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北京课改版七年级上册3.10 相交线与平行线同步训练题
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这是一份北京课改版七年级上册3.10 相交线与平行线同步训练题，共46页。试卷主要包含了下列说法不正确的是，给出下列说法，如图，下列说法错误的是等内容，欢迎下载使用。
七年级下册数学相交线与平行线必做习题附答案
一．选择题（共21小题）
1．已知抛物线y＝﹣x2+bx+4经过（﹣2，n）和（4，n）两点，则n的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣4 C．2 D．4
2．如图，ABCD为一长条形纸带，AB∥CD，将ABCD沿EF折叠，A、D两点分别与A′、D′对应，若∠1＝2∠2，则∠AEF的度数为（ ）
A．60° B．65° C．72° D．75°
3．下列说法不正确的是（ ）
A．过任意一点可作已知直线的一条平行线
B．同一平面内两条不相交的直线是平行线
C．在同一平面内，过直线外一点只能画一条直线与已知直线垂直
D．平行于同一直线的两直线平行
4．给出下列说法：
（1）两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
（2）平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交，则它与另一条也相交；
（3）相等的两个角是对顶角；
（4）从直线外一点到这条直线的垂线段，叫作这点到直线的距离．
其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5．如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠AOM＝35°，则∠CON的度数为（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
6．如图，下列说法错误的是（ ）
A．若a∥b，b∥c，则a∥c B．若∠1＝∠2，则a∥c
C．若∠3＝∠2，则b∥c D．若∠3+∠5＝180°，则a∥c
7．如图，AB∥CD，用含∠1，∠2，∠3的式子表示∠4，则∠4的值为（ ）
A．∠1+∠2﹣∠3 B．∠1+∠3﹣∠2
C．180°+∠3﹣∠1﹣∠2 D．∠2+∠3﹣∠1﹣180°
8．如图，AB∥CD，有图中α，β，γ三角之间的关系是（ ）
A．α+β+γ＝180° B．α﹣β+γ＝180° C．α+β﹣γ＝180° D．α+β+γ＝360°
9．如图，AB∥EF，设∠C＝90°，那么x、y和z的关系是（ ）
A．y＝x+z B．x+y﹣z＝90° C．x+y+z＝180° D．y+z﹣x＝90°
10．下列图形中，∠1与∠2不是同位角的是（ ）
A． B． C． D．
11．在同一平面内，有8条互不重合的直线，l1，l2，l3…l8，若l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，l4∥l5…以此类推，则l1和l8的位置关系是（ ）
A．平行 B．垂直 C．平行或垂直 D．无法确定
12．如图，a∥b，点B在直线b上，且AB⊥BC，若∠1＝34°，则∠2的大小为（ ）
A．34° B．54° C．56° D．66°
13．如图，AB∥CD，∠1＝58°，FG平分∠EFD，则∠FGB的度数等于（ ）
A．122° B．151° C．116° D．97°
14．如图，点P是直线a外的一点，点A、B、C在直线a上，且PB⊥a，垂足是B，PA⊥PC，则下列不正确的语句是（ ）
A．线段PB的长是点P到直线a的距离
B．PA、PB、PC三条线段中，PB最短
C．线段AC的长是点A到直线PC的距离
D．线段PC的长是点C到直线PA的距离
15．如图，直线l1∥l2，∠A＝125°，∠B＝85°，则∠1+∠2＝（ ）
A．30° B．35° C．36° D．40°
16．在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．平行、相交或垂直
17．如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．∠1和∠2是同位角 B．∠2和∠3是同旁内角
C．∠1和∠4是内错角 D．∠3和∠4是对顶角
18．如图，直线AB∥CD∥EF，点O在直线EF上，下列结论正确的是（ ）
A．∠α+∠β﹣∠γ＝90° B．∠α+∠γ﹣∠β＝180°
C．∠γ+∠β﹣∠α＝180° D．∠α+∠β+∠γ＝180°
19．观察如图，并阅读图形下面的相关文字：
两条直线相交，最多有1个交点；三条直线相交，最多有3个交点；4条直线相交，最多有6个交点……
像这样，20条直线相交，交点最多的个数是（ ）
A．100个 B．135个 C．190个 D．200个
20．如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，如果第一次拐的角∠A＝120°，第二次拐的角∠B＝150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C是（ ）
A．120° B．130° C．140° D．150°
21．如图，将矩形纸片ABCD沿BD折叠，得到△BC′D，C′D与AB交于点E．若∠1＝35°，则∠2的度数为（ ）
A．20° B．30° C．35° D．55°
二．填空题（共5小题）
22．如图，直线l1∥l2，∠α＝∠β，∠1＝40°，则∠2＝ ．
23．把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G，D、C分别在M、N的位置上，若∠EFG＝49°，则∠2﹣∠1＝ ．
24．如图，已知AB∥CD，则∠A、∠C、∠P的关系为 ．
25．如图①是长方形纸带，∠DEF＝α，将纸带沿EF折叠成图②，再沿BF折叠成图③，则图③中的∠CFE的度数是 ．
26．如图，直线l1∥l2，∠1＝20°，则∠2+∠3＝ ．
三．解答题（共21小题）
27．如图，AB∥CD，AE平分∠BAD，CD与AE相交于F，∠CFE＝∠E．求证：AD∥BC．
28．如图，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，试判断∠AED与∠ACB的大小关系，并说明理由．
29．如图，已知AB∥CD，现将一直角三角形PMN放入图中，其中∠P＝90°，PM交AB于点E，PN交CD于点F
（1）当△PMN所放位置如图①所示时，则∠PFD与∠AEM的数量关系为 ；
（2）当△PMN所放位置如图②所示时，求证：∠PFD﹣∠AEM＝90°；
（3）在（2）的条件下，若MN与CD交于点O，且∠DON＝30°，∠PEB＝15°，求∠N的度数．
30．已知，如图，EF⊥AC于F，DB⊥AC于M，∠1＝∠2，∠3＝∠C，求证：AB∥MN．
31．如图，已知∠AGD＝∠ACB，∠1＝∠2．求证：CD∥EF．
（填空并在后面的括号中填理由）
证明：∵∠AGD＝∠ACB （ ）
∴DG∥ （ ）
∴∠3＝ （ ）
∵∠1＝∠2 （ ）
∴∠3＝ （等量代换）
∴ ∥ （ ）
32．如图，已知直线l1∥l2，l3、l4和l1、l2分别交于点A、B、C、D，点P在直线l3或l4上且不与点A、B、C、D重合．记∠AEP＝∠1，∠PFB＝∠2，∠EPF＝∠3．
（1）若点P在图（1）位置时，求证：∠3＝∠1+∠2；
（2）若点P在图（2）位置时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系；
（3）若点P在图（3）位置时，写出∠1、∠2、∠3之间的关系并给予证明．
33．AB⊥BC，∠1+∠2＝90°，∠2＝∠3．BE与DF平行吗？为什么？
解：BE∥DF．
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝ °，
即∠3+∠4＝ °．
又∵∠1+∠2＝90°，
且∠2＝∠3，
∴ ＝ ．
理由是： ．
∴BE∥DF．
理由是： ．
34．问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC的度数．
小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC．
（1）按小明的思路，易求得∠APC的度数为 度；
（2）问题迁移：如图2，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB＝α，∠PCD＝β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出∠APC与α、β之间的数量关系．
35．已知，AB∥CD，试解决下列问题：
（1）如图1，∠1+∠2＝ ；
（2）如图2，∠1+∠2+∠3＝ ；
（3）如图3，∠1+∠2+∠3+∠4＝ ；
（4）如图4，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n＝ ．
36．已知直线AB∥CD．
（1）如图1，直接写出∠ABE，∠CDE和∠BED之间的数量关系是 ．
（2）如图2，BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，那么∠BFD和∠BED有怎样的数量关系？请说明理由．
（3）如图3，点E在直线BD的右侧，BF，DF仍平分∠ABE，∠CDE，请直接写出∠BFD和∠BED的数量关系 ．
37．已知：如图，DG⊥BC，AC⊥BC，EF⊥AB，∠1＝∠2，求证：CD⊥AB．
证明：∵DG⊥BC，AC⊥BC（已知）
∴∠DGB＝∠ACB＝90°（垂直定义）
∴DG∥AC（ ）
∴∠2＝ （ ）
∵∠1＝∠2（已知）
∴∠1＝∠ （等量代换）
∴EF∥CD（ ）
∴∠AEF＝∠ （ ）
∵EF⊥AB（已知）
∴∠AEF＝90°（ ）
∴∠ADC＝90°（ ）
∴CD⊥AB（ ）
38．如图1，E是直线AB，CD内部一点，AB∥CD，连接EA，ED．
（1）探究猜想：
①若∠A＝30°，∠D＝40°，则∠AED等于多少度？
②若∠A＝20°，∠D＝60°，则∠AED等于多少度？
③猜想图1中∠AED，∠EAB，∠EDC的关系并证明你的结论．
（2）拓展应用：
如图2，射线FE与矩形ABCD的边AB交于点E，与边CD交于点F，①②③④分别是被射线FE隔开的4个区域（不含边界，其中区域③、④位于直线AB上方），P是位于以上四个区域上的点，猜想：∠PEB，∠PFC，∠EPF的关系（不要求证明）．
39．如图，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，求证：DE∥BC．
40．如图，直线CB∥OA，∠C＝∠A＝112°，E，F在CB上，且满足∠FOB＝∠AOB，OE平分∠COF．
（1）求∠EOB的度数；
（2）若平行移动AB，那么∠OBC：∠OFC的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律或求出变化范围；若不变，求出这个比值；
（3）在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况使∠OEC＝∠OBA？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由．
41．如图所示，已知AB∥CD，分别探究下面图形中∠APC，∠PAB，∠PCD的关系，请你从四个图形中任选一个，说明你所探究的结论的正确性．
①结论：（1）
（2）
（3）
（4）
②选择结论 ，说明理由．
42．已知直线l1∥l2，直线l3和直线l1、l2交于点C和D，点P是直线l3上一动点
（1）如图1，当点P在线段CD上运动时，∠PAC，∠APB，∠PBD之间存在什么数量关系？请你猜想结论并说明理由．
（2）当点P在C、D两点的外侧运动时（P点与点C、D不重合，如图2和图3），上述（1）中的结论是否还成立？若不成立，请直接写出∠PAC，∠APB，∠PBD之间的数量关系，不必写理由．
43．完成下面的证明：
如图，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠α+∠β＝90°，求证：AB∥CD．
证明：∵BE平分∠ABD （ ）
∴∠ABD＝2∠α （ ）
∵DE平分∠BDC（已知）
∵∠BDC＝ （ ）
∴∠ABD+∠BDC＝2∠α+2∠β＝2（∠α+∠β） （ ）
∵∠α+∠β＝90°（已知）
∴∠ABD+∠BDC＝180°（ ）
∴AB∥CD （ ）
44．如图，已知∠1＝30°，∠B＝60°，AB⊥AC，将证明AD∥BC的过程填写完整．
证明：∵AB⊥AC
∴∠ ＝ °（ ）
∵∠1＝30°
∴∠BAD＝∠ +∠ ＝ °
又∵∠B＝60°
∴∠BAD+∠B＝ °
∴AD∥BC（ ）
45．根据图形填空：
（1）若直线ED、BC被直线AB所截，则∠1和 是同位角；
（2）若直线ED、BC被直线AF所截，则∠3和 是内错角；
（3）∠1和∠3是直线AB、AF被直线 所截构成的内错角．
（4）∠2和∠4是直线AB、 被直线BC所截构成的 角．
46．已知：如图，∠CDG＝∠B，AD⊥BC于点D，EF⊥BC于点F，试判断∠1与∠2的关系，并说明理由．
47．如图，某居民小区有一长方形地，居民想在长方形地内修筑同样宽的两条小路，余下部分绿化，道路的宽为2米，则绿化的面积为多少平方米？
七年级下册数学相交线与平行线必做习题附答案
参考答案与试题解析
一．选择题（共21小题）
1．已知抛物线y＝﹣x2+bx+4经过（﹣2，n）和（4，n）两点，则n的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣4 C．2 D．4
【解答】解：抛物线y＝﹣x2+bx+4经过（﹣2，n）和（4，n）两点，
可知函数的对称轴x＝1，
∴＝1，
∴b＝2；
∴y＝﹣x2+2x+4，
将点（﹣2，n）代入函数解析式，可得n＝﹣4；
故选：B．
2．如图，ABCD为一长条形纸带，AB∥CD，将ABCD沿EF折叠，A、D两点分别与A′、D′对应，若∠1＝2∠2，则∠AEF的度数为（ ）
A．60° B．65° C．72° D．75°
【解答】解：由翻折的性质可知：∠AEF＝∠FEA′，
∵AB∥CD，
∴∠AEF＝∠1，
∵∠1＝2∠2，设∠2＝x，则∠AEF＝∠1＝∠FEA′＝2x，
∴5x＝180°，
∴x＝36°，
∴∠AEF＝2x＝72°，
故选：C．
3．下列说法不正确的是（ ）
A．过任意一点可作已知直线的一条平行线
B．同一平面内两条不相交的直线是平行线
C．在同一平面内，过直线外一点只能画一条直线与已知直线垂直
D．平行于同一直线的两直线平行
【解答】解：A中，若点在直线上，则不可以作出已知直线的平行线，而是与已知直线重合，错误．
B、C、D正确．
故选：A．
4．给出下列说法：
（1）两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
（2）平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交，则它与另一条也相交；
（3）相等的两个角是对顶角；
（4）从直线外一点到这条直线的垂线段，叫作这点到直线的距离．
其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【解答】解：（1）同位角只是一种位置关系，只有两条直线平行时，同位角相等，错误；
（2）强调了在平面内，正确；
（3）不符合对顶角的定义，错误；
（4）直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，不是指点到直线的垂线段的本身，而是指垂线段的长度．
故选：B．
5．如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠AOM＝35°，则∠CON的度数为（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
【解答】解：∵射线OM平分∠AOC，∠AOM＝35°，
∴∠MOC＝35°，
∵ON⊥OM，
∴∠MON＝90°，
∴∠CON＝∠MON﹣∠MOC＝90°﹣35°＝55°．
故选：C．
6．如图，下列说法错误的是（ ）
A．若a∥b，b∥c，则a∥c B．若∠1＝∠2，则a∥c
C．若∠3＝∠2，则b∥c D．若∠3+∠5＝180°，则a∥c
【解答】解：A、若a∥b，b∥c，则a∥c，利用了平行公理，正确；
B、若∠1＝∠2，则a∥c，利用了内错角相等，两直线平行，正确；
C、∠3＝∠2，不能判断b∥c，错误；
D、若∠3+∠5＝180°，则a∥c，利用同旁内角互补，两直线平行，正确；
故选：C．
7．如图，AB∥CD，用含∠1，∠2，∠3的式子表示∠4，则∠4的值为（ ）
A．∠1+∠2﹣∠3 B．∠1+∠3﹣∠2
C．180°+∠3﹣∠1﹣∠2 D．∠2+∠3﹣∠1﹣180°
【解答】解：过点E作EG∥AB，过点F作FH∥CD，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EG∥FH，
∴∠1＝∠AEG，
∴∠GEF＝∠2﹣∠1，
∵EG∥FH，
∴∠EFH＝180°﹣∠GEF＝180°﹣（∠2﹣∠1）＝180°﹣∠2+∠1，
∴∠CFH＝∠3﹣∠EFH＝∠3﹣（180°﹣∠2+∠1）＝∠3+∠2﹣∠1﹣180°，
∵FH∥CD，
∴∠4＝∠3+∠2﹣∠1﹣180°，
故选：D．
8．如图，AB∥CD，有图中α，β，γ三角之间的关系是（ ）
A．α+β+γ＝180° B．α﹣β+γ＝180° C．α+β﹣γ＝180° D．α+β+γ＝360°
【解答】解：如图，延长AE交直线CD于F，
∵AB∥CD，
∴∠α+∠AFD＝180°，
∵∠AFD＝∠β﹣∠γ，
∴∠α+∠β﹣∠γ＝180°，
故选：C．
9．如图，AB∥EF，设∠C＝90°，那么x、y和z的关系是（ ）
A．y＝x+z B．x+y﹣z＝90° C．x+y+z＝180° D．y+z﹣x＝90°
【解答】解：过C作CM∥AB，延长CD交EF于N，
则∠CDE＝∠E+∠CNE，
即∠CNE＝y﹣z
∵CM∥AB，AB∥EF，
∴CM∥AB∥EF，
∴∠ABC＝x＝∠1，∠2＝∠CNE，
∵∠BCD＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∴x+y﹣z＝90°．
故选：B．
10．下列图形中，∠1与∠2不是同位角的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A图中，∠1与∠2有一边在同一条直线上，另一条边在被截线的同一方，是同位角，不符合题意；
B图中，∠1与∠2有一条边在同一条直线上，另一条边在被截线的同一方，是同位角，不符合题意；
C图中，∠1与∠2的两条边都不在同一条直线上，不是同位角，符合题意；
D图中，∠1与∠2有一边在同一条直线上，另一条边在被截线的同一方，是同位角，不符合题意．
故选：C．
11．在同一平面内，有8条互不重合的直线，l1，l2，l3…l8，若l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，l4∥l5…以此类推，则l1和l8的位置关系是（ ）
A．平行 B．垂直 C．平行或垂直 D．无法确定
【解答】解：∵l2∥l3，l3⊥l4，l4∥l5，l5⊥l6，l6∥l7，l7⊥l8，
∴l2⊥l4，l4⊥l6，l6⊥l8，
∴l2⊥l8．
∵l1⊥l2，
∴l1∥l8．
故选：A．
12．如图，a∥b，点B在直线b上，且AB⊥BC，若∠1＝34°，则∠2的大小为（ ）
A．34° B．54° C．56° D．66°
【解答】解：∵a∥b，
∴∠1＝∠3＝34°，
又∵AB⊥BC，
∴∠2＝90°﹣34°＝56°，
故选：C．
13．如图，AB∥CD，∠1＝58°，FG平分∠EFD，则∠FGB的度数等于（ ）
A．122° B．151° C．116° D．97°
【解答】解：∵AB∥CD，∠1＝58°，
∴∠EFD＝∠1＝58°，
∵FG平分∠EFD，
∴∠GFD＝∠EFD＝×58°＝29°，
∵AB∥CD，
∴∠FGB＝180°﹣∠GFD＝151°．
故选：B．
14．如图，点P是直线a外的一点，点A、B、C在直线a上，且PB⊥a，垂足是B，PA⊥PC，则下列不正确的语句是（ ）
A．线段PB的长是点P到直线a的距离
B．PA、PB、PC三条线段中，PB最短
C．线段AC的长是点A到直线PC的距离
D．线段PC的长是点C到直线PA的距离
【解答】解：A、根据点到直线的距离的定义：即点到这一直线的垂线段的长度．故此选项正确；
B、根据垂线段最短可知此选项正确；
C、线段AP的长是点A到直线PC的距离，故选项错误；
D、根据点到直线的距离即点到这一直线的垂线段的长度．故此选项正确．
故选：C．
15．如图，直线l1∥l2，∠A＝125°，∠B＝85°，则∠1+∠2＝（ ）
A．30° B．35° C．36° D．40°
【解答】解：如图，过点A作l1的平行线，过点B作l2的平行线，
∴∠3＝∠1，∠4＝∠2，
∵l1∥l2，
∴AC∥BD，
∴∠CAB+∠ABD＝180°，
∴∠3+∠4＝125°+85°﹣180°＝30°，
∴∠1+∠2＝30°．
故选：A．
16．在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．平行、相交或垂直
【解答】解：在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系，是平行或相交，
所以在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是：平行或相交．
故选：C．
17．如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．∠1和∠2是同位角 B．∠2和∠3是同旁内角
C．∠1和∠4是内错角 D．∠3和∠4是对顶角
【解答】解：A、∠1和∠2是同旁内角，故本选项错误；
B、∠2和∠3是同旁内角，故本选项正确；
C、∠1和∠4是同位角，故本选项错误；
D、∠3和∠4是邻补角，故本选项错误；
故选：B．
18．如图，直线AB∥CD∥EF，点O在直线EF上，下列结论正确的是（ ）
A．∠α+∠β﹣∠γ＝90° B．∠α+∠γ﹣∠β＝180°
C．∠γ+∠β﹣∠α＝180° D．∠α+∠β+∠γ＝180°
【解答】解：∵AB∥EF，
∴∠α＝∠BOF，
∵CD∥EF，
∴∠γ+∠COF＝180°，
∵∠BOF＝∠COF+∠β，
∴∠γ+∠α﹣∠β＝180°，
故选：B．
19．观察如图，并阅读图形下面的相关文字：
两条直线相交，最多有1个交点；三条直线相交，最多有3个交点；4条直线相交，最多有6个交点……
像这样，20条直线相交，交点最多的个数是（ ）
A．100个 B．135个 C．190个 D．200个
【解答】解：2条直线相交最多有1个交点，1＝×1×2，
3条直线相交最多有3个交点，3＝1+2＝×2×3，
4条直线相交最多有6个交点，6＝1+2+3＝×3×4，
5条直线相交最多有10个交点，10＝1+2+3+4＝×4×5，
…
n条直线相交最多有交点的个数是：n（n﹣1）．
20条直线相交最多有交点的个数是：n（n﹣1）＝×20×19＝190．
故选：C．
20．如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，如果第一次拐的角∠A＝120°，第二次拐的角∠B＝150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C是（ ）
A．120° B．130° C．140° D．150°
【解答】解：过点B作BD∥AE，
∵AE∥CF，
∴AE∥BD∥CF，
∴∠A＝∠1，∠2+∠C＝180°，
∵∠A＝120°，∠1+∠2＝∠ABC＝150°，
∴∠2＝30°，
∴∠C＝180°﹣∠2＝180°﹣30°＝150°．
故选：D．
21．如图，将矩形纸片ABCD沿BD折叠，得到△BC′D，C′D与AB交于点E．若∠1＝35°，则∠2的度数为（ ）
A．20° B．30° C．35° D．55°
【解答】解：∵∠1＝35°，CD∥AB，
∴∠ABD＝35°，∠DBC＝55°，
由折叠可得∠DBC'＝∠DBC＝55°，
∴∠2＝∠DBC'﹣∠DBA＝55°﹣35°＝20°，
故选：A．
二．填空题（共5小题）
22．如图，直线l1∥l2，∠α＝∠β，∠1＝40°，则∠2＝ 140° ．
【解答】解：如图，
∵l1∥l2，
∴∠3＝∠1＝40°，
∵∠α＝∠β，
∴AB∥CD，
∴∠2+∠3＝180°，
∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣40°＝140°．
故答案为140°．
23．把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G，D、C分别在M、N的位置上，若∠EFG＝49°，则∠2﹣∠1＝ 16° ．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠2＝∠DEG，∠EFG＝∠DEF＝49°，
∵长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G，
∴∠DEF＝∠GEF＝49°，
∴∠2＝2×49°＝98°，
∴∠1＝180°﹣98°＝82°，
∴∠2﹣∠1＝98°﹣82°＝16°．
故答案为16°．
24．如图，已知AB∥CD，则∠A、∠C、∠P的关系为 ∠A+∠C﹣∠P＝180° ．
【解答】解：如右图所示，作PE∥CD，
∵PE∥CD，
∴∠C+∠CPE＝180°，
又∵AB∥CD，
∴PE∥AB，
∴∠A＝∠APE，
∴∠A+∠C﹣∠P＝180°，
故答案为：∠A+∠C﹣∠P＝180°．
25．如图①是长方形纸带，∠DEF＝α，将纸带沿EF折叠成图②，再沿BF折叠成图③，则图③中的∠CFE的度数是 180°﹣3α ．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠BFE＝∠DEF＝α，∠CFE＝180°﹣∠DEF＝180°﹣α，
∴∠CFG＝∠CFE﹣∠BFE＝180°﹣α﹣α＝180°﹣2α，
∴∠CFE＝∠CFG﹣∠BFE＝180°﹣2α﹣α＝180°﹣3α．
故答案为：180°﹣3α．
26．如图，直线l1∥l2，∠1＝20°，则∠2+∠3＝ 200° ．
【解答】解：过∠2的顶点作l2的平行线l，如图所示：
则l∥l1∥l2，
∴∠4＝∠1＝20°，∠BAC+∠3＝180°，
∴∠2+∠3＝180°+20°＝200°；
故答案为：200°．
三．解答题（共21小题）
27．如图，AB∥CD，AE平分∠BAD，CD与AE相交于F，∠CFE＝∠E．求证：AD∥BC．
【解答】证明：∵AE平分∠BAD，
∴∠1＝∠2，
∵AB∥CD，∠CFE＝∠E，
∴∠1＝∠CFE＝∠E，
∴∠2＝∠E，
∴AD∥BC．
28．如图，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，试判断∠AED与∠ACB的大小关系，并说明理由．
【解答】解：∠AED＝∠ACB．
理由：∵∠1+∠4＝180°（平角定义），∠1+∠2＝180°（已知）．
∴∠2＝∠4．
∴EF∥AB（内错角相等，两直线平行）．
∴∠3＝∠ADE（两直线平行，内错角相等）．
∵∠3＝∠B（已知），
∴∠B＝∠ADE（等量代换）．
∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）．
∴∠AED＝∠ACB（两直线平行，同位角相等）．
29．如图，已知AB∥CD，现将一直角三角形PMN放入图中，其中∠P＝90°，PM交AB于点E，PN交CD于点F
（1）当△PMN所放位置如图①所示时，则∠PFD与∠AEM的数量关系为 ∠PFD+∠AEM＝90° ；
（2）当△PMN所放位置如图②所示时，求证：∠PFD﹣∠AEM＝90°；
（3）在（2）的条件下，若MN与CD交于点O，且∠DON＝30°，∠PEB＝15°，求∠N的度数．
【解答】解：（1）作PG∥AB，如图①所示：
则PG∥CD，
∴∠PFD＝∠1，∠2＝∠AEM，
∵∠1+∠2＝∠P＝90°，
∴∠PFD+∠AEM＝∠1+∠2＝90°，
故答案为：∠PFD+∠AEM＝90°；
（2）证明：如图②所示：
∵AB∥CD，
∴∠PFD+∠BHF＝180°，
∵∠P＝90°，
∴∠BHF+∠2＝90°，
∵∠2＝∠AEM，
∴∠BHF＝∠PHE＝90°﹣∠AEM，
∴∠PFD+90°﹣∠AEM＝180°，
∴∠PFD﹣∠AEM＝90°；
（3）如图③所示：
∵∠P＝90°，
∴∠PHE＝90°﹣∠PEB＝90°﹣15°＝75°，
∵AB∥CD，
∴∠PFC＝∠PHE＝75°，
∵∠PFC＝∠N+∠DON，
∴∠N＝75°﹣30°＝45°．
30．已知，如图，EF⊥AC于F，DB⊥AC于M，∠1＝∠2，∠3＝∠C，求证：AB∥MN．
【解答】证明：∵EF⊥AC，DB⊥AC，
∴EF∥DM，
∴∠2＝∠CDM，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠CDM，
∴MN∥CD，
∴∠C＝∠AMN，
∵∠3＝∠C，
∴∠3＝∠AMN，
∴AB∥MN．
31．如图，已知∠AGD＝∠ACB，∠1＝∠2．求证：CD∥EF．
（填空并在后面的括号中填理由）
证明：∵∠AGD＝∠ACB （ 已知 ）
∴DG∥ CB （ 同位角相等，两直线平行 ）
∴∠3＝ ∠1 （ 两直线平行，内错角相等 ）
∵∠1＝∠2 （ 已知 ）
∴∠3＝ ∠2 （等量代换）
∴ CD ∥ EF （ 同位角相等，两直线平行 ）
【解答】证明：∵∠AGD＝∠ACB （已知），
∴DG∥CB（同位角相等，两直线平行），
∴∠3＝∠1 （两直线平行，内错角相等 ），
∵∠1＝∠2 （已知），
∴∠3＝∠2（等量代换），
∴CD∥EF（同位角相等，两直线平行）．
32．如图，已知直线l1∥l2，l3、l4和l1、l2分别交于点A、B、C、D，点P在直线l3或l4上且不与点A、B、C、D重合．记∠AEP＝∠1，∠PFB＝∠2，∠EPF＝∠3．
（1）若点P在图（1）位置时，求证：∠3＝∠1+∠2；
（2）若点P在图（2）位置时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系；
（3）若点P在图（3）位置时，写出∠1、∠2、∠3之间的关系并给予证明．
【解答】证明：（1）过P作PQ∥l1，
∵l1∥l2，
∴PQ∥l1∥l2，
由两直线平行，内错角相等，可得：
∠1＝∠QPE、∠2＝∠QPF；
∵∠3＝∠QPE+∠QPF，
∴∠3＝∠1+∠2．
（2）关系：∠3＝∠2﹣∠1；
过P作直线PQ∥l1，
∵l1∥l2，
∴PQ∥l1∥l2，
则：∠1＝∠QPE、∠2＝∠QPF；
∵∠3＝∠QPF﹣∠QPE，
∴∠3＝∠2﹣∠1．
（3）关系：∠3＝360°﹣∠1﹣∠2．
过P作PQ∥l1，
∵l1∥l2，
∴PQ∥l1∥l2，
同（1）可证得：∠3＝∠CEP+∠DFP；
∵∠CEP+∠1＝180°，∠DFP+∠2＝180°，
∴∠CEP+∠DFP+∠1+∠2＝360°，
即∠3＝360°﹣∠1﹣∠2．
33．AB⊥BC，∠1+∠2＝90°，∠2＝∠3．BE与DF平行吗？为什么？
解：BE∥DF．
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝ 90 °，
即∠3+∠4＝ 90 °．
又∵∠1+∠2＝90°，
且∠2＝∠3，
∴ ∠1 ＝ ∠4 ．
理由是： 等角的余角相等 ．
∴BE∥DF．
理由是： 同位角相等，两直线平行 ．
【解答】解：BE∥DF，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
即∠3+∠4＝90°．
又∵∠1+∠2＝90°，
且∠2＝∠3，
∴∠1＝∠4，
理由是：等角的余角相等，
∴BE∥DF．
理由是：同位角相等，两直线平行．
故答案为：90；90；∠1，∠4；等角的余角相等；同位角相等，两直线平行．
34．问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC的度数．
小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC．
（1）按小明的思路，易求得∠APC的度数为 110 度；
（2）问题迁移：如图2，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB＝α，∠PCD＝β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出∠APC与α、β之间的数量关系．
【解答】（1）解：过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°，
∵∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，
∴∠APE＝50°，∠CPE＝60°，
∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝110°．
（2）∠APC＝α+β，
理由：如图2，过P作PE∥AB交AC于E，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴α＝∠APE，β＝∠CPE，
∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝α+β；
（3）如图所示，当P在BD延长线上时，
∠CPA＝α﹣β；
如图所示，当P在DB延长线上时，
∠CPA＝β﹣α．
35．已知，AB∥CD，试解决下列问题：
（1）如图1，∠1+∠2＝ 180° ；
（2）如图2，∠1+∠2+∠3＝ 360° ；
（3）如图3，∠1+∠2+∠3+∠4＝ 540° ；
（4）如图4，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n＝ 180°（n﹣1） ．
【解答】
解：（1）∵AB∥CD，∴∠1+∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补）；
（2）过点E作一条直线EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴CD∥EF，
∴∠1+∠AEF＝180°，∠FEC+∠3＝180°，
∴∠1+∠2+∠3＝360°；
（3）过点E、F作EG、FH平行于AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EG∥FH∥CD，
∴∠1+∠AEG＝180°，∠GEF+∠EFH＝180°，∠HFC+∠4＝180°；
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝540°；
（4）根据上述规律，显然作（n﹣2）条辅助线，运用（n﹣1）次两条直线平行，同旁内角互补．即可得到n个角的和是180°（n﹣1）．
36．已知直线AB∥CD．
（1）如图1，直接写出∠ABE，∠CDE和∠BED之间的数量关系是 ∠ABE+∠CDE＝∠BED ．
（2）如图2，BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，那么∠BFD和∠BED有怎样的数量关系？请说明理由．
（3）如图3，点E在直线BD的右侧，BF，DF仍平分∠ABE，∠CDE，请直接写出∠BFD和∠BED的数量关系 2∠BFD+∠BED＝360° ．
【解答】解：（1）∠ABE+∠CDE＝∠BED．
理由：如图1，作EF∥AB，
∵直线AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠ABE＝∠1，∠CDE＝∠2，
∴∠ABE+∠CDE＝∠1+∠2＝∠BED，
即∠ABE+∠CDE＝∠BED．
故答案为：∠ABE+∠CDE＝∠BED．
（2）∠BFD＝∠BED．
理由：如图2，∵BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，
∴∠ABF＝∠ABE，∠CDF＝∠CDE，
∴∠ABF+∠CDF＝∠ABE+∠CDE＝（∠ABE+∠CDE），
由（1），可得∠BFD＝∠ABF+∠CDF＝（∠ABE+∠CDE）
∠BED＝∠ABE+∠CDE，
∴∠BFD＝∠BED．
（3）2∠BFD+∠BED＝360°．
理由：如图3，过点E作EG∥CD，，
∵AB∥CD，EG∥CD，
∴AB∥CD∥EG，
∴∠ABE+∠BEG＝180°，∠CDE+∠DEG＝180°，
∴∠ABE+∠CDE+∠BED＝360°，
由（1）知，∠BFD＝∠ABF+∠CDF，
又∵BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，
∴∠ABF＝∠ABE，∠CDF＝∠CDE，
∴∠BFD＝（∠ABE+∠CDE），
∴2∠BFD+∠BED＝360°．
故答案为：2∠BFD+∠BED＝360°．
37．已知：如图，DG⊥BC，AC⊥BC，EF⊥AB，∠1＝∠2，求证：CD⊥AB．
证明：∵DG⊥BC，AC⊥BC（已知）
∴∠DGB＝∠ACB＝90°（垂直定义）
∴DG∥AC（ 同位角相等，两直线平行 ）
∴∠2＝ ∠ACD （ 两直线平行，内错角相等 ）
∵∠1＝∠2（已知）
∴∠1＝∠ ACD （等量代换）
∴EF∥CD（ 同位角相等，两直线平行 ）
∴∠AEF＝∠ ADC （ 两直线平行，同位角相等 ）
∵EF⊥AB（已知）
∴∠AEF＝90°（ 垂直定义 ）
∴∠ADC＝90°（ 等量代换 ）
∴CD⊥AB（ 垂直定义 ）
【解答】解：证明过程如下：
证明：∵DG⊥BC，AC⊥BC（已知）
∴∠DGB＝∠ACB＝90°（垂直定义）
∴DG∥AC（同位角相等，两直线平行）
∴∠2＝∠ACD（两直线平行，内错角相等）
∵∠1＝∠2（已知）
∴∠1＝∠ACD（等量代换）
∴EF∥CD（同位角相等，两直线平行）
∴∠AEF＝∠ADC（两直线平行，同位角相等）
∵EF⊥AB（已知）
∵∠AEF＝90°（垂直定义）
∴∠ADC＝90°（等量代换）
∴CD⊥AB（垂直定义）．
38．如图1，E是直线AB，CD内部一点，AB∥CD，连接EA，ED．
（1）探究猜想：
①若∠A＝30°，∠D＝40°，则∠AED等于多少度？
②若∠A＝20°，∠D＝60°，则∠AED等于多少度？
③猜想图1中∠AED，∠EAB，∠EDC的关系并证明你的结论．
（2）拓展应用：
如图2，射线FE与矩形ABCD的边AB交于点E，与边CD交于点F，①②③④分别是被射线FE隔开的4个区域（不含边界，其中区域③、④位于直线AB上方），P是位于以上四个区域上的点，猜想：∠PEB，∠PFC，∠EPF的关系（不要求证明）．
【解答】解：（1）①∠AED＝70°；
②∠AED＝80°；
③猜想：∠AED＝∠EAB+∠EDC，
证明：延长AE交DC于点F，
∵AB∥DC，
∴∠EAB＝∠EFD，
∵∠AED为△EDF的外角，
∴∠AED＝∠EDF+∠EFD＝∠EAB+∠EDC；
（2）根据题意得：
点P在区域①时，∠EPF＝360°﹣（∠PEB+∠PFC）；
点P在区域②时，∠EPF＝∠PEB+∠PFC；
点P在区域③时，∠EPF＝∠PEB﹣∠PFC；
点P在区域④时，∠EPF＝∠PFC﹣∠PEB．
39．如图，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，求证：DE∥BC．
【解答】证明：∵∠1+∠2＝180°（已知）
∵∠1＝∠4（对顶角相等）
∴∠2+∠4＝180°（等量代换）
∴AB∥EF（同旁内角互补，两直线平行）
∴∠3＝∠ADE（两直线平行，内错角相等）
又∵∠3＝∠B（已知）
∴∠B＝∠ADE（等量代换）
∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）
40．如图，直线CB∥OA，∠C＝∠A＝112°，E，F在CB上，且满足∠FOB＝∠AOB，OE平分∠COF．
（1）求∠EOB的度数；
（2）若平行移动AB，那么∠OBC：∠OFC的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律或求出变化范围；若不变，求出这个比值；
（3）在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况使∠OEC＝∠OBA？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）∵CB∥OA，
∴∠AOC＝180°﹣∠C＝180°﹣112°＝68°，
∵OE平分∠COF，
∴∠COE＝∠EOF，
∵∠FOB＝∠AOB，
∴∠EOB＝∠EOF+∠FOB＝∠AOC＝×68°＝34°；
（2）∠OBC：∠OFC的值不变．
∵CB∥OA，
∴∠AOB＝∠OBC，
∵∠FOB＝∠AOB，
∴∠FOB＝∠OBC，
∴∠OFC＝∠FOB+∠OBC＝2∠OBC，
∴∠OBC：∠OFC＝1：2，是定值；
（3）在△COE和△AOB中，
∵∠OEC＝∠OBA，∠C＝∠OAB，
∴∠COE＝∠AOB，
∴OB、OE、OF是∠AOC的四等分线，
∴∠COE＝∠AOC＝×68°＝17°，
∴∠OEC＝180°﹣∠C﹣∠COE＝180°﹣112°﹣17°＝51°，
故存在某种情况，使∠OEC＝∠OBA，此时∠OEC＝∠OBA＝51°．
41．如图所示，已知AB∥CD，分别探究下面图形中∠APC，∠PAB，∠PCD的关系，请你从四个图形中任选一个，说明你所探究的结论的正确性．
①结论：（1） ∠APC+∠PAB+∠PCD＝360°
（2） ∠APC＝∠PAB+∠PCD
（3） ∠PCD＝∠APC+∠PAB
（4） ∠PAB＝∠APC+∠PCD
②选择结论 （1） ，说明理由．
【解答】解：①（1）过点P作PE∥AB，则AB∥PE∥CD，
∴∠1+∠PAB＝180°，
∠2+∠PCD＝180°，
∴∠APC+∠PAB+∠PCD＝360°；
（2）过点P作直线l∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠PAB＝∠3，∠PCD＝∠4，
∴∠APC＝∠PAB+∠PCD；
（3）∵AB∥CD，
∴∠PEB＝∠PCD，
∵∠PEB是△APE的外角，
∴∠PEB＝∠PAB+∠APC，
∴∠PCD＝∠APC+∠PAB；
（4）∵AB∥CD，
∴∠PAB＝∠PFD，
∵∠PFD是△CPF的外角，
∴∠PCD+∠APC＝∠PFD，
∴∠PAB＝∠APC+∠PCD．
②选择结论（1），证明同上．
42．已知直线l1∥l2，直线l3和直线l1、l2交于点C和D，点P是直线l3上一动点
（1）如图1，当点P在线段CD上运动时，∠PAC，∠APB，∠PBD之间存在什么数量关系？请你猜想结论并说明理由．
（2）当点P在C、D两点的外侧运动时（P点与点C、D不重合，如图2和图3），上述（1）中的结论是否还成立？若不成立，请直接写出∠PAC，∠APB，∠PBD之间的数量关系，不必写理由．
【解答】解：（1）∠APB＝∠PAC+∠PBD，
如图1，过点P作PE∥l1，
∴∠APE＝∠PAC，
∵l1∥l2，
∴PE∥l2，
∴∠BPE＝∠PBD，
∴∠APE+∠BPE＝∠PAC+∠PBD，
∴∠APB＝∠PAC+∠PBD；
（2）不成立，
如图2：∠PAC＝∠APB+∠PBD，
理由：过点P作PE∥l1，
∴∠APE＝∠PAC，
∵l1∥l2，
∴PE∥l2，
∴∠BPE＝∠PBD，
∵∠APB＝∠APE﹣∠BPE＝∠PAC﹣∠PBD，
∴∠PAC＝∠APB+∠PBD；
如图3：∠PBD＝∠PAC+∠APB，
理由：过点P作PE∥l1，
∴∠APE＝∠PAC，
∵l1∥l2，
∴PE∥l2，
∴∠BPE＝∠PBD，
∵∠APB＝∠BPE﹣∠APE＝∠PBD﹣∠PAC，
∴∠PBD＝∠PAC+∠APB．
43．完成下面的证明：
如图，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠α+∠β＝90°，求证：AB∥CD．
证明：∵BE平分∠ABD （ 已知 ）
∴∠ABD＝2∠α （ 角平分线的定义 ）
∵DE平分∠BDC（已知）
∵∠BDC＝ 2∠β （ 角平分线的定义 ）
∴∠ABD+∠BDC＝2∠α+2∠β＝2（∠α+∠β） （ 等量代换 ）
∵∠α+∠β＝90°（已知）
∴∠ABD+∠BDC＝180°（ 等量代换 ）
∴AB∥CD （ 同旁内角互补，两直线平行 ）
【解答】证明：BE平分∠ABD（已知），
∴∠ABD＝2∠α（角平分线的定义）．
∵DE平分∠BDC（已知），
∴∠BDC＝2∠β （角平分线的定义）
∴∠ABD+∠BDC＝2∠α+2∠β＝2（∠α+∠β）（等量代换）
∵∠α+∠β＝90°（已知），
∴∠ABD+∠BDC＝180°（等量代换）．
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．
故答案为：已知，角平分线的定义，2∠β，角平分线的定义，等量代换，等量代换，同旁内角互补两直线平行．
44．如图，已知∠1＝30°，∠B＝60°，AB⊥AC，将证明AD∥BC的过程填写完整．
证明：∵AB⊥AC
∴∠ BAC ＝ 90 °（ 垂直定义 ）
∵∠1＝30°
∴∠BAD＝∠ BAC +∠ 1 ＝ 120 °
又∵∠B＝60°
∴∠BAD+∠B＝ 180 °
∴AD∥BC（ 同旁内角互补，两直线平行 ）
【解答】证明：∵AB⊥AC
∴∠BAC＝90°（垂直定义）
∵∠1＝30°
∴∠BAD＝∠BAC+∠1＝120°
又∵∠B＝60°
∴∠BAD+∠B＝180°
∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）
故答案为：BAC，90，垂直定义，BAC，1，120，180，同旁内角互补，两直线平行．
45．根据图形填空：
（1）若直线ED、BC被直线AB所截，则∠1和 ∠2 是同位角；
（2）若直线ED、BC被直线AF所截，则∠3和 ∠4 是内错角；
（3）∠1和∠3是直线AB、AF被直线 ED 所截构成的内错角．
（4）∠2和∠4是直线AB、 AF 被直线BC所截构成的 同位 角．
【解答】解：（1）如图：若ED，BC被AB所截，则∠1与∠2是同位角，
（2）若ED，BC被AF所截，则∠3与∠4是内错角，
（3）∠1 与∠3是AB和AF被ED所截构成的内错角，
（4）∠2与∠4是AB和AF被BC所截构成的同位角．
故答案是：（1）∠2．（2）∠4．（3）ED．（4）AF；同位．
46．已知：如图，∠CDG＝∠B，AD⊥BC于点D，EF⊥BC于点F，试判断∠1与∠2的关系，并说明理由．
【解答】解：∠1＝∠2，
理由：∵∠CDG＝∠B，
∴DG∥BA（同位角相等，两直线平行），
∴∠1＝∠BAD（两直线平行，内错角相等），
∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知），
∴AD∥EF（在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行），
∴∠2＝∠BAD（两直线平行，同位角相等），
∴∠1＝∠2（等量代换）．
47．如图，某居民小区有一长方形地，居民想在长方形地内修筑同样宽的两条小路，余下部分绿化，道路的宽为2米，则绿化的面积为多少平方米？
【解答】解：平移后得绿化部分宽为（20﹣2）米，长为（32﹣2）米，
面积为（20﹣2）×（32﹣2）＝18×30＝540（平方米）．
答：则绿化的面积为540平方米．
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七年级下册数学相交线与平行线必做习题附答案
一．选择题（共21小题）
1．已知抛物线y＝﹣x2+bx+4经过（﹣2，n）和（4，n）两点，则n的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣4 C．2 D．4
2．如图，ABCD为一长条形纸带，AB∥CD，将ABCD沿EF折叠，A、D两点分别与A′、D′对应，若∠1＝2∠2，则∠AEF的度数为（ ）
A．60° B．65° C．72° D．75°
3．下列说法不正确的是（ ）
A．过任意一点可作已知直线的一条平行线
B．同一平面内两条不相交的直线是平行线
C．在同一平面内，过直线外一点只能画一条直线与已知直线垂直
D．平行于同一直线的两直线平行
4．给出下列说法：
（1）两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
（2）平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交，则它与另一条也相交；
（3）相等的两个角是对顶角；
（4）从直线外一点到这条直线的垂线段，叫作这点到直线的距离．
其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5．如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠AOM＝35°，则∠CON的度数为（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
6．如图，下列说法错误的是（ ）
A．若a∥b，b∥c，则a∥c B．若∠1＝∠2，则a∥c
C．若∠3＝∠2，则b∥c D．若∠3+∠5＝180°，则a∥c
7．如图，AB∥CD，用含∠1，∠2，∠3的式子表示∠4，则∠4的值为（ ）
A．∠1+∠2﹣∠3 B．∠1+∠3﹣∠2
C．180°+∠3﹣∠1﹣∠2 D．∠2+∠3﹣∠1﹣180°
8．如图，AB∥CD，有图中α，β，γ三角之间的关系是（ ）
A．α+β+γ＝180° B．α﹣β+γ＝180° C．α+β﹣γ＝180° D．α+β+γ＝360°
9．如图，AB∥EF，设∠C＝90°，那么x、y和z的关系是（ ）
A．y＝x+z B．x+y﹣z＝90° C．x+y+z＝180° D．y+z﹣x＝90°
10．下列图形中，∠1与∠2不是同位角的是（ ）
A． B． C． D．
11．在同一平面内，有8条互不重合的直线，l1，l2，l3…l8，若l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，l4∥l5…以此类推，则l1和l8的位置关系是（ ）
A．平行 B．垂直 C．平行或垂直 D．无法确定
12．如图，a∥b，点B在直线b上，且AB⊥BC，若∠1＝34°，则∠2的大小为（ ）
A．34° B．54° C．56° D．66°
13．如图，AB∥CD，∠1＝58°，FG平分∠EFD，则∠FGB的度数等于（ ）
A．122° B．151° C．116° D．97°
14．如图，点P是直线a外的一点，点A、B、C在直线a上，且PB⊥a，垂足是B，PA⊥PC，则下列不正确的语句是（ ）
A．线段PB的长是点P到直线a的距离
B．PA、PB、PC三条线段中，PB最短
C．线段AC的长是点A到直线PC的距离
D．线段PC的长是点C到直线PA的距离
15．如图，直线l1∥l2，∠A＝125°，∠B＝85°，则∠1+∠2＝（ ）
A．30° B．35° C．36° D．40°
16．在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．平行、相交或垂直
17．如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．∠1和∠2是同位角 B．∠2和∠3是同旁内角
C．∠1和∠4是内错角 D．∠3和∠4是对顶角
18．如图，直线AB∥CD∥EF，点O在直线EF上，下列结论正确的是（ ）
A．∠α+∠β﹣∠γ＝90° B．∠α+∠γ﹣∠β＝180°
C．∠γ+∠β﹣∠α＝180° D．∠α+∠β+∠γ＝180°
19．观察如图，并阅读图形下面的相关文字：
两条直线相交，最多有1个交点；三条直线相交，最多有3个交点；4条直线相交，最多有6个交点……
像这样，20条直线相交，交点最多的个数是（ ）
A．100个 B．135个 C．190个 D．200个
20．如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，如果第一次拐的角∠A＝120°，第二次拐的角∠B＝150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C是（ ）
A．120° B．130° C．140° D．150°
21．如图，将矩形纸片ABCD沿BD折叠，得到△BC′D，C′D与AB交于点E．若∠1＝35°，则∠2的度数为（ ）
A．20° B．30° C．35° D．55°
二．填空题（共5小题）
22．如图，直线l1∥l2，∠α＝∠β，∠1＝40°，则∠2＝ ．
23．把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G，D、C分别在M、N的位置上，若∠EFG＝49°，则∠2﹣∠1＝ ．
24．如图，已知AB∥CD，则∠A、∠C、∠P的关系为 ．
25．如图①是长方形纸带，∠DEF＝α，将纸带沿EF折叠成图②，再沿BF折叠成图③，则图③中的∠CFE的度数是 ．
26．如图，直线l1∥l2，∠1＝20°，则∠2+∠3＝ ．
三．解答题（共21小题）
27．如图，AB∥CD，AE平分∠BAD，CD与AE相交于F，∠CFE＝∠E．求证：AD∥BC．
28．如图，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，试判断∠AED与∠ACB的大小关系，并说明理由．
29．如图，已知AB∥CD，现将一直角三角形PMN放入图中，其中∠P＝90°，PM交AB于点E，PN交CD于点F
（1）当△PMN所放位置如图①所示时，则∠PFD与∠AEM的数量关系为 ；
（2）当△PMN所放位置如图②所示时，求证：∠PFD﹣∠AEM＝90°；
（3）在（2）的条件下，若MN与CD交于点O，且∠DON＝30°，∠PEB＝15°，求∠N的度数．
30．已知，如图，EF⊥AC于F，DB⊥AC于M，∠1＝∠2，∠3＝∠C，求证：AB∥MN．
31．如图，已知∠AGD＝∠ACB，∠1＝∠2．求证：CD∥EF．
（填空并在后面的括号中填理由）
证明：∵∠AGD＝∠ACB （ ）
∴DG∥ （ ）
∴∠3＝ （ ）
∵∠1＝∠2 （ ）
∴∠3＝ （等量代换）
∴ ∥ （ ）
32．如图，已知直线l1∥l2，l3、l4和l1、l2分别交于点A、B、C、D，点P在直线l3或l4上且不与点A、B、C、D重合．记∠AEP＝∠1，∠PFB＝∠2，∠EPF＝∠3．
（1）若点P在图（1）位置时，求证：∠3＝∠1+∠2；
（2）若点P在图（2）位置时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系；
（3）若点P在图（3）位置时，写出∠1、∠2、∠3之间的关系并给予证明．
33．AB⊥BC，∠1+∠2＝90°，∠2＝∠3．BE与DF平行吗？为什么？
解：BE∥DF．
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝ °，
即∠3+∠4＝ °．
又∵∠1+∠2＝90°，
且∠2＝∠3，
∴ ＝ ．
理由是： ．
∴BE∥DF．
理由是： ．
34．问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC的度数．
小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC．
（1）按小明的思路，易求得∠APC的度数为 度；
（2）问题迁移：如图2，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB＝α，∠PCD＝β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出∠APC与α、β之间的数量关系．
35．已知，AB∥CD，试解决下列问题：
（1）如图1，∠1+∠2＝ ；
（2）如图2，∠1+∠2+∠3＝ ；
（3）如图3，∠1+∠2+∠3+∠4＝ ；
（4）如图4，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n＝ ．
36．已知直线AB∥CD．
（1）如图1，直接写出∠ABE，∠CDE和∠BED之间的数量关系是 ．
（2）如图2，BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，那么∠BFD和∠BED有怎样的数量关系？请说明理由．
（3）如图3，点E在直线BD的右侧，BF，DF仍平分∠ABE，∠CDE，请直接写出∠BFD和∠BED的数量关系 ．
37．已知：如图，DG⊥BC，AC⊥BC，EF⊥AB，∠1＝∠2，求证：CD⊥AB．
证明：∵DG⊥BC，AC⊥BC（已知）
∴∠DGB＝∠ACB＝90°（垂直定义）
∴DG∥AC（ ）
∴∠2＝ （ ）
∵∠1＝∠2（已知）
∴∠1＝∠ （等量代换）
∴EF∥CD（ ）
∴∠AEF＝∠ （ ）
∵EF⊥AB（已知）
∴∠AEF＝90°（ ）
∴∠ADC＝90°（ ）
∴CD⊥AB（ ）
38．如图1，E是直线AB，CD内部一点，AB∥CD，连接EA，ED．
（1）探究猜想：
①若∠A＝30°，∠D＝40°，则∠AED等于多少度？
②若∠A＝20°，∠D＝60°，则∠AED等于多少度？
③猜想图1中∠AED，∠EAB，∠EDC的关系并证明你的结论．
（2）拓展应用：
如图2，射线FE与矩形ABCD的边AB交于点E，与边CD交于点F，①②③④分别是被射线FE隔开的4个区域（不含边界，其中区域③、④位于直线AB上方），P是位于以上四个区域上的点，猜想：∠PEB，∠PFC，∠EPF的关系（不要求证明）．
39．如图，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，求证：DE∥BC．
40．如图，直线CB∥OA，∠C＝∠A＝112°，E，F在CB上，且满足∠FOB＝∠AOB，OE平分∠COF．
（1）求∠EOB的度数；
（2）若平行移动AB，那么∠OBC：∠OFC的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律或求出变化范围；若不变，求出这个比值；
（3）在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况使∠OEC＝∠OBA？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由．
41．如图所示，已知AB∥CD，分别探究下面图形中∠APC，∠PAB，∠PCD的关系，请你从四个图形中任选一个，说明你所探究的结论的正确性．
①结论：（1）
（2）
（3）
（4）
②选择结论 ，说明理由．
42．已知直线l1∥l2，直线l3和直线l1、l2交于点C和D，点P是直线l3上一动点
（1）如图1，当点P在线段CD上运动时，∠PAC，∠APB，∠PBD之间存在什么数量关系？请你猜想结论并说明理由．
（2）当点P在C、D两点的外侧运动时（P点与点C、D不重合，如图2和图3），上述（1）中的结论是否还成立？若不成立，请直接写出∠PAC，∠APB，∠PBD之间的数量关系，不必写理由．
43．完成下面的证明：
如图，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠α+∠β＝90°，求证：AB∥CD．
证明：∵BE平分∠ABD （ ）
∴∠ABD＝2∠α （ ）
∵DE平分∠BDC（已知）
∵∠BDC＝ （ ）
∴∠ABD+∠BDC＝2∠α+2∠β＝2（∠α+∠β） （ ）
∵∠α+∠β＝90°（已知）
∴∠ABD+∠BDC＝180°（ ）
∴AB∥CD （ ）
44．如图，已知∠1＝30°，∠B＝60°，AB⊥AC，将证明AD∥BC的过程填写完整．
证明：∵AB⊥AC
∴∠ ＝ °（ ）
∵∠1＝30°
∴∠BAD＝∠ +∠ ＝ °
又∵∠B＝60°
∴∠BAD+∠B＝ °
∴AD∥BC（ ）
45．根据图形填空：
（1）若直线ED、BC被直线AB所截，则∠1和 是同位角；
（2）若直线ED、BC被直线AF所截，则∠3和 是内错角；
（3）∠1和∠3是直线AB、AF被直线 所截构成的内错角．
（4）∠2和∠4是直线AB、 被直线BC所截构成的 角．
46．已知：如图，∠CDG＝∠B，AD⊥BC于点D，EF⊥BC于点F，试判断∠1与∠2的关系，并说明理由．
47．如图，某居民小区有一长方形地，居民想在长方形地内修筑同样宽的两条小路，余下部分绿化，道路的宽为2米，则绿化的面积为多少平方米？
七年级下册数学相交线与平行线必做习题附答案
参考答案与试题解析
一．选择题（共21小题）
1．已知抛物线y＝﹣x2+bx+4经过（﹣2，n）和（4，n）两点，则n的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣4 C．2 D．4
【解答】解：抛物线y＝﹣x2+bx+4经过（﹣2，n）和（4，n）两点，
可知函数的对称轴x＝1，
∴＝1，
∴b＝2；
∴y＝﹣x2+2x+4，
将点（﹣2，n）代入函数解析式，可得n＝﹣4；
故选：B．
2．如图，ABCD为一长条形纸带，AB∥CD，将ABCD沿EF折叠，A、D两点分别与A′、D′对应，若∠1＝2∠2，则∠AEF的度数为（ ）
A．60° B．65° C．72° D．75°
【解答】解：由翻折的性质可知：∠AEF＝∠FEA′，
∵AB∥CD，
∴∠AEF＝∠1，
∵∠1＝2∠2，设∠2＝x，则∠AEF＝∠1＝∠FEA′＝2x，
∴5x＝180°，
∴x＝36°，
∴∠AEF＝2x＝72°，
故选：C．
3．下列说法不正确的是（ ）
A．过任意一点可作已知直线的一条平行线
B．同一平面内两条不相交的直线是平行线
C．在同一平面内，过直线外一点只能画一条直线与已知直线垂直
D．平行于同一直线的两直线平行
【解答】解：A中，若点在直线上，则不可以作出已知直线的平行线，而是与已知直线重合，错误．
B、C、D正确．
故选：A．
4．给出下列说法：
（1）两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
（2）平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交，则它与另一条也相交；
（3）相等的两个角是对顶角；
（4）从直线外一点到这条直线的垂线段，叫作这点到直线的距离．
其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【解答】解：（1）同位角只是一种位置关系，只有两条直线平行时，同位角相等，错误；
（2）强调了在平面内，正确；
（3）不符合对顶角的定义，错误；
（4）直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，不是指点到直线的垂线段的本身，而是指垂线段的长度．
故选：B．
5．如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠AOM＝35°，则∠CON的度数为（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
【解答】解：∵射线OM平分∠AOC，∠AOM＝35°，
∴∠MOC＝35°，
∵ON⊥OM，
∴∠MON＝90°，
∴∠CON＝∠MON﹣∠MOC＝90°﹣35°＝55°．
故选：C．
6．如图，下列说法错误的是（ ）
A．若a∥b，b∥c，则a∥c B．若∠1＝∠2，则a∥c
C．若∠3＝∠2，则b∥c D．若∠3+∠5＝180°，则a∥c
【解答】解：A、若a∥b，b∥c，则a∥c，利用了平行公理，正确；
B、若∠1＝∠2，则a∥c，利用了内错角相等，两直线平行，正确；
C、∠3＝∠2，不能判断b∥c，错误；
D、若∠3+∠5＝180°，则a∥c，利用同旁内角互补，两直线平行，正确；
故选：C．
7．如图，AB∥CD，用含∠1，∠2，∠3的式子表示∠4，则∠4的值为（ ）
A．∠1+∠2﹣∠3 B．∠1+∠3﹣∠2
C．180°+∠3﹣∠1﹣∠2 D．∠2+∠3﹣∠1﹣180°
【解答】解：过点E作EG∥AB，过点F作FH∥CD，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EG∥FH，
∴∠1＝∠AEG，
∴∠GEF＝∠2﹣∠1，
∵EG∥FH，
∴∠EFH＝180°﹣∠GEF＝180°﹣（∠2﹣∠1）＝180°﹣∠2+∠1，
∴∠CFH＝∠3﹣∠EFH＝∠3﹣（180°﹣∠2+∠1）＝∠3+∠2﹣∠1﹣180°，
∵FH∥CD，
∴∠4＝∠3+∠2﹣∠1﹣180°，
故选：D．
8．如图，AB∥CD，有图中α，β，γ三角之间的关系是（ ）
A．α+β+γ＝180° B．α﹣β+γ＝180° C．α+β﹣γ＝180° D．α+β+γ＝360°
【解答】解：如图，延长AE交直线CD于F，
∵AB∥CD，
∴∠α+∠AFD＝180°，
∵∠AFD＝∠β﹣∠γ，
∴∠α+∠β﹣∠γ＝180°，
故选：C．
9．如图，AB∥EF，设∠C＝90°，那么x、y和z的关系是（ ）
A．y＝x+z B．x+y﹣z＝90° C．x+y+z＝180° D．y+z﹣x＝90°
【解答】解：过C作CM∥AB，延长CD交EF于N，
则∠CDE＝∠E+∠CNE，
即∠CNE＝y﹣z
∵CM∥AB，AB∥EF，
∴CM∥AB∥EF，
∴∠ABC＝x＝∠1，∠2＝∠CNE，
∵∠BCD＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∴x+y﹣z＝90°．
故选：B．
10．下列图形中，∠1与∠2不是同位角的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A图中，∠1与∠2有一边在同一条直线上，另一条边在被截线的同一方，是同位角，不符合题意；
B图中，∠1与∠2有一条边在同一条直线上，另一条边在被截线的同一方，是同位角，不符合题意；
C图中，∠1与∠2的两条边都不在同一条直线上，不是同位角，符合题意；
D图中，∠1与∠2有一边在同一条直线上，另一条边在被截线的同一方，是同位角，不符合题意．
故选：C．
11．在同一平面内，有8条互不重合的直线，l1，l2，l3…l8，若l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，l4∥l5…以此类推，则l1和l8的位置关系是（ ）
A．平行 B．垂直 C．平行或垂直 D．无法确定
【解答】解：∵l2∥l3，l3⊥l4，l4∥l5，l5⊥l6，l6∥l7，l7⊥l8，
∴l2⊥l4，l4⊥l6，l6⊥l8，
∴l2⊥l8．
∵l1⊥l2，
∴l1∥l8．
故选：A．
12．如图，a∥b，点B在直线b上，且AB⊥BC，若∠1＝34°，则∠2的大小为（ ）
A．34° B．54° C．56° D．66°
【解答】解：∵a∥b，
∴∠1＝∠3＝34°，
又∵AB⊥BC，
∴∠2＝90°﹣34°＝56°，
故选：C．
13．如图，AB∥CD，∠1＝58°，FG平分∠EFD，则∠FGB的度数等于（ ）
A．122° B．151° C．116° D．97°
【解答】解：∵AB∥CD，∠1＝58°，
∴∠EFD＝∠1＝58°，
∵FG平分∠EFD，
∴∠GFD＝∠EFD＝×58°＝29°，
∵AB∥CD，
∴∠FGB＝180°﹣∠GFD＝151°．
故选：B．
14．如图，点P是直线a外的一点，点A、B、C在直线a上，且PB⊥a，垂足是B，PA⊥PC，则下列不正确的语句是（ ）
A．线段PB的长是点P到直线a的距离
B．PA、PB、PC三条线段中，PB最短
C．线段AC的长是点A到直线PC的距离
D．线段PC的长是点C到直线PA的距离
【解答】解：A、根据点到直线的距离的定义：即点到这一直线的垂线段的长度．故此选项正确；
B、根据垂线段最短可知此选项正确；
C、线段AP的长是点A到直线PC的距离，故选项错误；
D、根据点到直线的距离即点到这一直线的垂线段的长度．故此选项正确．
故选：C．
15．如图，直线l1∥l2，∠A＝125°，∠B＝85°，则∠1+∠2＝（ ）
A．30° B．35° C．36° D．40°
【解答】解：如图，过点A作l1的平行线，过点B作l2的平行线，
∴∠3＝∠1，∠4＝∠2，
∵l1∥l2，
∴AC∥BD，
∴∠CAB+∠ABD＝180°，
∴∠3+∠4＝125°+85°﹣180°＝30°，
∴∠1+∠2＝30°．
故选：A．
16．在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．平行、相交或垂直
【解答】解：在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系，是平行或相交，
所以在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是：平行或相交．
故选：C．
17．如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．∠1和∠2是同位角 B．∠2和∠3是同旁内角
C．∠1和∠4是内错角 D．∠3和∠4是对顶角
【解答】解：A、∠1和∠2是同旁内角，故本选项错误；
B、∠2和∠3是同旁内角，故本选项正确；
C、∠1和∠4是同位角，故本选项错误；
D、∠3和∠4是邻补角，故本选项错误；
故选：B．
18．如图，直线AB∥CD∥EF，点O在直线EF上，下列结论正确的是（ ）
A．∠α+∠β﹣∠γ＝90° B．∠α+∠γ﹣∠β＝180°
C．∠γ+∠β﹣∠α＝180° D．∠α+∠β+∠γ＝180°
【解答】解：∵AB∥EF，
∴∠α＝∠BOF，
∵CD∥EF，
∴∠γ+∠COF＝180°，
∵∠BOF＝∠COF+∠β，
∴∠γ+∠α﹣∠β＝180°，
故选：B．
19．观察如图，并阅读图形下面的相关文字：
两条直线相交，最多有1个交点；三条直线相交，最多有3个交点；4条直线相交，最多有6个交点……
像这样，20条直线相交，交点最多的个数是（ ）
A．100个 B．135个 C．190个 D．200个
【解答】解：2条直线相交最多有1个交点，1＝×1×2，
3条直线相交最多有3个交点，3＝1+2＝×2×3，
4条直线相交最多有6个交点，6＝1+2+3＝×3×4，
5条直线相交最多有10个交点，10＝1+2+3+4＝×4×5，
…
n条直线相交最多有交点的个数是：n（n﹣1）．
20条直线相交最多有交点的个数是：n（n﹣1）＝×20×19＝190．
故选：C．
20．如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，如果第一次拐的角∠A＝120°，第二次拐的角∠B＝150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C是（ ）
A．120° B．130° C．140° D．150°
【解答】解：过点B作BD∥AE，
∵AE∥CF，
∴AE∥BD∥CF，
∴∠A＝∠1，∠2+∠C＝180°，
∵∠A＝120°，∠1+∠2＝∠ABC＝150°，
∴∠2＝30°，
∴∠C＝180°﹣∠2＝180°﹣30°＝150°．
故选：D．
21．如图，将矩形纸片ABCD沿BD折叠，得到△BC′D，C′D与AB交于点E．若∠1＝35°，则∠2的度数为（ ）
A．20° B．30° C．35° D．55°
【解答】解：∵∠1＝35°，CD∥AB，
∴∠ABD＝35°，∠DBC＝55°，
由折叠可得∠DBC'＝∠DBC＝55°，
∴∠2＝∠DBC'﹣∠DBA＝55°﹣35°＝20°，
故选：A．
二．填空题（共5小题）
22．如图，直线l1∥l2，∠α＝∠β，∠1＝40°，则∠2＝ 140° ．
【解答】解：如图，
∵l1∥l2，
∴∠3＝∠1＝40°，
∵∠α＝∠β，
∴AB∥CD，
∴∠2+∠3＝180°，
∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣40°＝140°．
故答案为140°．
23．把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G，D、C分别在M、N的位置上，若∠EFG＝49°，则∠2﹣∠1＝ 16° ．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠2＝∠DEG，∠EFG＝∠DEF＝49°，
∵长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G，
∴∠DEF＝∠GEF＝49°，
∴∠2＝2×49°＝98°，
∴∠1＝180°﹣98°＝82°，
∴∠2﹣∠1＝98°﹣82°＝16°．
故答案为16°．
24．如图，已知AB∥CD，则∠A、∠C、∠P的关系为 ∠A+∠C﹣∠P＝180° ．
【解答】解：如右图所示，作PE∥CD，
∵PE∥CD，
∴∠C+∠CPE＝180°，
又∵AB∥CD，
∴PE∥AB，
∴∠A＝∠APE，
∴∠A+∠C﹣∠P＝180°，
故答案为：∠A+∠C﹣∠P＝180°．
25．如图①是长方形纸带，∠DEF＝α，将纸带沿EF折叠成图②，再沿BF折叠成图③，则图③中的∠CFE的度数是 180°﹣3α ．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠BFE＝∠DEF＝α，∠CFE＝180°﹣∠DEF＝180°﹣α，
∴∠CFG＝∠CFE﹣∠BFE＝180°﹣α﹣α＝180°﹣2α，
∴∠CFE＝∠CFG﹣∠BFE＝180°﹣2α﹣α＝180°﹣3α．
故答案为：180°﹣3α．
26．如图，直线l1∥l2，∠1＝20°，则∠2+∠3＝ 200° ．
【解答】解：过∠2的顶点作l2的平行线l，如图所示：
则l∥l1∥l2，
∴∠4＝∠1＝20°，∠BAC+∠3＝180°，
∴∠2+∠3＝180°+20°＝200°；
故答案为：200°．
三．解答题（共21小题）
27．如图，AB∥CD，AE平分∠BAD，CD与AE相交于F，∠CFE＝∠E．求证：AD∥BC．
【解答】证明：∵AE平分∠BAD，
∴∠1＝∠2，
∵AB∥CD，∠CFE＝∠E，
∴∠1＝∠CFE＝∠E，
∴∠2＝∠E，
∴AD∥BC．
28．如图，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，试判断∠AED与∠ACB的大小关系，并说明理由．
【解答】解：∠AED＝∠ACB．
理由：∵∠1+∠4＝180°（平角定义），∠1+∠2＝180°（已知）．
∴∠2＝∠4．
∴EF∥AB（内错角相等，两直线平行）．
∴∠3＝∠ADE（两直线平行，内错角相等）．
∵∠3＝∠B（已知），
∴∠B＝∠ADE（等量代换）．
∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）．
∴∠AED＝∠ACB（两直线平行，同位角相等）．
29．如图，已知AB∥CD，现将一直角三角形PMN放入图中，其中∠P＝90°，PM交AB于点E，PN交CD于点F
（1）当△PMN所放位置如图①所示时，则∠PFD与∠AEM的数量关系为 ∠PFD+∠AEM＝90° ；
（2）当△PMN所放位置如图②所示时，求证：∠PFD﹣∠AEM＝90°；
（3）在（2）的条件下，若MN与CD交于点O，且∠DON＝30°，∠PEB＝15°，求∠N的度数．
【解答】解：（1）作PG∥AB，如图①所示：
则PG∥CD，
∴∠PFD＝∠1，∠2＝∠AEM，
∵∠1+∠2＝∠P＝90°，
∴∠PFD+∠AEM＝∠1+∠2＝90°，
故答案为：∠PFD+∠AEM＝90°；
（2）证明：如图②所示：
∵AB∥CD，
∴∠PFD+∠BHF＝180°，
∵∠P＝90°，
∴∠BHF+∠2＝90°，
∵∠2＝∠AEM，
∴∠BHF＝∠PHE＝90°﹣∠AEM，
∴∠PFD+90°﹣∠AEM＝180°，
∴∠PFD﹣∠AEM＝90°；
（3）如图③所示：
∵∠P＝90°，
∴∠PHE＝90°﹣∠PEB＝90°﹣15°＝75°，
∵AB∥CD，
∴∠PFC＝∠PHE＝75°，
∵∠PFC＝∠N+∠DON，
∴∠N＝75°﹣30°＝45°．
30．已知，如图，EF⊥AC于F，DB⊥AC于M，∠1＝∠2，∠3＝∠C，求证：AB∥MN．
【解答】证明：∵EF⊥AC，DB⊥AC，
∴EF∥DM，
∴∠2＝∠CDM，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠CDM，
∴MN∥CD，
∴∠C＝∠AMN，
∵∠3＝∠C，
∴∠3＝∠AMN，
∴AB∥MN．
31．如图，已知∠AGD＝∠ACB，∠1＝∠2．求证：CD∥EF．
（填空并在后面的括号中填理由）
证明：∵∠AGD＝∠ACB （ 已知 ）
∴DG∥ CB （ 同位角相等，两直线平行 ）
∴∠3＝ ∠1 （ 两直线平行，内错角相等 ）
∵∠1＝∠2 （ 已知 ）
∴∠3＝ ∠2 （等量代换）
∴ CD ∥ EF （ 同位角相等，两直线平行 ）
【解答】证明：∵∠AGD＝∠ACB （已知），
∴DG∥CB（同位角相等，两直线平行），
∴∠3＝∠1 （两直线平行，内错角相等 ），
∵∠1＝∠2 （已知），
∴∠3＝∠2（等量代换），
∴CD∥EF（同位角相等，两直线平行）．
32．如图，已知直线l1∥l2，l3、l4和l1、l2分别交于点A、B、C、D，点P在直线l3或l4上且不与点A、B、C、D重合．记∠AEP＝∠1，∠PFB＝∠2，∠EPF＝∠3．
（1）若点P在图（1）位置时，求证：∠3＝∠1+∠2；
（2）若点P在图（2）位置时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系；
（3）若点P在图（3）位置时，写出∠1、∠2、∠3之间的关系并给予证明．
【解答】证明：（1）过P作PQ∥l1，
∵l1∥l2，
∴PQ∥l1∥l2，
由两直线平行，内错角相等，可得：
∠1＝∠QPE、∠2＝∠QPF；
∵∠3＝∠QPE+∠QPF，
∴∠3＝∠1+∠2．
（2）关系：∠3＝∠2﹣∠1；
过P作直线PQ∥l1，
∵l1∥l2，
∴PQ∥l1∥l2，
则：∠1＝∠QPE、∠2＝∠QPF；
∵∠3＝∠QPF﹣∠QPE，
∴∠3＝∠2﹣∠1．
（3）关系：∠3＝360°﹣∠1﹣∠2．
过P作PQ∥l1，
∵l1∥l2，
∴PQ∥l1∥l2，
同（1）可证得：∠3＝∠CEP+∠DFP；
∵∠CEP+∠1＝180°，∠DFP+∠2＝180°，
∴∠CEP+∠DFP+∠1+∠2＝360°，
即∠3＝360°﹣∠1﹣∠2．
33．AB⊥BC，∠1+∠2＝90°，∠2＝∠3．BE与DF平行吗？为什么？
解：BE∥DF．
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝ 90 °，
即∠3+∠4＝ 90 °．
又∵∠1+∠2＝90°，
且∠2＝∠3，
∴ ∠1 ＝ ∠4 ．
理由是： 等角的余角相等 ．
∴BE∥DF．
理由是： 同位角相等，两直线平行 ．
【解答】解：BE∥DF，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
即∠3+∠4＝90°．
又∵∠1+∠2＝90°，
且∠2＝∠3，
∴∠1＝∠4，
理由是：等角的余角相等，
∴BE∥DF．
理由是：同位角相等，两直线平行．
故答案为：90；90；∠1，∠4；等角的余角相等；同位角相等，两直线平行．
34．问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC的度数．
小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC．
（1）按小明的思路，易求得∠APC的度数为 110 度；
（2）问题迁移：如图2，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB＝α，∠PCD＝β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出∠APC与α、β之间的数量关系．
【解答】（1）解：过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°，
∵∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，
∴∠APE＝50°，∠CPE＝60°，
∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝110°．
（2）∠APC＝α+β，
理由：如图2，过P作PE∥AB交AC于E，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴α＝∠APE，β＝∠CPE，
∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝α+β；
（3）如图所示，当P在BD延长线上时，
∠CPA＝α﹣β；
如图所示，当P在DB延长线上时，
∠CPA＝β﹣α．
35．已知，AB∥CD，试解决下列问题：
（1）如图1，∠1+∠2＝ 180° ；
（2）如图2，∠1+∠2+∠3＝ 360° ；
（3）如图3，∠1+∠2+∠3+∠4＝ 540° ；
（4）如图4，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n＝ 180°（n﹣1） ．
【解答】
解：（1）∵AB∥CD，∴∠1+∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补）；
（2）过点E作一条直线EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴CD∥EF，
∴∠1+∠AEF＝180°，∠FEC+∠3＝180°，
∴∠1+∠2+∠3＝360°；
（3）过点E、F作EG、FH平行于AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EG∥FH∥CD，
∴∠1+∠AEG＝180°，∠GEF+∠EFH＝180°，∠HFC+∠4＝180°；
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝540°；
（4）根据上述规律，显然作（n﹣2）条辅助线，运用（n﹣1）次两条直线平行，同旁内角互补．即可得到n个角的和是180°（n﹣1）．
36．已知直线AB∥CD．
（1）如图1，直接写出∠ABE，∠CDE和∠BED之间的数量关系是 ∠ABE+∠CDE＝∠BED ．
（2）如图2，BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，那么∠BFD和∠BED有怎样的数量关系？请说明理由．
（3）如图3，点E在直线BD的右侧，BF，DF仍平分∠ABE，∠CDE，请直接写出∠BFD和∠BED的数量关系 2∠BFD+∠BED＝360° ．
【解答】解：（1）∠ABE+∠CDE＝∠BED．
理由：如图1，作EF∥AB，
∵直线AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠ABE＝∠1，∠CDE＝∠2，
∴∠ABE+∠CDE＝∠1+∠2＝∠BED，
即∠ABE+∠CDE＝∠BED．
故答案为：∠ABE+∠CDE＝∠BED．
（2）∠BFD＝∠BED．
理由：如图2，∵BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，
∴∠ABF＝∠ABE，∠CDF＝∠CDE，
∴∠ABF+∠CDF＝∠ABE+∠CDE＝（∠ABE+∠CDE），
由（1），可得∠BFD＝∠ABF+∠CDF＝（∠ABE+∠CDE）
∠BED＝∠ABE+∠CDE，
∴∠BFD＝∠BED．
（3）2∠BFD+∠BED＝360°．
理由：如图3，过点E作EG∥CD，，
∵AB∥CD，EG∥CD，
∴AB∥CD∥EG，
∴∠ABE+∠BEG＝180°，∠CDE+∠DEG＝180°，
∴∠ABE+∠CDE+∠BED＝360°，
由（1）知，∠BFD＝∠ABF+∠CDF，
又∵BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，
∴∠ABF＝∠ABE，∠CDF＝∠CDE，
∴∠BFD＝（∠ABE+∠CDE），
∴2∠BFD+∠BED＝360°．
故答案为：2∠BFD+∠BED＝360°．
37．已知：如图，DG⊥BC，AC⊥BC，EF⊥AB，∠1＝∠2，求证：CD⊥AB．
证明：∵DG⊥BC，AC⊥BC（已知）
∴∠DGB＝∠ACB＝90°（垂直定义）
∴DG∥AC（ 同位角相等，两直线平行 ）
∴∠2＝ ∠ACD （ 两直线平行，内错角相等 ）
∵∠1＝∠2（已知）
∴∠1＝∠ ACD （等量代换）
∴EF∥CD（ 同位角相等，两直线平行 ）
∴∠AEF＝∠ ADC （ 两直线平行，同位角相等 ）
∵EF⊥AB（已知）
∴∠AEF＝90°（ 垂直定义 ）
∴∠ADC＝90°（ 等量代换 ）
∴CD⊥AB（ 垂直定义 ）
【解答】解：证明过程如下：
证明：∵DG⊥BC，AC⊥BC（已知）
∴∠DGB＝∠ACB＝90°（垂直定义）
∴DG∥AC（同位角相等，两直线平行）
∴∠2＝∠ACD（两直线平行，内错角相等）
∵∠1＝∠2（已知）
∴∠1＝∠ACD（等量代换）
∴EF∥CD（同位角相等，两直线平行）
∴∠AEF＝∠ADC（两直线平行，同位角相等）
∵EF⊥AB（已知）
∵∠AEF＝90°（垂直定义）
∴∠ADC＝90°（等量代换）
∴CD⊥AB（垂直定义）．
38．如图1，E是直线AB，CD内部一点，AB∥CD，连接EA，ED．
（1）探究猜想：
①若∠A＝30°，∠D＝40°，则∠AED等于多少度？
②若∠A＝20°，∠D＝60°，则∠AED等于多少度？
③猜想图1中∠AED，∠EAB，∠EDC的关系并证明你的结论．
（2）拓展应用：
如图2，射线FE与矩形ABCD的边AB交于点E，与边CD交于点F，①②③④分别是被射线FE隔开的4个区域（不含边界，其中区域③、④位于直线AB上方），P是位于以上四个区域上的点，猜想：∠PEB，∠PFC，∠EPF的关系（不要求证明）．
【解答】解：（1）①∠AED＝70°；
②∠AED＝80°；
③猜想：∠AED＝∠EAB+∠EDC，
证明：延长AE交DC于点F，
∵AB∥DC，
∴∠EAB＝∠EFD，
∵∠AED为△EDF的外角，
∴∠AED＝∠EDF+∠EFD＝∠EAB+∠EDC；
（2）根据题意得：
点P在区域①时，∠EPF＝360°﹣（∠PEB+∠PFC）；
点P在区域②时，∠EPF＝∠PEB+∠PFC；
点P在区域③时，∠EPF＝∠PEB﹣∠PFC；
点P在区域④时，∠EPF＝∠PFC﹣∠PEB．
39．如图，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，求证：DE∥BC．
【解答】证明：∵∠1+∠2＝180°（已知）
∵∠1＝∠4（对顶角相等）
∴∠2+∠4＝180°（等量代换）
∴AB∥EF（同旁内角互补，两直线平行）
∴∠3＝∠ADE（两直线平行，内错角相等）
又∵∠3＝∠B（已知）
∴∠B＝∠ADE（等量代换）
∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）
40．如图，直线CB∥OA，∠C＝∠A＝112°，E，F在CB上，且满足∠FOB＝∠AOB，OE平分∠COF．
（1）求∠EOB的度数；
（2）若平行移动AB，那么∠OBC：∠OFC的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律或求出变化范围；若不变，求出这个比值；
（3）在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况使∠OEC＝∠OBA？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）∵CB∥OA，
∴∠AOC＝180°﹣∠C＝180°﹣112°＝68°，
∵OE平分∠COF，
∴∠COE＝∠EOF，
∵∠FOB＝∠AOB，
∴∠EOB＝∠EOF+∠FOB＝∠AOC＝×68°＝34°；
（2）∠OBC：∠OFC的值不变．
∵CB∥OA，
∴∠AOB＝∠OBC，
∵∠FOB＝∠AOB，
∴∠FOB＝∠OBC，
∴∠OFC＝∠FOB+∠OBC＝2∠OBC，
∴∠OBC：∠OFC＝1：2，是定值；
（3）在△COE和△AOB中，
∵∠OEC＝∠OBA，∠C＝∠OAB，
∴∠COE＝∠AOB，
∴OB、OE、OF是∠AOC的四等分线，
∴∠COE＝∠AOC＝×68°＝17°，
∴∠OEC＝180°﹣∠C﹣∠COE＝180°﹣112°﹣17°＝51°，
故存在某种情况，使∠OEC＝∠OBA，此时∠OEC＝∠OBA＝51°．
41．如图所示，已知AB∥CD，分别探究下面图形中∠APC，∠PAB，∠PCD的关系，请你从四个图形中任选一个，说明你所探究的结论的正确性．
①结论：（1） ∠APC+∠PAB+∠PCD＝360°
（2） ∠APC＝∠PAB+∠PCD
（3） ∠PCD＝∠APC+∠PAB
（4） ∠PAB＝∠APC+∠PCD
②选择结论 （1） ，说明理由．
【解答】解：①（1）过点P作PE∥AB，则AB∥PE∥CD，
∴∠1+∠PAB＝180°，
∠2+∠PCD＝180°，
∴∠APC+∠PAB+∠PCD＝360°；
（2）过点P作直线l∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠PAB＝∠3，∠PCD＝∠4，
∴∠APC＝∠PAB+∠PCD；
（3）∵AB∥CD，
∴∠PEB＝∠PCD，
∵∠PEB是△APE的外角，
∴∠PEB＝∠PAB+∠APC，
∴∠PCD＝∠APC+∠PAB；
（4）∵AB∥CD，
∴∠PAB＝∠PFD，
∵∠PFD是△CPF的外角，
∴∠PCD+∠APC＝∠PFD，
∴∠PAB＝∠APC+∠PCD．
②选择结论（1），证明同上．
42．已知直线l1∥l2，直线l3和直线l1、l2交于点C和D，点P是直线l3上一动点
（1）如图1，当点P在线段CD上运动时，∠PAC，∠APB，∠PBD之间存在什么数量关系？请你猜想结论并说明理由．
（2）当点P在C、D两点的外侧运动时（P点与点C、D不重合，如图2和图3），上述（1）中的结论是否还成立？若不成立，请直接写出∠PAC，∠APB，∠PBD之间的数量关系，不必写理由．
【解答】解：（1）∠APB＝∠PAC+∠PBD，
如图1，过点P作PE∥l1，
∴∠APE＝∠PAC，
∵l1∥l2，
∴PE∥l2，
∴∠BPE＝∠PBD，
∴∠APE+∠BPE＝∠PAC+∠PBD，
∴∠APB＝∠PAC+∠PBD；
（2）不成立，
如图2：∠PAC＝∠APB+∠PBD，
理由：过点P作PE∥l1，
∴∠APE＝∠PAC，
∵l1∥l2，
∴PE∥l2，
∴∠BPE＝∠PBD，
∵∠APB＝∠APE﹣∠BPE＝∠PAC﹣∠PBD，
∴∠PAC＝∠APB+∠PBD；
如图3：∠PBD＝∠PAC+∠APB，
理由：过点P作PE∥l1，
∴∠APE＝∠PAC，
∵l1∥l2，
∴PE∥l2，
∴∠BPE＝∠PBD，
∵∠APB＝∠BPE﹣∠APE＝∠PBD﹣∠PAC，
∴∠PBD＝∠PAC+∠APB．
43．完成下面的证明：
如图，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠α+∠β＝90°，求证：AB∥CD．
证明：∵BE平分∠ABD （ 已知 ）
∴∠ABD＝2∠α （ 角平分线的定义 ）
∵DE平分∠BDC（已知）
∵∠BDC＝ 2∠β （ 角平分线的定义 ）
∴∠ABD+∠BDC＝2∠α+2∠β＝2（∠α+∠β） （ 等量代换 ）
∵∠α+∠β＝90°（已知）
∴∠ABD+∠BDC＝180°（ 等量代换 ）
∴AB∥CD （ 同旁内角互补，两直线平行 ）
【解答】证明：BE平分∠ABD（已知），
∴∠ABD＝2∠α（角平分线的定义）．
∵DE平分∠BDC（已知），
∴∠BDC＝2∠β （角平分线的定义）
∴∠ABD+∠BDC＝2∠α+2∠β＝2（∠α+∠β）（等量代换）
∵∠α+∠β＝90°（已知），
∴∠ABD+∠BDC＝180°（等量代换）．
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．
故答案为：已知，角平分线的定义，2∠β，角平分线的定义，等量代换，等量代换，同旁内角互补两直线平行．
44．如图，已知∠1＝30°，∠B＝60°，AB⊥AC，将证明AD∥BC的过程填写完整．
证明：∵AB⊥AC
∴∠ BAC ＝ 90 °（ 垂直定义 ）
∵∠1＝30°
∴∠BAD＝∠ BAC +∠ 1 ＝ 120 °
又∵∠B＝60°
∴∠BAD+∠B＝ 180 °
∴AD∥BC（ 同旁内角互补，两直线平行 ）
【解答】证明：∵AB⊥AC
∴∠BAC＝90°（垂直定义）
∵∠1＝30°
∴∠BAD＝∠BAC+∠1＝120°
又∵∠B＝60°
∴∠BAD+∠B＝180°
∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）
故答案为：BAC，90，垂直定义，BAC，1，120，180，同旁内角互补，两直线平行．
45．根据图形填空：
（1）若直线ED、BC被直线AB所截，则∠1和 ∠2 是同位角；
（2）若直线ED、BC被直线AF所截，则∠3和 ∠4 是内错角；
（3）∠1和∠3是直线AB、AF被直线 ED 所截构成的内错角．
（4）∠2和∠4是直线AB、 AF 被直线BC所截构成的 同位 角．
【解答】解：（1）如图：若ED，BC被AB所截，则∠1与∠2是同位角，
（2）若ED，BC被AF所截，则∠3与∠4是内错角，
（3）∠1 与∠3是AB和AF被ED所截构成的内错角，
（4）∠2与∠4是AB和AF被BC所截构成的同位角．
故答案是：（1）∠2．（2）∠4．（3）ED．（4）AF；同位．
46．已知：如图，∠CDG＝∠B，AD⊥BC于点D，EF⊥BC于点F，试判断∠1与∠2的关系，并说明理由．
【解答】解：∠1＝∠2，
理由：∵∠CDG＝∠B，
∴DG∥BA（同位角相等，两直线平行），
∴∠1＝∠BAD（两直线平行，内错角相等），
∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知），
∴AD∥EF（在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行），
∴∠2＝∠BAD（两直线平行，同位角相等），
∴∠1＝∠2（等量代换）．
47．如图，某居民小区有一长方形地，居民想在长方形地内修筑同样宽的两条小路，余下部分绿化，道路的宽为2米，则绿化的面积为多少平方米？
【解答】解：平移后得绿化部分宽为（20﹣2）米，长为（32﹣2）米，
面积为（20﹣2）×（32﹣2）＝18×30＝540（平方米）．
答：则绿化的面积为540平方米．
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