高中数学人教B版 (2019)必修 第一册3.4 数学建模活动:决定苹果的最佳出售时间点同步测试题

3.3　函数的应用(一)

3.4　数学建模活动:决定苹果的最佳出售时间点

必备知识基础练

1.如图是一份统计图表,根据此图表得到的以下说法中正确的个数是(　　)

①这几年人民生活水平逐年得到提高;②生活费收入指数增长最快的一年是2010年;③生活价格指数上涨速度最快的一年是2011年;④虽然2012年生活费收入增长缓慢,但由于生活价格指数也略有降低,因而人民生活有较大的改善.

A.1 B.2 C.3 D.4

2.某种生物增长的数量y(单位:个)与时间x(单位:小时)的关系如下表:

下面函数解析式中,能表达这种关系的是(　　)

A.y=x2-1 B.y=2x+1

C.y=2x-1 D.y=1.5x2-2.5x+2

3.商店某种货物的进价下降了8%,但销售价不变,于是这种货物的销售利润率×100%由原来的r%增加到(r+10)%,则r的值等于(　　)

A.12 B.15 C.25 D.50

4.某单位为鼓励职工节约用水,作出了如下规定:每位职工每月用水不超过10立方米的,按每立方米m元收费;用水超过10立方米的,超过部分按每立方米2m元收费.某职工某月缴水费16m元,则该职工这个月实际用水为(　　)

A.13立方米 B.14立方米

C.18立方米 D.26立方米

5.国家规定个人稿费纳税办法:不超过800元的不纳税;超过800元而不超过4 000元的按超过800元部分的14%纳税;超过4 000元的按全部稿酬的11.2%纳税,已知某人出版一本书,共纳税420元,则这个人应得稿费(扣税前)为(　　)

A.2 800元 B.3 000元 

C.3 800元 D.3 818元

6.某企业投入100万元购入一套设备,该设备每年的运转费用是0.5万元,此外每年都要花费一定的维护费,若已知x年后的设备维护总费用为x(x+1)元,则为使该设备年平均费用最低,该企业需要更新设备的年数为(　　)

A.10 B.11 C.13 D.21

7.经市场调查,某商品的日销售量(单位:件)和价格(单位:元/件)均为时间t(单位:天)的函数.日销售量为f(t)=2t+100,价格为g(t)=t+4,则该种商品的日销售额S(单位:元)与时间t的函数解析式为S(t)=　　　　　. 

8.某市居民生活用水收费标准如下:

已知某用户1月份用水量为8 t,缴纳的水费为33元;2月份用水量为6 t,缴纳的水费为21元.设用户每月缴纳的水费为y元.

(1)写出y关于x的函数解析式;

(2)若某用户3月份用水量为3.5 t,则该用户需缴纳的水费为多少元?

(3)若某用户希望4月份缴纳的水费不超过24元,求该用户最多可以用多少水.

9.某厂推出品牌为“玉兔”的新产品,生产“玉兔”的固定成本为20 000元,每生产一件“玉兔”需要增加投入100元,根据统计数据,总收益P(单位:元)与月产量x(单位:件)满足P=

(注:总收益=总成本+利润)

(1)请将利润y(单位:元)表示成关于月产量x(单位:件)的函数;

(2)当月产量为多少时,利润最大?最大利润是多少?

关键能力提升练

10.某游乐场每天的盈利额y(单位:元)与售出的门票数x(单位:张)之间的函数关系如图所示,试分析图象,要使该游乐场每天的盈利额超过1 000元,那么每天至少应售出　　　　　张门票. 

11.在某种金属材料的耐高温实验中,温度y(单位:℃)随时间t(单位:min)的变化情况如图所示,给出下面四种说法:

①前5分钟温度增加的速度越来越快;

②前5分钟温度增加的速度越来越慢;

③5分钟以后的温度保持匀速增加;

④5分钟以后温度保持不变.

其中正确的说法是　　　　　.(只填序号) 

12.某厂生产一种机器的固定成本(即固定投入)为 0.5万元,但每生产100台,需要加可变成本(即另增加投入)0.25万元.市场对此产品的年需求量为500台.销售的收入函数为R(x)=5x-(万元)(0≤x≤5),其中x是产品售出的数量(单位:百台).

(1)把利润表示为年产量的函数;

(2)年产量是多少时,工厂所得利润最大?

(3)年产量是多少时,工厂才不亏本?

附:≈4.64.

学科素养创新练

13.某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用,管理这些自行车的费用是每日115元.根据经验,若每辆自行车的日租金不超过6元,则自行车可以全部租出;若超过6元,则每提高1元,租不出去的自行车就增加3辆.

旅游点规定:每辆自行车的日租金不低于3元并且不超过20元,每辆自行车的日租金x元只取整数,用y表示出租所有自行车的日净收入.(日净收入即一日中出租的所有自行车的总收入减去管理费用后的所得)

(1)求函数y=f(x)的解析式;

(2)试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元?日净收入最多为多少元?

参考答案

3.3　函数的应用(一)

3.4　数学建模活动:决定苹果

的最佳出售时间点

1.C　由题意“生活费收入指数”减去“生活价格指数”的差是逐年增大的,故①正确.“生活费收入指数”在2010~2011年最陡,故②正确.“生活价格指数”在2011~2012年最平缓,故③错误.由于“生活价格指数”曲线略呈下降趋势,而“生活费收入指数”曲线呈上升趋势,故④正确.故选C.

2.D

3.B　设原销售价为a,原进价为x,可以列出方程组:解这个方程组,消去a,x,可得r=15.

4.A　设职工的用水量为x立方米,需要交纳的水费为f(x),当0≤x≤10时,f(x)=mx,当x>10时,f(x)=10×m+(x-10)×2m=2mx-10m,即函数的解析式为f(x)=故当0≤x≤10时,mx=16m,解得x=16,不合题意,舍去;当x>10时,2mx-10m=16m,解得x=13,符合题意.故该职工这个月实际用水为13立方米.

5.C　由题意,知纳税额y(单位:元)与稿费(扣税前)x(单位:元)之间的函数关系式为

y=

由于此人纳税420元,所以当800<x≤4000时,令(x-800)×0.14=420,解得x=3800;当x>4000时,令0.112x=420,解得x=3750(舍去),故这个人应得稿费(扣税前)为3800元.故选C.

6.A　设该企业需要更新设备的年数为x,设备年平均费用为y,则x年的平均费用为y==x++1.5(x∈N+),由均值不等式得y=x++1.5≥2+1.5=21.5,当且仅当x=,即x=10时等号成立,所以选A.

7.2t2+108t+400,t∈N　日销售额=日销售量×价格,故S=f(t)×g(t)=(2t+100)×(t+4)=2t2+108t+400,t∈N.

8.解(1)由题设可得y=

当x=8时,y=33;当x=6时,y=21,

代入得解得

∴y关于x的函数解析式为y=

(2)当x=3.5时,y=3×3.5-3=7.5.

∴该用户3月份需缴纳的水费为7.5元.

(3)令6x-15≤24,解得x≤6.5.

∴该用户最多可以用6.5t水.

9.解(1)依题意,总成本是(20000+100x)元,

所以y=P-(20000+100x),

即y=

(2)由(1)知,当x∈(0,400]时,y=-(x-300)2+25000,所以当x=300时,y的最大值为25000;

当x>400时,y=60000-100x<20000.

综上可知,当月产量为300件时,利润最大,最大利润为25000元.

10.234　由题图知,盈利额每天要超过1000元时,x∈(200,300]这一区间,设y=kx+b(k≠0,x∈(200,300]),将(200,500),(300,2000)代入得即y=15x-2500.

由15x-2500>1000,得x>,故至少要售出234张门票,才能使游乐场每天的盈利额超过1000元.

11.②④　前5分钟温度增加的速度应越来越慢,因为此段内曲线越来越“缓”,故②正确;5分钟后,对应曲线是水平的,说明温度不变了,故④正确.

12.解(1)设利润为L(x),成本为C(x).

当x≤5时,产品能全部售出;当x>5时,只能售出500台,故利润函数为L(x)=R(x)-C(x)=

=

(2)当0≤x≤5时,L(x)=4.75x--0.5=-(x-4.75)2+10.78125,当x=4.75时,L(x)max=10.78125(万元);当x>5时,L(x)<12-1.25=10.75(万元).

∴年产量475台时利润最大.

(3)由

得5≥x≥4.75-≈0.11或5<x≤48,

∴产品年产量在11台到4800台时,工厂不亏本.

13.解(1)由题知,当x≤6时,f(x)=50x-115,

令50x-115>0,解得x>2.3.

因为x∈N,所以3≤x≤6,且x∈N;

当6<x≤20,且x∈N时,f(x)=[50-3(x-6)]x-115=-3x2+68x-115.

所以y=f(x)=

(2)当3≤x≤6,且x∈N时,f(x)=50x-115为增函数,所以当x=6时,f(x)的最大值为185元.

当6<x≤20,且x∈N时,f(x)=-3x2+68x-115=-3x-2+,所以当x=11时,f(x)的最大值为270元.

综上所述,当每日自行车日租金定为11元时,日净收入最多,为270元.