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数学人教B版 (2019)3.4 数学建模活动:决定苹果的最佳出售时间点优秀学案
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这是一份数学人教B版 (2019)3.4 数学建模活动:决定苹果的最佳出售时间点优秀学案，共3页。学案主要包含了建立函数模型解决实际问题的步骤，数学建模活动的要求，数学建模的两个案例等内容，欢迎下载使用。
一、建立函数模型解决实际问题的步骤
1.观察实际问题，发现和提出问题；2.收集数据；3.分析数据；4.建立模型；5.检验模型；6.求解问题.
二、数学建模活动的要求
1.组建合作团队；2.开展研究活动；3.撰写研究报告；4.交流展示.
三、数学建模的两个案例
[案例1] 航行问题
甲、乙两地相距750公里，船从甲到乙顺水航行需30小时，从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少？
数学建模过程如下：
1.模型准备
(1)题目解读：读懂题意，初步了解问题要求，尤其注意题目中的“名词”、“动词”.
(2)背景资料：对问题所属学科进行分类，查阅资料，了解背景知识(物理定律“距离＝速度*时间”).
2.模型假设
(1)条件假设：将题目所处环境进行简化，提出简化条件(作出简化假设：船速、水速为常数).
(2)符号假设：建立模型需要的字母、字符进行假设(用符号表示有关量：x, y表示船速和水速)
说明：假设是在建模最后阶段才能整理出来的.
3.模型建立：根据问题背景，选取适当的数学方法进行建模eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y×30＝750，,x－y×50＝750.))
4.模型求解：纯数学求解、计算机求解eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝20，,y＝5.))
5.模型分析解释：分析模型本身的稳定性、收敛性等性质.
对于本问题，由于解是精确解，所以不存在误差，不存在收敛性问题；由于模型是静态的，所以不存在时间稳定性问题；由于模型是连续的，所以解对系数及右端项都是适定的.[来源:]
答：船速每小时20千米
6.模型检验：与实际数据、客观事实进行对比检验.
7.模型应用：进行模型应用方面的推广(作出简化假设：船速、水速为常数)(用符号表示有关量：x, y表示船速和水速).
解 用 x表示船速，y表示水速，列出方程：
(用物理定律“距离＝速度×时间”列出数学式子)[来源:Z。xx。k.Cm]
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y×30＝750，,x－y×50＝750.))(求解得到数学解答)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝20，,y＝5.))
(回答原问题)
答：船速每小时20千米
[案例2] 最佳存款问题
1.问题提出
中国人民银行经过几次调整存款利率，目前银行整存整取的年利率如下表：
现在一位刚升入初一的学生，家长欲为其存10万元，以供6年后上大学使用. 请设计一种存款方案，使6年后所获收益最大，并求出最大收益.[来源:Zxxk.Cm]
2.问题分析
问题：10万元资金存储n年后本息和最大的存款策略？(n＝1,2,3,4,5,6)
当n＝1时，存1年定期；当n＝2时，存2年定期；当n＝3时，存3年定期；当n＝4时，存3年定期1次，1年定期1次；当n＝5时，存5年定期；当n＝6时，存3年定期2次.
3.模型假设
假设：(1)存款期限内利率不变；(2)利息按复利计算.
4.模型建立
设存款数x(元)，收益y(元)，则：
定期存款年限越长，利率越大.
10万元资金存储6年后本息最大的存款策略：存3年定期2次.
6年后的本息和：10×(1＋3×4.5%)2＝12.882(万元)，
最大收益为：y＝12.882－10＝2.882(万元).
[练习][来源:]
某饲养场每天投入6元资金用于饲养、设备、人力，估计可使一头60 kg重的生猪每天增重2.5 kg. 目前生猪出售的市场价格为12 元/kg，但是预测每天会降低0.1 元，问该场应该在什么时候出售这样的生猪？
解析 问题分析 投入资金可使生猪体重随时间增长，但售价随时间减少，应该存在一个最佳的出售时机，使获得利润最大. 根据给出的条件，可作出如下的简化假设.
模型假设 每天投入6元资金使生猪的体重每天增加的常数为r＝2.5 kg；生猪出售的市场价格每天降低常数g＝0.1 元.
模型建立 给出以下记号：t～时间(天)；w～生猪体重(kg)；p～单价(元/kg)；R～出售的收入(元)；Q～纯利润(元)；C～t天投入的资金(元).
按照假设，w＝60＋rt，(r＝2.5)，p＝12－gt，(g＝0.1).又知道R＝pw，C＝6t，再考虑到纯利润应扣掉以当前价格(12元/kg)出售60 kg生猪的收入，有Q＝R－C－12×60，得到目标函数(纯利润)为
Q(t)＝(12－gt)(60＋rt)－6t－720；①
其中r＝2.5，g＝0.1. 求t(t≥0)使Q(t)最大.
模型求解 这是求二次函数最大值问题，用代数的方法容易求得t＝eq \f(6r－30g－3,gr).②
当r＝2.5，g＝0.1时，t＝36，Q(36)＝324，即36天后出售，可得最大纯利润324元.
一年期
二年期
三年期
五年期
3.00%
3.90%
4.50%
5.00%
存期
收益y
存入款数
一年期
二年期
三年期
五年期
x
3%x
2×3.9%x
＝7.8%x
3×4.5%x
＝13.5%x
5×5%x
＝25%x
一、建立函数模型解决实际问题的步骤
1.观察实际问题，发现和提出问题；2.收集数据；3.分析数据；4.建立模型；5.检验模型；6.求解问题.
二、数学建模活动的要求
1.组建合作团队；2.开展研究活动；3.撰写研究报告；4.交流展示.
三、数学建模的两个案例
[案例1] 航行问题
甲、乙两地相距750公里，船从甲到乙顺水航行需30小时，从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少？
数学建模过程如下：
1.模型准备
(1)题目解读：读懂题意，初步了解问题要求，尤其注意题目中的“名词”、“动词”.
(2)背景资料：对问题所属学科进行分类，查阅资料，了解背景知识(物理定律“距离＝速度*时间”).
2.模型假设
(1)条件假设：将题目所处环境进行简化，提出简化条件(作出简化假设：船速、水速为常数).
(2)符号假设：建立模型需要的字母、字符进行假设(用符号表示有关量：x, y表示船速和水速)
说明：假设是在建模最后阶段才能整理出来的.
3.模型建立：根据问题背景，选取适当的数学方法进行建模eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y×30＝750，,x－y×50＝750.))
4.模型求解：纯数学求解、计算机求解eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝20，,y＝5.))
5.模型分析解释：分析模型本身的稳定性、收敛性等性质.
对于本问题，由于解是精确解，所以不存在误差，不存在收敛性问题；由于模型是静态的，所以不存在时间稳定性问题；由于模型是连续的，所以解对系数及右端项都是适定的.[来源:]
答：船速每小时20千米
6.模型检验：与实际数据、客观事实进行对比检验.
7.模型应用：进行模型应用方面的推广(作出简化假设：船速、水速为常数)(用符号表示有关量：x, y表示船速和水速).
解 用 x表示船速，y表示水速，列出方程：
(用物理定律“距离＝速度×时间”列出数学式子)[来源:Z。xx。k.Cm]
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y×30＝750，,x－y×50＝750.))(求解得到数学解答)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝20，,y＝5.))
(回答原问题)
答：船速每小时20千米
[案例2] 最佳存款问题
1.问题提出
中国人民银行经过几次调整存款利率，目前银行整存整取的年利率如下表：
现在一位刚升入初一的学生，家长欲为其存10万元，以供6年后上大学使用. 请设计一种存款方案，使6年后所获收益最大，并求出最大收益.[来源:Zxxk.Cm]
2.问题分析
问题：10万元资金存储n年后本息和最大的存款策略？(n＝1,2,3,4,5,6)
当n＝1时，存1年定期；当n＝2时，存2年定期；当n＝3时，存3年定期；当n＝4时，存3年定期1次，1年定期1次；当n＝5时，存5年定期；当n＝6时，存3年定期2次.
3.模型假设
假设：(1)存款期限内利率不变；(2)利息按复利计算.
4.模型建立
设存款数x(元)，收益y(元)，则：
定期存款年限越长，利率越大.
10万元资金存储6年后本息最大的存款策略：存3年定期2次.
6年后的本息和：10×(1＋3×4.5%)2＝12.882(万元)，
最大收益为：y＝12.882－10＝2.882(万元).
[练习][来源:]
某饲养场每天投入6元资金用于饲养、设备、人力，估计可使一头60 kg重的生猪每天增重2.5 kg. 目前生猪出售的市场价格为12 元/kg，但是预测每天会降低0.1 元，问该场应该在什么时候出售这样的生猪？
解析 问题分析 投入资金可使生猪体重随时间增长，但售价随时间减少，应该存在一个最佳的出售时机，使获得利润最大. 根据给出的条件，可作出如下的简化假设.
模型假设 每天投入6元资金使生猪的体重每天增加的常数为r＝2.5 kg；生猪出售的市场价格每天降低常数g＝0.1 元.
模型建立 给出以下记号：t～时间(天)；w～生猪体重(kg)；p～单价(元/kg)；R～出售的收入(元)；Q～纯利润(元)；C～t天投入的资金(元).
按照假设，w＝60＋rt，(r＝2.5)，p＝12－gt，(g＝0.1).又知道R＝pw，C＝6t，再考虑到纯利润应扣掉以当前价格(12元/kg)出售60 kg生猪的收入，有Q＝R－C－12×60，得到目标函数(纯利润)为
Q(t)＝(12－gt)(60＋rt)－6t－720；①
其中r＝2.5，g＝0.1. 求t(t≥0)使Q(t)最大.
模型求解 这是求二次函数最大值问题，用代数的方法容易求得t＝eq \f(6r－30g－3,gr).②
当r＝2.5，g＝0.1时，t＝36，Q(36)＝324，即36天后出售，可得最大纯利润324元.
一年期
二年期
三年期
五年期
3.00%
3.90%
4.50%
5.00%
存期
收益y
存入款数
一年期
二年期
三年期
五年期
x
3%x
2×3.9%x
＝7.8%x
3×4.5%x
＝13.5%x
5×5%x
＝25%x
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