第8讲-平行线的性质-【同步优课】2022年七年级数学下学期重难点精品讲义（沪教版）

第8讲-平行线的性质

1．  掌握平行线的性质，通过平行线性质的运用，体会文字语言、图形语言、符号语言之间的转换和一致，逐步提高分析能力与简单的逻辑推理能力．

2．  理解两条通过平行线间的距离，体会两点的距离、点到直线的距离、两条平行线间的距离概念之间的联系．

（以提问的形式回顾）

1. 平行线的性质是什么？

      性质1：两直线平行，同位角相等

      性质2：两直线平行，内错角相等

      性质3：两直线平行，同旁内角互补

2. 平行线间的距离有什么特征？

两条平行线中，任意一条直线上的所有点到另一条直线的距离都是一个定值

小练习：

1．如图，分别交于 平分

，则的度数是___________．

2．如图，，直线分别交、于点、，平分，

，则的度数是____________．

3．如图，把矩形沿对折，若，则等于____________．

4．如图，已知平分，，如果，，

那么      ．

参考答案：1、65°； 2、100°； 3、115°； 4、62°

（采用教师引导，学生轮流回答的形式）

例1. 如图，已知ΔABC中，CD⊥AB，EF⊥AB，∠1=∠2，∠B=50°，求∠ADG的度数。

 解：∵CD⊥AB，EF⊥AB（               ）

     ∴CD∥EF（                                ）

     ∴∠2=∠3（                           ）

     ∵∠1=∠2（已知）  

 ∴∠1=∠3（                 ）

∴DG∥BC（                           ）

∴∠ADG=∠B（                           ）

∵∠B=50°（已知）

∴∠ADG=50°（                   ）

参考答案：已知；垂直于同一直线的两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换。

试一试：如图，已知AB∥CD，AE平分∠DAB、DE平分∠ADC，请说明DE⊥AE的理由。

参考答案：

方法一，过点E做AB的平行线，在根据平行线的性质可得；

方法二，根据三角形内角和等于180°可得。

例2. 如图，已知AB∥DE，说明：∠B +∠C +∠D= 360°

试题评析：过点C作AB的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补可得，需要注意相关辅助线的添加以及几何说理题的规范性；

注意：本题将已知和说明互换，结果任然成立（∠B +∠C +∠D= 360°AB∥DE ）

试一试：

1．如图，已知AB∥EF，试求：∠B 、∠C、∠D、∠E的大小所满足的关系式__  ______

参考答案：∠B +∠C +∠D +∠E= 540°

注意：本题将已知和说明互换，结果任然成立（∠B +∠C +∠D+∠E = 540°AB∥EF）

2．如图：知， 则__________度。

参考答案：60°。

例3. 如图，已知AB∥DE，说明：∠B +∠D =∠C

试题评析：过点C作AB的平行线，根据两直线平行，内错角相等可得，需要注意相关辅助线的添加以及几何说理题的规范性；

试一试：

1． 如图，AEFC是折线，直线AB∥CD，试写出∠A、∠E、∠F、∠C的大小所满足的关系式____________________

参考答案：∠E+∠F-∠A-∠C=180°；

评析：过点E、F作AB的平行线可得。

2． 如图，已知：AB∥CD，试猜想、、三个角之间的数量关系，并说明理由。

参考答案：∠P=∠C-∠A； ∠P=∠A-∠C；

评析：过点P作AB的平行线可得。

3．如图，CD∥EF，∠EFB=70°，∠FBC=80°，求∠BCD的度数。

参考答案：∠BCD=30°

评析：方法一：过点B作CD的平行线，根据平角可得。

方法二：延长CD交BF于G点，在根据三角形内角和等于180°可得。

例4. 如图，已知，，三角形的面积为．求三角形的面积．

解：过点A作AE⊥BC，垂足为E，过点C作CF⊥AD，垂足为F

因为∠1=∠2（已知）

所以AD∥BC（内错角相等，两直线平行）

所以AE=CF（平行线间距离的意义）

因为

因为（已知）

所以

试一试：在中，，是的外角的平分线，是上的一点．试说明与的面积相等．

评析：本题的重点是证明AE∥BC，其余解题过程同例题。

1．如图所示，能说明AB∥DE的有（　　）

①∠1＝∠D；②∠CFB+∠D＝180°；③∠B＝∠D；④∠BFD＝∠D．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】C

【分析】

在复杂的图形中具有相等关系或互补关系的两角首先要判断它们是否是同位角、内错角或同旁内角，被判断平行的两直线是否由“三线八角”而产生的被截直线，根据以上知识逐条分析．

【详解】

解：①∵∠1＝∠D，

∴AB∥DE（同位角相等，两直线平行）；

②∵∠CFB＝∠AFD（对顶角相等），又∠CFB+∠D＝180°，

∴∠AFD+∠D＝180°，

∴AB∥DE（同旁内角互补，两直线平行）；

③中的∠B和∠D不符合“三线八角”，不能构成平行的条件；

④∵∠BFD＝∠D，

∴AB∥DE（内错角相等，两直线平行）；

所以①②④都能说明AB∥DE．

故选C．

【点睛】

本题考查了平行线的判定定理，熟练掌握判定定理是解题的关键．

2．下列说法正确的是（     ）

①直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；

②两条直线被第三条直线所截，内错角相等；

③经过两点有一条直线，并且只有一条直线；

④如果一条直线和两条直线中的一条垂直，那么这条直线也和另一条垂直

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【答案】C

【分析】

根据所学公理和性质定理，对各选项分析判断后再计算个数．

【详解】

①直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，正确，符合题意；

②应为两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，错误，不符合题意；

③经过两点有一条直线，并且只有一条直线，正确，符合题意；

④应为如果同一平面内，一条直线和两条平行直线中的一条垂直，那么这条直线也和另一条垂直，错误，不符合题意，

所以①③两项符合题意，

故选：C．

【点睛】

本题主要是对公理和定理的考查，熟记公理定理是解题的关键．

3．把一张对边互相平行的纸条折成如图所示的样子，是折痕，如果，那么以下结论：①；②；③；④．正确的有（       ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】D

【分析】

根据折叠得出∠C′EF=∠CEF，∠EFD=∠EFD′，根据平行线的性质求出∠EFB=∠C′EF=32°，再逐个判断即可．

【详解】

解：∵AE∥BG，∠EFB=32°，

∴∠C′EF=∠EFB=32°，

根据折叠得：∠CEF=∠C′EF=32°，∴①正确；

∵AE∥BG，

∴∠AEF+∠EFB=180°，

∵∠EFB=32°，

∴∠AEF=148°，∴②正确；

∵根据折叠得出∠GEF=∠C′EF=32°=∠EFB，

∴∠BGE=32°+32°=64°，∴③正确；

∵∠EFB=32°，

∴∠EFD′=180°-32°=148°，

∵根据折叠得：∠EFD=∠EFD′=148°，

∴∠BFD=148°-32°=116°，∴④正确；

即正确的个数是4个，

故选：D．

【点睛】

本题考查了折叠的性质和平行线的性质等知识点，能灵活运用性质进行推理是解此题的关键．

4．如图，已知，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】

过点E作，则，根据平行线的性质可得：，，整理即可得解．

【详解】

解：如图，过点E作，则，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，代入得：，

故选：C．

【点睛】

本题考查了平行线的性质，解题的关键是过拐点构造平行线，利用平行线的性质求解．

5．如图，已知，那么使成立的另一个条件是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

对各个选项的条件进行分析，根据平行线的判定与性质即可求得正确选项．

【详解】

解：A、由，无法证明，故本选项不符合题意；

B、由，无法证明，故本选项不符合题意；

C、由，无法证明，故本选项不符合题意；

D、由得，

∴，

又∵，

∴，

∴，

故本选项符合题意；

故选：D．

【点睛】

本题主要考查了平行线的判定，解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．

6．如图，已知直线a、b被直线l所截，a∥b，且∠1＝（3x+16）°，∠2＝（2x﹣11）°，那么∠1＝___度．

【答案】121

【分析】

根据两直线平行同旁内角互补列方程求解．

【详解】

解：∵a//b，

∴∠1+∠2＝180°，

（3x+16）+（2x﹣11）=180，

解得x=35，

∴∠1＝(3×35+16)°=121°，

故答案为：121．

【点睛】

本题考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，根据题意列出方程求出x是解答本题的关键．

7．如图，若EF∥GH，则图中标记的∠1、∠2、∠3、∠4中一定相等的是________．

【答案】

【分析】

如图（见解析），先根据对顶角相等可得，再根据平行线的性质可得，由此即可得出答案．

【详解】

解：如图，由对顶角相等得：，

，

，

，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了对顶角相等、平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．

8．如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝34°，则∠2＝_____°．

【答案】56

【分析】

先根据余角的定义求出∠3的度数，再由平行线的性质即可得出结论．

【详解】

解：∵∠1＝34°，

∴∠3＝90°﹣34°＝56°．

∵直尺的两边互相平行，

∴∠2＝∠3＝56°．

故答案为：56．

【点睛】

本题考查平行线的性质、直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

9．如图，已知EF∥GH，AC⊥CD，∠DCH＝35°，则∠CBF＝______度．

【答案】125

【分析】

首先根据垂直定义可得∠ACD＝90°，再根据余角的定义可得∠ACH的度数，然后再根据平行线的性质可得∠FBC+∠ACH＝180°，进而可得答案．

【详解】

解：∵AC⊥CD，

∴∠ACD＝90°，

∵∠DCH＝35°，

∴∠ACH＝90°﹣35°＝55°，

∵EF∥GH，

∴∠FBC+∠ACH＝180°，

∴∠FBC＝180°﹣55°＝125°，

故答案为：125．

【点睛】

此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同旁内角互补．

10．如图，已知点B在线段CF上，AB∥CD，AD∥BC，DF交AB于点E，联结AF、CE，S△BCE：S△AEF的比值为___．

【答案】1

【分析】

连接BD，利用平行线间距离相等得到同底等高的三角形面积相等即可解答．

【详解】

解：连接BD，如下图所示：

∵BC∥AD，

∴S△AFD= S△ABD，

∴S△AFD- S△AED= S△ABD- S△AED，

即S△AEF= S△BED，

∵AB∥CD，

∴S△BED=S△BEC，

∴S△AEF=S△BEC，

∴S△BCE：S△AEF=1．

故答案为：1．

【点睛】

本题以平行为背景考查了同底等高的三角形面积相等，找到要求的三角形有关的同(等)底或同(等)高是解题的关键．

11．如图，平分，，，则__．

【答案】##BC//DE

【分析】

由平分，可得，再根据同旁内角互补两直线平行可得结论．

【详解】

解：平分，，

∴=2=110°，

，

∴∠C+∠CDE=70°+110°=180°，

．

故答案为：．

【点睛】

本题考查了角的平分线的性质，平行线的判定，熟练的掌握平行线的判定方法是解题关键．

12．如图：∠1+∠2＝180°，∠C＝∠D，则∠A＝∠F吗？请说明理由．

【答案】∠A＝∠F，理由见解析

【分析】

∠1+∠2＝180°，∠2＝∠AGC，∠1+∠AGC＝180°，BD∥CE，有∠C＝∠ABD＝∠D，得DF∥AC，进而可说明∠A＝∠F．

【详解】

解：∠A＝∠F，理由如下：

∵∠1+∠2＝180°，∠2＝∠AGC

∴∠1+∠AGC＝180°

∴BD∥CE

∴∠C＝∠ABD

∵∠C＝∠D

∴∠D＝∠ABD

∴DF∥AC

∴∠A＝∠F．

【点睛】

本题考查了对顶角，平行线的判定与性质．解题的关键在利用角的数量关系证明直线平行．

13．（1）探究：如图1，ABCDEF，试说明．

（2）应用：如图2，ABCD，点在、之间，与交于点，与交于点．若，，则的大小是多少？

（3）拓展：如图3，直线在直线、之间，且ABCDEF，点、分别在直线、上，点是直线上的一个动点，且不在直线上，连接、．若，则　　度（请直接写出答案）．

【答案】（1）见解析；（2）60°；（3）70或290

【分析】

（1）由可得，，，则；

（2）利用（1）中的结论可知，，则可得的度数为，由对顶角相等可得；

（3）结合（1）中的结论可得，注意需要讨论是钝角或是锐角时两种情况．

【详解】

解：（1）如图1，，

，，

，

．

（2）由（1）中探究可知，，

，且，

，

；

（3）如图，当为钝角时，

由（1）中结论可知，，

；

当为锐角时，如图，

由（1）中结论可知，，

即，

综上，或．

故答案为：70或290．

【点睛】

本题主要考查平行线的性质与判定，难度适中，观察图形，推出角之间的和差关系是解题关键．

14．如图，已知AE平分∠BAC交BC于点E，AF平分∠CAD交BC的延长线于点F，∠B＝64°，∠EAF＝58°，试判断AD与BC是否平行．

解：∵AE平分∠BAC，AF平分∠CAD（已知），

∴∠BAC＝2∠1，∠CAD＝　　（ 　　）．

又∵∠EAF＝∠1+∠2＝58°，

∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD

＝2（∠1+∠2）

＝　　°（等式性质）．

又∵∠B＝64°（已知），

∴∠BAD+∠B＝　　°．

∴　　　　（ 　　）．

【答案】2∠2；角平分线的定义；116；180；AD；BC；同旁内角互补，两直线平行

【分析】

由AE平分∠BAC，AF平分∠CAD，利用角平分线的定义可得出∠BAC＝2∠1，∠CAD＝2∠2，结合∠EAF＝∠1+∠2＝58°可得出∠BAD＝116°，由∠B＝64°，∠BAD＝116°，可得出∠BAD+∠B＝180°，再利用“同旁内角互补，两直线平行”即可得出AD∥BC．

【详解】

解：∵AE平分∠BAC，AF平分∠CAD（已知），

∴∠BAC＝2∠1，∠CAD＝2∠2（角平分线的定义）．

又∵∠EAF＝∠1+∠2＝58°，

∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD

＝2（∠1+∠2）

＝116°（等式性质）．

又∵∠B＝64°（已知），

∴∠BAD+∠B＝180°．

∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）．

故答案为：2∠2；角平分线的定义；116；180；AD；BC；同旁内角互补，两直线平行．

【点睛】

此题考查了角平分线的定义，角的计算，平行线的判定．正确掌握线段、角、相交线与平行线的知识是解题的关键，还需掌握推理能力．

15．如图，已知∠ADC＝∠ABC，DE、BF分别平分∠ADC和∠ABC，且DE∥BF，那么AB与DC平行吗？为什么？

【答案】AB∥DC，理由见解析.

【分析】

根据平行线的性质推出∠DEA＝∠FBA，再根据角平分线性质推出∠CDE＝∠FBA，等量代换得到∠CDE＝∠DEA，根据平行线的判定推出即可．

【详解】

解：AB∥DC，理由如下：

∵DE∥BF，

∴∠DEA＝∠FBA，

∵∠ADC＝∠ABC，DE、BF分别平分∠ADC和∠ABC，

∴∠CDE＝∠CDA＝∠CBA＝∠FBA＝∠DEA，

∴AB∥DC．

【点睛】

本题主要考查对平行线的性质和判定，角平分线性质等知识点的理解和掌握，能推出∠CDE＝∠DEA是解此题的关键．

16．如图：已知∠B=∠D，AD∥BC，请说明∠E=∠F的理由。

解：因为AD∥BC（已知）

所以∠D=∠BCF（两直线平行线，同位角相等）

因为∠B=∠D（已知）

所以∠B=∠BCF（等量代换）

所以AB∥CD （同位角相等，两直线平行）

所以∠E=∠F（两直线平行，内错角相等）

17．已知：如图∠1=∠2，∠C=∠D，试说明∠A=∠F相等

解：因为∠1=∠DGF，∠2=∠ACH（对顶角相等）

因为∠1=∠2（已知）

所以∠DGF=∠ACH（等量代换）

所以DB∥EC（内错角相等，两直线平行）

所以∠C=∠ABD（两直线平行，同位角相等）

因为∠C=∠D（已知）

所以∠D=∠ABD（等量代换）

所以DF∥AC（内错角相等，两直线平行）

所以∠A=∠F（两直线平行，内错角相等）

18．如图，已知：AD⊥BC，EF⊥BC，∠E＝∠AGE。说明：AD平分∠BAC。

解：因为AD⊥BC，EF⊥BC（已知）

因为AD∥EF（垂直于同一直线的两直线平行）

所以∠E=∠CAD（两直线平行，同位角相等）

∠AGE=∠BAD（两直线平行，内错角相等）

因为∠E＝∠AGE（已知）

所以AD平分∠BAC（角平分线的意义）

1．下列说法正确的个数是（   ）

A．如果两条直线被第三条直线所截，那么同位角相等

B．点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的垂线段

C．在平面内经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

D．在平面内经过一点有且只有一条直线与已知直线平行

【答案】C

【分析】

对于错误的命题举出反例说明它不正确即可．

【详解】

解：∵如果两条平行线被第三条直线所截，那么同位角相等，

∴“如果两条直线被第三条直线所截，那么同位角相等”的说法错误；

∴A不正确；

∵点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的垂线段的长度，

∴“点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的垂线段”说法错误．

∴B不正确；

∵垂线的性质是：经过平面内一点有并且只有一条直线与已知直线垂直，

∴“经过平面内一点有并且只有一条直线与已知直线垂直”说法正确，

∴C正确；

∵在平面内经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，

∴“在平面内经过一点有且只有一条直线与已知直线平行”说法错误．

∴D不正确．

综上，正确的选项为C．

故选：C．

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质，垂线的性质，点到直线的距离，同位角，平行公理及推论，说明一个命题是错误的，只要举出反例即可．

2．如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果，那么的度数为（       ）．

A．10° B．15° C．20° D．25°

【答案】C

【分析】

利用平行线的性质可得的度数，再利用平角定义可得的度数．

【详解】

解：∵，

∴，

∵，

∴，

故选：C．

【点睛】

本题主要考查平行线的性质以及平角的定义，掌握两直线平行，同位角相等，是解题的关键．

3．下列说法错误的是（       ）

A．经过直线外的一点，有且只有一条直线与已知直线平行

B．平行于同一条直线的两条直线互相平行

C．两条直线被第三条直线所截，截得的同位角相等

D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行

【答案】C

【分析】

利用平行线的判定定理和性质定理判断即可．

【详解】

C项中应只有平行直线被第三条直线所载，同位角才相等，A、B、D项正确；

故选：C．

【点睛】

本题主要考查了平行线的判定定理和性质定理，熟练掌握定理是解答此题的关键．

4．已知，，且，和的面积分别为2和8，则的面积是（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】B

【分析】

利用平行线间的距离相等可知与的高相等，底边之比等于面积之比，设的面积为，建立方程即可求解．

【详解】

∵

∴与的高相等

∵

∴

设的面积为，则，

∴

解得

∴

故选B．

【点睛】

本题考查平行线间的距离问题，由平行线间的距离相等得到两三角形的高相等，从而建立方程是解题的关键．

5．已知两条直线被第三条直线所截，下列四个说法中正确的个数是（   ）

（1）同位角的角平分线互相平行；（2）内错角的角平分线互相平行；（3）同旁内角的角平分线互相垂直；（4）邻补角的角平分线互相垂直

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

【答案】D

【分析】

根据平行线的判定定理解答．

【详解】

（1）两条平行直线被第三条直线所截，同位角的角平分线互相平行，故错误．

（2）两条平行直线被第三条直线所截，内错角的角平分线互相平行，故错误．

（3）两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角的角平分线互相垂直，故错误．

（4）邻补角的角平分线互相垂直，故本选项正确．

综上所述，正确的说法只有1个．

故选：D．

【点睛】

此题考查平行线的判定，余角和补角，同位角、内错角、同旁内角．解题关键是熟练掌握平行线的判定定理．

6．如图，如果AD∥BC，下列结论正确的是___．（将正确的编号填写在横线上）①∠B＝∠D；②∠DAC＝∠ACB；③∠BAC＝∠ACD；④∠B+∠DCB＝180°．

【答案】②

【分析】

根据AD∥BC，利用平行线的性质逐一推理即可找出答案．

【详解】

解：∵AD∥BC，

∴∠DAC=∠ACB（两直线平行，内错角相等），

故②正确，

①、③、④由AD∥BC无法求证，故①、③、④错误，

故答案为：②．

【点睛】

本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线形成角的关系是解题关键．

7．如图，已知长方形纸带，，，，，将纸带沿折叠后，点、分别落在、的位置，则下列结论中，正确的序号是_______．

①；②；③；④．

【答案】①③④

【分析】

根据两直线平行，内错角相等可判断①，根据平行线的性质，折叠性质，利用角的和差判断④，根据平角定义及折叠性质可判断②，根据平角定义可判断③．

【详解】

解：四边形是长方形，

，，

，

，①正确；

，

，

由折叠得，，，，，

，④正确；

，

，

，

，②错误；

，

，③正确．

故答案为：①③④．

【点睛】

本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．也考查了折叠的性质．

8．如图，已知AB∥CD，∠ABC＝120°，∠1＝27°，则直线CB和CE的夹角是_____°．

【答案】93

【分析】

AB∥CD，∠DCB＝∠ABC＝120°，将角度代入∠BCE＝∠DCB -∠1求解即可．

【详解】

解：∵AB∥CD

∴∠DCB＝∠ABC＝120°

又∵∠1＝27°

∴∠BCE＝∠DCB -∠1=93°

故答案为93．

【点睛】

本题考查了平行线中关于内错角的性质．解题的关键在于熟练使用两直线平行，内错角相等的性质．

9．如图，已知AD∥CE，∠BCF＝∠BCG，CF与∠BAH的平分线交于点F，若∠AFC的余角等于2∠ABC的补角，则∠BAH的度数是______．

【答案】60°##60度

【分析】

设∠BAF＝x°，∠BCF＝y°，由题意知∠HAF＝∠BAF＝x°，∠BCG＝∠BCF＝x°，∠BAH＝2x°，∠GCF＝2y°，如图，过点B作BM∥AD，过点F作FN∥AD，由AD∥CE可得AD∥FN∥BM∥CE，有∠AFN＝∠HAF＝x°，∠CFN＝∠GCF＝2y°，ABM＝∠BAH＝2x°，∠CBM＝∠GCB＝y°，∠AFC＝（x+2y）°，∠ABC＝（2x+y）°由于∠F的余角等于2∠B的补角，可知90﹣（x+2y）＝180﹣2（2x+y），进行求解可得x的值，进而可求出∠BAH的值．

【详解】

解：设∠BAF＝x°，∠BCF＝y°

∵∠BCF＝∠BCG，CF与∠BAH的平分线交于点F

∴∠HAF＝∠BAF＝x°，∠BCG＝∠BCF＝x°，∠BAH＝2x°，∠GCF＝2y°，

如图，过点B作BM∥AD，过点F作FN∥AD

∵AD∥CE

∴AD∥FN∥BM∥CE

∴∠AFN＝∠HAF＝x°，∠CFN＝∠GCF＝2y°，∠ABM＝∠BAH＝2x°，∠CBM＝∠GCB＝y°

∴∠AFC＝（x+2y）°，∠ABC＝（2x+y）°

∵∠AFC的余角等于2∠ABC的补角

∴90﹣（x+2y）＝180﹣2（2x+y）

解得：x＝30

∴∠BAH＝60°

故答案为：60°．

【点睛】

本题考查了角平分线，平行线的性质，余角、补角等知识．解题的关键在于正确的表示角度之间的数量关系．

10．如图，AB∥EF，设∠C＝90°，那么x，y，z的关系式为______．

【答案】y=90°-x+z．

【分析】

作CG∥AB，DH∥EF，由AB∥EF，可得AB∥CG∥HD∥EF，根据平行线性质可得∠x=∠1，∠CDH=∠2，∠HDE=∠z，由∠C＝90°，可得∠1+∠2=90°，由∠y=∠z+∠2，可证∠y=∠z+90°-∠x即可．

【详解】

解：作CG∥AB，DH∥EF，

∵AB∥EF，

∴AB∥CG∥HD∥EF，

∴∠x=∠1，∠CDH=∠2，∠HDE=∠z

∵∠BCD＝90°

∴∠1+∠2=90°，

∠y=∠CDH+∠HDE=∠z+∠2，

∵∠2=90°-∠1=90°-∠x，

∴∠y=∠z+90°-∠x．

即y=90°-x+z．

【点睛】

本题考查平行线的性质，掌握平行线的性质，利用辅助线画出准确图形是解题关键．

11．如图1，已知AB∥CD，直线AB、CD把平面分成①、②、③三个区域（直线AB、CD不属于①、②、③中任何一个区域）．点P是直线AB、CD、AC外一点，联结PA、PC，可得∠PAB、∠PCD、∠APC．

(1)如图2，当点P位于第①区域一位置时，请填写∠APC＝∠PAB+∠PCD的理由．

解：过点P作PE//AB，

因为AB//CD，PE//AB，

所以PE//CD（　              　）．

因为PE//AB，

所以∠APE＝∠PAB（　              　）．

同理∠CPE＝∠PCD．

因此∠APE+∠CPE＝∠PAB+∠PCD．

即∠APC＝∠PAB+∠PCD．

(2)在第（1）小题中改变点P的位置，如图3所示，求∠APC+∠PAB+∠PCD等于多少度？为什么？

(3)当点P在第②区域时，∠PAB、∠PCD、∠APC有怎样的数量关系？请画出图形，并直接写出相应的结论．

【答案】(1)平行的传递性；两直线平行，内错角相等；

(2)360°，理由见解析；

(3)∠PCD =∠PAB+∠APC，见解析．

【分析】

（1）根据平行线的性质解题；

（2）过点P作PE//AB，由两直线平行，同旁内角相等解得∠APE+∠PAB=180°，∠EPC+∠PCD=180°，再根据∠APC+∠PAB+∠PCD=∠APE+∠EPC+∠PAB+∠PCD解题；

（3）根据题意，画出图形，再由两直线平行，内错角相等得到∠APE=∠PAB，∠PCD=∠CPE，结合∠CPE=∠APE+∠APC解题．

(1)

解：因为AB//CD，PE//AB，

所以PE//CD(平行的传递性)

因为PE//AB，

所以∠APE＝∠PAB（两直线平行，内错角相等）．

故答案为：平行的传递性；两直线平行，内错角相等；

(2)

∠APC+∠PAB+∠PCD=360°，

见解析：

过点P作PE//AB，

所以∠APE+∠PAB=180°，

因为PE//CD，

所以∠EPC+∠PCD=180°，

所以∠APC+∠PAB+∠PCD=∠APE+∠EPC+∠PAB+∠PCD=180°+180°=360°；

(3)

∠PCD =∠PAB+∠APC，理由如下，

当点P在第②区域时，如图，

过点P作PE//AB，

所以∠APE=∠PAB，

因为PE//CD，

所以∠PCD=∠CPE

因为∠CPE=∠APE+∠APC

所以∠PCD =∠PAB+∠APC．

【点睛】

本题考查平行线的拐角问题、平行线的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．

12．如图，已知AB∥CD，AD和BC交于点O，E为OC上一点，F为CD上一点，且∠CEF+∠BOD＝180°．说明∠EFC＝∠A的理由．

【答案】见解析

【分析】

由AB∥DC可得到∠A与∠D的关系，再由∠CEF+∠BOD=180°可得到∠CEF=∠COD，根据平行线的判定定理可得EF∥AD，可得∠D与∠EFC的关系，等量代换可得结论．

【详解】

证明：∵AB∥CD，

∴∠A=∠D，

∵∠CEF+∠BOD=180°，∠BOD+∠DOC=180°，

∴∠CEF=∠DOC．

∴EF∥AD．

∴∠EFC=∠D，

∵∠A=∠D，

∴∠EFC=∠A．

【点睛】

本题考查了平行线的判定和性质，掌握平行线的性质和判定方法是解决本题的关键．

13．已知，点为平面内的一点，．

(1)当点在如图①的位置时，求与的数量关系．

解：         ．（根据如图填射线的画法）

因为，

所以                           （           ）．

所以（两直线平行，内错角相等）；

（请继续完成接下去的说理过程）

(2)当点在如图②的位置时，与的数量关系是         （直接写出答案）；

(3)在（2）的条件下，如图③，过点作，垂足为点，与的平分线分别交射线于点、，回答下列问题（直接写出答案）：图中与相等的角是         ，        度．

【答案】(1)过点作；；；；如果一条直线和两条平行线中的一条平行，那么它和另一条也平行；见解析

(2)

(3)，45

【分析】

（1）过点作，先根据平行线的判定与性质可得，，再根据角的和差、等量代换即可得出结论；

（2）过点作，先根据平行线的判定与性质可得，，再根据、角的和差即可得出结论；

（3）过点作，先根据平行线的判定与性质可得，从而可得，再结合（2）的结论可得，然后根据角平分线的定义可得，最后根据即可得出答案

(1)

解：如图①，过点作，

，

（如果一条直线和两条平行线中的一条平行，那么它和另一条也平行）．

．

，

．

．

，

．

．

(2)

解：如图②，过点作，

．

，

．

．

，

．

．

．

故答案为：．

(3)

解：如图③，过点作，

，

，

．

，

，

．

．

，

由（2）已得：，

；

平分，

．

平分，

．

，

故答案为：，45．

【点睛】

本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义等知识点，通过作辅助线，构造平行线是解题关键．

14．如图，已知，，试说明的理由．

解：把的对顶角记作，

所以（对顶角相等）．

因为（已知），

所以（           ），

所以                  （           ）．

（请继续完成接下去的说理过程）

【答案】等量代换；BD；CE；同位角相等，两直线平行；见解析

【分析】

根据平行线的判定与性质求解即可．

【详解】

解：把的对顶角记作，

所以（对顶角相等）．

因为（已知），

所以（等量代换），

所以（同位角相等，两直线平行），

所以（两直线平行，同位角相等），

又因为，

所以（同位角相等，两直线平行），

所以（两直线平行，内错角相等），

所以（等量代换）．

故答案为：等量代换；；；同位角相等，两直线平行．

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质与判定的综合应用，熟练掌握平行线的性质与判定方法是解答本题的关键．解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．

15．如图，在四边形BCEF中，BF∥AD∥CE，S△ABC＝3，则△DEF的面积是___．

【答案】6

【分析】

根据题意利用平行线间距离即所有垂线段的长度相等，可以求得S△ADF=S△ABD，S△ADE=S△ACD，S△CEF=S△BCE，利用面积相等把S△DEF转化为已知△ABC的面积，即可求解．

【详解】

解：∵BF∥AD∥CE，

∴S△ADF=S△ABD，S△ADE=S△ACD，S△CEF=S△BCE，

∴S△AEF=S△CEF-S△ACE=S△BCE-S△ACE=S△ABC，

S△DEF=S△ADF+S△ADE+S△AEF=S△ABD+S△ACD+S△ABC=S△ABC+S△ABC=2S△ABC=2×3=6，

故答案为：6．

【点睛】

本题考查平行线的推论，注意掌握平行线间距离即所有垂线段的长度相等并利用三角形面积相等，把S△DEF转化为已知△ABC的面积．