与平行线4 用尺规作角精品综合训练题
展开
这是一份初中数学北师大版七年级下册第二章 相交线与平行线4 用尺规作角精品综合训练题，文件包含第8讲平行线的性质与用尺规作角-七年级数学下册同步精品讲义北师大版解析版docx、第8讲平行线的性质与用尺规作角-七年级数学下册同步精品讲义北师大版原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共126页， 欢迎下载使用。
第8讲 平行线的性质与用尺规作角
目标导航
1．掌握平行线的性质，并能依据平行线的性质进行简单的推理；
2．了解平行线的判定与性质的区别和联系，理解两条平行线的距离的概念；
3、理解尺规作图的含义；
4、能用尺规作一些基本的图形；
5、通过尺规作图的理解进行一些线段和角的计算。
知识精讲
知识点01平行线的性质
一、平行线的性质
性质1：两直线平行，同位角相等；
性质2：两直线平行，内错角相等；
性质3：两直线平行，同旁内角互补.
要点诠释：
（1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提 “两直线平行”．
(2)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质．
二、平行的传递性
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
三、两条平行线的距离
同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线
的距离．
要点诠释：
（1）求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点，向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线的距离．
(2) 两条平行线的位置确定后，它们的距离就是个定值，不随垂线段的位置的改变而改变，即平行线间的距离处处相等．
【知识拓展1】（2021秋•本溪期末）如图，将一个含有30°角的直角三角板放置在两条平行线a，b上，若∠1＝115°，则∠2的度数为（ ）
A．85° B．75° C．55° D．95°
【分析】由平行线的性质可得∠BAC＝∠1＝115°，再由三角形的外角性质即可求解．
【解答】解：如图，
∵a∥b，∠1＝115°，
∴∠BAC＝∠1＝115°，
∵∠BAC是△ABD的外角，
∴∠2＝∠BAC﹣∠B＝85°，
故选：A．
【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等．
【即学即练1】（2021秋•成都期末）如图，直线AB∥CD，点E在AC上，若∠A＝130°，∠D＝20°，则∠AED＝（ ）
A．70° B．75° C．80° D．85°
【分析】由平行线的性质可求得∠C＝50°，再利用三角形的外角性质可求∠AED的度数．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠A+∠C＝180°，
∵∠A＝130°，
∴∠C＝180°﹣∠A＝50°，
∵∠AED是△CDE的外角，∠D＝20°，
∴∠AED＝∠C+∠D＝70°．
故选：A．
【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．
【即学即练2】（2021秋•武侯区期末）如图，把三角板的直角顶点放在直尺的一边上，已知直尺的对边平行，若∠1＝25°，则∠2的度数为（ ）
A．25° B．55° C．65° D．75°
【分析】由平角的定义可求得∠BAC＝65°，再利用平行线的性质可求∠2的度数．
【解答】解：如图，
∵∠CAD＝90°，∠1＝25°，
∴∠BAC＝180°﹣∠CAD﹣∠1＝65°，
∵EF∥AB，
∴∠2＝∠BAC＝65°．
故选：C．
【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等．
【即学即练3】（2021秋•普宁市期末）如图，在△DEF中，点C在DF的延长线上，点B在EF上，且AB∥CD，∠EBA＝60°，则∠E+∠D的度数为（ ）
A．60° B．30° C．90° D．80°
【分析】由平行线的性质可得∠CFE＝∠EBA＝60°，再由三角形的外角性质可得∠CFE＝∠E+∠D，从而得解．
【解答】解：∵AB∥CD，∠EBA＝60°，
∴∠CFE＝∠EBA＝60°，
∵∠EBA是△DEF的外角，
∴∠E+∠D＝∠EBA＝60°．
故选：A．
【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等．
【即学即练4】（2021秋•铁西区期末）如图，AB∥CD∥EF，若∠ABC＝125°，∠CEF＝105°，则∠BCE的度数为 50° ．
【分析】由平行线的性质可得∠BCD＝∠ABC＝125°，∠DCE＝180°﹣∠CEF＝75°，从而可求∠BCE的度数．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∠ABC＝125°，∠CEF＝105°，
∴∠BCD＝∠ABC＝125°，∠DCE＝180°﹣∠CEF＝75°，
∴∠BCE＝∠BCD﹣∠DCE＝50°．
故答案为：50°．
【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用．
【即学即练5】（2021秋•宽城区期末）如图，直线m∥n．若∠1＝40°，∠2＝30°，则∠3的大小为 70 度．
【分析】由平行线的性质可得∠4＝∠1＝40°，再由三角形的外角性质可求∠3的度数．
【解答】解：如图，
∵m∥n．∠1＝40°，
∴∠4＝∠1＝40°，
∵∠3是图中三角形的外角，∠2＝30°，
∴∠3＝∠2+∠4＝70°．
故答案为：70．
【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等．
【知识拓展2】（2021秋•成都期末）如图，AE∥BC，且∠ABD＝∠ADB，∠DAE＝∠E，若∠ABC＝63°，求∠DBC的度数．
【分析】由三角形的外角性质可得∠ADB＝2∠E，则有∠ABD＝2∠E，由平行线的性质可得∠E＝∠DBC，即∠ABD＝2∠DBC，从而可求解．
【解答】解：∵∠DAE＝∠E，∠ADB是△ADE的外角，
∴∠ADB＝∠DAE+∠E＝2∠E，
∵∠ABD＝∠ADB，
∴∠ABD＝2∠E，
∵AE∥BC，
∴∠E＝∠DBC，
∴∠ABD＝2∠DBC，
∵∠ABC＝63°，
∴∠ABD+∠DBC＝63°，
即2∠DBC+∠DBC＝63°，
解得：∠DBC＝21°．
故∠DBC的度数为21°．
【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用．
【即学即练1】（2021秋•宝安区期末）生活中常见的探照灯、汽车大灯等灯具都与抛物线有关．如图，从光源P点照射到抛物线上的光线PA，PB等反射以后沿着与直线PF平行的方向射出，若∠CAP＝α，∠DBP＝β，则∠APB的度数为（ ）
A．2α B．2β C．α+β D．（α+β）
【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠APE＝∠CAP＝α，∠BPE＝∠DBP＝β，然后相加即可得解．
【解答】解：∵AC∥EF，∠CAP＝α，
∴∠APE＝∠CAP＝α，
∵BD∥EF，∠DBP＝β，
∴∠BPE＝∠DBP＝β，
∴∠APB＝∠APE+∠BPE＝α+β．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等．
【即学即练2】（2021秋•香坊区期末）如图，AD∥BC，∠C＝30°，∠ADB：∠BDC＝1：2，∠EAB＝72°，以下四个说法：
①∠CDF＝30°；②∠ADB＝50°；③∠ABD＝22°；④∠CBN＝108°；其中正确说法的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据平行线的性质判断①，根据邻补角的定义及角的倍分关系可判断②，根据平行线的性质及三角形的内角和定理可判断③，由邻补角定义可得判断④．
【解答】解：∵AD∥BC，∠C＝30，
∴∠CDF＝30°，①正确；
∴∠ADC＝180°﹣∠C＝180°﹣30°＝150°，
∵∠ADB：∠BDC＝1：2，
∴∠ADB＝∠ADC＝50°，②正确；
∵AD∥BC，∠EAB＝72°，
∴∠ABC＝72°，∠DAB＝180°﹣∠EAB＝108°，
∴∠CBN＝180°﹣∠ABC＝108°，④正确；
∴∠ABD＝180°﹣∠DAB﹣∠ADB＝22°，③正确．
故选：D．
【点评】此题考查的是平行线的性质、邻补角的定义、三角形的内角和定理，掌握其性质定理是解决此题关键．
【即学即练3】（2021秋•道里区期末）如图，AB∥CD，AD与BC相交于点F，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠AFB＝96°，则∠BED的度数为 42 度．
【分析】根据平行线的性质，角平分线的定义以及三角形的内角和可得∠ABE+∠CDE＝42°，过点E作EP∥AB，然后根据两直线平行内错角相等，即可求∠BED的度数．
【解答】解：如图，过点E作EP∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EP，
∴∠ABE＝∠BEP，∠CDE＝∠DEP，∠ABC＝∠BCD，
∵∠ABC+∠BAD+∠AFB＝180°，
∴∠ABC+∠BAD＝180°﹣∠AFB＝84°，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴∠ABE＝∠ABC，∠CDE＝∠ADC，
∴∠ABE+∠CDE＝（∠ABC+∠BAD）＝42°，
∴∠BED＝∠BEP+∠DEP＝∠ABE+∠CDE）＝42°，
故答案为：42．
【点评】此题考查了平行线的判定与性质以及角平分线，解题的关键是正确添加辅助线．
【即学即练4】（2021秋•罗湖区期末）请解答下列各题：
（1）阅读并回答：
科学实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等．如图1，一束平行光线AB与DE射向一个水平镜面后被反射．此时∠1＝∠2，∠3＝∠4．
①由条件可知：∠1＝∠3，依据是 两直线平行，同位角相等 ，∠2＝∠4，依据是 等量代换 ．
②反射光线BC与EF平行，依据是 同位角相等，两直线平行 ．
（2）解决问题：
如图2，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b镜反射，若b射出的光线n平行于m，且∠1＝42°，则∠2＝ 84° ；∠3＝ 90° ．
【分析】（1）根据平行线的判定与性质逐一求解可得；
（2）根据入射角等于反射角得出∠1＝∠4，∠5＝∠7，求出∠6，根据平行线性质即可求出∠2，求出∠5，根据三角形内角和求出∠3即可．
【解答】解：（1）①由条件可知：∠1＝∠3，依据是：两直线平行，同位角相等；∠2＝∠4，依据是：等量代换；
②反射光线BC与EF平行，依据是：同位角相等，两直线平行；
故答案为：①两直线平行，同位角相等；等量代换．②同位角相等，两直线平行．
（2）如图，
∵∠1＝42°，
∴∠4＝∠1＝42°，
∴∠6＝180°﹣42°﹣42°＝96°，
∵m∥n，
∴∠2+∠6＝180°，
∴∠2＝84°，
∴∠5＝∠7＝，
∴∠3＝180°﹣48°﹣42°＝90°．
故答案为：84°，90°．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
【即学即练5】（2021秋•南关区期末）如图，已知AB∥DC，AC⊥BC，AC平分∠DAB，∠B＝50°，求∠D的大小．
阅读下面的解答过程，并填括号里的空白（理由或数学式）．
解：∵AB∥DC（ 已知 ），
∴∠B+∠DCB＝180°（ 两直线平行，同旁内角互补 ）．
∵∠B＝ 50° （已知），
∴∠DCB＝180°﹣∠B＝180°﹣50°＝130°．
∵AC⊥BC（已知），
∴∠ACB＝ 90° （垂直的定义）．
∴∠2＝ 40° ．
∵AB∥DC（已知），
∴∠1＝ 40° （ 两直线平行，内错角相等 ）．
∵AC平分∠DAB（已知），
∴∠DAB＝2∠1＝ 80° （角平分线的定义）．
∵AB∥DC（已知），
∴ ∠ADC +∠DAB＝180°（两条直线平行，同旁内角互补）．
∴∠D＝180°﹣∠DAB＝ 100° ．
【分析】根据平行线的性质两直线平行，同旁内角互补，两直线平行，内错角相等解答即可．
【解答】解：∵AB∥DC（ 已知），
∴∠B+∠DCB＝180°（ 两直线平行，同旁内角互补）．
∵∠B＝50°（已知），
∴∠DCB＝180°﹣∠B＝180°﹣50°＝130°．
∵AC⊥BC（已知），
∴∠ACB＝90°（垂直的定义）．
∴∠2＝40°．
∵AB∥DC（已知），
∴∠1＝40°（ 两直线平行，内错角相等）．
∵AC平分∠DAB（已知），
∴∠DAB＝2∠1＝80°（角平分线的定义）．
∵AB∥DC（已知），
∴∠ADC+∠DAB＝180°（两条直线平行，同旁内角互补）．
∴∠D＝180°﹣∠DAB＝100°．
故答案为：已知；两直线平行，同旁内角互补；50°；90°；40°；40°；两直线平行，内错角相等；80°；∠ADC；100°．
【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，同旁内角互补，两直线平行，内错角相等解答．
【即学即练6】（2021秋•长春期末）已知AM∥CN，点B在直线AM、CN之间，AB⊥BC于点B．
（1）如图1，请直接写出∠A和∠C之间的数量关系： ∠A+∠C＝90° ．
（2）如图2，∠A和∠C满足怎样的数量关系？请说明理由．
（3）如图3，AE平分∠MAB，CH平分∠NCB，AE与CH交于点G，则∠AGH的度数为 45° ．
【分析】（1）过点B作BE∥AM，利用平行线的性质即可求得结论；
（2）过点B作BE∥AM，利用平行线的性质即可求得结论；
（3）利用（2）的结论和三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和即可求得结论．
【解答】解：（1））过点B作BE∥AM，如图，
∵BE∥AM，
∴∠A＝∠ABE．
∵BE∥AM，AM∥CN，
∴BE∥CN．
∴∠C＝∠CBE．
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°．
∴∠A+∠C＝∠ABE+∠CBE＝∠ABC＝90°．
故答案为：∠A+∠C＝90°；
（2）∠A和∠C满足：∠C﹣∠A＝90°．理由：
过点B作BE∥AM，如图，
∵BE∥AM，
∴∠A＝∠ABE．
∵BE∥AM，AM∥CN，
∴BE∥CN．
∴∠C+∠CBE＝180°．
∴∠CBE＝180°﹣∠C．
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°．
∴∠ABE+∠CBE＝90°．
∴∠A+180°﹣∠C＝90°．
∴∠C﹣∠A＝90°．
（3）设CH与AB交于点F，如图，
∵AE平分∠MAB，
∴∠GAF＝∠MAB．
∵CH平分∠NCB，
∴∠BCF＝∠BCN．
∵∠B＝90°，
∴∠BFC＝90°﹣∠BCF．
∵∠AFG＝∠BFC，
∴∠AFG＝90°﹣∠BCF．
∵∠AGH＝∠GAF+∠AFG，
∴∠AGH＝∠MAB+90°﹣∠BCN＝90°﹣（∠BCN﹣∠MAB）．
由（2）知：∠BCN﹣∠MAB＝90°，
∴∠AGH＝90°﹣45°＝45°．
故答案为：45°．
【点评】本题主要考查了垂线的性质，平行线的性质，过点B作BE∥AM是解题的关键．
知识点02 用尺规作角
1．作图—尺规作图的定义
（1）尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图．只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题．
（2）基本要求
它使用的直尺和圆规带有想像性质，跟现实中的并非完全相同．
直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧．只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上画刻度．
圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度．它只可以拉开成你之前构造过的长度．
声明：2、作一个角等于已知角
作一个角等于已知角的主要作用是作三角形和作平行线等．
利用尺规作一个角等于已知角.
已知：∠AOB(如图2－4－22所示)．
求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB.
图2－4－22
作法：
(1)如图2－4－23所示，作射线O′B′；
(2)以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA于点D，交OB于点C；
(3)以点O′为圆心，以OC长为半径作弧，交O′B′于点C′；
(4)以点C′为圆心，以CD长为半径画弧，交前面的弧于点D′；
(5)过点D′作射线O′A′.
则∠A′O′B′就是所求作的角．
图2－4－23
【知识拓展1】（2021秋•无为市期末）下列尺规作图的语句正确的是（ ）
A．延长射线AB到D
B．以点D为圆心，任意长为半径画弧
C．作直线AB＝3cm
D．延长线段AB至C，使AC＝BC
【分析】根据线段、射线以及直线的概念，利用尺规作图的方法进行判断即可得出正确的结论．
【解答】解：A．根据射线AB是从A向B无限延伸，故延长射线AB到D是错误的；
B．根据圆心和半径长即可确定弧线的形状，故以点D为圆心，任意长为半径画弧是正确的；
C．根据直线的长度无法测量，故作直线AB＝3cm是错误的；
D．延长线段AB至C，则AC＞BC，故使AC＝BC是错误的；
故选：B．
【点评】本题主要考查了尺规作图的定义的运用，解题时注意：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图，只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题．
【即学即练1】（2020秋•大连期末）下列作图语句中，叙述正确的是（ ）
A．延长线段AB到点C，使BC＝AB
B．画直线AB的中点C
C．画直线AB＝6cm
D．延长射线OA到点B
【分析】根据直线、射线和线段的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、延长线段AB到点C，使得BC＝AB，说法正确，故符合题意．
B、画直线AB的中点C，说法错误，只有线段有中点，故不合题意；
C、画射线OC＝3cm，说法错误，射线的长度无法度量，故不合题意；
D、延长射线OA到点B，说法错误，射线向一端无限延伸，故不合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了直线、射线、线段的概念，解题时注意直线、射线没有大小．
【即学即练2】只用 没有刻度的 的直尺和 圆规 进行的作图称为尺规作图．
【分析】尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图．只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题．
【解答】解：只用没有刻度的直尺和圆规进行的作图称为尺规作图．
故答案为：没有刻度的，圆规．
【点评】本题主要考查了尺规作图的定义，其基本要求：它使用的直尺和圆规带有想像性质，跟现实中的并非完全相同．直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧．只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上画刻度．圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度．它只可以拉开成你之前构造过的长度．
【即学即练3】（2021春•铁岭月考）下列作图语句错误的个数是（ ）
①以点O为圆心作弧；②延长射线OM到点A；③延长线段AB到C，使BC＝AB；④过三点A，B，C作直线．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】画弧要确定圆心与半径，则可对①进行判断；根据射线的定义对②进行判断；根据线段的定义对③进行判断；根据两点确定一条直线对④进行判断．
【解答】解：以点O为圆心，OA为半径作弧，所以①错误；
延长线段OM到点A，所以②错误；
延长线段AB到C，使BC＝AB；所以③正确；
过点A，B作直线，所以④错误．
故选：C．
【点评】本题考查了作图﹣尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图．只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题．
【即学即练4】（2021春•龙口市月考）下列画图语句中，正确的是（ ）
A．画射线OP＝3cm B．画出A、B两点的距离
C．延长射线OA D．连接A、B两点
【分析】利用射线的定义对A、C进行判断；根据两点间的距离的定义和线段的定义对B、D进行判断．
【解答】解：A、射线OP无限长，所以A选项不符合题意；
B、量出A、B点的距离，所以B选项不符合题意；
C、射线OA不需要延长，只能反向延长射线OA，所以C选项不符合题意；
D、用直尺可以连接A、B两点，所以D选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了作图﹣尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图．只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题．
【即学即练5】（2011春•巴东县校级期末）作图题的书写步骤是 已知 、 求作 、 作法 ，而且要画出 图形 ，写出 结论 ，保留 作图痕迹 ．
【分析】根据作图题的书写步骤和尺规作图的要求作答．
【解答】解：作图题的书写步骤是已知、求作、作法，而且要画出图形，写出结论，保留作图痕迹．
故答案为：已知、求作、作法，图形，结论，作图痕迹．
【点评】本题考查了尺规作图的书写步骤和尺规作图的要求，是基础题型，比较简单．
【即学即练6】（2019秋•成安县期末）下列画图语句中，正确的是（ ）
A．画射线OP＝3cm B．连结A、B两点
C．画出直线AB的中点 D．画出A、B两点的距离
【分析】根据直线，线段，射线的定义以及基本作图判断即可．
【解答】解：A、画射线OP＝3cm，错误，射线没有长度，本选项不符合题意．
B、连结A、B两点，正确．本选项符合题意．
C、画出直线AB的中点，错误，直线没有长度，本选项不符合题意．
D、画出A、B两点的距离，错误，距离的一个数值，应该是量出A，B两点的距离．本选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查直线，线段，射线的定义，基本作图等知识，解题的关键是掌握基本作图，属于中考基础题．
【即学即练7】（2018秋•宁阳县期末）下列语句是有关几何作图的叙述．
①以O为圆心作弧；②延长射线AB到点C；③作∠AOB，使∠AOB＝∠1；④作直线AB，使AB＝a；⑤过三角形ABC的顶点C作它的对边AB的平行线．其中正确的有 ③⑤ ．（填序号即可）
【分析】①根据确定圆的两个条件：圆心和半径判断即可；
②根据射线的性质判断即可；
③根据基本作图：作一个角等于已知角判断即可；
④根据直线的性质判断即可；
⑤根据平行公理判断即可．
【解答】解：①以O为圆心作弧可以画出无数条弧，因为半径不固定，所以叙述错误；
②射线AB是由A向B向无限延伸，所以叙述错误；
③根据作一个角等于已知角的作法，可以作一个角∠AOB，使∠AOB等于已知∠1，所以叙述正确；
④直线可以向两方无限延伸，所以叙述错误；
⑤根据平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，可以过三角形ABC的顶点C作它的对边AB的平行线，所以叙述正确．
所以正确的有③⑤．
故答案为：③⑤．
【点评】本题考查作图﹣尺规作图的定义，涉及到直线、射线及圆、角、平行线的知识，属于基础题，注意掌握射线只能反方向延长，直线不能延长，确定圆有两个条件：圆心和半径．
【即学即练8】如图，利用尺规，在△ABC的边AC上方作∠CAE＝∠ACB，在射线AE上截取AD＝BC，连接CD，并证明：CD∥AB（尺规作图要求保留作图痕迹，不写作法）
【分析】利用尺规作∠EAC＝∠ACB即可，先证明△ACD≌△CAB，再证明CD∥AB即可．
【解答】解：图象如图所示，
∵∠EAC＝∠ACB，
∴AD∥CB，
∵AD＝BC，∠DAC＝∠ACB，AC＝CA，
∴△ACD≌△CAB（SAS），
∴∠ACD＝∠CAB，
∴AB∥CD．
【点评】本题考查尺规作图、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用尺规作一个角等于已知角，属于基础题，中考常考题型．
【即学即练9】下列语句表示的图形是（只填序号）
①过点O的三条直线与另条一直线分别相交于点B、C、D三点： （3） ．
②以直线AB上一点O为顶点，在直线AB的同侧画∠AOC和∠BOD： （2） ．
③过O点的一条直线和以O为端点两条射线与另一条直线分别相交于点B、C、D三点： （1） ．
【分析】图（1）为过点O有两条射线OC、OD，一条直线AB；图（2）为以直线AB上一点O为顶点，在直线AB的同侧画∠AOC和∠BOD，图（3）为过点O的三条直线AB、OC、OD与另一条直线分别相交于点B、C、D三点．根据语句及图形特征进行选择．
【解答】解：①过点O的三条直线与另一条直线分别相交于点B、C、D三点的图形为（3）；
②以直线AB上一点O为顶点，在直线AB的同侧画∠AOC和∠BOD的图形为（2）；
③过O点的一条直线和以O为端点两条射线与另一条直线分别相交于点B、C、D三点的图形为（1）．
故答案为：（3），（2），（1）．
【点评】本题考查了尺规作图的定义．关键是理解语句，确定相应的图形．
能力拓展
类型一、平行线的性质
例1、如图，已知AB∥CD，AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，求∠APC的度数.
【答案与解析】解：作PM∥AB，交AC于点M，如图：
∵AB∥CD
∴∠CAB+∠ACD=180°
∵PA平分∠CAB，PC平分∠ACD
∴∠1+∠4=90°
∵AB∥PM∥CD
∴∠1=∠2，∠3=∠4
∴∠2+∠3=90°
∴∠APC=90°
【总结升华】平行线与角的关系非常密切，平行线的性质都是以角的关系来体现，在求角度的过程中，如果能够适时运用平行线的性质，将会使问题的解决显得简便快捷．
【变式】如图，直线AB∥CD，∠C=44°，∠E为直角，则∠1等于（ ）
A．132° B．134° C．136° D．138°
【答案】B
解：
过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠C=∠FEC，∠BAE=∠FEA，
∵∠C=44°，∠AEC为直角，
∴∠FEC=44°，∠BAE=∠AEF=90°﹣44°=46°，
∴∠1=180°﹣∠BAE=180°﹣46°=134°.
类型二、两平行线间的距离
例2、如图，已知，l1∥l2，C1在l1上，并且C1A⊥l2，A为垂足，C2，C3是l1上任意两点，点B在l2上．设△ABC1的面积为S1，△ABC2的面积为S2，△ABC3的面积为S3，小颖认为S1=S2=S3，请帮小颖说明理由．
【思路点拨】根据两平行线间的距离相等，即可解答．
【答案与解析】解：∵直线l1∥l2，
∴△ABC1，△ABC2，△ABC3的底边AB上的高相等，
∴△ABC1，△ABC2，△ABC3这3个三角形同底，等高，
∴△ABC1，△ABC2，△ABC3这些三角形的面积相等．
即S1=S2=S3．
【总结升华】本题考查了平行线之间的距离，解本题的关键是明确两平行线间的距离相等．
【变式】下图是一个方形螺线．已知相邻均为1厘米，则螺线总长度是 厘米.
【答案】35
类型三、平行的性质与判定综合应用
例3、如图所示，在长为50m，宽为22m的长方形地面上修筑宽度都为2 m的道路，余下的部分种植花草，求种植花草部分的面积．
【思路点拨】因种植花草部分比较分散，且有的是不规则的图形，所以直接求其面积较困难．因小路都是宽度相同的长方形，所以可想到把小路平移到一起，这样种植花草部分将汇集成一个长方形，问题便迎刃而解．
【答案与解析】解：如图所示②把几条2米宽的小路分别平移到大长方形的上边缘和左边缘，则种植花草部分汇集成一个长方形，
显然，这个长方形的长是50-2＝48(m)，宽是22-2＝20(m)，于是种植花草部分的面积为48×20＝960(m2)．
【总结升华】若分步计算则较繁琐．但采用“平移”的手段从整体上把握，问题便迅速求解．
【变式】如图①，在宽为20m、长为30m的矩形地面上修建两条同样宽度的道路，余下部分作为耕地．根据图中数据，可得耕地的面积为 ( )
A．600m2 B．551m2 C．550m2 D．500m2
【答案】B
例4、如图所示，∠ABC的边BC与∠DEF的边DE交于点K，下面给出三个论断：①∠B＝∠E；②AB∥DE；③BC∥EF．请你以其中的两个论断为条件，填入“已知”栏中，以一个论断为结论，填人“试说明”栏中，使之成为一个完整的正确命题，并将理由叙述出来．
已知：如图所示，∠ABC的边BC与∠DEF的边DE交于点K，________，________，试说明________．
【答案与解析】解：三个论断分别可以组成①②③；①③②；②③①三种不同情形的命题，选择其中任何一个即可．
以①②③为例，说明如下
已知：如图所示，∠ABC的边BC与∠DEF的边DE交于点K，∠B＝∠E，AB∥DE，试说明BC∥EF．
理由叙述：因为AB∥DE，所以∠B＝∠CKD．
又因为∠B＝∠E，所以∠E＝∠CKD，所以BC∥EF．
【总结升华】此类问题具有较强的灵活性，解决这类题的基本思路是先写出可能的结果，再判断其是否正确．
【变式】已知，如图，∠1=∠2，∠3=65°，则∠4＝ .
【答案】115°
例5、如图，AB∥CD，点M，N分别为AB，CD上的点.
（1）若点P1在两平行线内部，∠BMP1＝45°，∠DNP1＝30°，则∠MP1N＝ ；
（2）若P1，P2在两平行线内部，且P1P2不与AB平行，如图，请你猜想∠AMP1+∠P1 P2N与∠MP1 P2+∠P2ND的关系，并证明你的就论；
（3）如图，若P1，P2，P3在两平行线内部，顺次连结M，P1，P2，P3，N，且P1P2，P2P3不与AB平行，直接写出你得到的就论.
【答案与解析】解：（1）75°；
（2）结论：∠AMP1+∠P1 P2N＝∠MP1 P2+∠P2ND
证明：如图，分别过P1，P2作P1Q1∥AB，P2Q2∥AB.
又∵ AB∥CD，∴ ∠AMP1＝∠1，∠2＝∠3，∠4＝∠P2ND.
∴ ∠AMP1+∠P1 P2N＝∠AMP1+∠3+∠4＝∠1+∠2+∠P2ND＝∠MP1 P2+∠P2ND.
（3）∠BMP1+∠P1 P2P3+∠P3 ND＝∠MP1 P2+∠P2 P3N.
【总结升华】通过作平行线，问题便迅速得到解决.
【变式】如图所示，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐角∠A是120°，第二次拐的角∠B是150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C是( )
A．120° B．130° C．140° D．150°
【答案】D
类型四：尺规作图的定义
例6. 下列作图属于尺规作图的是( )
A．用三角尺作AB的平行线
B．用刻度尺画线段AB＝3 cm
C．用直尺和圆规作直线AB的平行线
D．用量角器画∠AOB的平分线OC
[解析] C 选项A和D中用的画图工具不是直尺和圆规；选项B中用的是带有刻度的直尺；只有选项C符合尺规作图的定义．
[归纳总结] 判断一种作图是否为尺规作图，关键是看它所使用的作图工具，如果作图工具是圆规和没有刻度的直尺，那它就是尺规作图，否则就不是尺规作图．
类型五：作一个角等于已知角
例7. 如图2－4－24所示，已知∠AOB，求作∠CBO，使∠CBO＝∠AOB，交OA于点C.
图2－4－24
[解析] 欲作∠CBO＝∠AOB，实质是以OB为一边，在OB同侧作∠CBO＝∠AOB.
解： 作法：
(1)以点O为圆心，以适当的长为半径作弧，交OA于点D，交OB于点E；
(2)以点B为圆心，OD长为半径作弧，交BO于点F；
(3)以点F为圆心，以DE长为半径作弧，交前面的弧于点G；
(4)连接并延长BG交OA于点C.如图所示，∠CBO为所求作的角．
类型六：作已知角的和、差、倍
例8. 如图2－4－25所示，已知∠α，∠β，求作一个角，使它等于∠α与∠β的和．
图2－4－25
[解析] 要作两个角的和，就是先作一个角等于已知角，再以这个角的一边为一边，在角的外部再作一个角等于另一个角，得到的新角就是这两个角的和．
图2－4－26
解： 如图所示，先作一个角等于∠β，再以这个角的一边作一边，在外部作一个角等于∠α，得到的新角就是∠α和∠β的和．
[归纳总结] 作已知角的和、差、倍都是先作一个角等于已知的一个角，再在此角的基础上作其他角，区别就在于“和”或“整数倍”是在角的外部作角，“差”则在角的内部作角．
分层提分
题组A 基础过关练
一．选择题（共5小题）
1．（2021秋•杜尔伯特县期末）如图，已知l1∥l2，∠A＝45°，∠2＝100°，则∠1的度数为（ ）
A．50° B．55° C．45° D．60°
【分析】根据平角的定义得出∠ACB＝80°，根据三角形内角和得到∠ABC＝55°，再根据平行线的性质即可得解．
【解答】解：∵∠2＝100°，
∴∠ACB＝180°﹣100°＝80°，
∵∠A＝45°，
∴∠ABC＝180°﹣45°﹣80°＝55°，
∵l1∥l2，
∴∠1＝∠ABC＝55°，
故选：B．
【点评】此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
2．（2020秋•历下区期末）如图，将长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C的对应点为E，若∠CBD＝35°，则∠AFB的度数为（ ）
A．70° B．75° C．80° D．85°
【分析】根据折叠的性质，可以得到∠EBC的度数，然后再根据平行线的性质即可求解．
【解答】解：由折叠的性质得到，∠EBD＝∠CBD，
∵∠CBD＝35°，
∴∠EBC＝2∠CBD＝70°，
∵AD∥BC，
∴∠AFB＝∠EBC＝70°，
故选：A．
【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质及折叠的性质是解题的关键．
3．如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α、β和γ的关系是（ ）
A．β＝α+γ B．α+β+γ＝180° C．α+β﹣γ＝90° D．β+γ﹣α＝180°
【分析】此题可以构造辅助线，利用三角形的外角的性质以及平行线的性质建立角之间的关系．
【解答】解：延长DC交AB与G，延长CD交EF于H．
在直角△BGC中，∠1＝90°﹣α；△EHD中，∠2＝β﹣γ，
∵AB∥EF，
∴∠1＝∠2，
∴90°﹣α＝β﹣γ，即α+β﹣γ＝90°．
故选：C．
【点评】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．
4．下列画图语句中，正确的是（ ）
A．画射线OP＝3 cm B．画出A、B两点的距离
C．画出A、B两点的中点 D．连接A、B两点
【分析】直接利用基本作图的定义结合射线、线段的定义与性质分析得出答案．
【解答】解：A、画射线OP＝3 cm，错误，射线没有长度，故此选项不合题意；
B、画出A、B两点的距离，错误，应该是量出A、B两点的距离，故此选项不合题意；
C、画出A、B两点的中点，错误，应该是画出线段AB的中点，故此选项不合题意；
D、连接A、B两点，正确，符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了尺规作图的定义，正确把握相关定义是解题关键．
5．在下列各题中，属于尺规作图的是（ ）
A．利用三角板画45°的角
B．用直尺和三角板画平行线
C．用直尺画一工件边缘的垂线
D．用圆规在已知直线上截取一条线段等于已知线段
【分析】尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图．只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题．
【解答】解：A、利用三角板画45°的角不符合尺规作图的定义，错误；
B、用直尺和三角板画平行线不符合尺规作图的定义，错误；
C、用直尺画一工件边缘的垂线不符合尺规作图的定义，错误；
D、用圆规在已知直线上截取一条线段等于已知线段符合尺规作图的定义，正确．
故选：D．
【点评】本题考查尺规作图的定义，解题的关键是理解尺规作图的定义，属于中考基础题．
二．填空题（共3小题）
6．（2021秋•道里区期末）如图，∠AOB内有一点P，过点P画PC∥OB，PD∥OA，∠AOB＝60°，则∠CPD的度数为 60或120 度．
【分析】根据题意补全图形再根据平行线的性质求角的度数即可．
【解答】解：根据题意作图如下：
由图知，当C点和D点在P点同侧时∠CPD＝∠AOB＝60°，
当C点和D点分别在P点两侧时∠CPD＝180°﹣∠AOB＝180°﹣60°＝120°，
故答案为：60或120．
【点评】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
7．（2019秋•辉县市期末）一个小区大门的栏杆如图所示，BA垂直地面AE于A，CD平行于地面AE，那么∠ABC+∠BCD＝ 270 度．
【分析】作CH⊥AE于H，如图，根据平行线的性质得∠ABC+∠BCH＝180°，∠DCH+∠CHE＝180°，则∠DCH＝90°，于是可得到∠ABC+∠BCD＝270°．
【解答】解：作CH⊥AE于H，如图，
∵AB⊥AE，CH⊥AE，
∴AB∥CH，
∴∠ABC+∠BCH＝180°，
∵CD∥AE，
∴∠DCH+∠CHE＝180°，
而∠CHE＝90°，
∴∠DCH＝90°，
∴∠ABC+∠BCD＝180°+90°＝270°．
故答案为270．
【点评】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
8．（2020秋•石狮市期末）如图，AB∥CD，∠EGB＝50°，则∠CHG的大小为 130° ．
【分析】根据平行线的性质可得∠EHD＝∠EGB＝50°，再利用邻补角的性质可求解．
【解答】解：∵AB∥CD，∠EGB＝50°，
∴∠EHD＝∠EGB＝50°，
∴∠CHG＝180°﹣∠EHD＝130°．
故答案为：130°．
【点评】本题主要考查平行线的性质，邻补角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
三．解答题（共4小题）
9．（2021秋•临漳县期末）探究：如图①，DE∥BC，EF∥AB，若∠ABC＝50°，求∠DEF的度数．
请将下面的解答过程补充完整，并填空．
解：因为DE∥BC，
所以∠DEF＝ ∠EFC （ 两直线平行，内错角相等 ）．
因为EF∥AB，
所以 ∠EFC ＝∠ABC（ 两直线平行，同位角相等 ）．
所以∠DEF＝∠ABC（等量代换）．
因为∠ABC＝50°，
所以∠DEF＝ 50 °．
应用：如图②，DE∥BC，EF∥AB，若∠ABC＝65°，求∠DEF的度数．
【分析】探究：如图①，根据平行线的性质求解即可；
应用：如图②，根据平行线的性质求解即可．
【解答】解：探究：如图①，
因为DE∥BC，
所以∠DEF＝∠EFC（两直线平行，内错角相等），
因为EF∥AB，
所以∠EFC＝∠ABC（两直线平行，同位角相等），
所以∠DEF＝∠ABC（等量代换），
因为∠ABC＝50°，
所以∠DEF＝50°．
故答案为：∠EFC；两直线平行，内错角相等；∠EFC；两直线平行，同位角相等；50；
应用：如图②，
∵DE∥BC，∠ABC＝65°，
∴∠D＝∠ABC＝65°，
∵EF∥AB，
∴∠D+∠DEF＝180°，
∴∠DEF＝180°﹣65°＝115°．
【点评】此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，内错角相等”、“两直线平行，同位角相等”及“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．
10．（2021春•原州区期末）如图，AD∥BC，∠CAE的平分线是AD，∠C＝65°．请你计算出∠DAE、∠CAB和∠B的度数．
【分析】根据平行线的性质及角平分线的定义求解即可．
【解答】解：∵AD∥BC，∠C＝65°，
∴∠DAC＝∠C＝65°，
∵∠CAE的平分线是AD，
∴∠DAE＝∠DAC＝65°，∠CAE＝2∠DAC＝130°，
∵AD∥BC，
∴∠B＝∠DAE＝65°，
∵∠CAB+∠CAE＝180°，
∴∠CAB＝180°﹣130°＝50°．
【点评】此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，内错角相等”及“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．
11．（2021春•敦化市期末）如图，已知：AE∥BF，∠A＝∠F，证明：∠C＝∠D．
【分析】由平行线的性质可得∠F＝∠AED，从而可有∠A＝∠AED，则可判断AB∥DF，即可证明∠C＝∠D．
【解答】证明：∵AE∥BF，
∴∠F＝∠AED，
∵∠A＝∠F，
∴∠A＝∠AED，
∴AB∥DF，
∴∠C＝∠D．
【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行内错角相等．
12．（2021春•南丹县期末）如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC、CB上，且DE∥BC，EF∥AB，若∠ABC＝65°，求∠DEF的度数．请将下面的解答过程补充完整：
解：∵DE∥BC（ 已知 ），
∴∠DEF＝∠CFE（ 两直线平行，内错角相等 ），
∵EF∥AB，
∴ ∠CFE ＝∠ABC（ 两直线平行，同位角相等 ），
∴∠DEF＝∠ABC（ 等量代换 ）．
∵∠ABC＝65°，
∴∠DEF＝ 65°． ．
【分析】根据DE∥BC，可推出∠DEF＝∠CFE，根据EF∥AB，可推出∠CFE＝∠ABC，即可证∠DEF＝∠ABC＝65°．
【解答】解：∵DE∥BC（已知），
∴∠DEF＝∠CFE（两直线平行，内错角相等），
∵EF∥AB
∴∠CFE＝∠ABC（两直线平行，同位角相等），
∴∠DEF＝∠ABC（等量代换），
∵∠ABC＝65°，
∴∠DEF＝65°．
故答案为：已知，两直线平行，内错角相等，∠CFE，两直线平行，同位角相等，等量代换，65°．
【点评】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质并能熟练应用以及能详细写出推理过程是解题的关键．
题组B 能力提升练
一．选择题（共6小题）
1．（2020秋•南岸区期末）如图，D是∠ABC的边BC上一点，DE∥BA，∠CBE和∠CDE的平分线交于点F，若∠F＝α，则∠ABE的大小为（ ）
A．α B．α C．2α D．
【分析】由角平分线的定义可得∠EBF＝∠CBF，∠EDF＝∠CDF，由三角形的外角性质可得∠EOF＝∠EBF+∠E，∠EOF＝∠EDF+∠F，∠CBF+∠F＝∠CDF，从而可求解．
【解答】解：如图，
∵∠CBE和∠CDE的平分线交于点F，
∴∠EBF＝∠CBF，∠EDF＝∠CDF，
∵∠EOF＝∠EBF+∠E，∠EOF＝∠EDF+∠F，∠CBF+∠F＝∠CDF，
∴∠EBF+∠E＝∠EDF+∠F，∠EDF＝∠CBF+∠F，
∴∠CDF﹣∠F+∠E＝∠CDF+∠F，
∴∠E＝2∠F，
即∠E＝2α，
∵DE∥BA，
∴∠ABE＝∠E＝2α．
故选：C．
【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系，求得∠E＝2α．
2．（2021秋•上思县期中）如图所示，若AB∥DE，且∠E＝55°，则∠B+∠C的度数是（ ）
A．135° B．125° C．55° D．45°
【分析】利用平行线的性质结合三角形的外角的性质解决问题即可．
【解答】解：∵AB∥DE，
∴∠E＝∠BFE＝55°，
∵∠BFE＝∠B+∠C，
∴∠B+∠C＝55°，
故选：C．
【点评】本题考查平行线的性质，三角形的外角等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
3．（2021•临沭县模拟）如图，已知AB∥CD，∠A＝56°，∠E＝18°，则∠C的度数是（ ）
A．32° B．34° C．36° D．38°
【分析】设AE与CD交于点O，由AB∥CD，利用“两直线平行，同位角相等”可得出∠DOE的度数，再利用三角形外角的性质，即可求出∠C的度数．
【解答】解：设AE与CD交于点O，如图所示：
∵AB∥CD，∠A＝56°，
∴∠DOE＝∠A＝56°．
∵∠DOE＝∠C+∠E，∠E＝18°，
∴∠C＝∠DOE﹣∠E＝56°﹣18°＝38°．
故选：D．
【点评】本题考查了平行线的性质以及三角形外角的性质，解题的关键是：利用“两直线平行，同位角相等”找出∠DOE的度数．
4．（2021•河南模拟）将含30°角的直角三角尺如图摆放，直线a∥b，若∠1＝65°，则∠2的度数为（ ）
A．45° B．50° C．55° D．60°
【分析】由已知条件和平行线的性质可求∠3（∠3+∠4+∠1＝180°），再根据对顶角的性质可以求出∠2的度数．
【解答】解：如图所示：
∵a∥b，
∴∠3+∠4+∠1＝180°，
∵∠4＝60°，∠1＝65°，
∴∠3＝180°﹣∠4﹣∠1＝180°﹣60°﹣65°＝55°．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线的性质．牢固掌握平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．
5．（2021秋•常州期中）下列作图语句正确的是（ ）
A．连接AD，并且平分∠BAC B．延长射线AB
C．作∠AOB的平分线OC D．过点A作AB∥CD∥EF
【分析】根据基本作图的方法，逐项分析，从而得出正确的结论．
【解答】解：A．连接AD，不能同时使平分∠BAC，此作图错误；
B．只能反向延长射线AB，此作图错误；
C．作∠AOB的平分线OC，此作图正确；
D．过点A作AB∥CD或AB∥EF，此作图错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了作图﹣尺规作图的定义：用没有刻度的直尺和圆规作图，正确把握定义是解题关键．
6．下列作图不是尺规作图的是（ ）
A．用直尺和圆规作线段a等于已知线段
B．用直尺和圆规作一个角等于已知角
C．用刻度尺和圆规作一条10cm的线段
D．用直尺和圆规作一个三角形
【分析】根据五种基本作图判断即可．
【解答】解：A、用直尺和圆规作线段a等于已知线段，属于属于尺规作图，本选项不符合题意．
B、用直尺和圆规作一个角等于已知角，属于属于尺规作图，本选项不符合题意．
C、用刻度尺和圆规作一条10cm的线段，不属于属于尺规作图，本选项符合题意．
D、用直尺和圆规作一个三角形，属于属于尺规作图，本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查作图﹣尺规作图的定义，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
二．填空题（共4小题）
7．（2021秋•南岗区期末）如图，m∥n，l⊥n，垂足为点A，l交m于点B，点C在直线n上，请在直线m上取一点D，连接CD，过点D作DE⊥CD交直线l于点E，若∠BED＝60°，则∠ACD＝ 120或60 度．
【分析】分E在B上方、E'在B下方两种情况，画出图形，根据已知可得答案．
【解答】解：如图：
①当E在B上方时，
∵m∥n，l⊥n，
∴∠EBD＝90°，
∵∠BED＝60°，
∴∠BDE＝30°，
∵DE⊥CD，
∴∠BDC＝60°，
∵m∥n，
∴∠ACD＝180°﹣∠BDC＝120°，
②当E'在B下方时，
∠BD'E'＝30°，
∵CD'⊥D'E'，
∴∠DD'C＝60°，
∴∠ACD'＝60°，
综上所述，∠ACD为120°或60°，
故答案为：120或60．
【点评】本题考查平行线的性质及应用，解题的关键是分类画出图形，掌握两直线平行，同位角、内错角相等，同旁内角互补．
8．（2021秋•道里区期末）如图，a∥b，∠1＝∠2，∠3＝40°，则∠4等于 70 度．
【分析】根据两条直线平行，同旁内角互补可以得∠1+∠2＝140°，求出∠2，再利用平行线的性质得出∠4．
【解答】解：∵a∥b，
∴∠2+∠1+∠3＝180°，
∵∠1＝∠2，∠3＝40°，
∴∠2＝70°，
∴∠4＝70°，
故答案为：70
【点评】此题考查平行线的性质，关键是主要运用了平行线的性质解答．
9．（2020秋•成都期末）如图，把一条两边边沿互相平行的纸带折叠，若∠β＝56°，则∠α＝ 62° ．
【分析】由于纸片的两边平行，可得∠1＝∠β＝56°，由折叠可得重合的角相等，利用平角可求得∠α的度数．
【解答】解：如图所示：
∵纸片两边平行，
∴∠1＝∠β＝56°，
由折叠的性质得：2∠α+∠1＝180°，
∴2∠α+56°＝180°，
解得：∠α＝62°．
故答案为：62°．
【点评】本题考查了平行线的性质、翻折变换问题；找着重合的角，利用平角定义列出方程是解题的关键．
10．（2021春•沙坪坝区校级期中）如图，将一张长方形的纸片沿折痕EF翻折，使点B、C分别落在点M、N的位置，且∠AFM＝∠EFM，则∠NED＝ 36 °．
【分析】由折叠的性质可得：∠MFE＝∠EFC，得2∠MFA＝∠MFE，可设∠MFA＝x°，然后根据平角的定义，即可得方程：x+2x+2x＝180，解此方程即可求得答案．
【解答】解：折叠的性质可得：∠MFE＝∠EFC，
∴2∠MFA＝∠MFE，
设∠MFA＝x°，则∠MFE＝∠CFE＝2x°，
∵x+2x+2x＝180，
∴x＝36，
∴∠MFE＝72°＝∠BFE，
∵AB∥CD，
∴∠DEF＝∠BFE＝72°，
又∵NE∥MF，
∴∠DEN＝180°﹣72°﹣72°＝36°．
故答案为：36．
【点评】此题考查了折叠的性质、平行线的性质，解题的关键是注意方程思想与数形结合思想的应用．解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．
三．解答题（共4小题）
11．（2021秋•农安县期末）已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA、PD．
（1）如图1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度数；
（2）如图2，判断∠PAB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为 ∠CDP+∠PAB﹣APD＝180° ．
（3）如图3，在（2）的条件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠PAN+∠PAB＝∠APD，求∠AND的度数．
【分析】（1）过点P作EF∥AB，根据平行线的性质可得∠APE＝∠A＝50°，∠EPD＝180°﹣150°＝30°，即可求出∠APD的度数；
（2）过点P作EF∥AB，则AB∥EF∥CD，根据平行线的性质可得∠CDP＝∠DPF，∠FPA+∠PAB＝180°，又∠FPA＝∠DPF﹣APD，即可得出∠CDP+∠PAB﹣APD＝180°；
（3）PD交AN于点O，由AP⊥PD，得出∠APO＝90°，由∠PAN+∠PAB＝∠APD得出∠PAN+∠PAB＝90°，由∠POA+∠PAN＝90°，得出∠POA＝∠PAB，由对顶角相等得出∠NOD＝∠PAB，由角平分线的性质得出∠ODN＝∠PDC，即∠AND＝180°﹣（∠PAB+∠PDC），由（2）得：∠CDP+∠PAB﹣APD＝180°，代入计算即可求出∠AND的度数．
【解答】解：（1）如图1，过点P作EF∥AB，
∵∠A＝50°，
∴∠APE＝∠A＝50°，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠CDP+∠EPD＝180°，
∵∠D＝150°，
∴∠EPD＝180°﹣150°＝30°，
∴∠APD＝∠APE+∠EPD＝50°+30°＝80°；
（2）如图2，过点P作EF∥AB，则AB∥EF∥CD，
∴∠CDP＝∠DPF，∠FPA+∠PAB＝180°，
∵∠FPA＝∠DPF﹣APD，
∴∠DPF﹣APD+∠PAB＝180°，
∴∠CDP+∠PAB﹣APD＝180°，
故答案为：∠CDP+∠PAB﹣APD＝180°；
（3）如图3，PD交AN于点O，
∵AP⊥PD，
∴∠APO＝90°，
∵∠PAN+∠PAB＝∠APD，
∴∠PAN+∠PAB＝90°，
∵∠POA+∠PAN＝90°，
∴∠POA＝∠PAB，
∵∠POA＝∠NOD，
∴∠NOD＝∠PAB，
∵DN平分∠PDC，
∴∠ODN＝∠PDC，
∴∠AND＝180°﹣∠NOD﹣∠ODN
＝180°﹣（∠PAB+∠PDC），
由（2）得：∠CDP+∠PAB﹣APD＝180°，
∴∠CDP+∠PAB＝180°+∠APD，
∴∠AND＝180°﹣（∠PAB+∠PDC）
＝180°﹣（180°+∠APD）
＝180°﹣（180°+90°）
＝45°．
【点评】本题考查了平行线的性质及垂线，掌握平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
12．（2021秋•嵩县期末）已知一角的两边与另一个角的两边分别平行，试探索这两个角之间的关系，并说明你的结论．
（1）如图1所示，AB∥EF，BC∥DE，则∠1与∠2的关系是 ∠1＝∠2 ；
（2）如图2所示，AB∥EF，BC∥DE，则∠1与∠2的关系是 ∠1+∠2＝180° ；
（3）经过上述探索，我们可以得到一个结论（试用文字语言表述）： 一角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角要么相等，要么互补 ；
（4）若两个角的两边分别平行，且一个角比另一个角的2倍少30°，则这两个分别是多少度？
【分析】（1）由AB∥EF，BC∥DE，得∠1＝∠3，∠3＝∠2，那么∠1＝∠2．
（2）由AB∥EF，得∠1＝∠BGE．由BC∥DE，得∠2+∠BGE＝180°，故∠1+∠2＝180°．
（3）由（1）、（2）概括总结．
（4）根据（3）中的结论得到两个角的数量关系，从而解决此题．
【解答】解：（1）如图1．
∵AB∥EF，
∴∠1＝∠3．
∵BC∥DE，
∴∠3＝∠2．
∴∠1＝∠2．
故答案为：∠1＝∠2．
（2）∵AB∥EF，
∴∠1＝∠BGE．
∵BC∥DE，
∴∠2+∠BGE＝180°．
∴∠1+∠2＝180°．
故答案为：∠1+∠2＝180°．
（3）由（1）、（2）得：一角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角要么相等，要么互补．
（4）这这两个角分别是∠1、∠2，且∠1＝2∠2﹣30°．
∵∠1+∠2＝180°，
∴2∠2﹣30°+∠2＝180°．
∴∠2＝70°．
∴∠1＝2×70°﹣30°＝110°．
∴这两个角分别为70°、110°．
【点评】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解决本题的关键．
13．（2021秋•虎林市期末）（1）如图（1），AB∥EF．求证：∠BCF＝∠B+∠F．
（2）当点C在直线BF的右侧时，如图（2），若AB∥EF，则∠BCF与∠B、∠F的关系如何？请说明理由．
【分析】（1）过C作CD∥AB，推出AB∥CD∥EF，根据平行线性质得出∠B＝∠BCD，∠F＝∠FCD，即可得出答案；
（2）过C作CD∥AB，推出AB∥CD∥EF，根据平行线性质得出∠B+∠BCD＝180°，∠F+∠FCD＝180°，即可得出答案．
【解答】（1）证明：过C作CD∥AB，
∵AB∥EF，
∴CD∥AB∥EF，
∴∠B＝∠BCD，∠F＝∠FCD，
∴∠B+∠F＝∠BCF．
（2）∠B+∠F+∠BCF＝360°，
理由是：过C作CD∥AB，
则∠B+∠BCD＝180°，
又∵AB∥EF，AB∥CD，
∴CD∥EF∥AB，
∴∠F+∠FCD＝180°，
∴∠B+∠F+∠BCF＝360°．
【点评】本题考查了平行线的性质的应用，注意：两直线平行．内错角相等，两直线平行，同旁内角互补．
14．（2020秋•开江县期末）当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等．例如：在图①、图②中都有∠1＝∠2，∠3＝∠4．设镜子AB与BC的夹角∠ABC＝α．
（1）如图①，若α＝90°，判断入射光线EF与反射光线GH的位置关系，并说明理由．
（2）如图②，若90°＜α＜180°，入射光线EF与反射光线GH的夹角∠FMH＝β．探索α与β的数量关系，并说明理由．
（3）如图③，若α＝130°，设镜子CD与BC的夹角∠BCD为钝角，入射光线EF与镜面AB的夹角∠1＝x（0°＜x＜90°）．已知入射光线EF从镜面AB开始反射，经过n（n为正整数，且n≤3）次反射，当第n次反射光线与入射光线EF平行时，请直接写出∠BCD的度数（可用含x的代数式表示）．
【分析】（1）在△BEG中，∠2+∠3+α＝180°，α＝90°，可得∠2+∠3＝90°，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等可得，∠FEG+∠EGH＝180°，进而可得EF∥GH；
（2）在△BEG中，∠2+∠3+α＝180°，可得∠2+∠3＝180°﹣α，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等可得，∠MEG＝2∠2，∠MGE＝2∠3，在△MEG中，∠MEG+∠MGE+β＝180°，可得α与β的数量关系；
（3）分两种情况画图讨论：①当n＝3时，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等，及△GCH内角和，可得γ＝90°+m．②当n＝2时，如果在BC边反射后与EF平行，则α＝90°，与题意不符；则只能在CD边反射后与EF平行，根据三角形外角定义，可得∠G＝γ﹣50°，由EF∥HK，且由（1）的结论可得，γ＝140°．
【解答】解：（1）EF∥GH，
理由如下：在△BEG中，∠2+∠3+α＝180°，
∵α＝90°，
∴∠2+∠3＝90°，
∵∠1+∠2+∠FEG＝180°，∠3+∠4+∠EGH＝180°，∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠1+∠2+∠FEG+∠3+∠4+∠EGH＝360°，
∴∠FEG+∠EGH＝180°，
∴EF//GH；
（2）β＝2α﹣180°．
理由如下：在△BEG中，∠2+∠3+α＝180°，
∴∠2+∠3＝180°﹣α，
∵∠1＝∠2，∠1＝∠MEB，
∴∠2＝∠MEB，
∴∠MEG＝2∠2，
∵∠3＝∠4，∠4＝∠MGB∴∠3＝∠MGB，
∴∠MGE＝2∠3，
在△MEG中，∠MEG+∠MGE+β＝180°，
∴β＝180°﹣（∠MEG+∠MGE）＝180°﹣（2∠2+2∠3）＝180°﹣2（∠2+∠3）＝180°﹣2（180°﹣α）＝2α﹣180°；
（3）90°+m或140°．
理由如下：①当n＝3时，如下图所示：
∵∠BEG＝∠1＝x，
∴∠BGE＝∠CGH＝60°﹣x，
∴∠FEG＝180°﹣2∠1＝180°﹣2x，
∠EGH＝180°﹣2∠BGE＝180°﹣2（60°﹣x），
∵EF∥HK，
∴∠FEG+∠EGH+∠GHK＝360°，
则∠GHK＝120°，
则∠GHC＝30°，
由△GCH内角和，得γ＝90°+x．
②当n＝2时，如果在BC边反射后与EF平行，则α＝90°，
与题意不符；
则只能在CD边反射后与EF平行，
如下图所示：
根据三角形外角定义，得
∠G＝γ﹣＝50°，
由EF∥HK，且由（1）的结论可得，
∠G＝γ﹣50°＝90°，
则γ＝140°．
综上所述：γ的度数为：90°+x或140°．
【点评】本题考查了平行线的性质、列代数式，解决本题的关键是掌握平行线的性质，注意分类讨论思想的利用．
题组C 培优拔尖练
一．选择题（共1小题）
1．（2021春•红谷滩区校级期末）如图，将长方形ABCD沿线段EF折叠到EB'C'F的位置，若∠EFC'＝100°，则∠DFC'的度数为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
【分析】由轴对称的性质可求出∠EFC的度数，可由式子∠EFC+∠EFC'﹣180°直接求出∠DFC'的度数．
【解答】解：由翻折知，∠EFC＝∠EFC'＝100°，
∴∠EFC+∠EFC'＝200°，
∴∠DFC'＝∠EFC+∠EFC'﹣180°＝200°﹣180°＝20°，
故选：A．
【点评】本题考查了翻折变化（轴对称）的性质及角的计算，解题关键是熟练掌握并能够灵活运用轴对称变换的性质等．
二．填空题（共7小题）
2．（2021秋•香坊区校级期中）已知AB∥CD，∠ACD＝60°，∠BAE：∠CAE＝2：3，∠FCD＝4∠FCE，若∠AEC＝78°，则∠AFC＝ 88° ．
【分析】先求出∠CAB＝120°，在求出∠CAF的度数，在△ACE中求出∠ACE度数，设∠FCE＝x，则∠FCD＝4x，进而表示出∠ACF，再表示出∠ACE，求出x，进一步可求得结果．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠CAB＝180°﹣∠ACD＝180°﹣60°＝120°，
∵∠BAE：∠CAE＝2：3，
∴∠CAE＝120×＝72°，
∵∠AEC＝78°，
∴∠ACE＝180°﹣∠AEC﹣∠CAE
＝180°﹣78°﹣72°
＝30°，
设∠FCE＝x，则∠FCD＝4x，
∴∠ACF＝∠ACD﹣∠FCD＝60°﹣4x，
∴∠ACE＝∠ACF+∠ECF＝60°﹣3x，
∴60°﹣3x＝30°，
∴x＝10°，
∴∠ACF＝60°﹣40°＝20°，
∴∠AFC＝180°﹣∠ACF﹣∠CAE
＝180°﹣20°﹣72°
＝88°，
故答案是：88°．
【点评】本题考查了平行线性质，三角形内角和定理，角的和差关系等知识，解决问题的关键是弄清角与角的数量关系．
3．（2021春•东港区校级期末）把一张对边互相平行的纸条，折成如图所示，EF是折痕，若∠EFB＝32°，则下列结论：①∠C'EF＝32°；②∠AEC＝1480'；③∠BGE＝64°；④∠BFD＝116°．正确的有 3 个．
【分析】根据平行线的性质由AC′∥BD′，得到∠C′EF＝∠EFB＝32°；根据折叠的性质得∠C′EF＝∠FEC，则∠C′EC＝2×32°＝64°，利用平角的定义得到∠AEC＝180°﹣64°＝116°；再根据折叠性质有∠BFD＝∠EFD′，利用平角的定义得到∠BFD＝∠EFD′﹣∠BFE＝180°﹣2∠EFB＝180°﹣64°＝116°；根据平行线性质可得∠BGE＝∠C′EC＝2×32°．
【解答】解：∵AC′∥BD′，
∴∠C′EF＝∠EFB＝32°，所以①正确；
∵∠C′EF＝∠FEC，
∴∠C′EC＝2×32°＝64°，
∴∠AEC＝180°﹣64°＝116°＝6960′，所以②错误；
∴∠BFD＝∠EFD′﹣∠BFE＝180°﹣2∠EFB＝180°﹣64°＝116°，所以④正确；
∵∠BGE＝∠C′EC＝2×32°＝64°，所以③正确．
故答案为3．
【点评】本题考查的是平行线的性质及翻折变换的性质，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键．
4．（2021春•涡阳县期末）如图，AB∥CD，P2E平分∠P1EB，P2F平分∠P1FD，若设∠P1EB＝x°，∠P1FD＝y°则∠P1＝ （x+y） 度（用x，y的代数式表示），若P3E平分∠P2EB，P3F平分∠P2FD，可得∠P3，P4E平分∠P3EB，P4F平分∠P3FD，可得∠P4…，依次平分下去，则∠Pn＝ （）n﹣1（x+y） 度．
【分析】本题的关键是作过P1的辅助线MN∥AB，然后利用平行线的性质、角平分线的定义，结合归纳推理思想解决本题．
【解答】解：（1）如图，分别过点P1、P2作直线MN∥AB，GH∥AB，
∴∠P1EB＝∠MP1E＝x°．
又∵AB∥CD，
∴MN∥CD．
∴∠P1FD＝∠FP1M＝y°．
∴∠EP1F＝∠EP1M+∠FP1M＝x°+y°．
（2）∵P2E平分∠BEP1，P2F平分∠DFP1，
∴＝．
．
以此类推：，，...，．
故答案为：（x+y），（）n﹣1（x+y）．
【点评】主要考查平行线的性质及角平分线的定义，利用归纳推理的思想解决．
5．（2021春•辛集市期末）把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G，D、C分别在M、N的位置上，若∠EFG＝49°，则∠2﹣∠1＝ 16° ．
【分析】先利用平行线的性质得∠2＝∠DEG，∠EFG＝∠DEF＝49°，再根据折叠的性质得∠DEF＝∠GEF＝49°，所以∠2＝98°，接着利用互补计算出∠1，然后计算∠2﹣∠1．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠2＝∠DEG，∠EFG＝∠DEF＝49°，
∵长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G，
∴∠DEF＝∠GEF＝49°，
∴∠2＝2×49°＝98°，
∴∠1＝180°﹣98°＝82°，
∴∠2﹣∠1＝98°﹣82°＝16°．
故答案为16°．
【点评】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．也考查了折叠的性质．
6．（2021春•乐清市期末）将一副三角板如图1所示摆放，直线GH∥MN，现将三角板ABC绕点A以每秒1°的速度顺时针旋转，同时三角板DEF绕点D以每秒2°的速度顺时针旋转，设时间为t秒，如图2，∠BAH＝t°，∠FDM＝2t°，且0≤t≤150，若边BC与三角板的一条直角边（边DE，DF）平行时，则所有满足条件的t的值为 30或120 ．
【分析】根据题意得∠HAC＝∠BAH+∠BAC＝t°+30°，∠FDM＝2t°，（1）如图1，当DE∥BC时，延长AC交MN于点P，分两种情况讨论：①DE在MN上方时，②DE在MN下方时，∠FDP＝2t°﹣180°，列式求解即可；（2）当BC∥DF时，延长AC交MN于点I，①DF在MN上方时，∠FDN＝180°﹣2t°，②DF在MN下方时，∠FDN＝180°﹣2t°，列式求解即可．
【解答】解：由题意得，∠HAC＝∠BAH+∠BAC＝t°+30°，∠FDM＝2t°，
（1）如图1，当DE∥BC时，延长AC交MN于点P，
①DE在MN上方时，
∵DE∥BC，DE⊥DF，AC⊥BC，
∴AP∥DF，
∴∠FDM＝∠MPA，
∵MN∥GH，
∴∠MPA＝∠HAC，
∴∠FDM＝∠HAC，即2t°＝t°+30°，
∴t＝30，
②DE在MN下方时，∠FDP＝2t°﹣180°，
∵DE∥BC，DE⊥DF，AC⊥BC，
∴AP∥DF，
∴∠FDP＝∠MPA，
∵MN∥GH，
∴∠MPA＝∠HAC，
∴∠FDP＝∠HAC，即2t°﹣180°＝t°+30°，
∴t＝210（不符合题意，舍去），
（2）当BC∥DF时，延长AC交MN于点I，
①DF在MN上方时，∠FDN＝180°﹣2t°，
∵DF∥BC，AC⊥BC，
∴AI∥DF，
∴∠FDN+∠MIA＝90°，
∵MN∥GH，
∴∠MIA＝∠HAC，
∴∠FDN+∠HAC＝90°，即180°﹣2t°+t°+30°＝90°，
∴t＝120，
②DF在MN下方时，∠FDN＝180°﹣2t°，
∵DF∥BC，AC⊥BC，DE⊥DF，
∴AC∥DE，
∴∠AIM＝∠MDE，
∵MN∥GH，
∴∠MIA＝∠HAC，
∴∠EDM＝∠HAC，即2t°﹣180°＝t°+30°，
∴t＝210（不符合题意，舍去），
综上所述：所有满足条件的t的值为30或120．
故答案为：30或120．
【点评】本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质．
7．（2021春•钦州期末）如图，已知AB∥CD，BE、DE的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作∠ABE和∠CDE的平分线，交点为E1，第二次操作，分别作∠ABE1和∠CDE1的平分线，交点为E2，第三次操作，分别作∠ABE2和∠CDE2的平分线，交点为E3，…第n（n≥2）次操作，分别作∠ABEn﹣1和∠CDEn﹣1的平分线，交点为En，若∠En＝α度，则∠BED＝ 2nα 度．
【分析】先过E作EF∥AB，根据AB∥CD，得出AB∥EF∥CD，再根据平行线的性质，得出∠ABE＝∠1，∠CDE＝∠2，进而得到∠BED＝∠ABE+∠CDE；先根据∠ABE和∠CDE的平分线交点为E1，运用（1）中的结论，得出∠DE1B＝∠ABE1+∠CDE1＝∠ABE+∠CDE＝∠BED；同理可得∠BE2D＝∠ABE2+∠CDE2＝∠ABE1+∠CDE1＝∠DE1B＝∠BED；根据∠ABE2和∠CDE2的平分线，交点为E3，得出∠BE3D＝∠BED；…据此得到规律∠En＝∠BED，最后求得∠BED的度数．
【解答】解：如图，过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠ABE＝∠1，∠CDE＝∠2，
∵∠BED＝∠1+∠2，
∴∠BED＝∠ABE+∠CDE；
∵∠ABE和∠CDE的平分线交点为E1
∴∠DE1B＝∠ABE1+∠CDE1＝∠ABE+∠CDE＝∠BED．
∵∠ABE1和∠DCE1的平分线交点为E2，
∴∠BE2D＝∠ABE2+∠CDE2＝∠ABE1+∠CDE1＝∠DE1B＝∠BED；
∵∠ABE2和∠CDE2的平分线，交点为E3，
∴∠BE3D＝∠ABE3+∠CDE3＝∠ABE2+∠CDE2＝∠DE2B＝∠BED；
…
以此类推，∠En＝∠BED．
∴当∠En＝α度时，∠BED等于（2nα）度．
故答案为：2nα．
【点评】本题主要考查了角平分线的定义以及平行线性质．解决问题的关键是作平行线构造内错角，解题时注意：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
8．（2021春•奉化区校级期末）如图，AB∥CD，∠DCE的角平分线CG的反向延长线和∠ABE的角平分线BF交于点F，∠E﹣∠F＝33°，则∠E＝ 82° ．
【分析】过F作FH∥AB，依据平行线的性质，可设∠ABF＝∠EBF＝α＝∠BFH，∠DCG＝∠ECG＝β＝∠CFH，根据四边形内角和以及∠E﹣∠F＝33°，即可得到∠E的度数．
【解答】解：如图，过F作FH∥AB，
∵AB∥CD，
∴FH∥AB∥CD，
∵∠DCE的角平分线CG的反向延长线和∠ABE的角平分线BF交于点F，
∴可设∠ABF＝∠EBF＝α＝∠BFH，∠DCG＝∠ECG＝β＝∠CFH，
∴∠ECF＝180°﹣β，∠BFC＝∠BFH﹣∠CFH＝α﹣β，
∴四边形BFCE中，∠E+∠BFC＝360°﹣α﹣（180°﹣β）＝180°﹣（α﹣β）＝180°﹣∠BFC，
即∠E+2∠BFC＝180°，①
又∵∠E﹣∠BFC＝33°，
∴∠BFC＝∠E﹣33°，②
∴由①②可得，∠E+2（∠E﹣33°）＝180°，
解得∠E＝82°，
故答案为：82°．
【点评】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补．
三．解答题（共5小题）
9．（2021秋•农安县期末）如图，点P是∠AOB的边OB上的一点，过点P画OB的垂线，交OA于点C；
（1）过点P画OA的垂线，垂足为H；
（2）线段PH的长度是点P到 OA 的距离， 线段CP的长度 是点C到直线OB的距离．线段PC、PH、OC这三条线段大小关系是 PH＜PC＜OC （用“＜”号连接）
【分析】（1）过点P画OA的垂线，即过点P画∠PHO＝90°即可，
（2）利用点到直线的距离可以判断线段PH的长度是点P到OA的距离，PC是点C到直线OB的距离，线段PC、PH、OC这三条线段大小关系是PH＜PC＜OC．
【解答】解：（1）如图：
（2）线段PH的长度是点P到直线OA的距离，
线段CP的长度是点C到直线OB的距离，
根据垂线段最短可得：PH＜PC＜OC，
故答案为：OA，线段CP，PH＜PC＜OC．
【点评】本题主要考查了基本作图﹣﹣﹣﹣作已知直线的垂线，另外还需利用点到直线的距离才可解决问题．
10．（2021秋•南岗区校级期中）已知，AB∥DE，点C在AB上方，连接BC、CD．
（1）如图1，求证：∠BCD+∠CDE＝∠ABC；
（2）如图2，过点C作CF⊥BC交ED的延长线于点F，探究∠ABC和∠F之间的数量关系；
（3）如图3，在（2）的条件下，∠CFD的平分线交CD于点G，连接GB并延长至点H，若BH平分∠ABC，求∠BGD﹣∠CGF的值．
【分析】（1）过点C作CM∥AB，可得∠ABC＝∠BCM，再由平行线的性质得∠CDE＝∠DCM，则可求得∠ABC＝∠BCD+∠CDE；
（2）过点C作CN∥AB，可证得CN∥EF，由∠F＝∠FCN，结合垂线，从而可求得∠ABC﹣∠F＝90°；
（3）延长HG交EF于点Q，过点G作GP∥EF，不难证得∠FGQ＝∠ABH﹣∠EFG，再由角平分线的定义得∠ABH＝∠ABC，∠EFG＝∠CFD，可得∠FGQ＝（∠ABC﹣∠CFD），结合（2）即可求解．
【解答】（1）证明：过点C作CM∥AB，如图1，
∴∠ABC＝∠BCM，
∵AB∥ED，
∴∠CDE＝∠DCM，
∵∠BCM＝∠BCD+∠DCM，
∴∠ABC＝∠BCD+∠CDE；
（2）解：∠ABC﹣∠F＝90°，理由：
过点C作CN∥AB，如图2，
∴∠ABC＝∠BCN，
∵AB∥ED，
∴CN∥EF，
∴∠F＝∠FCN，
∵∠BCN﹣∠BCF+∠FCN，
∴∠ABC＝∠BCF+∠F，
∵CF⊥BC，
∴∠BCF＝90°，
∴∠ABC＝90°+∠F，
即∠ABC﹣∠F＝90°；
（3）延长HG交EF于点Q，过点G作GP∥EF，如图3，
∴∠BGD＝∠CGQ，
∵AB∥DE，
∴∠ABH＝∠EQG，
∵GP∥EF，
∴∠EQG＝∠PGQ，∠EFG＝∠PGF，
∴∠PGQ＝∠ABH，
∴∠BGD﹣∠CGF＝∠CGQ﹣∠CGF＝∠FGQ，
∵∠FGQ＝∠PGQ﹣∠PGF，
∴∠FGQ＝∠ABH﹣∠EFG，
∵BH平分∠ABC，FG平分∠CFD，
∴∠ABH＝∠ABC，∠EFG＝∠CFD，
∴∠FGQ＝∠ABC﹣∠CFD＝（∠ABC﹣∠CFD），
由（2）可得：∠ABC﹣∠CFD＝90°，
∴∠FGQ＝×90°＝45°，
即∠BGD﹣∠CGF＝45°．
【点评】本题主要考查平行线的性质，垂线，解答的关键是结合图形，分析清楚角与角之间的关系．
11．（2021•泉州模拟）如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC．（∠ABD的度数大于90°小于120°）
（1）求证：∠BED＝90°；
（2）若点F为射线BE上一点，∠EDF＝α，∠ABF的角平分线BG与∠CDF的角平分线DG交于点G，试用含α的式子表示∠BGD的大小；
（3）延长BE交CD于点H，点F为线段BH上一动点，∠ABF邻补角的角平分线与∠CDF邻补角的角平分线DG交于点G，探究∠BGD与∠BFD之间的数量关系，请直接写出结论： 2∠BGD+∠BFD＝360° ．（题中所有的角都是大于0°小于180°的角）
【分析】（1）由AB∥CD得∠ABD+∠BDC＝180°，由角平分线的定义和等量代换可得：∠EBD+∠EDB＝90°，进一步即可根据三角形的内角和定理证得结论；
（2）当点G在AB、CD之间时，如图2，由（1）的结论和角平分线的定义可推出2∠ABG+2∠CDG＝90°﹣α或2∠ABG+2∠CDG＝90°+α，过点C作GH∥AB，由平行线的性质可得∠BGD＝∠ABG+∠CDG，进一步即可推出结论；当点G在AB、CD下方时；如图3，同样的方法解答即可；
（3）如图4，过点FG分别作FM∥AB、GM∥AB，则AB∥GM∥FN∥CD，由平行线的性质和角平分线的定义可得∠BFD＝∠3+∠5，∠BGD＝∠4+∠6，然后利用角的和差整理变形即得结论．
【解答】（1）证明：∵BE平分∠ABD，
∴∠EBD＝∠ABD，
∵DE平分∠BDC，
∴∠EDB＝∠BDC，
∴∠EBD+∠EDB＝（∠ABD+∠BDC），
∵AB∥CD，
∴∠ABD+∠BDC＝180°，
∴∠EBD+∠EDB＝90°，
∴∠BED＝180°﹣（∠EBD+∠EDB）＝90°．
（2）①当点G在AB、CD之间且点F在BE延长线上，
如图2，
由（1）知：∠EBD+∠EDB＝90°，
又∵∠ABD+∠BDC＝180°，
∴∠ABE+∠EDC＝90°，
即∠ABE+α+∠FDC＝90°，
∵BG平分∠ABE，DG平分∠CDF，
∴∠ABE＝2∠ABG，∠CDF＝2∠CDG，
∴2∠ABG+2∠CDG＝90°﹣α，
过点G作GH∥AB，
∵AB∥CD，
∴GH∥AB∥CD
∴∠ABG＝∠BGH，∠HGD＝∠CDG，
∴∠BGD＝∠BGH+∠HGD＝∠ABG+∠CDG＝；
②当点G在AB、CD之间且点F在线段BE上，如图2﹣1，
由（1）知：∠EBD+∠EDB＝90°，
又∵∠ABD+∠BDC＝180°，
∴∠ABE+∠EDC＝90°，
即∠ABE+∠FDC﹣α＝90°，
∵BG平分∠ABE，DG平分∠CDF，
∴∠ABE＝2∠ABG，∠CDF＝2∠CDG，
∴2∠ABG+2∠CDG＝90°+α，
过点G作GH∥AB，
∵AB∥CD，
∴GH∥AB∥CD
∴∠ABG＝∠BGH，∠HGD＝∠CDG，
∴∠BGD＝∠BGH+∠HGD＝∠ABG+∠CDG＝；
③当点G在AB、CD下方时，如图3，
同理可得：∠ABE+∠EDC＝90°，
即∠ABE+α﹣∠FDC＝90°，
∵BG平分∠ABE，DG平分∠CDF，
∴∠ABE＝2∠ABG，∠CDF＝2∠CDG，
∴2∠ABG+2∠CDG＝90°﹣α，
过点G作GH∥AB
∵AB∥CD，
∴GH∥AB∥CD
∴∠ABG＝∠BGH，∠HGD＝∠CDG，
∴∠BGD＝∠BGH+∠HGD＝∠ABG+∠CDG＝，
综上，∠BGD＝或；
（3）如图4，过点F、G分别作FM∥AB、GM∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥GM∥FN∥CD，
∴∠3＝∠BFN，∠5＝∠DFN，∠4＝∠BGM，∠6＝∠DGM，
∴∠BFD＝∠BFN+∠DFN＝∠3+∠5，
∠BGD＝∠BGM+∠DGM＝∠4+∠6，
∵BG平分∠FBP，DG平分∠FDQ，
∴∠4＝∠FBP＝（180°﹣∠3），
∠6＝∠FDQ＝（180°﹣∠5），
∴∠BFD+∠BGD＝∠3+∠5+∠4+∠6，
＝∠3+∠5+（180°﹣∠3）+（180°﹣∠5），
＝180°+（∠3+∠5），
＝180°+∠BFD，
整理得：2∠BGD+∠BFD＝360°．
故答案为：2∠BGD+∠BFD＝360°．
【点评】本题考查了平行线的判定和性质、平行公理的推论、角平分线的定义和三角形的内角和等知识，具有一定的难度，正确添加辅助线、熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
12．（2021春•靖江市期末）当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等．例如：在图①、图③中，都有∠1＝∠2，∠3＝∠4．设镜子AB与BC的夹角∠ABC＝α．
（1）如图①，若α＝90°，判断入射光线FE与反射光线GH的位置关系，并说明理由；
（2）如图②，若α＝135°，设镜子CD与BC的夹角∠BCD＝θ（90°＜θ＜180°），入射光线FE与镜面AB的夹角∠1＝m（0°＜m＜90°），已知入射光线FE从镜面AB开始反射，经过3次反射后，反射光线与入射光线FE平行，请用含有m的代数式直接表示θ的度数；
（3）如图③，若90°＜α＜180°，∠1＝20°，入射光线FE与反射光线GH的夹角∠FMH＝β．若△MEG为锐角三角形，请求出α的取值范围．
【分析】（1）在△BEG中，∠2+∠3+α＝180°，α＝90°，可得∠2+∠3＝90°，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等可得，∠FEG+∠EGH＝180°，进而可得EF∥GH；
（2）根据题意以及第（1）题的思路，直接可写出含有m的代数式直接表示θ的度数；
（3）在△BEG中，∠2+∠3+α＝180°，可得∠2+∠3＝180°﹣α，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等可得，∠MEG+∠MGE+β＝180°，求出β与α的数量关系，在△MEG中，0°＜β＜90°，0°＜∠MGE＜90°，可得出α的取值范围．
【解答】解：（1）EF∥GH，理由如下：
在△BEG中，∠2+∠3+α＝180°，α＝90°，
∴∠2+∠3＝90°，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，
∵∠1+∠2+∠FEG＝180°，
∠3+∠4+∠EGH＝180°，
∴∠FEG+∠EGH＝180°，
∴EF∥GH；
（2）θ＝90°+m；
（3）在△BEG中，∠2+∠3+α＝180°，
∴∠2+∠3＝180°﹣α，
∵∠1＝∠2，∠1＝∠MEB，
∴∠2＝∠MEB，
∴∠MEG＝2∠2，
同理可得，∠MGE＝2∠3，
在△MEG中，∠MEG+∠MGE+β＝180°，
∴β＝180°﹣（∠MEG+∠MGE）＝180°﹣（2∠2+2∠3）
＝180°﹣2（∠2+∠3）
＝180°﹣2（180°﹣α）
＝2α﹣180°，
∵△MEG为锐角三角形，
∴0°＜β＜90°，0°＜∠MGE＜90°，
，
∴115°＜α＜135°．
【点评】本题考查了平行线的性质、列代数式，解决本题的关键是掌握平行线的性质．
13．（2021春•江汉区期中）问题探究：
如图①，已知AB∥CD，我们发现∠E＝∠B+∠D．我们怎么证明这个结论呢？
张山同学：如图②，过点E作EF∥AB，把∠BED分成∠BEF与∠DEF的和，然后分别证明∠BEF＝∠B，∠DEF＝∠D．
李思同学：如图③，过点B作BF∥DE，则∠E＝∠EBF，再证明∠ABF＝∠D．
问题解答：
（1）请按张山同学的思路，写出证明过程；
（2）请按李思同学的思路，写出证明过程；
问题迁移：
（3）如图④，已知AB∥CD，EF平分∠AEC，FD平分∠EDC．若∠CED＝3∠F，请直接写出∠F的度数．
【分析】（1）如图②中，过点E作EF∥AB，利用平行线的性质证明即可．
（2）如图③中，过点B作BF∥DE交CD的延长线于G．利用平行线的性质证明即可．
（3）设∠AEF＝∠CEF＝x，∠CDF＝∠EDF＝y，则∠F＝x+y，根据∠AEC+∠CED+∠DEB＝180°，构建方程求出x+y可得结论．
【解答】解：（1）如图②中，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，EF∥AB，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠B＝∠BEF，∠D＝∠CEF，
∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝∠B+∠D．
（2）如图③中，过点B作BF∥DE交CD的延长线于G．
∵DE∥FG，
∴∠EDC＝∠G，∠DEB＝∠EBF，
∵AB∥CG，
∴∠G＝∠ABF，
∴∠EDC＝∠ABF，
∴∠DEB＝∠EBF＝∠ABE+∠ABF＝∠ABE+∠EDC．
（3）如图④中，
∵EF平分∠AEC，FD平分∠EDC，
∴∠AEF＝∠CEF，∠CDF＝∠EDF，
设∠AEF＝∠CEF＝x，∠CDF＝∠EDF＝y，则∠F＝x+y，
∵∠CED＝3∠F，
∴∠CED＝3x+3y，
∵AB∥CD，
∴∠BED＝∠CDE＝2y，
∵∠AEC+∠CED+∠DEB＝180°，
∴5x+5y＝180°，
∴x+y＝36°，
∴∠F＝36°．
【点评】本题考查平行线的性质，平角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用平行线的性质解决问题．
声
第8讲 平行线的性质与用尺规作角
目标导航
1．掌握平行线的性质，并能依据平行线的性质进行简单的推理；
2．了解平行线的判定与性质的区别和联系，理解两条平行线的距离的概念；
3、理解尺规作图的含义；
4、能用尺规作一些基本的图形；
5、通过尺规作图的理解进行一些线段和角的计算。
知识精讲
知识点01平行线的性质
一、平行线的性质
性质1：两直线平行，同位角相等；
性质2：两直线平行，内错角相等；
性质3：两直线平行，同旁内角互补.
要点诠释：
（1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提 “两直线平行”．
(2)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质．
二、平行的传递性
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
三、两条平行线的距离
同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线
的距离．
要点诠释：
（1）求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点，向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线的距离．
(2) 两条平行线的位置确定后，它们的距离就是个定值，不随垂线段的位置的改变而改变，即平行线间的距离处处相等．
【知识拓展1】（2021秋•本溪期末）如图，将一个含有30°角的直角三角板放置在两条平行线a，b上，若∠1＝115°，则∠2的度数为（ ）
A．85° B．75° C．55° D．95°
【分析】由平行线的性质可得∠BAC＝∠1＝115°，再由三角形的外角性质即可求解．
【解答】解：如图，
∵a∥b，∠1＝115°，
∴∠BAC＝∠1＝115°，
∵∠BAC是△ABD的外角，
∴∠2＝∠BAC﹣∠B＝85°，
故选：A．
【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等．
【即学即练1】（2021秋•成都期末）如图，直线AB∥CD，点E在AC上，若∠A＝130°，∠D＝20°，则∠AED＝（ ）
A．70° B．75° C．80° D．85°
【分析】由平行线的性质可求得∠C＝50°，再利用三角形的外角性质可求∠AED的度数．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠A+∠C＝180°，
∵∠A＝130°，
∴∠C＝180°﹣∠A＝50°，
∵∠AED是△CDE的外角，∠D＝20°，
∴∠AED＝∠C+∠D＝70°．
故选：A．
【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．
【即学即练2】（2021秋•武侯区期末）如图，把三角板的直角顶点放在直尺的一边上，已知直尺的对边平行，若∠1＝25°，则∠2的度数为（ ）
A．25° B．55° C．65° D．75°
【分析】由平角的定义可求得∠BAC＝65°，再利用平行线的性质可求∠2的度数．
【解答】解：如图，
∵∠CAD＝90°，∠1＝25°，
∴∠BAC＝180°﹣∠CAD﹣∠1＝65°，
∵EF∥AB，
∴∠2＝∠BAC＝65°．
故选：C．
【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等．
【即学即练3】（2021秋•普宁市期末）如图，在△DEF中，点C在DF的延长线上，点B在EF上，且AB∥CD，∠EBA＝60°，则∠E+∠D的度数为（ ）
A．60° B．30° C．90° D．80°
【分析】由平行线的性质可得∠CFE＝∠EBA＝60°，再由三角形的外角性质可得∠CFE＝∠E+∠D，从而得解．
【解答】解：∵AB∥CD，∠EBA＝60°，
∴∠CFE＝∠EBA＝60°，
∵∠EBA是△DEF的外角，
∴∠E+∠D＝∠EBA＝60°．
故选：A．
【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等．
【即学即练4】（2021秋•铁西区期末）如图，AB∥CD∥EF，若∠ABC＝125°，∠CEF＝105°，则∠BCE的度数为 50° ．
【分析】由平行线的性质可得∠BCD＝∠ABC＝125°，∠DCE＝180°﹣∠CEF＝75°，从而可求∠BCE的度数．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∠ABC＝125°，∠CEF＝105°，
∴∠BCD＝∠ABC＝125°，∠DCE＝180°﹣∠CEF＝75°，
∴∠BCE＝∠BCD﹣∠DCE＝50°．
故答案为：50°．
【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用．
【即学即练5】（2021秋•宽城区期末）如图，直线m∥n．若∠1＝40°，∠2＝30°，则∠3的大小为 70 度．
【分析】由平行线的性质可得∠4＝∠1＝40°，再由三角形的外角性质可求∠3的度数．
【解答】解：如图，
∵m∥n．∠1＝40°，
∴∠4＝∠1＝40°，
∵∠3是图中三角形的外角，∠2＝30°，
∴∠3＝∠2+∠4＝70°．
故答案为：70．
【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等．
【知识拓展2】（2021秋•成都期末）如图，AE∥BC，且∠ABD＝∠ADB，∠DAE＝∠E，若∠ABC＝63°，求∠DBC的度数．
【分析】由三角形的外角性质可得∠ADB＝2∠E，则有∠ABD＝2∠E，由平行线的性质可得∠E＝∠DBC，即∠ABD＝2∠DBC，从而可求解．
【解答】解：∵∠DAE＝∠E，∠ADB是△ADE的外角，
∴∠ADB＝∠DAE+∠E＝2∠E，
∵∠ABD＝∠ADB，
∴∠ABD＝2∠E，
∵AE∥BC，
∴∠E＝∠DBC，
∴∠ABD＝2∠DBC，
∵∠ABC＝63°，
∴∠ABD+∠DBC＝63°，
即2∠DBC+∠DBC＝63°，
解得：∠DBC＝21°．
故∠DBC的度数为21°．
【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用．
【即学即练1】（2021秋•宝安区期末）生活中常见的探照灯、汽车大灯等灯具都与抛物线有关．如图，从光源P点照射到抛物线上的光线PA，PB等反射以后沿着与直线PF平行的方向射出，若∠CAP＝α，∠DBP＝β，则∠APB的度数为（ ）
A．2α B．2β C．α+β D．（α+β）
【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠APE＝∠CAP＝α，∠BPE＝∠DBP＝β，然后相加即可得解．
【解答】解：∵AC∥EF，∠CAP＝α，
∴∠APE＝∠CAP＝α，
∵BD∥EF，∠DBP＝β，
∴∠BPE＝∠DBP＝β，
∴∠APB＝∠APE+∠BPE＝α+β．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等．
【即学即练2】（2021秋•香坊区期末）如图，AD∥BC，∠C＝30°，∠ADB：∠BDC＝1：2，∠EAB＝72°，以下四个说法：
①∠CDF＝30°；②∠ADB＝50°；③∠ABD＝22°；④∠CBN＝108°；其中正确说法的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据平行线的性质判断①，根据邻补角的定义及角的倍分关系可判断②，根据平行线的性质及三角形的内角和定理可判断③，由邻补角定义可得判断④．
【解答】解：∵AD∥BC，∠C＝30，
∴∠CDF＝30°，①正确；
∴∠ADC＝180°﹣∠C＝180°﹣30°＝150°，
∵∠ADB：∠BDC＝1：2，
∴∠ADB＝∠ADC＝50°，②正确；
∵AD∥BC，∠EAB＝72°，
∴∠ABC＝72°，∠DAB＝180°﹣∠EAB＝108°，
∴∠CBN＝180°﹣∠ABC＝108°，④正确；
∴∠ABD＝180°﹣∠DAB﹣∠ADB＝22°，③正确．
故选：D．
【点评】此题考查的是平行线的性质、邻补角的定义、三角形的内角和定理，掌握其性质定理是解决此题关键．
【即学即练3】（2021秋•道里区期末）如图，AB∥CD，AD与BC相交于点F，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠AFB＝96°，则∠BED的度数为 42 度．
【分析】根据平行线的性质，角平分线的定义以及三角形的内角和可得∠ABE+∠CDE＝42°，过点E作EP∥AB，然后根据两直线平行内错角相等，即可求∠BED的度数．
【解答】解：如图，过点E作EP∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EP，
∴∠ABE＝∠BEP，∠CDE＝∠DEP，∠ABC＝∠BCD，
∵∠ABC+∠BAD+∠AFB＝180°，
∴∠ABC+∠BAD＝180°﹣∠AFB＝84°，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴∠ABE＝∠ABC，∠CDE＝∠ADC，
∴∠ABE+∠CDE＝（∠ABC+∠BAD）＝42°，
∴∠BED＝∠BEP+∠DEP＝∠ABE+∠CDE）＝42°，
故答案为：42．
【点评】此题考查了平行线的判定与性质以及角平分线，解题的关键是正确添加辅助线．
【即学即练4】（2021秋•罗湖区期末）请解答下列各题：
（1）阅读并回答：
科学实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等．如图1，一束平行光线AB与DE射向一个水平镜面后被反射．此时∠1＝∠2，∠3＝∠4．
①由条件可知：∠1＝∠3，依据是 两直线平行，同位角相等 ，∠2＝∠4，依据是 等量代换 ．
②反射光线BC与EF平行，依据是 同位角相等，两直线平行 ．
（2）解决问题：
如图2，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b镜反射，若b射出的光线n平行于m，且∠1＝42°，则∠2＝ 84° ；∠3＝ 90° ．
【分析】（1）根据平行线的判定与性质逐一求解可得；
（2）根据入射角等于反射角得出∠1＝∠4，∠5＝∠7，求出∠6，根据平行线性质即可求出∠2，求出∠5，根据三角形内角和求出∠3即可．
【解答】解：（1）①由条件可知：∠1＝∠3，依据是：两直线平行，同位角相等；∠2＝∠4，依据是：等量代换；
②反射光线BC与EF平行，依据是：同位角相等，两直线平行；
故答案为：①两直线平行，同位角相等；等量代换．②同位角相等，两直线平行．
（2）如图，
∵∠1＝42°，
∴∠4＝∠1＝42°，
∴∠6＝180°﹣42°﹣42°＝96°，
∵m∥n，
∴∠2+∠6＝180°，
∴∠2＝84°，
∴∠5＝∠7＝，
∴∠3＝180°﹣48°﹣42°＝90°．
故答案为：84°，90°．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
【即学即练5】（2021秋•南关区期末）如图，已知AB∥DC，AC⊥BC，AC平分∠DAB，∠B＝50°，求∠D的大小．
阅读下面的解答过程，并填括号里的空白（理由或数学式）．
解：∵AB∥DC（ 已知 ），
∴∠B+∠DCB＝180°（ 两直线平行，同旁内角互补 ）．
∵∠B＝ 50° （已知），
∴∠DCB＝180°﹣∠B＝180°﹣50°＝130°．
∵AC⊥BC（已知），
∴∠ACB＝ 90° （垂直的定义）．
∴∠2＝ 40° ．
∵AB∥DC（已知），
∴∠1＝ 40° （ 两直线平行，内错角相等 ）．
∵AC平分∠DAB（已知），
∴∠DAB＝2∠1＝ 80° （角平分线的定义）．
∵AB∥DC（已知），
∴ ∠ADC +∠DAB＝180°（两条直线平行，同旁内角互补）．
∴∠D＝180°﹣∠DAB＝ 100° ．
【分析】根据平行线的性质两直线平行，同旁内角互补，两直线平行，内错角相等解答即可．
【解答】解：∵AB∥DC（ 已知），
∴∠B+∠DCB＝180°（ 两直线平行，同旁内角互补）．
∵∠B＝50°（已知），
∴∠DCB＝180°﹣∠B＝180°﹣50°＝130°．
∵AC⊥BC（已知），
∴∠ACB＝90°（垂直的定义）．
∴∠2＝40°．
∵AB∥DC（已知），
∴∠1＝40°（ 两直线平行，内错角相等）．
∵AC平分∠DAB（已知），
∴∠DAB＝2∠1＝80°（角平分线的定义）．
∵AB∥DC（已知），
∴∠ADC+∠DAB＝180°（两条直线平行，同旁内角互补）．
∴∠D＝180°﹣∠DAB＝100°．
故答案为：已知；两直线平行，同旁内角互补；50°；90°；40°；40°；两直线平行，内错角相等；80°；∠ADC；100°．
【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，同旁内角互补，两直线平行，内错角相等解答．
【即学即练6】（2021秋•长春期末）已知AM∥CN，点B在直线AM、CN之间，AB⊥BC于点B．
（1）如图1，请直接写出∠A和∠C之间的数量关系： ∠A+∠C＝90° ．
（2）如图2，∠A和∠C满足怎样的数量关系？请说明理由．
（3）如图3，AE平分∠MAB，CH平分∠NCB，AE与CH交于点G，则∠AGH的度数为 45° ．
【分析】（1）过点B作BE∥AM，利用平行线的性质即可求得结论；
（2）过点B作BE∥AM，利用平行线的性质即可求得结论；
（3）利用（2）的结论和三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和即可求得结论．
【解答】解：（1））过点B作BE∥AM，如图，
∵BE∥AM，
∴∠A＝∠ABE．
∵BE∥AM，AM∥CN，
∴BE∥CN．
∴∠C＝∠CBE．
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°．
∴∠A+∠C＝∠ABE+∠CBE＝∠ABC＝90°．
故答案为：∠A+∠C＝90°；
（2）∠A和∠C满足：∠C﹣∠A＝90°．理由：
过点B作BE∥AM，如图，
∵BE∥AM，
∴∠A＝∠ABE．
∵BE∥AM，AM∥CN，
∴BE∥CN．
∴∠C+∠CBE＝180°．
∴∠CBE＝180°﹣∠C．
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°．
∴∠ABE+∠CBE＝90°．
∴∠A+180°﹣∠C＝90°．
∴∠C﹣∠A＝90°．
（3）设CH与AB交于点F，如图，
∵AE平分∠MAB，
∴∠GAF＝∠MAB．
∵CH平分∠NCB，
∴∠BCF＝∠BCN．
∵∠B＝90°，
∴∠BFC＝90°﹣∠BCF．
∵∠AFG＝∠BFC，
∴∠AFG＝90°﹣∠BCF．
∵∠AGH＝∠GAF+∠AFG，
∴∠AGH＝∠MAB+90°﹣∠BCN＝90°﹣（∠BCN﹣∠MAB）．
由（2）知：∠BCN﹣∠MAB＝90°，
∴∠AGH＝90°﹣45°＝45°．
故答案为：45°．
【点评】本题主要考查了垂线的性质，平行线的性质，过点B作BE∥AM是解题的关键．
知识点02 用尺规作角
1．作图—尺规作图的定义
（1）尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图．只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题．
（2）基本要求
它使用的直尺和圆规带有想像性质，跟现实中的并非完全相同．
直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧．只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上画刻度．
圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度．它只可以拉开成你之前构造过的长度．
声明：2、作一个角等于已知角
作一个角等于已知角的主要作用是作三角形和作平行线等．
利用尺规作一个角等于已知角.
已知：∠AOB(如图2－4－22所示)．
求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB.
图2－4－22
作法：
(1)如图2－4－23所示，作射线O′B′；
(2)以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA于点D，交OB于点C；
(3)以点O′为圆心，以OC长为半径作弧，交O′B′于点C′；
(4)以点C′为圆心，以CD长为半径画弧，交前面的弧于点D′；
(5)过点D′作射线O′A′.
则∠A′O′B′就是所求作的角．
图2－4－23
【知识拓展1】（2021秋•无为市期末）下列尺规作图的语句正确的是（ ）
A．延长射线AB到D
B．以点D为圆心，任意长为半径画弧
C．作直线AB＝3cm
D．延长线段AB至C，使AC＝BC
【分析】根据线段、射线以及直线的概念，利用尺规作图的方法进行判断即可得出正确的结论．
【解答】解：A．根据射线AB是从A向B无限延伸，故延长射线AB到D是错误的；
B．根据圆心和半径长即可确定弧线的形状，故以点D为圆心，任意长为半径画弧是正确的；
C．根据直线的长度无法测量，故作直线AB＝3cm是错误的；
D．延长线段AB至C，则AC＞BC，故使AC＝BC是错误的；
故选：B．
【点评】本题主要考查了尺规作图的定义的运用，解题时注意：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图，只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题．
【即学即练1】（2020秋•大连期末）下列作图语句中，叙述正确的是（ ）
A．延长线段AB到点C，使BC＝AB
B．画直线AB的中点C
C．画直线AB＝6cm
D．延长射线OA到点B
【分析】根据直线、射线和线段的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、延长线段AB到点C，使得BC＝AB，说法正确，故符合题意．
B、画直线AB的中点C，说法错误，只有线段有中点，故不合题意；
C、画射线OC＝3cm，说法错误，射线的长度无法度量，故不合题意；
D、延长射线OA到点B，说法错误，射线向一端无限延伸，故不合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了直线、射线、线段的概念，解题时注意直线、射线没有大小．
【即学即练2】只用 没有刻度的 的直尺和 圆规 进行的作图称为尺规作图．
【分析】尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图．只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题．
【解答】解：只用没有刻度的直尺和圆规进行的作图称为尺规作图．
故答案为：没有刻度的，圆规．
【点评】本题主要考查了尺规作图的定义，其基本要求：它使用的直尺和圆规带有想像性质，跟现实中的并非完全相同．直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧．只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上画刻度．圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度．它只可以拉开成你之前构造过的长度．
【即学即练3】（2021春•铁岭月考）下列作图语句错误的个数是（ ）
①以点O为圆心作弧；②延长射线OM到点A；③延长线段AB到C，使BC＝AB；④过三点A，B，C作直线．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】画弧要确定圆心与半径，则可对①进行判断；根据射线的定义对②进行判断；根据线段的定义对③进行判断；根据两点确定一条直线对④进行判断．
【解答】解：以点O为圆心，OA为半径作弧，所以①错误；
延长线段OM到点A，所以②错误；
延长线段AB到C，使BC＝AB；所以③正确；
过点A，B作直线，所以④错误．
故选：C．
【点评】本题考查了作图﹣尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图．只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题．
【即学即练4】（2021春•龙口市月考）下列画图语句中，正确的是（ ）
A．画射线OP＝3cm B．画出A、B两点的距离
C．延长射线OA D．连接A、B两点
【分析】利用射线的定义对A、C进行判断；根据两点间的距离的定义和线段的定义对B、D进行判断．
【解答】解：A、射线OP无限长，所以A选项不符合题意；
B、量出A、B点的距离，所以B选项不符合题意；
C、射线OA不需要延长，只能反向延长射线OA，所以C选项不符合题意；
D、用直尺可以连接A、B两点，所以D选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了作图﹣尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图．只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题．
【即学即练5】（2011春•巴东县校级期末）作图题的书写步骤是 已知 、 求作 、 作法 ，而且要画出 图形 ，写出 结论 ，保留 作图痕迹 ．
【分析】根据作图题的书写步骤和尺规作图的要求作答．
【解答】解：作图题的书写步骤是已知、求作、作法，而且要画出图形，写出结论，保留作图痕迹．
故答案为：已知、求作、作法，图形，结论，作图痕迹．
【点评】本题考查了尺规作图的书写步骤和尺规作图的要求，是基础题型，比较简单．
【即学即练6】（2019秋•成安县期末）下列画图语句中，正确的是（ ）
A．画射线OP＝3cm B．连结A、B两点
C．画出直线AB的中点 D．画出A、B两点的距离
【分析】根据直线，线段，射线的定义以及基本作图判断即可．
【解答】解：A、画射线OP＝3cm，错误，射线没有长度，本选项不符合题意．
B、连结A、B两点，正确．本选项符合题意．
C、画出直线AB的中点，错误，直线没有长度，本选项不符合题意．
D、画出A、B两点的距离，错误，距离的一个数值，应该是量出A，B两点的距离．本选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查直线，线段，射线的定义，基本作图等知识，解题的关键是掌握基本作图，属于中考基础题．
【即学即练7】（2018秋•宁阳县期末）下列语句是有关几何作图的叙述．
①以O为圆心作弧；②延长射线AB到点C；③作∠AOB，使∠AOB＝∠1；④作直线AB，使AB＝a；⑤过三角形ABC的顶点C作它的对边AB的平行线．其中正确的有 ③⑤ ．（填序号即可）
【分析】①根据确定圆的两个条件：圆心和半径判断即可；
②根据射线的性质判断即可；
③根据基本作图：作一个角等于已知角判断即可；
④根据直线的性质判断即可；
⑤根据平行公理判断即可．
【解答】解：①以O为圆心作弧可以画出无数条弧，因为半径不固定，所以叙述错误；
②射线AB是由A向B向无限延伸，所以叙述错误；
③根据作一个角等于已知角的作法，可以作一个角∠AOB，使∠AOB等于已知∠1，所以叙述正确；
④直线可以向两方无限延伸，所以叙述错误；
⑤根据平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，可以过三角形ABC的顶点C作它的对边AB的平行线，所以叙述正确．
所以正确的有③⑤．
故答案为：③⑤．
【点评】本题考查作图﹣尺规作图的定义，涉及到直线、射线及圆、角、平行线的知识，属于基础题，注意掌握射线只能反方向延长，直线不能延长，确定圆有两个条件：圆心和半径．
【即学即练8】如图，利用尺规，在△ABC的边AC上方作∠CAE＝∠ACB，在射线AE上截取AD＝BC，连接CD，并证明：CD∥AB（尺规作图要求保留作图痕迹，不写作法）
【分析】利用尺规作∠EAC＝∠ACB即可，先证明△ACD≌△CAB，再证明CD∥AB即可．
【解答】解：图象如图所示，
∵∠EAC＝∠ACB，
∴AD∥CB，
∵AD＝BC，∠DAC＝∠ACB，AC＝CA，
∴△ACD≌△CAB（SAS），
∴∠ACD＝∠CAB，
∴AB∥CD．
【点评】本题考查尺规作图、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用尺规作一个角等于已知角，属于基础题，中考常考题型．
【即学即练9】下列语句表示的图形是（只填序号）
①过点O的三条直线与另条一直线分别相交于点B、C、D三点： （3） ．
②以直线AB上一点O为顶点，在直线AB的同侧画∠AOC和∠BOD： （2） ．
③过O点的一条直线和以O为端点两条射线与另一条直线分别相交于点B、C、D三点： （1） ．
【分析】图（1）为过点O有两条射线OC、OD，一条直线AB；图（2）为以直线AB上一点O为顶点，在直线AB的同侧画∠AOC和∠BOD，图（3）为过点O的三条直线AB、OC、OD与另一条直线分别相交于点B、C、D三点．根据语句及图形特征进行选择．
【解答】解：①过点O的三条直线与另一条直线分别相交于点B、C、D三点的图形为（3）；
②以直线AB上一点O为顶点，在直线AB的同侧画∠AOC和∠BOD的图形为（2）；
③过O点的一条直线和以O为端点两条射线与另一条直线分别相交于点B、C、D三点的图形为（1）．
故答案为：（3），（2），（1）．
【点评】本题考查了尺规作图的定义．关键是理解语句，确定相应的图形．
能力拓展
类型一、平行线的性质
例1、如图，已知AB∥CD，AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，求∠APC的度数.
【答案与解析】解：作PM∥AB，交AC于点M，如图：
∵AB∥CD
∴∠CAB+∠ACD=180°
∵PA平分∠CAB，PC平分∠ACD
∴∠1+∠4=90°
∵AB∥PM∥CD
∴∠1=∠2，∠3=∠4
∴∠2+∠3=90°
∴∠APC=90°
【总结升华】平行线与角的关系非常密切，平行线的性质都是以角的关系来体现，在求角度的过程中，如果能够适时运用平行线的性质，将会使问题的解决显得简便快捷．
【变式】如图，直线AB∥CD，∠C=44°，∠E为直角，则∠1等于（ ）
A．132° B．134° C．136° D．138°
【答案】B
解：
过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠C=∠FEC，∠BAE=∠FEA，
∵∠C=44°，∠AEC为直角，
∴∠FEC=44°，∠BAE=∠AEF=90°﹣44°=46°，
∴∠1=180°﹣∠BAE=180°﹣46°=134°.
类型二、两平行线间的距离
例2、如图，已知，l1∥l2，C1在l1上，并且C1A⊥l2，A为垂足，C2，C3是l1上任意两点，点B在l2上．设△ABC1的面积为S1，△ABC2的面积为S2，△ABC3的面积为S3，小颖认为S1=S2=S3，请帮小颖说明理由．
【思路点拨】根据两平行线间的距离相等，即可解答．
【答案与解析】解：∵直线l1∥l2，
∴△ABC1，△ABC2，△ABC3的底边AB上的高相等，
∴△ABC1，△ABC2，△ABC3这3个三角形同底，等高，
∴△ABC1，△ABC2，△ABC3这些三角形的面积相等．
即S1=S2=S3．
【总结升华】本题考查了平行线之间的距离，解本题的关键是明确两平行线间的距离相等．
【变式】下图是一个方形螺线．已知相邻均为1厘米，则螺线总长度是 厘米.
【答案】35
类型三、平行的性质与判定综合应用
例3、如图所示，在长为50m，宽为22m的长方形地面上修筑宽度都为2 m的道路，余下的部分种植花草，求种植花草部分的面积．
【思路点拨】因种植花草部分比较分散，且有的是不规则的图形，所以直接求其面积较困难．因小路都是宽度相同的长方形，所以可想到把小路平移到一起，这样种植花草部分将汇集成一个长方形，问题便迎刃而解．
【答案与解析】解：如图所示②把几条2米宽的小路分别平移到大长方形的上边缘和左边缘，则种植花草部分汇集成一个长方形，
显然，这个长方形的长是50-2＝48(m)，宽是22-2＝20(m)，于是种植花草部分的面积为48×20＝960(m2)．
【总结升华】若分步计算则较繁琐．但采用“平移”的手段从整体上把握，问题便迅速求解．
【变式】如图①，在宽为20m、长为30m的矩形地面上修建两条同样宽度的道路，余下部分作为耕地．根据图中数据，可得耕地的面积为 ( )
A．600m2 B．551m2 C．550m2 D．500m2
【答案】B
例4、如图所示，∠ABC的边BC与∠DEF的边DE交于点K，下面给出三个论断：①∠B＝∠E；②AB∥DE；③BC∥EF．请你以其中的两个论断为条件，填入“已知”栏中，以一个论断为结论，填人“试说明”栏中，使之成为一个完整的正确命题，并将理由叙述出来．
已知：如图所示，∠ABC的边BC与∠DEF的边DE交于点K，________，________，试说明________．
【答案与解析】解：三个论断分别可以组成①②③；①③②；②③①三种不同情形的命题，选择其中任何一个即可．
以①②③为例，说明如下
已知：如图所示，∠ABC的边BC与∠DEF的边DE交于点K，∠B＝∠E，AB∥DE，试说明BC∥EF．
理由叙述：因为AB∥DE，所以∠B＝∠CKD．
又因为∠B＝∠E，所以∠E＝∠CKD，所以BC∥EF．
【总结升华】此类问题具有较强的灵活性，解决这类题的基本思路是先写出可能的结果，再判断其是否正确．
【变式】已知，如图，∠1=∠2，∠3=65°，则∠4＝ .
【答案】115°
例5、如图，AB∥CD，点M，N分别为AB，CD上的点.
（1）若点P1在两平行线内部，∠BMP1＝45°，∠DNP1＝30°，则∠MP1N＝ ；
（2）若P1，P2在两平行线内部，且P1P2不与AB平行，如图，请你猜想∠AMP1+∠P1 P2N与∠MP1 P2+∠P2ND的关系，并证明你的就论；
（3）如图，若P1，P2，P3在两平行线内部，顺次连结M，P1，P2，P3，N，且P1P2，P2P3不与AB平行，直接写出你得到的就论.
【答案与解析】解：（1）75°；
（2）结论：∠AMP1+∠P1 P2N＝∠MP1 P2+∠P2ND
证明：如图，分别过P1，P2作P1Q1∥AB，P2Q2∥AB.
又∵ AB∥CD，∴ ∠AMP1＝∠1，∠2＝∠3，∠4＝∠P2ND.
∴ ∠AMP1+∠P1 P2N＝∠AMP1+∠3+∠4＝∠1+∠2+∠P2ND＝∠MP1 P2+∠P2ND.
（3）∠BMP1+∠P1 P2P3+∠P3 ND＝∠MP1 P2+∠P2 P3N.
【总结升华】通过作平行线，问题便迅速得到解决.
【变式】如图所示，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐角∠A是120°，第二次拐的角∠B是150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C是( )
A．120° B．130° C．140° D．150°
【答案】D
类型四：尺规作图的定义
例6. 下列作图属于尺规作图的是( )
A．用三角尺作AB的平行线
B．用刻度尺画线段AB＝3 cm
C．用直尺和圆规作直线AB的平行线
D．用量角器画∠AOB的平分线OC
[解析] C 选项A和D中用的画图工具不是直尺和圆规；选项B中用的是带有刻度的直尺；只有选项C符合尺规作图的定义．
[归纳总结] 判断一种作图是否为尺规作图，关键是看它所使用的作图工具，如果作图工具是圆规和没有刻度的直尺，那它就是尺规作图，否则就不是尺规作图．
类型五：作一个角等于已知角
例7. 如图2－4－24所示，已知∠AOB，求作∠CBO，使∠CBO＝∠AOB，交OA于点C.
图2－4－24
[解析] 欲作∠CBO＝∠AOB，实质是以OB为一边，在OB同侧作∠CBO＝∠AOB.
解： 作法：
(1)以点O为圆心，以适当的长为半径作弧，交OA于点D，交OB于点E；
(2)以点B为圆心，OD长为半径作弧，交BO于点F；
(3)以点F为圆心，以DE长为半径作弧，交前面的弧于点G；
(4)连接并延长BG交OA于点C.如图所示，∠CBO为所求作的角．
类型六：作已知角的和、差、倍
例8. 如图2－4－25所示，已知∠α，∠β，求作一个角，使它等于∠α与∠β的和．
图2－4－25
[解析] 要作两个角的和，就是先作一个角等于已知角，再以这个角的一边为一边，在角的外部再作一个角等于另一个角，得到的新角就是这两个角的和．
图2－4－26
解： 如图所示，先作一个角等于∠β，再以这个角的一边作一边，在外部作一个角等于∠α，得到的新角就是∠α和∠β的和．
[归纳总结] 作已知角的和、差、倍都是先作一个角等于已知的一个角，再在此角的基础上作其他角，区别就在于“和”或“整数倍”是在角的外部作角，“差”则在角的内部作角．
分层提分
题组A 基础过关练
一．选择题（共5小题）
1．（2021秋•杜尔伯特县期末）如图，已知l1∥l2，∠A＝45°，∠2＝100°，则∠1的度数为（ ）
A．50° B．55° C．45° D．60°
【分析】根据平角的定义得出∠ACB＝80°，根据三角形内角和得到∠ABC＝55°，再根据平行线的性质即可得解．
【解答】解：∵∠2＝100°，
∴∠ACB＝180°﹣100°＝80°，
∵∠A＝45°，
∴∠ABC＝180°﹣45°﹣80°＝55°，
∵l1∥l2，
∴∠1＝∠ABC＝55°，
故选：B．
【点评】此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
2．（2020秋•历下区期末）如图，将长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C的对应点为E，若∠CBD＝35°，则∠AFB的度数为（ ）
A．70° B．75° C．80° D．85°
【分析】根据折叠的性质，可以得到∠EBC的度数，然后再根据平行线的性质即可求解．
【解答】解：由折叠的性质得到，∠EBD＝∠CBD，
∵∠CBD＝35°，
∴∠EBC＝2∠CBD＝70°，
∵AD∥BC，
∴∠AFB＝∠EBC＝70°，
故选：A．
【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质及折叠的性质是解题的关键．
3．如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α、β和γ的关系是（ ）
A．β＝α+γ B．α+β+γ＝180° C．α+β﹣γ＝90° D．β+γ﹣α＝180°
【分析】此题可以构造辅助线，利用三角形的外角的性质以及平行线的性质建立角之间的关系．
【解答】解：延长DC交AB与G，延长CD交EF于H．
在直角△BGC中，∠1＝90°﹣α；△EHD中，∠2＝β﹣γ，
∵AB∥EF，
∴∠1＝∠2，
∴90°﹣α＝β﹣γ，即α+β﹣γ＝90°．
故选：C．
【点评】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．
4．下列画图语句中，正确的是（ ）
A．画射线OP＝3 cm B．画出A、B两点的距离
C．画出A、B两点的中点 D．连接A、B两点
【分析】直接利用基本作图的定义结合射线、线段的定义与性质分析得出答案．
【解答】解：A、画射线OP＝3 cm，错误，射线没有长度，故此选项不合题意；
B、画出A、B两点的距离，错误，应该是量出A、B两点的距离，故此选项不合题意；
C、画出A、B两点的中点，错误，应该是画出线段AB的中点，故此选项不合题意；
D、连接A、B两点，正确，符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了尺规作图的定义，正确把握相关定义是解题关键．
5．在下列各题中，属于尺规作图的是（ ）
A．利用三角板画45°的角
B．用直尺和三角板画平行线
C．用直尺画一工件边缘的垂线
D．用圆规在已知直线上截取一条线段等于已知线段
【分析】尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图．只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题．
【解答】解：A、利用三角板画45°的角不符合尺规作图的定义，错误；
B、用直尺和三角板画平行线不符合尺规作图的定义，错误；
C、用直尺画一工件边缘的垂线不符合尺规作图的定义，错误；
D、用圆规在已知直线上截取一条线段等于已知线段符合尺规作图的定义，正确．
故选：D．
【点评】本题考查尺规作图的定义，解题的关键是理解尺规作图的定义，属于中考基础题．
二．填空题（共3小题）
6．（2021秋•道里区期末）如图，∠AOB内有一点P，过点P画PC∥OB，PD∥OA，∠AOB＝60°，则∠CPD的度数为 60或120 度．
【分析】根据题意补全图形再根据平行线的性质求角的度数即可．
【解答】解：根据题意作图如下：
由图知，当C点和D点在P点同侧时∠CPD＝∠AOB＝60°，
当C点和D点分别在P点两侧时∠CPD＝180°﹣∠AOB＝180°﹣60°＝120°，
故答案为：60或120．
【点评】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
7．（2019秋•辉县市期末）一个小区大门的栏杆如图所示，BA垂直地面AE于A，CD平行于地面AE，那么∠ABC+∠BCD＝ 270 度．
【分析】作CH⊥AE于H，如图，根据平行线的性质得∠ABC+∠BCH＝180°，∠DCH+∠CHE＝180°，则∠DCH＝90°，于是可得到∠ABC+∠BCD＝270°．
【解答】解：作CH⊥AE于H，如图，
∵AB⊥AE，CH⊥AE，
∴AB∥CH，
∴∠ABC+∠BCH＝180°，
∵CD∥AE，
∴∠DCH+∠CHE＝180°，
而∠CHE＝90°，
∴∠DCH＝90°，
∴∠ABC+∠BCD＝180°+90°＝270°．
故答案为270．
【点评】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
8．（2020秋•石狮市期末）如图，AB∥CD，∠EGB＝50°，则∠CHG的大小为 130° ．
【分析】根据平行线的性质可得∠EHD＝∠EGB＝50°，再利用邻补角的性质可求解．
【解答】解：∵AB∥CD，∠EGB＝50°，
∴∠EHD＝∠EGB＝50°，
∴∠CHG＝180°﹣∠EHD＝130°．
故答案为：130°．
【点评】本题主要考查平行线的性质，邻补角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
三．解答题（共4小题）
9．（2021秋•临漳县期末）探究：如图①，DE∥BC，EF∥AB，若∠ABC＝50°，求∠DEF的度数．
请将下面的解答过程补充完整，并填空．
解：因为DE∥BC，
所以∠DEF＝ ∠EFC （ 两直线平行，内错角相等 ）．
因为EF∥AB，
所以 ∠EFC ＝∠ABC（ 两直线平行，同位角相等 ）．
所以∠DEF＝∠ABC（等量代换）．
因为∠ABC＝50°，
所以∠DEF＝ 50 °．
应用：如图②，DE∥BC，EF∥AB，若∠ABC＝65°，求∠DEF的度数．
【分析】探究：如图①，根据平行线的性质求解即可；
应用：如图②，根据平行线的性质求解即可．
【解答】解：探究：如图①，
因为DE∥BC，
所以∠DEF＝∠EFC（两直线平行，内错角相等），
因为EF∥AB，
所以∠EFC＝∠ABC（两直线平行，同位角相等），
所以∠DEF＝∠ABC（等量代换），
因为∠ABC＝50°，
所以∠DEF＝50°．
故答案为：∠EFC；两直线平行，内错角相等；∠EFC；两直线平行，同位角相等；50；
应用：如图②，
∵DE∥BC，∠ABC＝65°，
∴∠D＝∠ABC＝65°，
∵EF∥AB，
∴∠D+∠DEF＝180°，
∴∠DEF＝180°﹣65°＝115°．
【点评】此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，内错角相等”、“两直线平行，同位角相等”及“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．
10．（2021春•原州区期末）如图，AD∥BC，∠CAE的平分线是AD，∠C＝65°．请你计算出∠DAE、∠CAB和∠B的度数．
【分析】根据平行线的性质及角平分线的定义求解即可．
【解答】解：∵AD∥BC，∠C＝65°，
∴∠DAC＝∠C＝65°，
∵∠CAE的平分线是AD，
∴∠DAE＝∠DAC＝65°，∠CAE＝2∠DAC＝130°，
∵AD∥BC，
∴∠B＝∠DAE＝65°，
∵∠CAB+∠CAE＝180°，
∴∠CAB＝180°﹣130°＝50°．
【点评】此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，内错角相等”及“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．
11．（2021春•敦化市期末）如图，已知：AE∥BF，∠A＝∠F，证明：∠C＝∠D．
【分析】由平行线的性质可得∠F＝∠AED，从而可有∠A＝∠AED，则可判断AB∥DF，即可证明∠C＝∠D．
【解答】证明：∵AE∥BF，
∴∠F＝∠AED，
∵∠A＝∠F，
∴∠A＝∠AED，
∴AB∥DF，
∴∠C＝∠D．
【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行内错角相等．
12．（2021春•南丹县期末）如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC、CB上，且DE∥BC，EF∥AB，若∠ABC＝65°，求∠DEF的度数．请将下面的解答过程补充完整：
解：∵DE∥BC（ 已知 ），
∴∠DEF＝∠CFE（ 两直线平行，内错角相等 ），
∵EF∥AB，
∴ ∠CFE ＝∠ABC（ 两直线平行，同位角相等 ），
∴∠DEF＝∠ABC（ 等量代换 ）．
∵∠ABC＝65°，
∴∠DEF＝ 65°． ．
【分析】根据DE∥BC，可推出∠DEF＝∠CFE，根据EF∥AB，可推出∠CFE＝∠ABC，即可证∠DEF＝∠ABC＝65°．
【解答】解：∵DE∥BC（已知），
∴∠DEF＝∠CFE（两直线平行，内错角相等），
∵EF∥AB
∴∠CFE＝∠ABC（两直线平行，同位角相等），
∴∠DEF＝∠ABC（等量代换），
∵∠ABC＝65°，
∴∠DEF＝65°．
故答案为：已知，两直线平行，内错角相等，∠CFE，两直线平行，同位角相等，等量代换，65°．
【点评】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质并能熟练应用以及能详细写出推理过程是解题的关键．
题组B 能力提升练
一．选择题（共6小题）
1．（2020秋•南岸区期末）如图，D是∠ABC的边BC上一点，DE∥BA，∠CBE和∠CDE的平分线交于点F，若∠F＝α，则∠ABE的大小为（ ）
A．α B．α C．2α D．
【分析】由角平分线的定义可得∠EBF＝∠CBF，∠EDF＝∠CDF，由三角形的外角性质可得∠EOF＝∠EBF+∠E，∠EOF＝∠EDF+∠F，∠CBF+∠F＝∠CDF，从而可求解．
【解答】解：如图，
∵∠CBE和∠CDE的平分线交于点F，
∴∠EBF＝∠CBF，∠EDF＝∠CDF，
∵∠EOF＝∠EBF+∠E，∠EOF＝∠EDF+∠F，∠CBF+∠F＝∠CDF，
∴∠EBF+∠E＝∠EDF+∠F，∠EDF＝∠CBF+∠F，
∴∠CDF﹣∠F+∠E＝∠CDF+∠F，
∴∠E＝2∠F，
即∠E＝2α，
∵DE∥BA，
∴∠ABE＝∠E＝2α．
故选：C．
【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系，求得∠E＝2α．
2．（2021秋•上思县期中）如图所示，若AB∥DE，且∠E＝55°，则∠B+∠C的度数是（ ）
A．135° B．125° C．55° D．45°
【分析】利用平行线的性质结合三角形的外角的性质解决问题即可．
【解答】解：∵AB∥DE，
∴∠E＝∠BFE＝55°，
∵∠BFE＝∠B+∠C，
∴∠B+∠C＝55°，
故选：C．
【点评】本题考查平行线的性质，三角形的外角等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
3．（2021•临沭县模拟）如图，已知AB∥CD，∠A＝56°，∠E＝18°，则∠C的度数是（ ）
A．32° B．34° C．36° D．38°
【分析】设AE与CD交于点O，由AB∥CD，利用“两直线平行，同位角相等”可得出∠DOE的度数，再利用三角形外角的性质，即可求出∠C的度数．
【解答】解：设AE与CD交于点O，如图所示：
∵AB∥CD，∠A＝56°，
∴∠DOE＝∠A＝56°．
∵∠DOE＝∠C+∠E，∠E＝18°，
∴∠C＝∠DOE﹣∠E＝56°﹣18°＝38°．
故选：D．
【点评】本题考查了平行线的性质以及三角形外角的性质，解题的关键是：利用“两直线平行，同位角相等”找出∠DOE的度数．
4．（2021•河南模拟）将含30°角的直角三角尺如图摆放，直线a∥b，若∠1＝65°，则∠2的度数为（ ）
A．45° B．50° C．55° D．60°
【分析】由已知条件和平行线的性质可求∠3（∠3+∠4+∠1＝180°），再根据对顶角的性质可以求出∠2的度数．
【解答】解：如图所示：
∵a∥b，
∴∠3+∠4+∠1＝180°，
∵∠4＝60°，∠1＝65°，
∴∠3＝180°﹣∠4﹣∠1＝180°﹣60°﹣65°＝55°．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线的性质．牢固掌握平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．
5．（2021秋•常州期中）下列作图语句正确的是（ ）
A．连接AD，并且平分∠BAC B．延长射线AB
C．作∠AOB的平分线OC D．过点A作AB∥CD∥EF
【分析】根据基本作图的方法，逐项分析，从而得出正确的结论．
【解答】解：A．连接AD，不能同时使平分∠BAC，此作图错误；
B．只能反向延长射线AB，此作图错误；
C．作∠AOB的平分线OC，此作图正确；
D．过点A作AB∥CD或AB∥EF，此作图错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了作图﹣尺规作图的定义：用没有刻度的直尺和圆规作图，正确把握定义是解题关键．
6．下列作图不是尺规作图的是（ ）
A．用直尺和圆规作线段a等于已知线段
B．用直尺和圆规作一个角等于已知角
C．用刻度尺和圆规作一条10cm的线段
D．用直尺和圆规作一个三角形
【分析】根据五种基本作图判断即可．
【解答】解：A、用直尺和圆规作线段a等于已知线段，属于属于尺规作图，本选项不符合题意．
B、用直尺和圆规作一个角等于已知角，属于属于尺规作图，本选项不符合题意．
C、用刻度尺和圆规作一条10cm的线段，不属于属于尺规作图，本选项符合题意．
D、用直尺和圆规作一个三角形，属于属于尺规作图，本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查作图﹣尺规作图的定义，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
二．填空题（共4小题）
7．（2021秋•南岗区期末）如图，m∥n，l⊥n，垂足为点A，l交m于点B，点C在直线n上，请在直线m上取一点D，连接CD，过点D作DE⊥CD交直线l于点E，若∠BED＝60°，则∠ACD＝ 120或60 度．
【分析】分E在B上方、E'在B下方两种情况，画出图形，根据已知可得答案．
【解答】解：如图：
①当E在B上方时，
∵m∥n，l⊥n，
∴∠EBD＝90°，
∵∠BED＝60°，
∴∠BDE＝30°，
∵DE⊥CD，
∴∠BDC＝60°，
∵m∥n，
∴∠ACD＝180°﹣∠BDC＝120°，
②当E'在B下方时，
∠BD'E'＝30°，
∵CD'⊥D'E'，
∴∠DD'C＝60°，
∴∠ACD'＝60°，
综上所述，∠ACD为120°或60°，
故答案为：120或60．
【点评】本题考查平行线的性质及应用，解题的关键是分类画出图形，掌握两直线平行，同位角、内错角相等，同旁内角互补．
8．（2021秋•道里区期末）如图，a∥b，∠1＝∠2，∠3＝40°，则∠4等于 70 度．
【分析】根据两条直线平行，同旁内角互补可以得∠1+∠2＝140°，求出∠2，再利用平行线的性质得出∠4．
【解答】解：∵a∥b，
∴∠2+∠1+∠3＝180°，
∵∠1＝∠2，∠3＝40°，
∴∠2＝70°，
∴∠4＝70°，
故答案为：70
【点评】此题考查平行线的性质，关键是主要运用了平行线的性质解答．
9．（2020秋•成都期末）如图，把一条两边边沿互相平行的纸带折叠，若∠β＝56°，则∠α＝ 62° ．
【分析】由于纸片的两边平行，可得∠1＝∠β＝56°，由折叠可得重合的角相等，利用平角可求得∠α的度数．
【解答】解：如图所示：
∵纸片两边平行，
∴∠1＝∠β＝56°，
由折叠的性质得：2∠α+∠1＝180°，
∴2∠α+56°＝180°，
解得：∠α＝62°．
故答案为：62°．
【点评】本题考查了平行线的性质、翻折变换问题；找着重合的角，利用平角定义列出方程是解题的关键．
10．（2021春•沙坪坝区校级期中）如图，将一张长方形的纸片沿折痕EF翻折，使点B、C分别落在点M、N的位置，且∠AFM＝∠EFM，则∠NED＝ 36 °．
【分析】由折叠的性质可得：∠MFE＝∠EFC，得2∠MFA＝∠MFE，可设∠MFA＝x°，然后根据平角的定义，即可得方程：x+2x+2x＝180，解此方程即可求得答案．
【解答】解：折叠的性质可得：∠MFE＝∠EFC，
∴2∠MFA＝∠MFE，
设∠MFA＝x°，则∠MFE＝∠CFE＝2x°，
∵x+2x+2x＝180，
∴x＝36，
∴∠MFE＝72°＝∠BFE，
∵AB∥CD，
∴∠DEF＝∠BFE＝72°，
又∵NE∥MF，
∴∠DEN＝180°﹣72°﹣72°＝36°．
故答案为：36．
【点评】此题考查了折叠的性质、平行线的性质，解题的关键是注意方程思想与数形结合思想的应用．解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．
三．解答题（共4小题）
11．（2021秋•农安县期末）已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA、PD．
（1）如图1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度数；
（2）如图2，判断∠PAB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为 ∠CDP+∠PAB﹣APD＝180° ．
（3）如图3，在（2）的条件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠PAN+∠PAB＝∠APD，求∠AND的度数．
【分析】（1）过点P作EF∥AB，根据平行线的性质可得∠APE＝∠A＝50°，∠EPD＝180°﹣150°＝30°，即可求出∠APD的度数；
（2）过点P作EF∥AB，则AB∥EF∥CD，根据平行线的性质可得∠CDP＝∠DPF，∠FPA+∠PAB＝180°，又∠FPA＝∠DPF﹣APD，即可得出∠CDP+∠PAB﹣APD＝180°；
（3）PD交AN于点O，由AP⊥PD，得出∠APO＝90°，由∠PAN+∠PAB＝∠APD得出∠PAN+∠PAB＝90°，由∠POA+∠PAN＝90°，得出∠POA＝∠PAB，由对顶角相等得出∠NOD＝∠PAB，由角平分线的性质得出∠ODN＝∠PDC，即∠AND＝180°﹣（∠PAB+∠PDC），由（2）得：∠CDP+∠PAB﹣APD＝180°，代入计算即可求出∠AND的度数．
【解答】解：（1）如图1，过点P作EF∥AB，
∵∠A＝50°，
∴∠APE＝∠A＝50°，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠CDP+∠EPD＝180°，
∵∠D＝150°，
∴∠EPD＝180°﹣150°＝30°，
∴∠APD＝∠APE+∠EPD＝50°+30°＝80°；
（2）如图2，过点P作EF∥AB，则AB∥EF∥CD，
∴∠CDP＝∠DPF，∠FPA+∠PAB＝180°，
∵∠FPA＝∠DPF﹣APD，
∴∠DPF﹣APD+∠PAB＝180°，
∴∠CDP+∠PAB﹣APD＝180°，
故答案为：∠CDP+∠PAB﹣APD＝180°；
（3）如图3，PD交AN于点O，
∵AP⊥PD，
∴∠APO＝90°，
∵∠PAN+∠PAB＝∠APD，
∴∠PAN+∠PAB＝90°，
∵∠POA+∠PAN＝90°，
∴∠POA＝∠PAB，
∵∠POA＝∠NOD，
∴∠NOD＝∠PAB，
∵DN平分∠PDC，
∴∠ODN＝∠PDC，
∴∠AND＝180°﹣∠NOD﹣∠ODN
＝180°﹣（∠PAB+∠PDC），
由（2）得：∠CDP+∠PAB﹣APD＝180°，
∴∠CDP+∠PAB＝180°+∠APD，
∴∠AND＝180°﹣（∠PAB+∠PDC）
＝180°﹣（180°+∠APD）
＝180°﹣（180°+90°）
＝45°．
【点评】本题考查了平行线的性质及垂线，掌握平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
12．（2021秋•嵩县期末）已知一角的两边与另一个角的两边分别平行，试探索这两个角之间的关系，并说明你的结论．
（1）如图1所示，AB∥EF，BC∥DE，则∠1与∠2的关系是 ∠1＝∠2 ；
（2）如图2所示，AB∥EF，BC∥DE，则∠1与∠2的关系是 ∠1+∠2＝180° ；
（3）经过上述探索，我们可以得到一个结论（试用文字语言表述）： 一角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角要么相等，要么互补 ；
（4）若两个角的两边分别平行，且一个角比另一个角的2倍少30°，则这两个分别是多少度？
【分析】（1）由AB∥EF，BC∥DE，得∠1＝∠3，∠3＝∠2，那么∠1＝∠2．
（2）由AB∥EF，得∠1＝∠BGE．由BC∥DE，得∠2+∠BGE＝180°，故∠1+∠2＝180°．
（3）由（1）、（2）概括总结．
（4）根据（3）中的结论得到两个角的数量关系，从而解决此题．
【解答】解：（1）如图1．
∵AB∥EF，
∴∠1＝∠3．
∵BC∥DE，
∴∠3＝∠2．
∴∠1＝∠2．
故答案为：∠1＝∠2．
（2）∵AB∥EF，
∴∠1＝∠BGE．
∵BC∥DE，
∴∠2+∠BGE＝180°．
∴∠1+∠2＝180°．
故答案为：∠1+∠2＝180°．
（3）由（1）、（2）得：一角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角要么相等，要么互补．
（4）这这两个角分别是∠1、∠2，且∠1＝2∠2﹣30°．
∵∠1+∠2＝180°，
∴2∠2﹣30°+∠2＝180°．
∴∠2＝70°．
∴∠1＝2×70°﹣30°＝110°．
∴这两个角分别为70°、110°．
【点评】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解决本题的关键．
13．（2021秋•虎林市期末）（1）如图（1），AB∥EF．求证：∠BCF＝∠B+∠F．
（2）当点C在直线BF的右侧时，如图（2），若AB∥EF，则∠BCF与∠B、∠F的关系如何？请说明理由．
【分析】（1）过C作CD∥AB，推出AB∥CD∥EF，根据平行线性质得出∠B＝∠BCD，∠F＝∠FCD，即可得出答案；
（2）过C作CD∥AB，推出AB∥CD∥EF，根据平行线性质得出∠B+∠BCD＝180°，∠F+∠FCD＝180°，即可得出答案．
【解答】（1）证明：过C作CD∥AB，
∵AB∥EF，
∴CD∥AB∥EF，
∴∠B＝∠BCD，∠F＝∠FCD，
∴∠B+∠F＝∠BCF．
（2）∠B+∠F+∠BCF＝360°，
理由是：过C作CD∥AB，
则∠B+∠BCD＝180°，
又∵AB∥EF，AB∥CD，
∴CD∥EF∥AB，
∴∠F+∠FCD＝180°，
∴∠B+∠F+∠BCF＝360°．
【点评】本题考查了平行线的性质的应用，注意：两直线平行．内错角相等，两直线平行，同旁内角互补．
14．（2020秋•开江县期末）当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等．例如：在图①、图②中都有∠1＝∠2，∠3＝∠4．设镜子AB与BC的夹角∠ABC＝α．
（1）如图①，若α＝90°，判断入射光线EF与反射光线GH的位置关系，并说明理由．
（2）如图②，若90°＜α＜180°，入射光线EF与反射光线GH的夹角∠FMH＝β．探索α与β的数量关系，并说明理由．
（3）如图③，若α＝130°，设镜子CD与BC的夹角∠BCD为钝角，入射光线EF与镜面AB的夹角∠1＝x（0°＜x＜90°）．已知入射光线EF从镜面AB开始反射，经过n（n为正整数，且n≤3）次反射，当第n次反射光线与入射光线EF平行时，请直接写出∠BCD的度数（可用含x的代数式表示）．
【分析】（1）在△BEG中，∠2+∠3+α＝180°，α＝90°，可得∠2+∠3＝90°，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等可得，∠FEG+∠EGH＝180°，进而可得EF∥GH；
（2）在△BEG中，∠2+∠3+α＝180°，可得∠2+∠3＝180°﹣α，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等可得，∠MEG＝2∠2，∠MGE＝2∠3，在△MEG中，∠MEG+∠MGE+β＝180°，可得α与β的数量关系；
（3）分两种情况画图讨论：①当n＝3时，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等，及△GCH内角和，可得γ＝90°+m．②当n＝2时，如果在BC边反射后与EF平行，则α＝90°，与题意不符；则只能在CD边反射后与EF平行，根据三角形外角定义，可得∠G＝γ﹣50°，由EF∥HK，且由（1）的结论可得，γ＝140°．
【解答】解：（1）EF∥GH，
理由如下：在△BEG中，∠2+∠3+α＝180°，
∵α＝90°，
∴∠2+∠3＝90°，
∵∠1+∠2+∠FEG＝180°，∠3+∠4+∠EGH＝180°，∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠1+∠2+∠FEG+∠3+∠4+∠EGH＝360°，
∴∠FEG+∠EGH＝180°，
∴EF//GH；
（2）β＝2α﹣180°．
理由如下：在△BEG中，∠2+∠3+α＝180°，
∴∠2+∠3＝180°﹣α，
∵∠1＝∠2，∠1＝∠MEB，
∴∠2＝∠MEB，
∴∠MEG＝2∠2，
∵∠3＝∠4，∠4＝∠MGB∴∠3＝∠MGB，
∴∠MGE＝2∠3，
在△MEG中，∠MEG+∠MGE+β＝180°，
∴β＝180°﹣（∠MEG+∠MGE）＝180°﹣（2∠2+2∠3）＝180°﹣2（∠2+∠3）＝180°﹣2（180°﹣α）＝2α﹣180°；
（3）90°+m或140°．
理由如下：①当n＝3时，如下图所示：
∵∠BEG＝∠1＝x，
∴∠BGE＝∠CGH＝60°﹣x，
∴∠FEG＝180°﹣2∠1＝180°﹣2x，
∠EGH＝180°﹣2∠BGE＝180°﹣2（60°﹣x），
∵EF∥HK，
∴∠FEG+∠EGH+∠GHK＝360°，
则∠GHK＝120°，
则∠GHC＝30°，
由△GCH内角和，得γ＝90°+x．
②当n＝2时，如果在BC边反射后与EF平行，则α＝90°，
与题意不符；
则只能在CD边反射后与EF平行，
如下图所示：
根据三角形外角定义，得
∠G＝γ﹣＝50°，
由EF∥HK，且由（1）的结论可得，
∠G＝γ﹣50°＝90°，
则γ＝140°．
综上所述：γ的度数为：90°+x或140°．
【点评】本题考查了平行线的性质、列代数式，解决本题的关键是掌握平行线的性质，注意分类讨论思想的利用．
题组C 培优拔尖练
一．选择题（共1小题）
1．（2021春•红谷滩区校级期末）如图，将长方形ABCD沿线段EF折叠到EB'C'F的位置，若∠EFC'＝100°，则∠DFC'的度数为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
【分析】由轴对称的性质可求出∠EFC的度数，可由式子∠EFC+∠EFC'﹣180°直接求出∠DFC'的度数．
【解答】解：由翻折知，∠EFC＝∠EFC'＝100°，
∴∠EFC+∠EFC'＝200°，
∴∠DFC'＝∠EFC+∠EFC'﹣180°＝200°﹣180°＝20°，
故选：A．
【点评】本题考查了翻折变化（轴对称）的性质及角的计算，解题关键是熟练掌握并能够灵活运用轴对称变换的性质等．
二．填空题（共7小题）
2．（2021秋•香坊区校级期中）已知AB∥CD，∠ACD＝60°，∠BAE：∠CAE＝2：3，∠FCD＝4∠FCE，若∠AEC＝78°，则∠AFC＝ 88° ．
【分析】先求出∠CAB＝120°，在求出∠CAF的度数，在△ACE中求出∠ACE度数，设∠FCE＝x，则∠FCD＝4x，进而表示出∠ACF，再表示出∠ACE，求出x，进一步可求得结果．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠CAB＝180°﹣∠ACD＝180°﹣60°＝120°，
∵∠BAE：∠CAE＝2：3，
∴∠CAE＝120×＝72°，
∵∠AEC＝78°，
∴∠ACE＝180°﹣∠AEC﹣∠CAE
＝180°﹣78°﹣72°
＝30°，
设∠FCE＝x，则∠FCD＝4x，
∴∠ACF＝∠ACD﹣∠FCD＝60°﹣4x，
∴∠ACE＝∠ACF+∠ECF＝60°﹣3x，
∴60°﹣3x＝30°，
∴x＝10°，
∴∠ACF＝60°﹣40°＝20°，
∴∠AFC＝180°﹣∠ACF﹣∠CAE
＝180°﹣20°﹣72°
＝88°，
故答案是：88°．
【点评】本题考查了平行线性质，三角形内角和定理，角的和差关系等知识，解决问题的关键是弄清角与角的数量关系．
3．（2021春•东港区校级期末）把一张对边互相平行的纸条，折成如图所示，EF是折痕，若∠EFB＝32°，则下列结论：①∠C'EF＝32°；②∠AEC＝1480'；③∠BGE＝64°；④∠BFD＝116°．正确的有 3 个．
【分析】根据平行线的性质由AC′∥BD′，得到∠C′EF＝∠EFB＝32°；根据折叠的性质得∠C′EF＝∠FEC，则∠C′EC＝2×32°＝64°，利用平角的定义得到∠AEC＝180°﹣64°＝116°；再根据折叠性质有∠BFD＝∠EFD′，利用平角的定义得到∠BFD＝∠EFD′﹣∠BFE＝180°﹣2∠EFB＝180°﹣64°＝116°；根据平行线性质可得∠BGE＝∠C′EC＝2×32°．
【解答】解：∵AC′∥BD′，
∴∠C′EF＝∠EFB＝32°，所以①正确；
∵∠C′EF＝∠FEC，
∴∠C′EC＝2×32°＝64°，
∴∠AEC＝180°﹣64°＝116°＝6960′，所以②错误；
∴∠BFD＝∠EFD′﹣∠BFE＝180°﹣2∠EFB＝180°﹣64°＝116°，所以④正确；
∵∠BGE＝∠C′EC＝2×32°＝64°，所以③正确．
故答案为3．
【点评】本题考查的是平行线的性质及翻折变换的性质，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键．
4．（2021春•涡阳县期末）如图，AB∥CD，P2E平分∠P1EB，P2F平分∠P1FD，若设∠P1EB＝x°，∠P1FD＝y°则∠P1＝ （x+y） 度（用x，y的代数式表示），若P3E平分∠P2EB，P3F平分∠P2FD，可得∠P3，P4E平分∠P3EB，P4F平分∠P3FD，可得∠P4…，依次平分下去，则∠Pn＝ （）n﹣1（x+y） 度．
【分析】本题的关键是作过P1的辅助线MN∥AB，然后利用平行线的性质、角平分线的定义，结合归纳推理思想解决本题．
【解答】解：（1）如图，分别过点P1、P2作直线MN∥AB，GH∥AB，
∴∠P1EB＝∠MP1E＝x°．
又∵AB∥CD，
∴MN∥CD．
∴∠P1FD＝∠FP1M＝y°．
∴∠EP1F＝∠EP1M+∠FP1M＝x°+y°．
（2）∵P2E平分∠BEP1，P2F平分∠DFP1，
∴＝．
．
以此类推：，，...，．
故答案为：（x+y），（）n﹣1（x+y）．
【点评】主要考查平行线的性质及角平分线的定义，利用归纳推理的思想解决．
5．（2021春•辛集市期末）把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G，D、C分别在M、N的位置上，若∠EFG＝49°，则∠2﹣∠1＝ 16° ．
【分析】先利用平行线的性质得∠2＝∠DEG，∠EFG＝∠DEF＝49°，再根据折叠的性质得∠DEF＝∠GEF＝49°，所以∠2＝98°，接着利用互补计算出∠1，然后计算∠2﹣∠1．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠2＝∠DEG，∠EFG＝∠DEF＝49°，
∵长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G，
∴∠DEF＝∠GEF＝49°，
∴∠2＝2×49°＝98°，
∴∠1＝180°﹣98°＝82°，
∴∠2﹣∠1＝98°﹣82°＝16°．
故答案为16°．
【点评】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．也考查了折叠的性质．
6．（2021春•乐清市期末）将一副三角板如图1所示摆放，直线GH∥MN，现将三角板ABC绕点A以每秒1°的速度顺时针旋转，同时三角板DEF绕点D以每秒2°的速度顺时针旋转，设时间为t秒，如图2，∠BAH＝t°，∠FDM＝2t°，且0≤t≤150，若边BC与三角板的一条直角边（边DE，DF）平行时，则所有满足条件的t的值为 30或120 ．
【分析】根据题意得∠HAC＝∠BAH+∠BAC＝t°+30°，∠FDM＝2t°，（1）如图1，当DE∥BC时，延长AC交MN于点P，分两种情况讨论：①DE在MN上方时，②DE在MN下方时，∠FDP＝2t°﹣180°，列式求解即可；（2）当BC∥DF时，延长AC交MN于点I，①DF在MN上方时，∠FDN＝180°﹣2t°，②DF在MN下方时，∠FDN＝180°﹣2t°，列式求解即可．
【解答】解：由题意得，∠HAC＝∠BAH+∠BAC＝t°+30°，∠FDM＝2t°，
（1）如图1，当DE∥BC时，延长AC交MN于点P，
①DE在MN上方时，
∵DE∥BC，DE⊥DF，AC⊥BC，
∴AP∥DF，
∴∠FDM＝∠MPA，
∵MN∥GH，
∴∠MPA＝∠HAC，
∴∠FDM＝∠HAC，即2t°＝t°+30°，
∴t＝30，
②DE在MN下方时，∠FDP＝2t°﹣180°，
∵DE∥BC，DE⊥DF，AC⊥BC，
∴AP∥DF，
∴∠FDP＝∠MPA，
∵MN∥GH，
∴∠MPA＝∠HAC，
∴∠FDP＝∠HAC，即2t°﹣180°＝t°+30°，
∴t＝210（不符合题意，舍去），
（2）当BC∥DF时，延长AC交MN于点I，
①DF在MN上方时，∠FDN＝180°﹣2t°，
∵DF∥BC，AC⊥BC，
∴AI∥DF，
∴∠FDN+∠MIA＝90°，
∵MN∥GH，
∴∠MIA＝∠HAC，
∴∠FDN+∠HAC＝90°，即180°﹣2t°+t°+30°＝90°，
∴t＝120，
②DF在MN下方时，∠FDN＝180°﹣2t°，
∵DF∥BC，AC⊥BC，DE⊥DF，
∴AC∥DE，
∴∠AIM＝∠MDE，
∵MN∥GH，
∴∠MIA＝∠HAC，
∴∠EDM＝∠HAC，即2t°﹣180°＝t°+30°，
∴t＝210（不符合题意，舍去），
综上所述：所有满足条件的t的值为30或120．
故答案为：30或120．
【点评】本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质．
7．（2021春•钦州期末）如图，已知AB∥CD，BE、DE的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作∠ABE和∠CDE的平分线，交点为E1，第二次操作，分别作∠ABE1和∠CDE1的平分线，交点为E2，第三次操作，分别作∠ABE2和∠CDE2的平分线，交点为E3，…第n（n≥2）次操作，分别作∠ABEn﹣1和∠CDEn﹣1的平分线，交点为En，若∠En＝α度，则∠BED＝ 2nα 度．
【分析】先过E作EF∥AB，根据AB∥CD，得出AB∥EF∥CD，再根据平行线的性质，得出∠ABE＝∠1，∠CDE＝∠2，进而得到∠BED＝∠ABE+∠CDE；先根据∠ABE和∠CDE的平分线交点为E1，运用（1）中的结论，得出∠DE1B＝∠ABE1+∠CDE1＝∠ABE+∠CDE＝∠BED；同理可得∠BE2D＝∠ABE2+∠CDE2＝∠ABE1+∠CDE1＝∠DE1B＝∠BED；根据∠ABE2和∠CDE2的平分线，交点为E3，得出∠BE3D＝∠BED；…据此得到规律∠En＝∠BED，最后求得∠BED的度数．
【解答】解：如图，过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠ABE＝∠1，∠CDE＝∠2，
∵∠BED＝∠1+∠2，
∴∠BED＝∠ABE+∠CDE；
∵∠ABE和∠CDE的平分线交点为E1
∴∠DE1B＝∠ABE1+∠CDE1＝∠ABE+∠CDE＝∠BED．
∵∠ABE1和∠DCE1的平分线交点为E2，
∴∠BE2D＝∠ABE2+∠CDE2＝∠ABE1+∠CDE1＝∠DE1B＝∠BED；
∵∠ABE2和∠CDE2的平分线，交点为E3，
∴∠BE3D＝∠ABE3+∠CDE3＝∠ABE2+∠CDE2＝∠DE2B＝∠BED；
…
以此类推，∠En＝∠BED．
∴当∠En＝α度时，∠BED等于（2nα）度．
故答案为：2nα．
【点评】本题主要考查了角平分线的定义以及平行线性质．解决问题的关键是作平行线构造内错角，解题时注意：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
8．（2021春•奉化区校级期末）如图，AB∥CD，∠DCE的角平分线CG的反向延长线和∠ABE的角平分线BF交于点F，∠E﹣∠F＝33°，则∠E＝ 82° ．
【分析】过F作FH∥AB，依据平行线的性质，可设∠ABF＝∠EBF＝α＝∠BFH，∠DCG＝∠ECG＝β＝∠CFH，根据四边形内角和以及∠E﹣∠F＝33°，即可得到∠E的度数．
【解答】解：如图，过F作FH∥AB，
∵AB∥CD，
∴FH∥AB∥CD，
∵∠DCE的角平分线CG的反向延长线和∠ABE的角平分线BF交于点F，
∴可设∠ABF＝∠EBF＝α＝∠BFH，∠DCG＝∠ECG＝β＝∠CFH，
∴∠ECF＝180°﹣β，∠BFC＝∠BFH﹣∠CFH＝α﹣β，
∴四边形BFCE中，∠E+∠BFC＝360°﹣α﹣（180°﹣β）＝180°﹣（α﹣β）＝180°﹣∠BFC，
即∠E+2∠BFC＝180°，①
又∵∠E﹣∠BFC＝33°，
∴∠BFC＝∠E﹣33°，②
∴由①②可得，∠E+2（∠E﹣33°）＝180°，
解得∠E＝82°，
故答案为：82°．
【点评】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补．
三．解答题（共5小题）
9．（2021秋•农安县期末）如图，点P是∠AOB的边OB上的一点，过点P画OB的垂线，交OA于点C；
（1）过点P画OA的垂线，垂足为H；
（2）线段PH的长度是点P到 OA 的距离， 线段CP的长度 是点C到直线OB的距离．线段PC、PH、OC这三条线段大小关系是 PH＜PC＜OC （用“＜”号连接）
【分析】（1）过点P画OA的垂线，即过点P画∠PHO＝90°即可，
（2）利用点到直线的距离可以判断线段PH的长度是点P到OA的距离，PC是点C到直线OB的距离，线段PC、PH、OC这三条线段大小关系是PH＜PC＜OC．
【解答】解：（1）如图：
（2）线段PH的长度是点P到直线OA的距离，
线段CP的长度是点C到直线OB的距离，
根据垂线段最短可得：PH＜PC＜OC，
故答案为：OA，线段CP，PH＜PC＜OC．
【点评】本题主要考查了基本作图﹣﹣﹣﹣作已知直线的垂线，另外还需利用点到直线的距离才可解决问题．
10．（2021秋•南岗区校级期中）已知，AB∥DE，点C在AB上方，连接BC、CD．
（1）如图1，求证：∠BCD+∠CDE＝∠ABC；
（2）如图2，过点C作CF⊥BC交ED的延长线于点F，探究∠ABC和∠F之间的数量关系；
（3）如图3，在（2）的条件下，∠CFD的平分线交CD于点G，连接GB并延长至点H，若BH平分∠ABC，求∠BGD﹣∠CGF的值．
【分析】（1）过点C作CM∥AB，可得∠ABC＝∠BCM，再由平行线的性质得∠CDE＝∠DCM，则可求得∠ABC＝∠BCD+∠CDE；
（2）过点C作CN∥AB，可证得CN∥EF，由∠F＝∠FCN，结合垂线，从而可求得∠ABC﹣∠F＝90°；
（3）延长HG交EF于点Q，过点G作GP∥EF，不难证得∠FGQ＝∠ABH﹣∠EFG，再由角平分线的定义得∠ABH＝∠ABC，∠EFG＝∠CFD，可得∠FGQ＝（∠ABC﹣∠CFD），结合（2）即可求解．
【解答】（1）证明：过点C作CM∥AB，如图1，
∴∠ABC＝∠BCM，
∵AB∥ED，
∴∠CDE＝∠DCM，
∵∠BCM＝∠BCD+∠DCM，
∴∠ABC＝∠BCD+∠CDE；
（2）解：∠ABC﹣∠F＝90°，理由：
过点C作CN∥AB，如图2，
∴∠ABC＝∠BCN，
∵AB∥ED，
∴CN∥EF，
∴∠F＝∠FCN，
∵∠BCN﹣∠BCF+∠FCN，
∴∠ABC＝∠BCF+∠F，
∵CF⊥BC，
∴∠BCF＝90°，
∴∠ABC＝90°+∠F，
即∠ABC﹣∠F＝90°；
（3）延长HG交EF于点Q，过点G作GP∥EF，如图3，
∴∠BGD＝∠CGQ，
∵AB∥DE，
∴∠ABH＝∠EQG，
∵GP∥EF，
∴∠EQG＝∠PGQ，∠EFG＝∠PGF，
∴∠PGQ＝∠ABH，
∴∠BGD﹣∠CGF＝∠CGQ﹣∠CGF＝∠FGQ，
∵∠FGQ＝∠PGQ﹣∠PGF，
∴∠FGQ＝∠ABH﹣∠EFG，
∵BH平分∠ABC，FG平分∠CFD，
∴∠ABH＝∠ABC，∠EFG＝∠CFD，
∴∠FGQ＝∠ABC﹣∠CFD＝（∠ABC﹣∠CFD），
由（2）可得：∠ABC﹣∠CFD＝90°，
∴∠FGQ＝×90°＝45°，
即∠BGD﹣∠CGF＝45°．
【点评】本题主要考查平行线的性质，垂线，解答的关键是结合图形，分析清楚角与角之间的关系．
11．（2021•泉州模拟）如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC．（∠ABD的度数大于90°小于120°）
（1）求证：∠BED＝90°；
（2）若点F为射线BE上一点，∠EDF＝α，∠ABF的角平分线BG与∠CDF的角平分线DG交于点G，试用含α的式子表示∠BGD的大小；
（3）延长BE交CD于点H，点F为线段BH上一动点，∠ABF邻补角的角平分线与∠CDF邻补角的角平分线DG交于点G，探究∠BGD与∠BFD之间的数量关系，请直接写出结论： 2∠BGD+∠BFD＝360° ．（题中所有的角都是大于0°小于180°的角）
【分析】（1）由AB∥CD得∠ABD+∠BDC＝180°，由角平分线的定义和等量代换可得：∠EBD+∠EDB＝90°，进一步即可根据三角形的内角和定理证得结论；
（2）当点G在AB、CD之间时，如图2，由（1）的结论和角平分线的定义可推出2∠ABG+2∠CDG＝90°﹣α或2∠ABG+2∠CDG＝90°+α，过点C作GH∥AB，由平行线的性质可得∠BGD＝∠ABG+∠CDG，进一步即可推出结论；当点G在AB、CD下方时；如图3，同样的方法解答即可；
（3）如图4，过点FG分别作FM∥AB、GM∥AB，则AB∥GM∥FN∥CD，由平行线的性质和角平分线的定义可得∠BFD＝∠3+∠5，∠BGD＝∠4+∠6，然后利用角的和差整理变形即得结论．
【解答】（1）证明：∵BE平分∠ABD，
∴∠EBD＝∠ABD，
∵DE平分∠BDC，
∴∠EDB＝∠BDC，
∴∠EBD+∠EDB＝（∠ABD+∠BDC），
∵AB∥CD，
∴∠ABD+∠BDC＝180°，
∴∠EBD+∠EDB＝90°，
∴∠BED＝180°﹣（∠EBD+∠EDB）＝90°．
（2）①当点G在AB、CD之间且点F在BE延长线上，
如图2，
由（1）知：∠EBD+∠EDB＝90°，
又∵∠ABD+∠BDC＝180°，
∴∠ABE+∠EDC＝90°，
即∠ABE+α+∠FDC＝90°，
∵BG平分∠ABE，DG平分∠CDF，
∴∠ABE＝2∠ABG，∠CDF＝2∠CDG，
∴2∠ABG+2∠CDG＝90°﹣α，
过点G作GH∥AB，
∵AB∥CD，
∴GH∥AB∥CD
∴∠ABG＝∠BGH，∠HGD＝∠CDG，
∴∠BGD＝∠BGH+∠HGD＝∠ABG+∠CDG＝；
②当点G在AB、CD之间且点F在线段BE上，如图2﹣1，
由（1）知：∠EBD+∠EDB＝90°，
又∵∠ABD+∠BDC＝180°，
∴∠ABE+∠EDC＝90°，
即∠ABE+∠FDC﹣α＝90°，
∵BG平分∠ABE，DG平分∠CDF，
∴∠ABE＝2∠ABG，∠CDF＝2∠CDG，
∴2∠ABG+2∠CDG＝90°+α，
过点G作GH∥AB，
∵AB∥CD，
∴GH∥AB∥CD
∴∠ABG＝∠BGH，∠HGD＝∠CDG，
∴∠BGD＝∠BGH+∠HGD＝∠ABG+∠CDG＝；
③当点G在AB、CD下方时，如图3，
同理可得：∠ABE+∠EDC＝90°，
即∠ABE+α﹣∠FDC＝90°，
∵BG平分∠ABE，DG平分∠CDF，
∴∠ABE＝2∠ABG，∠CDF＝2∠CDG，
∴2∠ABG+2∠CDG＝90°﹣α，
过点G作GH∥AB
∵AB∥CD，
∴GH∥AB∥CD
∴∠ABG＝∠BGH，∠HGD＝∠CDG，
∴∠BGD＝∠BGH+∠HGD＝∠ABG+∠CDG＝，
综上，∠BGD＝或；
（3）如图4，过点F、G分别作FM∥AB、GM∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥GM∥FN∥CD，
∴∠3＝∠BFN，∠5＝∠DFN，∠4＝∠BGM，∠6＝∠DGM，
∴∠BFD＝∠BFN+∠DFN＝∠3+∠5，
∠BGD＝∠BGM+∠DGM＝∠4+∠6，
∵BG平分∠FBP，DG平分∠FDQ，
∴∠4＝∠FBP＝（180°﹣∠3），
∠6＝∠FDQ＝（180°﹣∠5），
∴∠BFD+∠BGD＝∠3+∠5+∠4+∠6，
＝∠3+∠5+（180°﹣∠3）+（180°﹣∠5），
＝180°+（∠3+∠5），
＝180°+∠BFD，
整理得：2∠BGD+∠BFD＝360°．
故答案为：2∠BGD+∠BFD＝360°．
【点评】本题考查了平行线的判定和性质、平行公理的推论、角平分线的定义和三角形的内角和等知识，具有一定的难度，正确添加辅助线、熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
12．（2021春•靖江市期末）当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等．例如：在图①、图③中，都有∠1＝∠2，∠3＝∠4．设镜子AB与BC的夹角∠ABC＝α．
（1）如图①，若α＝90°，判断入射光线FE与反射光线GH的位置关系，并说明理由；
（2）如图②，若α＝135°，设镜子CD与BC的夹角∠BCD＝θ（90°＜θ＜180°），入射光线FE与镜面AB的夹角∠1＝m（0°＜m＜90°），已知入射光线FE从镜面AB开始反射，经过3次反射后，反射光线与入射光线FE平行，请用含有m的代数式直接表示θ的度数；
（3）如图③，若90°＜α＜180°，∠1＝20°，入射光线FE与反射光线GH的夹角∠FMH＝β．若△MEG为锐角三角形，请求出α的取值范围．
【分析】（1）在△BEG中，∠2+∠3+α＝180°，α＝90°，可得∠2+∠3＝90°，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等可得，∠FEG+∠EGH＝180°，进而可得EF∥GH；
（2）根据题意以及第（1）题的思路，直接可写出含有m的代数式直接表示θ的度数；
（3）在△BEG中，∠2+∠3+α＝180°，可得∠2+∠3＝180°﹣α，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等可得，∠MEG+∠MGE+β＝180°，求出β与α的数量关系，在△MEG中，0°＜β＜90°，0°＜∠MGE＜90°，可得出α的取值范围．
【解答】解：（1）EF∥GH，理由如下：
在△BEG中，∠2+∠3+α＝180°，α＝90°，
∴∠2+∠3＝90°，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，
∵∠1+∠2+∠FEG＝180°，
∠3+∠4+∠EGH＝180°，
∴∠FEG+∠EGH＝180°，
∴EF∥GH；
（2）θ＝90°+m；
（3）在△BEG中，∠2+∠3+α＝180°，
∴∠2+∠3＝180°﹣α，
∵∠1＝∠2，∠1＝∠MEB，
∴∠2＝∠MEB，
∴∠MEG＝2∠2，
同理可得，∠MGE＝2∠3，
在△MEG中，∠MEG+∠MGE+β＝180°，
∴β＝180°﹣（∠MEG+∠MGE）＝180°﹣（2∠2+2∠3）
＝180°﹣2（∠2+∠3）
＝180°﹣2（180°﹣α）
＝2α﹣180°，
∵△MEG为锐角三角形，
∴0°＜β＜90°，0°＜∠MGE＜90°，
，
∴115°＜α＜135°．
【点评】本题考查了平行线的性质、列代数式，解决本题的关键是掌握平行线的性质．
13．（2021春•江汉区期中）问题探究：
如图①，已知AB∥CD，我们发现∠E＝∠B+∠D．我们怎么证明这个结论呢？
张山同学：如图②，过点E作EF∥AB，把∠BED分成∠BEF与∠DEF的和，然后分别证明∠BEF＝∠B，∠DEF＝∠D．
李思同学：如图③，过点B作BF∥DE，则∠E＝∠EBF，再证明∠ABF＝∠D．
问题解答：
（1）请按张山同学的思路，写出证明过程；
（2）请按李思同学的思路，写出证明过程；
问题迁移：
（3）如图④，已知AB∥CD，EF平分∠AEC，FD平分∠EDC．若∠CED＝3∠F，请直接写出∠F的度数．
【分析】（1）如图②中，过点E作EF∥AB，利用平行线的性质证明即可．
（2）如图③中，过点B作BF∥DE交CD的延长线于G．利用平行线的性质证明即可．
（3）设∠AEF＝∠CEF＝x，∠CDF＝∠EDF＝y，则∠F＝x+y，根据∠AEC+∠CED+∠DEB＝180°，构建方程求出x+y可得结论．
【解答】解：（1）如图②中，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，EF∥AB，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠B＝∠BEF，∠D＝∠CEF，
∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝∠B+∠D．
（2）如图③中，过点B作BF∥DE交CD的延长线于G．
∵DE∥FG，
∴∠EDC＝∠G，∠DEB＝∠EBF，
∵AB∥CG，
∴∠G＝∠ABF，
∴∠EDC＝∠ABF，
∴∠DEB＝∠EBF＝∠ABE+∠ABF＝∠ABE+∠EDC．
（3）如图④中，
∵EF平分∠AEC，FD平分∠EDC，
∴∠AEF＝∠CEF，∠CDF＝∠EDF，
设∠AEF＝∠CEF＝x，∠CDF＝∠EDF＝y，则∠F＝x+y，
∵∠CED＝3∠F，
∴∠CED＝3x+3y，
∵AB∥CD，
∴∠BED＝∠CDE＝2y，
∵∠AEC+∠CED+∠DEB＝180°，
∴5x+5y＝180°，
∴x+y＝36°，
∴∠F＝36°．
【点评】本题考查平行线的性质，平角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用平行线的性质解决问题．
声
相关试卷
初中4 用尺规作角同步达标检测题： 这是一份初中<a href="/sx/tb_c9976_t7/?tag_id=28" target="_blank">4 用尺规作角同步达标检测题</a>，文件包含北师大版七年级数学同步精品讲义专题24用尺规作角原卷版docx、北师大版七年级数学同步精品讲义专题24用尺规作角教师版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共36页， 欢迎下载使用。
初中数学第二章 相交线与平行线3 平行线的性质精品达标测试： 这是一份初中数学第二章 相交线与平行线3 平行线的性质精品达标测试，文件包含23-24平行线的性质与用尺规作角原卷版docx、23-24平行线的性质与用尺规作角解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共45页， 欢迎下载使用。
北师大版七年级下册7 整式的除法精品课时作业： 这是一份北师大版七年级下册7 整式的除法精品课时作业，文件包含第5讲整式的除法-七年级数学下册同步精品讲义北师大版解析版docx、第5讲整式的除法-七年级数学下册同步精品讲义北师大版原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共69页， 欢迎下载使用。
