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北师大版初中数学八年级下册第六单元《平行四边形》（困难）（含答案不含解析） 试卷
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这是一份北师大版初中数学八年级下册第六单元《平行四边形》（困难）（含答案解析），共42页。
北师大版初中数学八年级下册第六单元《平行四边形》（困难）（含答案解析）
考试范围：第六单元； 考试时间：120分钟；总分：120分，
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ACB=45°，AB=22，点P为BC上任意一点，连结PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连结PQ，则PQ的最小值为( )
A. 2 B. 2 C. 22 D. 4
2. 如图，点P为▱ABCD外一点，连接PA、PB、PC、PD，若△APB的面积为18，△APD的面积为5，则△APC的面积为( )
A. 10
B. 13
C. 18
D. 20
3. 如图，在▱ ABCD中，分别以AB、AD为边向外作等边△ ABE、△ ADF，延长CB交AE于点G，点G在点A、E之间，连接CE、CF、EF，则以下四个结论：
①△ CDF≌△ EBC；
②∠ CDF=∠ EAF；
③△ ECF是等边三角形；
④ CG⊥ AE．
一定正确的有个．( )
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
4. 如图，已知□ABCD，AB // x轴，AB=6，点A的坐标为(1,−4)，点D的坐标为(−3,4)，点B在第四象限，点G是AD与y轴的交点，若点P为边CD上一动点，过点P作y轴的平行线PM，过点G作x轴的平行线GM，它们相交于点M，将△PGM沿直线PG翻折，当点M的对应点落在坐标轴上时，则点P的坐标为( )
A. P±655,4 B. P±322,4 C. P±433,4 D. P(±22,4)
5. 如图，在▱ABCD中，AD=BD，∠ADC=105°，点E在AD上，∠EBA=60°，则EDAE的值是( )
A. 23
B. 3
C. 32
D. 33
6. 如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，下列结论中：①AB⊥AC；②四边形AEFD是平行四边形；③∠DFE=150°；④S四边形AEFD=8.错误的个数是( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
7. 如图，在▱ABCD中，∠BAD=60°，CD=3，E是BA延长线上的一点，且AE=AB，连结DE，取DE中点F，连结BF交AD于G，若GD=4，则四边形EAGF的面积为( )
A. 33 B. 6 C. 63 D. 12
8. 已知△ABC的周长为1，连结△ABC的三边中点构成第2个三角形，再连结第2个三角形的三边中点构成第3个三角形，依此类推，第2023个三角形的周长是( )
A. 12 022 B. 12 023 C. 122022 D. 122023
9. 如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC、BD于点E、P，连接OE，∠ADC=60°，AB=12BC=2，则下列结论：①∠CAD=30°；②OE=14AD；③S平行四边形ABCD=AB·AC；④BD=27；⑤S△BEP=S△APO；其中正确的个数是 ( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
10. 如图，在平行四边形ABCD中，∠C=120º，AD=2AB=4，点H、G分别是边AD、BC上的动点.连接AH、HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF.则EF的最大值与最小值的差为( )
A. 1 B. C. D.
11. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是AB的中点，延长CD至点E，使得∠CAB=∠BAE，过点E作EF⊥AB于点F，G为CE的中点，给出结论：
①CD=12AB；②BG=FG；③四边形AEBG是平行四边形；④∠CAE+∠BGF=180°.其中正确的所有选项是( )
A. ①②
B. ③
C. ②④
D. ②③④
12. 如图，在△ABC中，点D、E、F分别为边AB、BC、AC的中点，分别联结DE、EF、DF、AE，点O是AE与DF的交点，下列结论中，正确的个数是( )
①△DEF的周长是△ABC周长的一半；
②AE与DF互相平分；
③如果∠BAC=90°，那么点O到四边形ADEF四个顶点的距离相等；
④如果AB=AC，那么点O到四边形ADEF四条边的距离相等．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13. 在平行四边形ABCD中，∠A=30°，AD=43，BD=4，则平行四边形ABCD的面积等于 ．
14. 如图，▱ABCD的顶点C在等边△BEF的边BF上，点E在AB的延长线上，G为DE的中点，连接CG.若AD=3，AB=CF=2，则CG的长为 ．
15. 如图，A、B两点的坐标分别为(6,0)、(0,6)，连结AB.点P从点A出发，沿AB方向以每秒2个单位的速度向终点B运动；同时动点Q从点B出发沿BO方向以每秒1个单位的速度向终点O运动，将△PQO沿BO翻折，记点P的对应点为点C，若四边形QPOC为平行四边形，则点C的坐标为_____．
16. 如图，四边形ABCD中，∠A=90°，AB=33，AD=3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点(含端点，但点M不与点B重合)，点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为 ．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD=2AD，点E在线段OC上，且OE=CE．
(1)求证：∠OBE=12∠ADO；
(2)若F，G分别是OD，AB的中点，且BC=10，
①求证：ΔEFG是等腰三角形；
②当EF⊥EG时，求▱ABCD的面积．
18. (本小题8.0分)
已知：在平行四边形ABCD中，过点C作CH⊥AB，过点B作AC的垂线，分別交CH、AC、AD于点E、F、G，且∠ABC=∠BEH，BG=BC．
(1)若BE=10，BC=25，求DG的值；
(2)连接HF，证明：HA=2HF−HE．
19. (本小题8.0分)
如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，连结AE，EM⊥AE，垂足为E，交CD于点M，AF⊥BC，垂足为F，BH⊥AE，垂足为H，交AF于点N，点P是AD上一点，连接CP．
(1)若DP=2AP=4，CP=17，CD=5，求△ACD的面积．
(2)若AE=BN，AN=CE，求证：AD=2CM+2CE．
20. (本小题8.0分)
在等腰Rt▵ABC中，AB=AC，∠BAC=90∘，D为BC边上一点，连接AD．
(1)如图1所示，AD=AP，且AD平分∠BDP，若DP=5，CD=3，则BC=___________．
(2)如图2所示，过点A作AS⊥BC于点S，AS=2，点R在BC上，且BR=DS，连接AR，则当AD+AR取最小值时，求DS的长；
(3)如图3所示，以AD为斜边作等腰Rt△AED，连接BE并延长交AC于点F，若AG⊥AE，CG⊥AC，猜想AG与EF存在的数量关系，并证明你的猜想．
21. (本小题8.0分)
在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在边BC上，BD=13BC，将线段DB绕点D顺时针旋转至DE，记旋转角为α，连接BE，CE，以CE为斜边在其一侧作等腰直角三角形CEF，连接AF．
(1)如图1，当α=180°时，请直接写出线段AF与线段BE的数量关系；
(2)当0°<α<180°时，
①如图2，(1)中线段AF与线段BE的数量关系是否仍然成立？请说明理由；
②如图3，当B，E，F三点共线时，连接AE，判断四边形AECF的形状，并说明理由．
22. (本小题8.0分)
如图，已知△ABC是等边三角形，点D、F分别在线段BC、AB上，∠EFB=60°，DC=EF．
(1)求证：四边形EFCD是平行四边形；
(2)若BF=EF，求证：AE=AD．
23. (本小题8.0分)
如图，已知AD与BC相交于E，∠1=∠2=∠3，BD=CD，∠ADB=90°，CH⊥AB于H，CH交AD于F．
(1)求证：CD//AB；
(2)求证：△BDE≌△ACE；
(3)若O为AB中点，求证：OF=12BE．
24. (本小题8.0分)
如图，线段AB=4，点O是线段AB上的点，点C、D是线段OA、OB的中点，小明很轻松地求得CD=2.他在反思过程中突发奇想：若点O运动到线段AB的延长线上或直线AB外，原有的结论“CD=2”是仍然成立呢？请帮小明画出图形分析，并说明理由．
25. (本小题8.0分)
(1)如图1，试探究其中∠1，∠2与∠3，∠4之间的关系，并证明．
(2)用(1)中的结论解决下列问题：如图2，AE、DE分别是四边形ABCD的外角∠NAD、∠MDA的平分线，∠B+∠C=240°，求∠E的度数．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的性质以及垂线段最短的性质，解题的关键是得到当P与P′重合时，OP的值最小，则PQ的值最小．
设PQ与AC交于点O，作OP′⊥BC于P′.首先求出OP′，当P与P′重合时，PQ的值最小，PQ的最小值=2OP′，从而求解．
【解答】
解：设PQ与AC交于点O，作OP′⊥BC于P′.如图所示：
∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ACB=45°，AB=22，
∴AC=AB=22，
∵四边形PAQC是平行四边形，
∴OA=OC=12AC=2，
OP=OQ=12PQ，
∵∠ACB=45°，
∴△OP′C为等腰直角三角形，
设OP′=CP′=x，
∴22=x2+x2，
解得x=1，
∴OP′=1，
当P与P′重合时，OP的值最小，则PQ的值最小，
∴PQ的最小值=2OP′=2．
故选：A．
2.【答案】B
【解析】解：DC与AP交于点E，设点P到DC的距离为h1，DC和AB之间的距离为h2，
∵S△PAD=5，S△PAB=18，
∴DE(h1+h2)2=5，AB(h1+h2)2=18，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，
∴(AB−DE)(h1+h2)2=18−5=13，
即(DC−DE)(h1+h2)2=13，
∴CE(h1+h2)2=13，
即△APC的面积是13，
故选：B．
根据题意，表示出已知三角形的面积，然后作差，再根据平行四边形的性质即可解答本题．
本题主要考查了平行四边形的性质和三角形的面积公式，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
3.【答案】B
【解析】解：∵△ABE、△ADF是等边三角形，
∴FD=AD，BE=AB，
∵AD=BC，AB=DC，
∴FD=BC，BE=DC，
∵∠ABC=∠ADC，∠FDA=∠ABE=60°，
∴∠CDF=∠EBC，
∴△CDF≌△EBC(SAS)，故①正确；
∵∠FAE=∠FAD+∠EAB+∠BAD=60°+60°+(180°−∠CDA)=300°−∠CDA，
∠FDC=360°−∠FDA−∠ADC=300°−∠CDA，
∴∠CDF=∠EAF，故②正确；
同理可得：∠CBE=∠EAF=∠CDF，
∵BC=AD=AF，BE=AE，
∴△EAF≌△EBC(SAS)，
∴∠AEF=∠BEC，
∵∠AEF+∠FEB=∠BEC+∠FEB=∠AEB=60°，
∴∠FEC=60°，
∵CF=CE，
∴△ECF是等边三角形，故③正确；
在等边三角形ABE中，
∵等边三角形顶角平分线、底边上的中线、高和垂直平分线是同一条线段，
∴如果CG⊥AE，则G是AE的中点，∠ABG=30°，∠ABC=150°，题目缺少这个条件，CG⊥AE不能求证，故④错误．
∴①②③正确．
故选：B．
根据题意，结合图形，对选项一一求证，判定正确选项．
本题考查了全等三角形的判定、等边三角形的判定和性质、平行四边形的性质等知识，综合性强．考查学生综合运用数学知识的能力．
4.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，利用勾股定理求出m的值是本题的关键．先求出点G坐标，由勾股定理可求M′N的长，再由勾股定理可求m的值，即可求解．
【解答】
解：∵点A的坐标为(1,−4)，点D的坐标为(−3,4)，
∴直线AD解析式为：y=−2x−2，
∴点G(0,−2)，
如图1中，当点P在线段CD上时，设P(m,4)．
在Rt△PNM′中，∵PM=PM′=6，PN=4，
∴NM′=M′P2−PN2=25，
在Rt△OGM′中，∵OG2+OM′2=GM′2，
∴22+(25+m)2=m2，
解得m=−655，
∴P(−655,4)
根据对称性可知，P(655,4)也满足条件．
故选A．
5.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，求出∠ADB=30°是解题的关键．由等腰三角形的性质可求∠ADB=30°，∠DAB=75°，由直角三角形的性质和勾股定理可求DE，AE的长，即可求解．
【解答】
解：如图，过点B作BH⊥AD于H，
设∠ADB=x，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC//AD，∠ADC=∠ABC=105°，
∴∠CBD=∠ADB=x，
∵AD=BD，
∴∠DBA=∠DAB=180°−x2，
∴x+180°−x2=105°，
∴x=30°，
∴∠ADB=30°，∠DAB=75°，
∵BH⊥AD，
∴BD=2BH，DH=3BH，
∵∠EBA=60°，∠DAB=75°，
∴∠AEB=45°，
∴∠AEB=∠EBH=45°，
∴EH=BH，
∴DE=3BH−BH=(3−1)BH，AH=AD−DH=BD−DH=2BH−3BH=2−3BH，
∴AE=EH+AH=BH+AH=3BH−3BH=3−3BH，
∴DEAE=3−1BH3−3BH=13=33，
故选：D．
6.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
由AB2+AC2=BC2，得出∠BAC=90°，故①正确；再由SAS证得△ABC≌△DBF，得AC=DF=AE=4，同理△ABC≌△EFC(SAS)，得AB=EF=AD=3，则四边形AEFD是平行四边形，故②正确；然后由平行四边形的性质得∠DFE=∠DAE=150°，则③正确；最后求出S▱AEFD=6，故④错误；即可得出答案．
【解答】
解：∵AB=3，AC=4，BC=5，32+42=52，
∴AB2+AC2=BC2，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，
∴AB⊥AC，故①正确；
∵△ABD，△ACE都是等边三角形，
∴∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAE=150°，
∵△ABD和△FBC都是等边三角形，
∴BD=BA，BF=BC，∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠ABF=60°，
∴∠DBF=∠ABC，
在△ABC与△DBF中，
AB=DB∠ABC=∠DBFBC=BF，
∴△ABC≌△DBF(SAS)，
∴AC=DF=AE=4，
∵∠BCF=∠ACE=60°，
∴∠ACB=∠ECF，
又∵AC=EC，CB=CF，
∴△ABC≌△EFC(SAS)，
∴AB=EF=AD=3，
∴四边形AEFD是平行四边形，故②正确；
∴∠DFE=∠DAE=150°，故③正确；
过A作AG⊥DF于G，如图所示：
则∠AGD=90°，
∵四边形AEFD是平行四边形，
∴∠FDA=180°−∠DFE=180°−150°=30°，
∴AG=12AD=32，
∴S▱AEFD=DF⋅AG=4×32=6，故④错误；
∴错误的个数是1个，
故选：A．
7.【答案】A
【解析】解：如图，过点D作DB′⊥AB于点B′，过点E作EH//AD交BF的延长线于点H，
∵AE=AB，F是DE中点，
∴EF=DF，
∴S△ABD=12S△DEB，S△EFB=12S△DEB，
∴S△ABD=S△EFB，
∴S四边形EAGF=S△DGB，
∵EH//AD，
∴∠HEF=∠GDF，
在△HEF和△GDF中，
∠HEF=∠GDFEF=DF∠HFE=∠GFD，
∴△HEF≌△GDF(ASA)，
∴HE=DG=4，
∵EH//AG，AE=AB，
∴AG=12HE=2，
∴AD=AG+DG=2+4=6，
∵∠BAD=60°，
∴∠ADB=30°，
∴AB′=3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=3，
∴AB=AB′，
∴点B和B′重合，
∵DB=AD2−AB2=62−32=33，
∴S△ABD=12×DB⋅AB=932，
∵DG：AG=4：2=2：1，
∴S△DGB=23S△ABD=23×932=33．
∴S四边形EAGF=S△DGB=33．
故选：A．
过点D作DB′⊥AB于点B′，过点E作EH//AD交BF的延长线于点H，根据三角形中线可得S△ABD=12S△DEB，S△EFB=12S△DEB，所以S△ABD=S△EFB，可得S四边形EAGF=S△DGB，然后证明△HEF≌△GDF(ASA)，可得HE=DG=4，根据三角形中位线定理可得AG=12HE=2，所以AD=AG+DG=2+4=6，再根据含30度角的直角三角形可得点B和B′重合，利用勾股定理可得BD，进而可以解决问题．
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
8.【答案】C
【解析】
【分析】
此题考查的是三角形中位线的性质，图形规律问题的有关知识，解决此题关键是找出每一个新的三角形周长是上一个三角形周长的12的规律，进行分析解决题目．根据三角形的中位线定理，找规律求解，每一条中位线均为其对应的边的长度的12，所以新三角形周长是前一个三角形周长的12，进行求解即可．
【解答】
解：△ABC周长为1，因为每条中位线均为其对应边的长度的12，所以：
第2个三角形对应周长为12；
第3个三角形对应的周长为12×12=(12)2；
第4个三角形对应的周长为12×12×12=(12)3；
…
以此类推，第n个三角形对应的周长为(12)n−1；
所以第2023个三角形对应的周长为(12)2022=122022．
故选C．
9.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形30度角的性质、三角形面积和平行四边形面积的计算；熟练掌握平行四边形的性质，证明△ABE是等边三角形是解决问题的关键，并熟练掌握三角形面积的关系．分别根据平行四边形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形30度角的性质、三角形面积和平行四边形面积，逐项计算判定，即可求得答案．
【解答】
解：①∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，∠ABC=∠ADC=60°，
∴∠DAE=∠BEA，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=BE=2，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE=BE=2，
∵BC=4，
∴EC=2，
∴AE=EC，
∴∠EAC=∠ACE，
∵∠AEB=∠EAC+∠ACE=60°，
∴∠ACE=30°，
∵AD//BC，
∴∠CAD=∠ACE=30°，
故①正确；
④∵BE=EC，OA=OC，
∴OE=12AB=1，OE//AB，
∴∠EOC=∠BAC=60°+30°=90°，
Rt△EOC中，OC=3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BCD=∠BAD=120°，
∴∠ACB=30°，
∴∠ACD=90°，
Rt△OCD中，OD=22+(3)2=7，
∴BD=2OD=27，
故④正确；
③由④知：∠BAC=90°，
∴S▱ABCD=AB⋅AC，
故③正确；
②由④知：OE是△ABC的中位线，
∴OE=12AB，
∵AB=12BC，
∴OE=14BC=14AD，
故②正确；
⑤∵四边形ABCD是平行四边形，AB=12BC=2，
∴AC=BC2−AB2=42−22=23，
∴OA=OC=3，
∴S△ABO=S△EOC=12AB⋅AO=12×2×3=3，
∵OE=14BC=14AD=1，AO=OC，
∴OE是△ABC的中位线，即BE=EC=2，
∵∠ADC=60°，AE平分∠BAD，∠BAE=60°，
∴△ABE为边长为2的等边三角形，BE边上高=22−12=3，
∴S△ABE=12BE⋅3=12×2×3=3，
∴S△ABO=S△ABE；
即S△ABO−S△ABP=S△ABE−S△ABP，
∴⑤S△BEP=S△APO,正确；
正确的个数为5个．
故选：D．
10.【答案】C
【解析】
【分析】
如图，取AD的中点M，连接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N.首先证明∠ACD=90°，求出AC，AN，利用三角形中位线定理，可知EF=12AG，求出AG的最大值以及最小值即可解决问题．
本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，本题的突破点是证明∠ACD=90°，属于中考选择题中的压轴题．
【解答】
解：如图，取AD的中点M，连接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N．
∵四边形ABCD是平行四边形，∠BCD=120°，
∴∠D=180°−∠BCD=60°，AB=CD=2，
∵AM=DM=DC=2，
∴△CDM是等边三角形，
∴∠DMC=∠MCD=60°，AM=MC，
∴∠MAC=∠MCA=30°，
∴∠ACD=90°，
∴AC=23，
在Rt△ACN中，∵AC=23，∠ACN=∠DAC=30°，
∴AN=12AC=3，
∵AE=EH，GF=FH，
∴EF=12AG，
易知AG的最大值为AC的长，最小值为AN的长，
∴AG的最大值为23，最小值为3，
∴EF的最大值为3，最小值为32，
∴EF的最大值与最小值的差为32．
故选C．
11.【答案】D
【解析】解：延长EF交AC于M，作GN⊥AB于N，
∵BD=12AB，DB
故①不符合题意；
∵EF//NG//BC，EG=CG，
∴FN=NB，
∵GN⊥AB，
∴FG=GB，
故②符合题意；
∵∠EAF=∠MAF，AF=AF，∠AFE=∠AFM，
∴△AEF≌△AMF，
∴FE=FM，
∵EG=GC，
∴FG//AC，
∴∠GFB=∠CAB，
∴∠GBF=∠EAB，
∴EA//BG，
∵∠EAD=∠DBG，AD=BD，∠ADE=∠BDG，
∴△AED≌△BGD(ASA)，
∴AE=BG，
∴四边形AEBG是平行四边形，
故③符合题意；
∵∠BFG+∠FBG+∠FGB=180°，
∠EAF=∠MAF=∠BFG=∠GBF，
∴∠EAC+∠FGB=180°，
故④符合题意，
故选：D．
构造全等三角形，应用三角形中位线定理，即可求解．
本题考查三角形全等，三角形中位线定理，平行四边形的判定，关键是灵活应用这些知识点．
12.【答案】D
【解析】解：①∵点D、E、F分别为边AB、BC、AC的中点，
∴EF=12AB，DF=12BC，DE=12AC，
∴EF+DF+DE=12(AB+BC+AC)，
∴△DEF的周长是△ABC周长的一半，故①正确；
②∵点D、E、F分别为边AB、BC、AC的中点，
∴DE//AC，DF////BC，
∴四边形ADEF是平行四边形，
∴AE与DF互相平分，故②正确；
③∵∠BAC=90°，四边形ADEF是平行四边形，
∴四边形ADEF是矩形，
∴AE=DF，OA=OE=OD=OF，
∴点O到四边形ADEF四个顶点的距离相等，故③正确；
④∵AB=AC，
∴AD=AF，
∵四边形ADEF是平行四边形，
∴四边形ADEF是菱形，
∴AE，DF是菱形两组对角的平分线，
∴点O到四边形ADEF四条边的距离相等，故④正确．
综上所述：正确的是①②③④，共4个，
故选：D．
①根据三角形中位线定理即可解决问题；
②根据三角形中位线定理证明四边形ADEF是平行四边形，进而可以解决问题；
③证明四边形ADEF是矩形，进而可以解决问题；
④证明四边形ADEF是菱形，再根据菱形的性质即可解决问题．
本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，矩形的判定与性质，三角形中位线定理，解决本题的关键是掌握三角形中位线定理．
13.【答案】163或83
【解析】
【分析】
本题考查了平行四边形的性质以及平行四边形的面积公式的运用和含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
分两种情况，过D作DE⊥AB于E，利用含30°角的直角三角形的性质和勾股定理求AB，根据平行四边形的面积公式即可得到结论．
【解答】
解：第一种情况，如图1
过D作DE⊥AB于E，
在Rt△ADE中，∵∠A=30°，AD=43，
∴DE=12AD=23，
由勾股定理，AE=6，
在Rt△BDE中，∵BD=4，
∴BE=BD2−DE2=42−(23)2=2，
∴AB=8，
∴平行四边形ABCD的面积=AB⋅DE=8×23=163，
第二种情况，如图2
过D作DE⊥AB交AB的延长线于点E，
在Rt△ADE中，∵∠A=30°，AD=43，
∴DE=12AD=23，
由勾股定理，AE=6，
在Rt△BDE中，∵BD=4，
∴BE=BD2−DE2=42−(23)2=2，
∴AB=4，
∴平行四边形ABCD的面积=AB⋅DE=4×23=83，
故答案为：163或83．
14.【答案】32
【解析】
【分析】
本题考查平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据平行四边形的性质和等边三角形的性质，可以得到BF和BE的长，然后可以证明△DCG和△EHG全等，然后即可得到CG的长．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，CD=AB，DC//AB，
∵AD=3，AB=CF=2，
∴CD=2，BC=3，
∴BF=BC+CF=5，
∵△BEF是等边三角形，G为DE的中点，
∴BF=BE=5，DG=EG，
延长CG交BE于点H，
∵DC//AB，
∴∠CDG=∠HEG，
在△DCG和△EHG中，∠CDG=∠HEGDG=EG∠DGC=∠EGH，
∴△DCG≌△EHG(ASA)，
∴DC=EH，CG=HG，
∵CD=2，BE=5，
∴HE=2，BH=5−2=3，
∵∠CBH=60°，BC=BH=3，
∴△CBH是等边三角形，
∴CH=BC=3，
∴CG=12CH=32，
故答案为：32．
15.【答案】(−4,2)
【解析】
【分析】
本题考查了翻折变换的性质，坐标与图形性质，平行四边形的对角线互相平分的性质，熟记各性质并判断出OQ=2PD并列出方程是解题的关键．连接PC，过点P作PD⊥x轴于D，根据翻折变换的性质可得PC⊥OB，可证四边形ODPE为矩形，设运动时间为t秒时四边形QPOC为平行四边形，根据点A、B的坐标求出OA=OB，然后判断出△AOB是等腰直角三角形，再判断出△APD是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出PD，再求出OQ，然后根据OQ=2PD列式方程求出t的值，再求出点P的坐标，再根据轴对称性写出点C的坐标即可．
【解答】
解：连接PC，交OQ于E点，过点P作PD⊥x轴于D，
∵△PQO沿BO翻折点P的对应点为点C，
∴PC⊥OB，
∴四边形ODPE为矩形，
∴OE=PD，
设t秒时四边形QPOC为平行四边形，
则AP=2t，BQ=t，OQ=2OE=2PD，
∵A(6,0)，B(0,6)，
∴OA=OB=6，OQ=6−t，
∴△AOB是等腰直角三角形，△APD是等腰直角三角形，
∴PD=22AP=22×2t=t，
∴6−t=2t，
解得t=2，
∴AD=PD=2，
OD=OA−AD=6−2=4，
∴点P的坐标为(4,2)，
∵点P、C关于OB对称，
∴点C的坐标为(−4,2)．
故答案为(−4,2)．
16.【答案】3
【解析】
【分析】
本题考查了三角形中位线定理，勾股定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键，根据三角形的中位线定理得出EF=12DN，从而可知DN最大时，EF最大，因为N与B重合时DN最大，此时根据勾股定理求得DN=DB=6，从而求得EF的最大值为3．
【解答】
解：∵ED=EM，MF=FN，
∴EF=12DN，
∴DN最大时，EF最大，
∵N与B重合时DN最大，
此时DN=DB=AD2+AB2=6，
∴EF的最大值为3．
故答案为3．
17.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，DO=BO=12BD，
∴∠ADB=∠DBC，
∵BD=2AD，
∴AD=DO，
∴BC=BO，
∵E是CO中点，
∴∠OBE=12∠OBC，
∴∠OBE=12∠ADO；
(2)①证明：∵BC=BO，
∴△BOC是等腰三角形，
∵E是CO中点，
∴EB⊥CO，
∴∠BEA=90°，
∵G为AB中点，
∴EG=12AB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，
∵E、F分别是OC、OD的中点，
∴EF=12CD，
∴EG=EF，
∴△EFG是等腰三角形；
②由①得EF//AB，
∵EF⊥EG，
∴EG⊥AB，
∵G是AB的中点，
∴AE=BE，
设CE=x，则AO=CO=2CE=2x，
∴BE=AE=3x，
在Rt△BEC中，BC=10，
∴EC2+BE2=BC2，
即x2+(3x)2=102，
解得x=10，
∴AC=410，BE=310，
∴S▱ABCD=2S△ABC=2×12×410×310=120．
【解析】此题主要考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质、三角形中位线的性质、等腰三角形的性质，关键是掌握等腰三角形三线合一的性质．
(1)根据平行四边形的性质可得∠ADB=∠DBC，再证明△BOC是等腰三角形，根据等腰三角形的性质可得∠OBE=12∠OBC，进而可证明结论；
(2)①首先证明EG=12AB，再根据三角形中位线的性质可得EF=12CD，进而得到EG=EF，可证明结论；
②由①得EF//AB，由EF⊥EG，G是AB的中点，可证得AE=BE，设CE=x，则AO=CO=2CE=2x，利用勾股定理可求解x值，进而可求解AC，BE，再利用平行四边形的面积公式可求解．
18.【答案】(1)解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=25，∠ABC+∠BAG=180°，
∵∠ABC=∠BEH，
∴∠CEB+∠ABC=180°，
∴∠BAG=∠CEB，
∵∠ABG+∠BEH=90°，∠ECB+∠ABC=90°，
∴∠ABG=∠ECB，
在△BAG和△CEB中，∠BAG=∠CEB∠ABG=∠ECBBG=BC,
∴△BAG≌△CEB(AAS)，
∴BE=AG=10，
∴DG=AD−AG=25−10=15；
(2)证明：过点F作FN⊥HF，交BA延长线于N，如图所示：
∵△BAG≌△CEB，
∴CE=AB，
∵∠ABG+∠BAC=∠ECB+∠ABC=90°，∠ABG=∠ECB，
∴∠BAC=∠ABC，
∴AC=BC，
∵CH⊥AB，
∴∠ACH=∠ECB=∠ABG，
在△ABF和△ECF中，∠CFE=∠BFA=90°∠ABF=∠ECFAB=CE,
∴△ABF≌△ECF(AAS)，
∴AF=EF，
∵∠HFN=∠EFA=90°，
∴∠AFN=∠EFH，
∵∠BAC=∠ABC，∠ABC=∠BEH，
∴∠NAF=∠HEF，
在△ANF和△EHF中，∠NAF=∠HEFAF=EF ∠AFN=∠EFH ,
∴△ANF≌△EHF(ASA)，
∴HE=AN，HF=NF，
∴△HFN是等腰直角三角形，
∴HN=2HF，
∴HA+AN=HA+HE=2HF，
∴HA=2HF−HE．
【解析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识．
(1)证明∠BAG=∠CEB，∠ABG=∠ECB，由AAS证得△BAG≌△CEB得出BE=AG=10，即可得出结果；
(2)过点F作FN⊥HF，交BA延长线于N，由△BAG≌△CEB，得出CE=AB，由AAS证得△ABF≌△ECF得出AF=EF，由ASA证得△ANF≌△EHF得出HE=AN，HF=NF，则△HFN是等腰直角三角形，得出HN=2HF，即可得出结论．
19.【答案】(1)解：作CG⊥AD于G，如图1所示：
设PG=x，则DG=4−x，
在Rt△PGC中，GC2=CP2−PG2=17−x2，
在Rt△DGC中，GC2=CD2−GD2=52−(4−x)2=9+8x−x2，
∴17−x2=9+8x−x2，
解得：x=1，即PG=1，
∴GC=4，
∵DP=2AP=4，
∴AD=6，
∴S△ACD=12×AD×CG=12×6×4=12；
(2)证明：连接NE，如图2所示：
∵BH⊥AE，AF⊥BC，AE⊥EM，
∴∠AEB+∠NBF=∠AEB+∠EAF=∠AEB+∠MEC=90°，
∴∠NBF=∠EAF=∠MEC，
在△NBF和△EAF中，∠NBF=∠EAF∠BFN=∠EFAAE=BN，
∴△NBF≌△EAF(AAS)，
∴BF=AF，NF=EF，
∴∠ABC=45°，∠ENF=45°，FC=AF=BF，
∴∠ANE=∠BCD=135°，AD=BC=2AF，
在△ANE和△ECM中，∠MEC=∠EAFAN=EC∠ANE=∠ECM，
∴△ANE≌△ECM(ASA)，
∴CM=NE，
又∵NF=22NE=22MC，
∴AF=22MC+EC，
∴AD=2MC+2EC．
【解析】(1)作CG⊥AD于G，设PG=x，则DG=4−x，在Rt△PGC和Rt△DGC中，由勾股定理得出方程，解方程得出x=1，即PG=1，得出GC=4，求出AD=6，由三角形面积公式即可得出结果；
(2)连接NE，证明△NBF≌△EAF得出BF=AF，NF=EF，再证明△ANE≌△ECM得出CM=NE，由NF=22NE=22MC，得出AF=22MC+EC，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积公式等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
20.【答案】解：(1)11
(2)如图2，过点S作ST//AC，且ST=AC，连接CT，AT，
∴四边形ASTC是平行四边形，
∴CT=AS=2，
连接AT交SC于点Q，
∴SQ=CQ，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠ACB=45°，
∵AS⊥BC，
∴BS=CS=AS=2，
∵ST=AC，
∴ST=AB，
∵CT//AC，
∴∠TSD=∠ACB=45°，
∴∠B=∠TSD=45°，
∵BR=DS，
∴△ABR≌△TSD(SAS)，
∴AR=DT，
∴AD+AR=AD+DT，
∵AD+DT≥AT，
当A，D，T三点共线时，AD+DT取得最小值是AT，
此时DS=SQ=12CS=1；
(3)AG=2EF，
证明：在射线EB上取点M，使AE=EM，连接AM、DM，如图，
∴∠EAM=∠EMA，
∴∠AEF=∠EMA+∠EAM=2∠EMA，
∵△EAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，
∴AE=DE，∠AED=90∘，
∴EM=DE，
∴∠EMD=∠EDM，
∴∠FED=∠EMD+∠EDM=2∠EMD，
∴∠AED=∠AEF+∠FED=2∠EMA+2∠EMD=90∘，
∴∠EMA+∠EMD=∠AMD=45∘，
∴∠AMD=∠ABC=45∘，
这表明点M与点B重合，即AE=BE；
∴∠EAB=∠EBA，
∵∠EBA+∠AFB=∠EAB+∠EAF=90∘，
∴∠EAF=∠AFB，
∴AE=EF，
∴AE=EF=BE，即EF=12BF；
∵∠BAC=∠ACG=90∘，
∴∠EAB+∠EAC=∠EAC+∠CAG，
∴∠EAB=∠CAG，
∵∠EAB=∠EBA，
∴∠EBA=∠CAG，
在▵ABF与▵CAG中，
{∠BAC=∠ACGAB=AC∠EBA=∠CAG,
∴△ABF≌△CAG，
∴AG=BF，
∴EF=12AG，
即AG=2EF．
【解析】
【分析】
本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，平行四边形的判定与性质有关知识
(1)在DB上截取DE=DP，连接AE，先证明△ADE≌△ADP(SAS)，可得AE=AP，再证明△ABE≌△ADC(AAS)，可得BE=CD=3，进而可得BC；
(2)过点S作ST//AC，且ST=AC，连接CT，AT，可得四边形ASTC是平行四边形，所以CT=AS=2，连接AT交SC于点Q，证明△ABR≌△TSD(SAS)，可得AR=DT，当A，D，T三点共线时，AD+DT取得最小值是AT，此时DS=SQ=12CS=1，即可解决问题；
(3)在射线EB上取点M，使AE=EM，连接AM、DM，利用等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质解答即可．
【解答】
解：(1)如图1，在DB上截取DE=DP，连接AE，
∵AD平分∠BDP，
∴∠ADE=∠ADP，
在△ADE和△ADP中，
DE=DP∠ADE=∠ADPDA=DA,
∴△ADE≌△ADP(SAS)，
∴AE=AP，
∵AD=AP，
∴AE=AD，
∴∠AED=∠ADE，
∴∠AEB=∠ADC，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△ABE和△ADC中，
∠B=∠C∠AEB=∠ADCAE=AD,
∴△ABE≌△ADC(AAS)，
∴BE=CD=3，
∴BC=BE+ED+CD=CD+DP+CD=3+5+3=11
(2)见答案
(3)见答案
21.【答案】解：(1)如图1，当α=180°时，点E在线段BC上，
∵BD=13BC，
∴DE=BD=13BC，
∴BD=DE=EC，
∵△CEF是等腰直角三角形，
∴∠CFE=∠BAC=90°，
∵∠ECF=∠BCA=45°，
∴△ABC∽△FEC，
∴FCAC=ECBC=13，
设CF=x，则AC=3x，AF=2x，
∵△CEF，△ABC均是等腰直角三角形，
∴CE=2x，BC=32x，
∴BE=22x，
∴AFBE=2x22x=22；
(2)①AFBE=22仍然成立．
理由如下：
如图2，
∵△CEF是等腰直角三角形，
∴∠ECF=45°，CFCE=22，
∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠BCA=45°，CACB=22，
∴∠ECF=∠BCA，CFCE=CACB，
∴∠ACF+∠ACE=∠BCE+∠ACE，
∴∠ACF=∠BCE，
∵CFCA=CECB，
∴△CAF∽△CBE，
∴AFBE=CFCE=22，
∴AFBE=22仍然成立．
②四边形AECF是平行四边形．
理由如下：
当B，E，F三点共线时，如图3，过点D作DG⊥BF于点G，
由旋转得：DE=BD=13BC，
∵∠BGD=∠BFC=90°，∠DBG=∠CBF，
∴△BDG∽△BCF，
∴DGCF=BGBF=BDBC=13，
∵BD=DE，DG⊥BE，
∴BG=EG，
∴BG=EG=EF，
∵EF=CF，
∴CF=BG=13BF，
由①知，AF=22BE=2BG=2CF=CE，
∵△CAF∽△CBE，
∴∠CAF=∠CBE，∠ACF=∠BCE，
∵∠CEF=∠CBE+∠BCE=45°，∠BCE+∠ACE=∠ACB=45°，
∴∠CBE=∠ACE，
∴∠CAF=∠ACE，
∴AF//CE，
∵AF=CE，
∴四边形AECF是平行四边形．
【解析】本题属于相似三角形综合题，三角形综合题，考查了等腰直角三角形性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定，旋转的旋转等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质及等腰直角三角形性质是解题关键．
(1)根据题意得BD=DE=EC=13BC，进而可得△ABC∽△FEC，得出FCAC=ECBC=13，设CF=x，易得AF=2x，推出BE=22x，即可得出答案；
(2)①由△CEF是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，可得△CAF∽△CBE，推出AFBE=CFCE=22，则AFBE=22仍然成立；
②如图3，过点D作DG⊥BF于点G，由旋转得：DE=BD=13BC，进而得出△BDG∽△BCF，推出AF=22BE=2BG=2CF=CE，再由△CAF∽△CBE，推出∠CAF=∠ACE，可得AF//CE，利用平行四边形的判定即可得出答案．
22.【答案】证明：(1)∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∵∠EFB=60°，
∴∠ABC=∠EFB，
∴EF//DC，
∵DC=EF，
∴四边形EFCD是平行四边形；
(2)连接BE，
∵BF=EF，∠EFB=60°，
∴△EFB是等边三角形，
∴EB=EF，∠EBF=60°。
∵DC=EF，∴EB=DC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，AB=AC，
∴∠EBF=∠ACB，
∴△AEB≌△ADC，
∴AE=AD．
【解析】此题把等边三角形和平行四边形结合在一起，首先利用等边三角形的性质证明平行四边形，然后利用等边三角形的性质证明全等三角形，最后利用全等三角形的性质解决问题．
(1)由△ABC是等边三角形得到∠B=60°，而∠EFB=60°，由此可以证明EF//DC，而DC=EF，然后即可证明四边形EFCD是平行四边形；
(2)如图，连接BE，由BF=EF，∠EFB=60°可以推出△EFB是等边三角形，然后得到EB=EF，∠EBF=60°，而DC=EF，由此得到EB=DC，又
△ABC是等边三角形，所以得到∠ACB=60°，AB=AC，然后即可证明△AEB≌△ADC，利用全等三角形的性质就证明AE=AD．
23.【答案】证明：(1)∵BD=CD，
∴∠BCD=∠1；
∵∠1=∠2，
∴∠BCD=∠2；
∴CD//AB．
(2)∵CD//AB，∴∠CDA=∠3．
∵∠BCD=∠2=∠3，
∴BE=AE．
且∠CDA=∠BCD，
∴DE=CE．
在△BDE和△ACE中，
∵DE=CE∠DEB=∠CEABE=AE．
∴△BDE≌△ACE(SAS)；
(3)∵△BDE≌△ACE，
∴∠4=∠1，∠ACE=∠BDE=90°
∴∠ACH=90°−∠BCH；
又∵CH⊥AB，
∴∠2=90°−∠BCH；
∴∠ACH=∠2=∠1=∠4，
∴AF=CF；
∵∠AEC=90°−∠4，∠ECF=90°−∠ACH，
又∵∠ACH=∠4，
∴∠AEC=∠ECF；
∴CF=EF；
∴EF=AF；
∵O为AB中点，
∴OF为△ABE的中位线；
∴OF=12BE．
【解析】(1)有BD=CD，可得∠1=∠BCD，那么就有∠2=∠BCD，从而CD//AB；
(2)由∠2=∠3，可得BE=AE，又因为CD//AB，同样可知DE=CE，根据SAS即可证出：△BDE≌△ACE；
(3)由于O是AB的中点，因此只需证得AF=EF即可得出OF是△ABE的中位线，进而可得出OF=12BE.根据(2)的全等三角形，可得出∠ACE=90°，因此可通过证CF是直角三角形ACE斜边上的中线，来得出AF=EF．
本题利用了内错角相等，两直线平行，以及全等三角形的判定和性质，等角对等边，中位线的判定等知识．综合性强，难度较大．
24.【答案】解：原有的结论仍然成立．理由如下：
(1)当点O在AB的延长线上时，如图所示，
CD=OC−OD=12(OA−OB)=12AB=12×4=2．
(2)当点O在AB所在的直线外时，如图所示，
C，D分别是OA，OB的中点，由三角形中位线定理可得：
CD=12AB=12×4=2．
【解析】运动到延长线时，应用根据线段中点定义得到有关的线段表示出所求的线段长；当在直线AB外时，O、A、B三点构成三角形，利用三角形的中位线即可求解．
解决本题需利用线段中点定义和三角形的中位线定理．熟练掌握运用以上知识是解题的关键．
25.【答案】解：(1)∠1+∠2=∠3+∠4．
理由：由四边形的内角和是360°可知：∠3+∠4+∠5+∠6=360°．
∵∠1+∠5=180°，∠2+∠6=180°，
∴∠1+∠2+∠5+∠6=360°．
∴∠1+∠2=∠3+∠4．
(2)由(1)可知∠MDA+∠DAN=∠B+∠C=240°．
∵AE、DE分别是四边形ABCD的外角∠NAD、∠MDA的平分线，
∴∠EDA=12∠MDA，∠EAD=12∠DAN．
∴∠EDA+∠EAD=12×(∠MDA+∠DAN)=12×240°=120°．
【解析】(1)由四边形的内角和是360°，以及邻补角的和是180°求解即可；
(2)依据(1)的结论可知∠MDA+∠DAN=240°，由角平分线的定义可求得∠EDA+∠EAD=120°，最后再△ADE中由勾股定理可求得∠E的度数．
本题主要考查的是多边形的内角和，掌握四边形的内角和是360°是解题的关键．
北师大版初中数学八年级下册第六单元《平行四边形》（困难）（含答案解析）
考试范围：第六单元； 考试时间：120分钟；总分：120分，
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ACB=45°，AB=22，点P为BC上任意一点，连结PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连结PQ，则PQ的最小值为( )
A. 2 B. 2 C. 22 D. 4
2. 如图，点P为▱ABCD外一点，连接PA、PB、PC、PD，若△APB的面积为18，△APD的面积为5，则△APC的面积为( )
A. 10
B. 13
C. 18
D. 20
3. 如图，在▱ ABCD中，分别以AB、AD为边向外作等边△ ABE、△ ADF，延长CB交AE于点G，点G在点A、E之间，连接CE、CF、EF，则以下四个结论：
①△ CDF≌△ EBC；
②∠ CDF=∠ EAF；
③△ ECF是等边三角形；
④ CG⊥ AE．
一定正确的有个．( )
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
4. 如图，已知□ABCD，AB // x轴，AB=6，点A的坐标为(1,−4)，点D的坐标为(−3,4)，点B在第四象限，点G是AD与y轴的交点，若点P为边CD上一动点，过点P作y轴的平行线PM，过点G作x轴的平行线GM，它们相交于点M，将△PGM沿直线PG翻折，当点M的对应点落在坐标轴上时，则点P的坐标为( )
A. P±655,4 B. P±322,4 C. P±433,4 D. P(±22,4)
5. 如图，在▱ABCD中，AD=BD，∠ADC=105°，点E在AD上，∠EBA=60°，则EDAE的值是( )
A. 23
B. 3
C. 32
D. 33
6. 如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，下列结论中：①AB⊥AC；②四边形AEFD是平行四边形；③∠DFE=150°；④S四边形AEFD=8.错误的个数是( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
7. 如图，在▱ABCD中，∠BAD=60°，CD=3，E是BA延长线上的一点，且AE=AB，连结DE，取DE中点F，连结BF交AD于G，若GD=4，则四边形EAGF的面积为( )
A. 33 B. 6 C. 63 D. 12
8. 已知△ABC的周长为1，连结△ABC的三边中点构成第2个三角形，再连结第2个三角形的三边中点构成第3个三角形，依此类推，第2023个三角形的周长是( )
A. 12 022 B. 12 023 C. 122022 D. 122023
9. 如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC、BD于点E、P，连接OE，∠ADC=60°，AB=12BC=2，则下列结论：①∠CAD=30°；②OE=14AD；③S平行四边形ABCD=AB·AC；④BD=27；⑤S△BEP=S△APO；其中正确的个数是 ( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
10. 如图，在平行四边形ABCD中，∠C=120º，AD=2AB=4，点H、G分别是边AD、BC上的动点.连接AH、HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF.则EF的最大值与最小值的差为( )
A. 1 B. C. D.
11. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是AB的中点，延长CD至点E，使得∠CAB=∠BAE，过点E作EF⊥AB于点F，G为CE的中点，给出结论：
①CD=12AB；②BG=FG；③四边形AEBG是平行四边形；④∠CAE+∠BGF=180°.其中正确的所有选项是( )
A. ①②
B. ③
C. ②④
D. ②③④
12. 如图，在△ABC中，点D、E、F分别为边AB、BC、AC的中点，分别联结DE、EF、DF、AE，点O是AE与DF的交点，下列结论中，正确的个数是( )
①△DEF的周长是△ABC周长的一半；
②AE与DF互相平分；
③如果∠BAC=90°，那么点O到四边形ADEF四个顶点的距离相等；
④如果AB=AC，那么点O到四边形ADEF四条边的距离相等．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13. 在平行四边形ABCD中，∠A=30°，AD=43，BD=4，则平行四边形ABCD的面积等于 ．
14. 如图，▱ABCD的顶点C在等边△BEF的边BF上，点E在AB的延长线上，G为DE的中点，连接CG.若AD=3，AB=CF=2，则CG的长为 ．
15. 如图，A、B两点的坐标分别为(6,0)、(0,6)，连结AB.点P从点A出发，沿AB方向以每秒2个单位的速度向终点B运动；同时动点Q从点B出发沿BO方向以每秒1个单位的速度向终点O运动，将△PQO沿BO翻折，记点P的对应点为点C，若四边形QPOC为平行四边形，则点C的坐标为_____．
16. 如图，四边形ABCD中，∠A=90°，AB=33，AD=3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点(含端点，但点M不与点B重合)，点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为 ．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD=2AD，点E在线段OC上，且OE=CE．
(1)求证：∠OBE=12∠ADO；
(2)若F，G分别是OD，AB的中点，且BC=10，
①求证：ΔEFG是等腰三角形；
②当EF⊥EG时，求▱ABCD的面积．
18. (本小题8.0分)
已知：在平行四边形ABCD中，过点C作CH⊥AB，过点B作AC的垂线，分別交CH、AC、AD于点E、F、G，且∠ABC=∠BEH，BG=BC．
(1)若BE=10，BC=25，求DG的值；
(2)连接HF，证明：HA=2HF−HE．
19. (本小题8.0分)
如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，连结AE，EM⊥AE，垂足为E，交CD于点M，AF⊥BC，垂足为F，BH⊥AE，垂足为H，交AF于点N，点P是AD上一点，连接CP．
(1)若DP=2AP=4，CP=17，CD=5，求△ACD的面积．
(2)若AE=BN，AN=CE，求证：AD=2CM+2CE．
20. (本小题8.0分)
在等腰Rt▵ABC中，AB=AC，∠BAC=90∘，D为BC边上一点，连接AD．
(1)如图1所示，AD=AP，且AD平分∠BDP，若DP=5，CD=3，则BC=___________．
(2)如图2所示，过点A作AS⊥BC于点S，AS=2，点R在BC上，且BR=DS，连接AR，则当AD+AR取最小值时，求DS的长；
(3)如图3所示，以AD为斜边作等腰Rt△AED，连接BE并延长交AC于点F，若AG⊥AE，CG⊥AC，猜想AG与EF存在的数量关系，并证明你的猜想．
21. (本小题8.0分)
在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在边BC上，BD=13BC，将线段DB绕点D顺时针旋转至DE，记旋转角为α，连接BE，CE，以CE为斜边在其一侧作等腰直角三角形CEF，连接AF．
(1)如图1，当α=180°时，请直接写出线段AF与线段BE的数量关系；
(2)当0°<α<180°时，
①如图2，(1)中线段AF与线段BE的数量关系是否仍然成立？请说明理由；
②如图3，当B，E，F三点共线时，连接AE，判断四边形AECF的形状，并说明理由．
22. (本小题8.0分)
如图，已知△ABC是等边三角形，点D、F分别在线段BC、AB上，∠EFB=60°，DC=EF．
(1)求证：四边形EFCD是平行四边形；
(2)若BF=EF，求证：AE=AD．
23. (本小题8.0分)
如图，已知AD与BC相交于E，∠1=∠2=∠3，BD=CD，∠ADB=90°，CH⊥AB于H，CH交AD于F．
(1)求证：CD//AB；
(2)求证：△BDE≌△ACE；
(3)若O为AB中点，求证：OF=12BE．
24. (本小题8.0分)
如图，线段AB=4，点O是线段AB上的点，点C、D是线段OA、OB的中点，小明很轻松地求得CD=2.他在反思过程中突发奇想：若点O运动到线段AB的延长线上或直线AB外，原有的结论“CD=2”是仍然成立呢？请帮小明画出图形分析，并说明理由．
25. (本小题8.0分)
(1)如图1，试探究其中∠1，∠2与∠3，∠4之间的关系，并证明．
(2)用(1)中的结论解决下列问题：如图2，AE、DE分别是四边形ABCD的外角∠NAD、∠MDA的平分线，∠B+∠C=240°，求∠E的度数．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的性质以及垂线段最短的性质，解题的关键是得到当P与P′重合时，OP的值最小，则PQ的值最小．
设PQ与AC交于点O，作OP′⊥BC于P′.首先求出OP′，当P与P′重合时，PQ的值最小，PQ的最小值=2OP′，从而求解．
【解答】
解：设PQ与AC交于点O，作OP′⊥BC于P′.如图所示：
∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ACB=45°，AB=22，
∴AC=AB=22，
∵四边形PAQC是平行四边形，
∴OA=OC=12AC=2，
OP=OQ=12PQ，
∵∠ACB=45°，
∴△OP′C为等腰直角三角形，
设OP′=CP′=x，
∴22=x2+x2，
解得x=1，
∴OP′=1，
当P与P′重合时，OP的值最小，则PQ的值最小，
∴PQ的最小值=2OP′=2．
故选：A．
2.【答案】B
【解析】解：DC与AP交于点E，设点P到DC的距离为h1，DC和AB之间的距离为h2，
∵S△PAD=5，S△PAB=18，
∴DE(h1+h2)2=5，AB(h1+h2)2=18，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，
∴(AB−DE)(h1+h2)2=18−5=13，
即(DC−DE)(h1+h2)2=13，
∴CE(h1+h2)2=13，
即△APC的面积是13，
故选：B．
根据题意，表示出已知三角形的面积，然后作差，再根据平行四边形的性质即可解答本题．
本题主要考查了平行四边形的性质和三角形的面积公式，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
3.【答案】B
【解析】解：∵△ABE、△ADF是等边三角形，
∴FD=AD，BE=AB，
∵AD=BC，AB=DC，
∴FD=BC，BE=DC，
∵∠ABC=∠ADC，∠FDA=∠ABE=60°，
∴∠CDF=∠EBC，
∴△CDF≌△EBC(SAS)，故①正确；
∵∠FAE=∠FAD+∠EAB+∠BAD=60°+60°+(180°−∠CDA)=300°−∠CDA，
∠FDC=360°−∠FDA−∠ADC=300°−∠CDA，
∴∠CDF=∠EAF，故②正确；
同理可得：∠CBE=∠EAF=∠CDF，
∵BC=AD=AF，BE=AE，
∴△EAF≌△EBC(SAS)，
∴∠AEF=∠BEC，
∵∠AEF+∠FEB=∠BEC+∠FEB=∠AEB=60°，
∴∠FEC=60°，
∵CF=CE，
∴△ECF是等边三角形，故③正确；
在等边三角形ABE中，
∵等边三角形顶角平分线、底边上的中线、高和垂直平分线是同一条线段，
∴如果CG⊥AE，则G是AE的中点，∠ABG=30°，∠ABC=150°，题目缺少这个条件，CG⊥AE不能求证，故④错误．
∴①②③正确．
故选：B．
根据题意，结合图形，对选项一一求证，判定正确选项．
本题考查了全等三角形的判定、等边三角形的判定和性质、平行四边形的性质等知识，综合性强．考查学生综合运用数学知识的能力．
4.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，利用勾股定理求出m的值是本题的关键．先求出点G坐标，由勾股定理可求M′N的长，再由勾股定理可求m的值，即可求解．
【解答】
解：∵点A的坐标为(1,−4)，点D的坐标为(−3,4)，
∴直线AD解析式为：y=−2x−2，
∴点G(0,−2)，
如图1中，当点P在线段CD上时，设P(m,4)．
在Rt△PNM′中，∵PM=PM′=6，PN=4，
∴NM′=M′P2−PN2=25，
在Rt△OGM′中，∵OG2+OM′2=GM′2，
∴22+(25+m)2=m2，
解得m=−655，
∴P(−655,4)
根据对称性可知，P(655,4)也满足条件．
故选A．
5.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，求出∠ADB=30°是解题的关键．由等腰三角形的性质可求∠ADB=30°，∠DAB=75°，由直角三角形的性质和勾股定理可求DE，AE的长，即可求解．
【解答】
解：如图，过点B作BH⊥AD于H，
设∠ADB=x，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC//AD，∠ADC=∠ABC=105°，
∴∠CBD=∠ADB=x，
∵AD=BD，
∴∠DBA=∠DAB=180°−x2，
∴x+180°−x2=105°，
∴x=30°，
∴∠ADB=30°，∠DAB=75°，
∵BH⊥AD，
∴BD=2BH，DH=3BH，
∵∠EBA=60°，∠DAB=75°，
∴∠AEB=45°，
∴∠AEB=∠EBH=45°，
∴EH=BH，
∴DE=3BH−BH=(3−1)BH，AH=AD−DH=BD−DH=2BH−3BH=2−3BH，
∴AE=EH+AH=BH+AH=3BH−3BH=3−3BH，
∴DEAE=3−1BH3−3BH=13=33，
故选：D．
6.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
由AB2+AC2=BC2，得出∠BAC=90°，故①正确；再由SAS证得△ABC≌△DBF，得AC=DF=AE=4，同理△ABC≌△EFC(SAS)，得AB=EF=AD=3，则四边形AEFD是平行四边形，故②正确；然后由平行四边形的性质得∠DFE=∠DAE=150°，则③正确；最后求出S▱AEFD=6，故④错误；即可得出答案．
【解答】
解：∵AB=3，AC=4，BC=5，32+42=52，
∴AB2+AC2=BC2，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，
∴AB⊥AC，故①正确；
∵△ABD，△ACE都是等边三角形，
∴∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAE=150°，
∵△ABD和△FBC都是等边三角形，
∴BD=BA，BF=BC，∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠ABF=60°，
∴∠DBF=∠ABC，
在△ABC与△DBF中，
AB=DB∠ABC=∠DBFBC=BF，
∴△ABC≌△DBF(SAS)，
∴AC=DF=AE=4，
∵∠BCF=∠ACE=60°，
∴∠ACB=∠ECF，
又∵AC=EC，CB=CF，
∴△ABC≌△EFC(SAS)，
∴AB=EF=AD=3，
∴四边形AEFD是平行四边形，故②正确；
∴∠DFE=∠DAE=150°，故③正确；
过A作AG⊥DF于G，如图所示：
则∠AGD=90°，
∵四边形AEFD是平行四边形，
∴∠FDA=180°−∠DFE=180°−150°=30°，
∴AG=12AD=32，
∴S▱AEFD=DF⋅AG=4×32=6，故④错误；
∴错误的个数是1个，
故选：A．
7.【答案】A
【解析】解：如图，过点D作DB′⊥AB于点B′，过点E作EH//AD交BF的延长线于点H，
∵AE=AB，F是DE中点，
∴EF=DF，
∴S△ABD=12S△DEB，S△EFB=12S△DEB，
∴S△ABD=S△EFB，
∴S四边形EAGF=S△DGB，
∵EH//AD，
∴∠HEF=∠GDF，
在△HEF和△GDF中，
∠HEF=∠GDFEF=DF∠HFE=∠GFD，
∴△HEF≌△GDF(ASA)，
∴HE=DG=4，
∵EH//AG，AE=AB，
∴AG=12HE=2，
∴AD=AG+DG=2+4=6，
∵∠BAD=60°，
∴∠ADB=30°，
∴AB′=3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=3，
∴AB=AB′，
∴点B和B′重合，
∵DB=AD2−AB2=62−32=33，
∴S△ABD=12×DB⋅AB=932，
∵DG：AG=4：2=2：1，
∴S△DGB=23S△ABD=23×932=33．
∴S四边形EAGF=S△DGB=33．
故选：A．
过点D作DB′⊥AB于点B′，过点E作EH//AD交BF的延长线于点H，根据三角形中线可得S△ABD=12S△DEB，S△EFB=12S△DEB，所以S△ABD=S△EFB，可得S四边形EAGF=S△DGB，然后证明△HEF≌△GDF(ASA)，可得HE=DG=4，根据三角形中位线定理可得AG=12HE=2，所以AD=AG+DG=2+4=6，再根据含30度角的直角三角形可得点B和B′重合，利用勾股定理可得BD，进而可以解决问题．
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
8.【答案】C
【解析】
【分析】
此题考查的是三角形中位线的性质，图形规律问题的有关知识，解决此题关键是找出每一个新的三角形周长是上一个三角形周长的12的规律，进行分析解决题目．根据三角形的中位线定理，找规律求解，每一条中位线均为其对应的边的长度的12，所以新三角形周长是前一个三角形周长的12，进行求解即可．
【解答】
解：△ABC周长为1，因为每条中位线均为其对应边的长度的12，所以：
第2个三角形对应周长为12；
第3个三角形对应的周长为12×12=(12)2；
第4个三角形对应的周长为12×12×12=(12)3；
…
以此类推，第n个三角形对应的周长为(12)n−1；
所以第2023个三角形对应的周长为(12)2022=122022．
故选C．
9.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形30度角的性质、三角形面积和平行四边形面积的计算；熟练掌握平行四边形的性质，证明△ABE是等边三角形是解决问题的关键，并熟练掌握三角形面积的关系．分别根据平行四边形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形30度角的性质、三角形面积和平行四边形面积，逐项计算判定，即可求得答案．
【解答】
解：①∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，∠ABC=∠ADC=60°，
∴∠DAE=∠BEA，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=BE=2，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE=BE=2，
∵BC=4，
∴EC=2，
∴AE=EC，
∴∠EAC=∠ACE，
∵∠AEB=∠EAC+∠ACE=60°，
∴∠ACE=30°，
∵AD//BC，
∴∠CAD=∠ACE=30°，
故①正确；
④∵BE=EC，OA=OC，
∴OE=12AB=1，OE//AB，
∴∠EOC=∠BAC=60°+30°=90°，
Rt△EOC中，OC=3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BCD=∠BAD=120°，
∴∠ACB=30°，
∴∠ACD=90°，
Rt△OCD中，OD=22+(3)2=7，
∴BD=2OD=27，
故④正确；
③由④知：∠BAC=90°，
∴S▱ABCD=AB⋅AC，
故③正确；
②由④知：OE是△ABC的中位线，
∴OE=12AB，
∵AB=12BC，
∴OE=14BC=14AD，
故②正确；
⑤∵四边形ABCD是平行四边形，AB=12BC=2，
∴AC=BC2−AB2=42−22=23，
∴OA=OC=3，
∴S△ABO=S△EOC=12AB⋅AO=12×2×3=3，
∵OE=14BC=14AD=1，AO=OC，
∴OE是△ABC的中位线，即BE=EC=2，
∵∠ADC=60°，AE平分∠BAD，∠BAE=60°，
∴△ABE为边长为2的等边三角形，BE边上高=22−12=3，
∴S△ABE=12BE⋅3=12×2×3=3，
∴S△ABO=S△ABE；
即S△ABO−S△ABP=S△ABE−S△ABP，
∴⑤S△BEP=S△APO,正确；
正确的个数为5个．
故选：D．
10.【答案】C
【解析】
【分析】
如图，取AD的中点M，连接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N.首先证明∠ACD=90°，求出AC，AN，利用三角形中位线定理，可知EF=12AG，求出AG的最大值以及最小值即可解决问题．
本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，本题的突破点是证明∠ACD=90°，属于中考选择题中的压轴题．
【解答】
解：如图，取AD的中点M，连接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N．
∵四边形ABCD是平行四边形，∠BCD=120°，
∴∠D=180°−∠BCD=60°，AB=CD=2，
∵AM=DM=DC=2，
∴△CDM是等边三角形，
∴∠DMC=∠MCD=60°，AM=MC，
∴∠MAC=∠MCA=30°，
∴∠ACD=90°，
∴AC=23，
在Rt△ACN中，∵AC=23，∠ACN=∠DAC=30°，
∴AN=12AC=3，
∵AE=EH，GF=FH，
∴EF=12AG，
易知AG的最大值为AC的长，最小值为AN的长，
∴AG的最大值为23，最小值为3，
∴EF的最大值为3，最小值为32，
∴EF的最大值与最小值的差为32．
故选C．
11.【答案】D
【解析】解：延长EF交AC于M，作GN⊥AB于N，
∵BD=12AB，DB
故①不符合题意；
∵EF//NG//BC，EG=CG，
∴FN=NB，
∵GN⊥AB，
∴FG=GB，
故②符合题意；
∵∠EAF=∠MAF，AF=AF，∠AFE=∠AFM，
∴△AEF≌△AMF，
∴FE=FM，
∵EG=GC，
∴FG//AC，
∴∠GFB=∠CAB，
∴∠GBF=∠EAB，
∴EA//BG，
∵∠EAD=∠DBG，AD=BD，∠ADE=∠BDG，
∴△AED≌△BGD(ASA)，
∴AE=BG，
∴四边形AEBG是平行四边形，
故③符合题意；
∵∠BFG+∠FBG+∠FGB=180°，
∠EAF=∠MAF=∠BFG=∠GBF，
∴∠EAC+∠FGB=180°，
故④符合题意，
故选：D．
构造全等三角形，应用三角形中位线定理，即可求解．
本题考查三角形全等，三角形中位线定理，平行四边形的判定，关键是灵活应用这些知识点．
12.【答案】D
【解析】解：①∵点D、E、F分别为边AB、BC、AC的中点，
∴EF=12AB，DF=12BC，DE=12AC，
∴EF+DF+DE=12(AB+BC+AC)，
∴△DEF的周长是△ABC周长的一半，故①正确；
②∵点D、E、F分别为边AB、BC、AC的中点，
∴DE//AC，DF////BC，
∴四边形ADEF是平行四边形，
∴AE与DF互相平分，故②正确；
③∵∠BAC=90°，四边形ADEF是平行四边形，
∴四边形ADEF是矩形，
∴AE=DF，OA=OE=OD=OF，
∴点O到四边形ADEF四个顶点的距离相等，故③正确；
④∵AB=AC，
∴AD=AF，
∵四边形ADEF是平行四边形，
∴四边形ADEF是菱形，
∴AE，DF是菱形两组对角的平分线，
∴点O到四边形ADEF四条边的距离相等，故④正确．
综上所述：正确的是①②③④，共4个，
故选：D．
①根据三角形中位线定理即可解决问题；
②根据三角形中位线定理证明四边形ADEF是平行四边形，进而可以解决问题；
③证明四边形ADEF是矩形，进而可以解决问题；
④证明四边形ADEF是菱形，再根据菱形的性质即可解决问题．
本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，矩形的判定与性质，三角形中位线定理，解决本题的关键是掌握三角形中位线定理．
13.【答案】163或83
【解析】
【分析】
本题考查了平行四边形的性质以及平行四边形的面积公式的运用和含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
分两种情况，过D作DE⊥AB于E，利用含30°角的直角三角形的性质和勾股定理求AB，根据平行四边形的面积公式即可得到结论．
【解答】
解：第一种情况，如图1
过D作DE⊥AB于E，
在Rt△ADE中，∵∠A=30°，AD=43，
∴DE=12AD=23，
由勾股定理，AE=6，
在Rt△BDE中，∵BD=4，
∴BE=BD2−DE2=42−(23)2=2，
∴AB=8，
∴平行四边形ABCD的面积=AB⋅DE=8×23=163，
第二种情况，如图2
过D作DE⊥AB交AB的延长线于点E，
在Rt△ADE中，∵∠A=30°，AD=43，
∴DE=12AD=23，
由勾股定理，AE=6，
在Rt△BDE中，∵BD=4，
∴BE=BD2−DE2=42−(23)2=2，
∴AB=4，
∴平行四边形ABCD的面积=AB⋅DE=4×23=83，
故答案为：163或83．
14.【答案】32
【解析】
【分析】
本题考查平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据平行四边形的性质和等边三角形的性质，可以得到BF和BE的长，然后可以证明△DCG和△EHG全等，然后即可得到CG的长．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，CD=AB，DC//AB，
∵AD=3，AB=CF=2，
∴CD=2，BC=3，
∴BF=BC+CF=5，
∵△BEF是等边三角形，G为DE的中点，
∴BF=BE=5，DG=EG，
延长CG交BE于点H，
∵DC//AB，
∴∠CDG=∠HEG，
在△DCG和△EHG中，∠CDG=∠HEGDG=EG∠DGC=∠EGH，
∴△DCG≌△EHG(ASA)，
∴DC=EH，CG=HG，
∵CD=2，BE=5，
∴HE=2，BH=5−2=3，
∵∠CBH=60°，BC=BH=3，
∴△CBH是等边三角形，
∴CH=BC=3，
∴CG=12CH=32，
故答案为：32．
15.【答案】(−4,2)
【解析】
【分析】
本题考查了翻折变换的性质，坐标与图形性质，平行四边形的对角线互相平分的性质，熟记各性质并判断出OQ=2PD并列出方程是解题的关键．连接PC，过点P作PD⊥x轴于D，根据翻折变换的性质可得PC⊥OB，可证四边形ODPE为矩形，设运动时间为t秒时四边形QPOC为平行四边形，根据点A、B的坐标求出OA=OB，然后判断出△AOB是等腰直角三角形，再判断出△APD是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出PD，再求出OQ，然后根据OQ=2PD列式方程求出t的值，再求出点P的坐标，再根据轴对称性写出点C的坐标即可．
【解答】
解：连接PC，交OQ于E点，过点P作PD⊥x轴于D，
∵△PQO沿BO翻折点P的对应点为点C，
∴PC⊥OB，
∴四边形ODPE为矩形，
∴OE=PD，
设t秒时四边形QPOC为平行四边形，
则AP=2t，BQ=t，OQ=2OE=2PD，
∵A(6,0)，B(0,6)，
∴OA=OB=6，OQ=6−t，
∴△AOB是等腰直角三角形，△APD是等腰直角三角形，
∴PD=22AP=22×2t=t，
∴6−t=2t，
解得t=2，
∴AD=PD=2，
OD=OA−AD=6−2=4，
∴点P的坐标为(4,2)，
∵点P、C关于OB对称，
∴点C的坐标为(−4,2)．
故答案为(−4,2)．
16.【答案】3
【解析】
【分析】
本题考查了三角形中位线定理，勾股定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键，根据三角形的中位线定理得出EF=12DN，从而可知DN最大时，EF最大，因为N与B重合时DN最大，此时根据勾股定理求得DN=DB=6，从而求得EF的最大值为3．
【解答】
解：∵ED=EM，MF=FN，
∴EF=12DN，
∴DN最大时，EF最大，
∵N与B重合时DN最大，
此时DN=DB=AD2+AB2=6，
∴EF的最大值为3．
故答案为3．
17.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，DO=BO=12BD，
∴∠ADB=∠DBC，
∵BD=2AD，
∴AD=DO，
∴BC=BO，
∵E是CO中点，
∴∠OBE=12∠OBC，
∴∠OBE=12∠ADO；
(2)①证明：∵BC=BO，
∴△BOC是等腰三角形，
∵E是CO中点，
∴EB⊥CO，
∴∠BEA=90°，
∵G为AB中点，
∴EG=12AB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，
∵E、F分别是OC、OD的中点，
∴EF=12CD，
∴EG=EF，
∴△EFG是等腰三角形；
②由①得EF//AB，
∵EF⊥EG，
∴EG⊥AB，
∵G是AB的中点，
∴AE=BE，
设CE=x，则AO=CO=2CE=2x，
∴BE=AE=3x，
在Rt△BEC中，BC=10，
∴EC2+BE2=BC2，
即x2+(3x)2=102，
解得x=10，
∴AC=410，BE=310，
∴S▱ABCD=2S△ABC=2×12×410×310=120．
【解析】此题主要考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质、三角形中位线的性质、等腰三角形的性质，关键是掌握等腰三角形三线合一的性质．
(1)根据平行四边形的性质可得∠ADB=∠DBC，再证明△BOC是等腰三角形，根据等腰三角形的性质可得∠OBE=12∠OBC，进而可证明结论；
(2)①首先证明EG=12AB，再根据三角形中位线的性质可得EF=12CD，进而得到EG=EF，可证明结论；
②由①得EF//AB，由EF⊥EG，G是AB的中点，可证得AE=BE，设CE=x，则AO=CO=2CE=2x，利用勾股定理可求解x值，进而可求解AC，BE，再利用平行四边形的面积公式可求解．
18.【答案】(1)解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=25，∠ABC+∠BAG=180°，
∵∠ABC=∠BEH，
∴∠CEB+∠ABC=180°，
∴∠BAG=∠CEB，
∵∠ABG+∠BEH=90°，∠ECB+∠ABC=90°，
∴∠ABG=∠ECB，
在△BAG和△CEB中，∠BAG=∠CEB∠ABG=∠ECBBG=BC,
∴△BAG≌△CEB(AAS)，
∴BE=AG=10，
∴DG=AD−AG=25−10=15；
(2)证明：过点F作FN⊥HF，交BA延长线于N，如图所示：
∵△BAG≌△CEB，
∴CE=AB，
∵∠ABG+∠BAC=∠ECB+∠ABC=90°，∠ABG=∠ECB，
∴∠BAC=∠ABC，
∴AC=BC，
∵CH⊥AB，
∴∠ACH=∠ECB=∠ABG，
在△ABF和△ECF中，∠CFE=∠BFA=90°∠ABF=∠ECFAB=CE,
∴△ABF≌△ECF(AAS)，
∴AF=EF，
∵∠HFN=∠EFA=90°，
∴∠AFN=∠EFH，
∵∠BAC=∠ABC，∠ABC=∠BEH，
∴∠NAF=∠HEF，
在△ANF和△EHF中，∠NAF=∠HEFAF=EF ∠AFN=∠EFH ,
∴△ANF≌△EHF(ASA)，
∴HE=AN，HF=NF，
∴△HFN是等腰直角三角形，
∴HN=2HF，
∴HA+AN=HA+HE=2HF，
∴HA=2HF−HE．
【解析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识．
(1)证明∠BAG=∠CEB，∠ABG=∠ECB，由AAS证得△BAG≌△CEB得出BE=AG=10，即可得出结果；
(2)过点F作FN⊥HF，交BA延长线于N，由△BAG≌△CEB，得出CE=AB，由AAS证得△ABF≌△ECF得出AF=EF，由ASA证得△ANF≌△EHF得出HE=AN，HF=NF，则△HFN是等腰直角三角形，得出HN=2HF，即可得出结论．
19.【答案】(1)解：作CG⊥AD于G，如图1所示：
设PG=x，则DG=4−x，
在Rt△PGC中，GC2=CP2−PG2=17−x2，
在Rt△DGC中，GC2=CD2−GD2=52−(4−x)2=9+8x−x2，
∴17−x2=9+8x−x2，
解得：x=1，即PG=1，
∴GC=4，
∵DP=2AP=4，
∴AD=6，
∴S△ACD=12×AD×CG=12×6×4=12；
(2)证明：连接NE，如图2所示：
∵BH⊥AE，AF⊥BC，AE⊥EM，
∴∠AEB+∠NBF=∠AEB+∠EAF=∠AEB+∠MEC=90°，
∴∠NBF=∠EAF=∠MEC，
在△NBF和△EAF中，∠NBF=∠EAF∠BFN=∠EFAAE=BN，
∴△NBF≌△EAF(AAS)，
∴BF=AF，NF=EF，
∴∠ABC=45°，∠ENF=45°，FC=AF=BF，
∴∠ANE=∠BCD=135°，AD=BC=2AF，
在△ANE和△ECM中，∠MEC=∠EAFAN=EC∠ANE=∠ECM，
∴△ANE≌△ECM(ASA)，
∴CM=NE，
又∵NF=22NE=22MC，
∴AF=22MC+EC，
∴AD=2MC+2EC．
【解析】(1)作CG⊥AD于G，设PG=x，则DG=4−x，在Rt△PGC和Rt△DGC中，由勾股定理得出方程，解方程得出x=1，即PG=1，得出GC=4，求出AD=6，由三角形面积公式即可得出结果；
(2)连接NE，证明△NBF≌△EAF得出BF=AF，NF=EF，再证明△ANE≌△ECM得出CM=NE，由NF=22NE=22MC，得出AF=22MC+EC，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积公式等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
20.【答案】解：(1)11
(2)如图2，过点S作ST//AC，且ST=AC，连接CT，AT，
∴四边形ASTC是平行四边形，
∴CT=AS=2，
连接AT交SC于点Q，
∴SQ=CQ，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠ACB=45°，
∵AS⊥BC，
∴BS=CS=AS=2，
∵ST=AC，
∴ST=AB，
∵CT//AC，
∴∠TSD=∠ACB=45°，
∴∠B=∠TSD=45°，
∵BR=DS，
∴△ABR≌△TSD(SAS)，
∴AR=DT，
∴AD+AR=AD+DT，
∵AD+DT≥AT，
当A，D，T三点共线时，AD+DT取得最小值是AT，
此时DS=SQ=12CS=1；
(3)AG=2EF，
证明：在射线EB上取点M，使AE=EM，连接AM、DM，如图，
∴∠EAM=∠EMA，
∴∠AEF=∠EMA+∠EAM=2∠EMA，
∵△EAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，
∴AE=DE，∠AED=90∘，
∴EM=DE，
∴∠EMD=∠EDM，
∴∠FED=∠EMD+∠EDM=2∠EMD，
∴∠AED=∠AEF+∠FED=2∠EMA+2∠EMD=90∘，
∴∠EMA+∠EMD=∠AMD=45∘，
∴∠AMD=∠ABC=45∘，
这表明点M与点B重合，即AE=BE；
∴∠EAB=∠EBA，
∵∠EBA+∠AFB=∠EAB+∠EAF=90∘，
∴∠EAF=∠AFB，
∴AE=EF，
∴AE=EF=BE，即EF=12BF；
∵∠BAC=∠ACG=90∘，
∴∠EAB+∠EAC=∠EAC+∠CAG，
∴∠EAB=∠CAG，
∵∠EAB=∠EBA，
∴∠EBA=∠CAG，
在▵ABF与▵CAG中，
{∠BAC=∠ACGAB=AC∠EBA=∠CAG,
∴△ABF≌△CAG，
∴AG=BF，
∴EF=12AG，
即AG=2EF．
【解析】
【分析】
本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，平行四边形的判定与性质有关知识
(1)在DB上截取DE=DP，连接AE，先证明△ADE≌△ADP(SAS)，可得AE=AP，再证明△ABE≌△ADC(AAS)，可得BE=CD=3，进而可得BC；
(2)过点S作ST//AC，且ST=AC，连接CT，AT，可得四边形ASTC是平行四边形，所以CT=AS=2，连接AT交SC于点Q，证明△ABR≌△TSD(SAS)，可得AR=DT，当A，D，T三点共线时，AD+DT取得最小值是AT，此时DS=SQ=12CS=1，即可解决问题；
(3)在射线EB上取点M，使AE=EM，连接AM、DM，利用等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质解答即可．
【解答】
解：(1)如图1，在DB上截取DE=DP，连接AE，
∵AD平分∠BDP，
∴∠ADE=∠ADP，
在△ADE和△ADP中，
DE=DP∠ADE=∠ADPDA=DA,
∴△ADE≌△ADP(SAS)，
∴AE=AP，
∵AD=AP，
∴AE=AD，
∴∠AED=∠ADE，
∴∠AEB=∠ADC，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△ABE和△ADC中，
∠B=∠C∠AEB=∠ADCAE=AD,
∴△ABE≌△ADC(AAS)，
∴BE=CD=3，
∴BC=BE+ED+CD=CD+DP+CD=3+5+3=11
(2)见答案
(3)见答案
21.【答案】解：(1)如图1，当α=180°时，点E在线段BC上，
∵BD=13BC，
∴DE=BD=13BC，
∴BD=DE=EC，
∵△CEF是等腰直角三角形，
∴∠CFE=∠BAC=90°，
∵∠ECF=∠BCA=45°，
∴△ABC∽△FEC，
∴FCAC=ECBC=13，
设CF=x，则AC=3x，AF=2x，
∵△CEF，△ABC均是等腰直角三角形，
∴CE=2x，BC=32x，
∴BE=22x，
∴AFBE=2x22x=22；
(2)①AFBE=22仍然成立．
理由如下：
如图2，
∵△CEF是等腰直角三角形，
∴∠ECF=45°，CFCE=22，
∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠BCA=45°，CACB=22，
∴∠ECF=∠BCA，CFCE=CACB，
∴∠ACF+∠ACE=∠BCE+∠ACE，
∴∠ACF=∠BCE，
∵CFCA=CECB，
∴△CAF∽△CBE，
∴AFBE=CFCE=22，
∴AFBE=22仍然成立．
②四边形AECF是平行四边形．
理由如下：
当B，E，F三点共线时，如图3，过点D作DG⊥BF于点G，
由旋转得：DE=BD=13BC，
∵∠BGD=∠BFC=90°，∠DBG=∠CBF，
∴△BDG∽△BCF，
∴DGCF=BGBF=BDBC=13，
∵BD=DE，DG⊥BE，
∴BG=EG，
∴BG=EG=EF，
∵EF=CF，
∴CF=BG=13BF，
由①知，AF=22BE=2BG=2CF=CE，
∵△CAF∽△CBE，
∴∠CAF=∠CBE，∠ACF=∠BCE，
∵∠CEF=∠CBE+∠BCE=45°，∠BCE+∠ACE=∠ACB=45°，
∴∠CBE=∠ACE，
∴∠CAF=∠ACE，
∴AF//CE，
∵AF=CE，
∴四边形AECF是平行四边形．
【解析】本题属于相似三角形综合题，三角形综合题，考查了等腰直角三角形性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定，旋转的旋转等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质及等腰直角三角形性质是解题关键．
(1)根据题意得BD=DE=EC=13BC，进而可得△ABC∽△FEC，得出FCAC=ECBC=13，设CF=x，易得AF=2x，推出BE=22x，即可得出答案；
(2)①由△CEF是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，可得△CAF∽△CBE，推出AFBE=CFCE=22，则AFBE=22仍然成立；
②如图3，过点D作DG⊥BF于点G，由旋转得：DE=BD=13BC，进而得出△BDG∽△BCF，推出AF=22BE=2BG=2CF=CE，再由△CAF∽△CBE，推出∠CAF=∠ACE，可得AF//CE，利用平行四边形的判定即可得出答案．
22.【答案】证明：(1)∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∵∠EFB=60°，
∴∠ABC=∠EFB，
∴EF//DC，
∵DC=EF，
∴四边形EFCD是平行四边形；
(2)连接BE，
∵BF=EF，∠EFB=60°，
∴△EFB是等边三角形，
∴EB=EF，∠EBF=60°。
∵DC=EF，∴EB=DC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，AB=AC，
∴∠EBF=∠ACB，
∴△AEB≌△ADC，
∴AE=AD．
【解析】此题把等边三角形和平行四边形结合在一起，首先利用等边三角形的性质证明平行四边形，然后利用等边三角形的性质证明全等三角形，最后利用全等三角形的性质解决问题．
(1)由△ABC是等边三角形得到∠B=60°，而∠EFB=60°，由此可以证明EF//DC，而DC=EF，然后即可证明四边形EFCD是平行四边形；
(2)如图，连接BE，由BF=EF，∠EFB=60°可以推出△EFB是等边三角形，然后得到EB=EF，∠EBF=60°，而DC=EF，由此得到EB=DC，又
△ABC是等边三角形，所以得到∠ACB=60°，AB=AC，然后即可证明△AEB≌△ADC，利用全等三角形的性质就证明AE=AD．
23.【答案】证明：(1)∵BD=CD，
∴∠BCD=∠1；
∵∠1=∠2，
∴∠BCD=∠2；
∴CD//AB．
(2)∵CD//AB，∴∠CDA=∠3．
∵∠BCD=∠2=∠3，
∴BE=AE．
且∠CDA=∠BCD，
∴DE=CE．
在△BDE和△ACE中，
∵DE=CE∠DEB=∠CEABE=AE．
∴△BDE≌△ACE(SAS)；
(3)∵△BDE≌△ACE，
∴∠4=∠1，∠ACE=∠BDE=90°
∴∠ACH=90°−∠BCH；
又∵CH⊥AB，
∴∠2=90°−∠BCH；
∴∠ACH=∠2=∠1=∠4，
∴AF=CF；
∵∠AEC=90°−∠4，∠ECF=90°−∠ACH，
又∵∠ACH=∠4，
∴∠AEC=∠ECF；
∴CF=EF；
∴EF=AF；
∵O为AB中点，
∴OF为△ABE的中位线；
∴OF=12BE．
【解析】(1)有BD=CD，可得∠1=∠BCD，那么就有∠2=∠BCD，从而CD//AB；
(2)由∠2=∠3，可得BE=AE，又因为CD//AB，同样可知DE=CE，根据SAS即可证出：△BDE≌△ACE；
(3)由于O是AB的中点，因此只需证得AF=EF即可得出OF是△ABE的中位线，进而可得出OF=12BE.根据(2)的全等三角形，可得出∠ACE=90°，因此可通过证CF是直角三角形ACE斜边上的中线，来得出AF=EF．
本题利用了内错角相等，两直线平行，以及全等三角形的判定和性质，等角对等边，中位线的判定等知识．综合性强，难度较大．
24.【答案】解：原有的结论仍然成立．理由如下：
(1)当点O在AB的延长线上时，如图所示，
CD=OC−OD=12(OA−OB)=12AB=12×4=2．
(2)当点O在AB所在的直线外时，如图所示，
C，D分别是OA，OB的中点，由三角形中位线定理可得：
CD=12AB=12×4=2．
【解析】运动到延长线时，应用根据线段中点定义得到有关的线段表示出所求的线段长；当在直线AB外时，O、A、B三点构成三角形，利用三角形的中位线即可求解．
解决本题需利用线段中点定义和三角形的中位线定理．熟练掌握运用以上知识是解题的关键．
25.【答案】解：(1)∠1+∠2=∠3+∠4．
理由：由四边形的内角和是360°可知：∠3+∠4+∠5+∠6=360°．
∵∠1+∠5=180°，∠2+∠6=180°，
∴∠1+∠2+∠5+∠6=360°．
∴∠1+∠2=∠3+∠4．
(2)由(1)可知∠MDA+∠DAN=∠B+∠C=240°．
∵AE、DE分别是四边形ABCD的外角∠NAD、∠MDA的平分线，
∴∠EDA=12∠MDA，∠EAD=12∠DAN．
∴∠EDA+∠EAD=12×(∠MDA+∠DAN)=12×240°=120°．
【解析】(1)由四边形的内角和是360°，以及邻补角的和是180°求解即可；
(2)依据(1)的结论可知∠MDA+∠DAN=240°，由角平分线的定义可求得∠EDA+∠EAD=120°，最后再△ADE中由勾股定理可求得∠E的度数．
本题主要考查的是多边形的内角和，掌握四边形的内角和是360°是解题的关键．
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