数学选择性必修 第二册4.3 等比数列测试题

第四章　4.3　4.3.2

A级——基础过关练

1．数列{2n－1}的前10项和为(　　)

A．211－1　　　 B．1－211　　

C．210－1　　 D．1－210

【答案】C　【解析】数列{2n－1}为等比数列，首项为1，公比为2，故其前10项和为S10＝＝210－1．

2．设等比数列{an}的公比q＝，前n项和为Sn，则的值为(　　)

A．15　　 B．18　

C．21　 D．24

【答案】A　【解析】∵S4＝，a4＝a1q3，∴＝＝15．

3．(2021年衡水模拟)有这样一道题目：“戴氏善屠，日益功倍．初日屠五两，今三十日屠讫，向共屠几何？”其意思为：“有一个姓戴的人善于屠肉，每一天屠完的肉是前一天的2倍，第一天屠了5两肉，共屠了30天，问一共屠了多少两肉？”在这个问题中，该屠夫前5天所屠肉的总两数为(　　)

A．35　 B．75　

C．155　 D．315

【答案】C　【解析】由题意可得该屠夫每天屠的肉成等比数列，记首项为a1，公比为q，前n项和为Sn，则a1＝5，q＝2，∴前5天所屠肉的总两数为S5＝＝＝155．

4．(2020年河南期末)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝6，S6＝126，则S4＝(　　)

A．24　 B．28　

C．30　 D．34

【答案】C　【解析】由等比数列的性质可知S2，S4－S2，S6－S4成等比数列，故(S4－6)2＝6×(126－S4)，解得S4＝30或S4＝－24(舍)．

5．(2020年吕梁期末)已知Sn为数列{an}的前n项和，且满足a1＝1，a2＝3，an＋2＝3an，则S2 020＝(　　)

A．2×31 010－2　 B．2×31 010

C．　 D．

【答案】A　【解析】∵an＋2＝3an，∴＝3，∴{an}的奇数项是以a1＝1为首项，3为公比的等比数列；{an}的偶数项是以a2＝3为首项，3为公比的等比数列，则S2 020＝S奇数项＋S偶数项＝＋＝2×31 010－2．

6．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a2·a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5＝(　　)

A．29　　 B．31　

C．33　　 D．35

【答案】B　【解析】设数列{an}的公比为q，∵a2·a3＝a·q3＝a1·a4＝2a1，∴a4＝2．又∵a4＋2a7＝a4＋2a4q3＝2＋4q3＝2×，∴q＝．∴a1＝＝16．∴S5＝＝31．

7．(多选)(2021年海口模拟)已知正项等比数列{an}满足a1＝2，a4＝2a2＋a3，若设其公比为q，前n项和为Sn，则(　　)

A．q＝2　 B．an＝2n

C．S10＝2 047　 D．an＋an＋1<an＋2

【答案】ABD　【解析】对于A，由a4＝2a2＋a3，a1＝2，得2q3＝4q＋2q2，即q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)，A正确；对于B，an＝2×2n－1＝2n，B正确；对于C，S10＝＝2 046，C错误；对于D，根据B可知an＝2n，则an＋an＋1＝2n＋2n＋1＝3×2n，而an＋2＝2n＋2＝4×2n，故an＋2>an＋an＋1，D正确．

8．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝，a2a6＝8(a4－2)，则{an}的公比为________，S2020的值为________．

【答案】2　22019－　【解析】由等比数列的性质及a2a6＝8(a4－2)，得a＝8a4－16，解得a4＝4．又a4＝q3，故q＝2．所以S2020＝＝22 019－．

9．(2021年合肥模拟)设{an}是等比数列，其前n项和为Sn，且a2＝2，S2－3a1＝0．

(1)求{an}的通项公式；

(2)若Sn＋an＞48，求n的最小值．

解：(1)根据题意，设{an}的公比为q，

因为S2－3a1＝0，即(a1＋a2)－3a1＝0，即a2－2a1＝0，

则有q＝＝2．又a2＝2，则a1＝1．

则有an＝a1qn－1＝2n－1．

(2)由(1)知a1＝1，q＝2，得Sn＝＝2n－1．

则有Sn＋an＝2n－1＋2n－1＝3×2n－1－1．

若Sn＋an＞48，则有3×2n－1－1＞48，即2n－1＞．

由n∈N*，得n≥6，所以n的最小值为6．

10．已知等比数列{an}的公比q＞1且2(an＋an＋2)＝5an＋1(n∈N*)．

(1)求q的值；

(2)若a＝a10，求数列的前n项和Sn．

解：(1)∵2(an＋an＋2)＝5an＋1(n∈N*)，

∴2an(1＋q2)＝5anq，化为2(1＋q2)＝5q．

又q＞1，解得q＝2．

(2)a＝a10，即(a1×24)2＝a1×29，解得a1＝2．

∴an＝2n．∴＝n．

∴数列的前n项和

Sn＝＝2．

B级——能力提升练

11．(2021年厦门期中)已知等比数列{an}的前n项和Sn＝2λ＋(λ－3)·2n(λ为常数)，则λ＝(　　)

A．－2　 B．－1　

C．1　 D．2

【答案】C　【解析】∵等比数列{an}的前n项和Sn＝2λ＋(λ－3)·2n(λ为常数)，∴a1＝S1＝2λ＋(λ－3)×2＝4λ－6，a2＝S2－S1＝2λ＋(λ－3)·22－(4λ－6)＝2λ－6，a3＝S3－S2＝2λ＋(λ－3)·23－[2λ＋(λ－3)·22]＝4λ－12．∵a1，a2，a3成等比数列，∴a＝a1a2，即(2λ－6)2＝(4λ－6)(4λ－12)，解得λ＝1或λ＝3．∵λ＝3时，Sn＝6是常数，不成立，故λ＝1．

12．(2021年厦门期中)数列{an}是等比数列，若a2＝1，a5＝，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1的取值范围是(　　)

A．　 B．

C．　 D．

【答案】D　【解析】因为数列{an}是等比数列，a2＝1，a5＝，所以q3＝＝，所以q＝．所以an＝a2·qn－2＝n－2．所以a1＝2．所以{anan＋1}是以2为首项，为公比的等比数列，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝＝∈．

13．(2021年江西模拟)在等比数列{an}中，公比q＝2，前99项的和S99＝56，则a3＋a6＋a9＋…＋a99＝(　　)

A．24　 B．28　

C．32　　　　 D．36

【答案】C　【解析】方法一：∵S99＝＝56，∴a3＋a6＋a9＋…＋a99＝a3(1＋q3＋q6＋…＋q96)＝a1q2·＝a1q2·＝＝×56＝32．

方法二：设b1＝a1＋a4＋a7＋…＋a97，b2＝a2＋a5＋a8＋…＋a98，b3＝a3＋a6＋a9＋…＋a99，则b1q＝b2，b2q＝b3且b1＋b2＋b3＝56．∴b1(1＋q＋q2)＝56．∴b1＝＝8，b3＝b1q2＝32，即a3＋a6＋a9＋…＋a99＝32．

14．(2021年郑州一模)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且＝，则＝________．

【答案】　【解析】∵等比数列{an}中，＝，显然q≠1，

∴＝·，得1＋q3＝，∴q＝．＝＝＝．

15．在等比数列{an}中，a1＋an＝66，a2an－1＝128且前n项和Sn＝126，求该数列的项数n＝______，公比q＝______．

【答案】6　2或　【解析】根据等比数列的性质，a1·an＝a2·an－1＝128．又a1＋an＝66，所以不妨将a1，an看作一元二次方程x2－66x＋128＝0的两实数根，解得x1＝2，x2＝64，即a1＝2，an＝64或a1＝64，an＝2．显然q≠1．若a1＝2，an＝64，由＝126，得2－64q＝126－126q，解得q＝2．由an＝a1qn－1，得2n－1＝32．所以n＝6；若a1＝64，an＝2，同理可求得q＝，n＝6．综上，n的值为6，公比为2或．

16．设数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*．已知a1＝1，a2＝，a3＝且当n≥2时，4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1．

(1)求a4的值；

(2)证明：为等比数列．

(1)解：当n＝2时，4S4＋5S2＝8S3＋S1，

即4×＋5×＝8×＋1，解得a4＝．

(2)证明：由4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1(n≥2)，

得4Sn＋2－4Sn＋1＋Sn－Sn－1＝4Sn＋1－4Sn(n≥2)，

即4an＋2＋an＝4an＋1(n≥2)．

∵当n＝1时，4a3＋a1＝4×＋1＝6＝4a2，

∴4an＋2＋an＝4an＋1对n∈N*都成立．

∴＝＝＝＝．

∴数列是以a2－a1＝1为首项，为公比的等比数列．

C级——探究创新练

17．(多选)(2021年济宁模拟)在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．其大意是：有个人要去某关口，路程为三百七十八里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地．则下列说法正确的是(　　)

A．此人第二天走了九十六里路　　

B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里

C．此人第三天走的路程占全程的

D．此人后三天共走了四十二里路

【答案】ABD　【解析】设此人第n天走an里路，则{an}是公比为的等比数列．由S6＝＝378，解得a1＝192．在A中，a2＝192×＝96，∴此人第二天走了九十六里路，故A正确；在B中，378－192＝186,192－186＝6，∴此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里，故B正确；在C中，a3＝192×＝48，>，故C错误；在D中，a4＋a5＋a6＝192×＝42，故D正确．

18．已知首项为的等比数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，且－2S2，S3,4S4成等差数列．

(1)求数列{an}的通项公式．

(2)证明：Sn＋≤(n∈N*)．

(1)解：设等比数列{an}的公比为q，

因为－2S2，S3,4S4成等差数列，

所以S3＋2S2＝4S4－S3，即S4－S3＝S2－S4，

得2a4＝－a3，于是q＝＝－．

又a1＝，所以an＝×n－1＝(－1)n－1·．

(2)证明：由(1)知Sn＝1－n，

所以Sn＋＝1－n＋

＝

当n为奇数时，Sn＋随n的增大而减小，

所以Sn＋≤S1＋＝．

当n为偶数时，Sn＋随n的增大而减小，

所以Sn＋≤S2＋＝．

故对于n∈N*，有Sn＋≤．