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高中数学第四章 数列4.3 等比数列第1课时学案及答案
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这是一份高中数学第四章 数列4.3 等比数列第1课时学案及答案，共12页。学案主要包含了等比数列中的基本运算，等比中项的应用，等比数列通项公式的推广及应用，灵活设元求解等比数列问题等内容，欢迎下载使用。
第1课时 等比数列的概念及通项公式
学习目标 1.通过实例，理解等比数列的概念.2.掌握等比中项的概念并会应用.3.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程.4.灵活应用等比数列通项公式的推广形式及变形．
知识点一 等比数列的概念
1．定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．
2．递推公式形式的定义：eq \f(an,an－1)＝q(n∈N*且n>1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(或\f(an＋1,an)＝q，n∈N*)).
思考 为什么等比数列的各项和公比q均不能为0?
答案 由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不能为0，因此q也不能为0.
知识点二 等比中项
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab.
思考 当G2＝ab时，G一定是a，b的等比中项吗？
答案 不一定，如数列0,0,5就不是等比数列．
知识点三 等比数列的通项公式
若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则an＝a1qn－1(n∈N*)．
知识点四 等比数列通项公式的推广和变形
等比数列{an}的公比为q，则
an＝a1qn－1①
＝amqn－m②
＝eq \f(a1,q)·qn.③
其中当②中m＝1时，即化为①.
当③中q>0且q≠1时，y＝eq \f(a1,q)·qx为指数型函数．
1．数列1，－1,1，－1，…是等比数列．( √ )
2．若一个数列从第2项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列．( × )
3．等比数列的首项不能为零，但公比可以为零．( × )
4．常数列一定为等比数列．( × )
一、等比数列中的基本运算
例1 在等比数列{an}中：
(1)a1＝1，a4＝8，求an；
(2)an＝625，n＝4，q＝5，求a1；
(3)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.
解 (1)因为a4＝a1q3，
所以8＝q3，所以q＝2，
所以an＝a1qn－1＝2n－1.
(2)a1＝eq \f(an,qn－1)＝eq \f(625,54－1)＝5，
故a1＝5.
(3) 因为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＋a5＝a1q＋a1q4＝18， ①,a3＋a6＝a1q2＋a1q5＝9， ②))
由eq \f(②,①)，得q＝eq \f(1,2)，从而a1＝32.
又an＝1，
所以32×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n－1＝1，
即26－n＝20，故n＝6.
反思感悟 等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解．
跟踪训练1 在等比数列{an}中：
(1)若它的前三项分别为5，－15,45，求a5；
(2)若a4＝2，a7＝8，求an.
解 (1)因为a5＝a1q4，而a1＝5，
q＝eq \f(a2,a1)＝－3，
所以a5＝405.
(2)因为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a4＝a1q3，,a7＝a1q6，))
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1q3＝2， ①,a1q6＝8， ②))
由eq \f(②,①)得q3＝4，
从而q＝eq \r(3,4)，而a1q3＝2，
于是a1＝eq \f(2,q3)＝eq \f(1,2)，
所以an＝a1qn－1＝
二、等比中项的应用
例2 如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么b＝__________，ac＝___________.
答案 －3 9
解析 因为b是－1，－9的等比中项，
所以b2＝9，b＝±3.
又等比数列奇数项符号相同，得b<0，故b＝－3，
而b又是a，c的等比中项，
故b2＝ac，即ac＝9.
反思感悟 (1)由等比中项的定义可知eq \f(G,a)＝eq \f(b,G)⇒G2＝ab⇒G＝±eq \r(ab)，所以只有a，b同号时，a，b的等比中项有两个，异号时，没有等比中项．
(2)在一个等比数列中，从第二项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等比中项．
(3)a，G，b成等比数列等价于G2＝ab(ab>0)．
跟踪训练2 在等比数列{an}中，a1＝－16，a4＝8，则a7等于( )
A．－4 B．±4 C．－2 D．±2
答案 A
解析 因为a4是a1与a7的等比中项，
所以aeq \\al(2,4)＝a1a7，
即64＝－16a7，故a7＝－4.
三、等比数列通项公式的推广及应用
例3 在等比数列{an}中．
(1)已知a3＝4，a7＝16，且q>0，求an；
(2)若{an}为递增数列，且aeq \\al(2,5)＝a10,2(an＋an＋2)＝5an＋1，求通项公式an.
解 (1)∵eq \f(a7,a3)＝q7－3＝q4＝4，
∴q2＝2，又q>0，∴q＝eq \r(2)，
∴an＝a3·qn－3＝4·(eq \r(2))n－3＝(n∈N*)．
(2)由aeq \\al(2,5)＝a10＝a5·q10－5，且a5≠0，
得a5＝q5，即a1q4＝q5，
又q≠0，∴a1＝q.
由2(an＋an＋2)＝5an＋1得，2an(1＋q2)＝5qan，
∵an≠0，∴2(1＋q2)＝5q，
解得q＝eq \f(1,2)或q＝2.
∵a1＝q，且{an}为递增数列，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝2，,q＝2.))
∴an＝2·2n－1＝2n(n∈N*)．
反思感悟 (1)应用an＝amqn－m，可以凭借任意已知项和公比直接写出通项公式，不必再求a1.
(2)等比数列的单调性由a1，q共同确定，但只要单调，必有q>0.
跟踪训练3 已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7等于( )
A．21 B．42 C．63 D．84
答案 B
解析 设等比数列{an}的公比为q，则由a1＝3，a1＋a3＋a5＝21得3(1＋q2＋q4)＝21，解得q2＝－3(舍去)或q2＝2，于是a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42.
四、灵活设元求解等比数列问题
例4 (1)有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1,1,4,13成等差数列，则这四个数的和是________．
答案 45
解析 (1)设这四个数分别为a，aq，aq2，aq3，
则a－1，aq－1，aq2－4，aq3－13成等差数列．
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2aq－1＝a－1＋aq2－4，,2aq2－4＝aq－1＋aq3－13，))
整理得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(aq－12＝3，,aqq－12＝6，))
解得a＝3，q＝2.
因此这四个数分别是3,6,12,24，其和为45.
(2)有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，后三个数成等差数列，且它们的和为12，求这四个数．
解 方法一 设前三个数分别为eq \f(a,q)，a，aq，
则eq \f(a,q)·a·aq＝216，
所以a3＝216.所以a＝6.
因此前三个数为eq \f(6,q)，6,6q.
由题意知第4个数为12q－6.
所以6＋6q＋12q－6＝12，
解得q＝eq \f(2,3).
故所求的四个数为9,6,4,2.
方法二 设后三个数为4－d,4,4＋d，
则第一个数为eq \f(1,4)(4－d)2，
由题意知eq \f(1,4)(4－d)2×(4－d)×4＝216，
解得4－d＝6.所以d＝－2.
故所求得的四个数为9,6,4,2.
反思感悟 几个数成等比数列的设法
(1)三个数成等比数列设为eq \f(a,q)，a，aq.
推广到一般：奇数个数成等比数列设为
…，eq \f(a,q2)，eq \f(a,q)，a，aq，aq2，…
(2)四个符号相同的数成等比数列设为
eq \f(a,q3)，eq \f(a,q)，aq，aq3.
推广到一般：偶数个符号相同的数成等比数列设为
…，eq \f(a,q5)，eq \f(a,q3)，eq \f(a,q)，aq，aq3，aq5，…
(3)四个数成等比数列，不能确定它们的符号是否相同时，可设为a，aq，aq2，aq3.
跟踪训练4 在2和20之间插入两个数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的两个数的和为( )
A．－4或eq \f(35,2) B．4或eq \f(35,2)
C．4 D.eq \f(35,2)
答案 B
解析 设插入的第一个数为a，则插入的另一个数为eq \f(a2,2).
由a，eq \f(a2,2)，20成等差数列得2×eq \f(a2,2)＝a＋20.
∴a2－a－20＝0，解得a＝－4或a＝5.
当a＝－4时，插入的两个数的和为a＋eq \f(a2,2)＝4.
当a＝5时，插入的两个数的和为a＋eq \f(a2,2)＝eq \f(35,2).
1．在等比数列{an}中，若a2＝4，a5＝－32，则公比q应为( )
A．±eq \f(1,2) B．±2 C.eq \f(1,2) D．－2
答案 D
解析 因为eq \f(a5,a2)＝q3＝－8，故q＝－2.
2．(多选)已知a是1,2的等差中项，b是－1，－16的等比中项，则ab等于( )
A．6 B．－6 C．－12 D．12
答案 AB
解析 ∵a＝eq \f(1＋2,2)＝eq \f(3,2)，b2＝(－1)×(－16)＝16，b＝±4，
∴ab＝±6.
3．若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为( )
A．4 B．8 C．6 D．32
答案 C
解析 由等比数列的通项公式得，128＝4×2n－1,2n－1＝32，所以n＝6.
4．等比数列{an}中，|a1|＝1，a5＝－8a2，a5＞a2，则an等于( )
A．(－2)n－1 B．－(－2n－1)
C．(－2)n D．－(－2)n
答案 A
解析 设公比为q，则a1q4＝－8a1q，
又a1≠0，q≠0，
所以q3＝－8，q＝－2，
又a5＞a2，
所以a2＜0，a5＞0，
从而a1＞0，即a1＝1，
故an＝(－2)n－1.
5．在等比数列{an}中，a1＝－2，a3＝－8，则数列{an}的公比为________，通项公式为an＝______________.
答案 ±2 (－2)n或－2n
解析 ∵eq \f(a3,a1)＝q2，
∴q2＝eq \f(－8,－2)＝4，即q＝±2.
当q＝－2时，an＝a1qn－1＝－2×(－2)n－1＝(－2)n；
当q＝2时，an＝a1qn－1＝－2×2n－1＝－2n.
1．知识清单：
(1)等比数列的概念．
(2)等比数列的通项公式．
(3)等比中项的概念．
(4)等比数列的通项公式推广．
2．方法归纳：方程(组)思想、构造法、等比数列的设法．
3．常见误区：
(1)x，G，y成等比数列⇒G2＝xy，但G2＝xy⇏x，G，y成等比数列．
(2)四个数成等比数列时设成eq \f(a,q3)，eq \f(a,q)，aq，aq3，未考虑公比为负的情况．
(3)忽视了等比数列中所有奇数项符号相同，所有偶数项符号相同而出错．
1．在数列{an}中，若an＋1＝3an，a1＝2，则a4为( )
A．108 B．54 C．36 D．18
答案 B
解析 因为an＋1＝3an，
所以数列{an}是公比为3的等比数列，
则a4＝33a1＝54.
2．(多选)在等比数列{an}中，a1＝eq \f(1,8)，q＝2，则a4与a8的等比中项为( )
A．－4 B．4 C．－eq \f(1,4) D.eq \f(1,4)
答案 AB
解析 由题意得aeq \\al(2,6)＝a4a8，
因为a1＝eq \f(1,8)，q＝2，
所以a4与a8的等比中项为±a6＝±4.
3．在等比数列{an}中，an>0，且a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，则a4＋a5的值为( )
A．16 B．27 C．36 D．81
答案 B
解析 ∵a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，∴q2＝9.
∴q＝3(q＝－3舍去)，∴a4＋a5＝(a3＋a4)q＝27.
4．数列{an}是公差不为0的等差数列，且a1，a3，a7为等比数列{bn}的连续三项，则数列{bn}的公比为( )
A.eq \r(2) B．4 C．2 D.eq \f(1,2)
答案 C
解析 因为a1，a3，a7为等比数列{bn}中的连续三项，
所以aeq \\al(2,3)＝a1a7，
设数列{an}的公差为d，则d≠0，
所以(a1＋2d)2＝a1(a1＋6d)，
所以a1＝2d，
所以公比q＝eq \f(a3,a1)＝eq \f(4d,2d)＝2.
5．若正项数列{an}满足a1＝2，aeq \\al(2,n＋1)－3an＋1an－4aeq \\al(2,n)＝0，则数列{an}的通项公式an等于( )
A．22n－1 B．2n C．22n＋1 D．22n－3
答案 A
解析 由aeq \\al(2,n＋1)－3an＋1an－4aeq \\al(2,n)＝0，
得(an＋1－4an)·(an＋1＋an)＝0.
又{an}是正项数列，
所以an＋1－4an＝0，eq \f(an＋1,an)＝4.
由等比数列的定义知数列{an}是以2为首项，
4为公比的等比数列．由等比数列的通项公式，
得an＝2×4n－1＝22n－1.
6．若{an}为等比数列，且a3＋a4＝4，a2＝2，则公比q＝________.
答案 1或－2
解析 根据题意，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1q2＋a1q3＝4，,a1q＝2，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝2，,q＝1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝－1，,q＝－2.))
7．已知{an}是等差数列，公差d不为零．若a2，a3，a7成等比数列，且2a1＋a2＝1，且a1＝________，d＝________.
答案 eq \f(2,3) －1
解析 ∵a2，a3，a7成等比数列，∴aeq \\al(2,3)＝a2a7，
∴(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋6d)，
即2d＋3a1＝0.①
又∵2a1＋a2＝1，∴3a1＋d＝1.②
由①②解得a1＝eq \f(2,3)，d＝－1.
8．已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则an＝________.
答案 4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))n－1
解析 由已知可得(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)，
解得a＝5，所以a1＝4，a2＝6，
所以q＝eq \f(a2,a1)＝eq \f(6,4)＝eq \f(3,2)，
所以an＝4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))n－1.
9．在等比数列{an}中，a3＝32，a5＝8.
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)若an＝eq \f(1,2)，求n.
解 (1)因为a5＝a3q2，
所以q2＝eq \f(a5,a3)＝eq \f(1,4).
所以q＝±eq \f(1,2).
当q＝eq \f(1,2)时，an＝a3qn－3＝32×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n－3＝28－n；
当q＝－eq \f(1,2)时，an＝a3qn－3＝32×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))n－3.
所以an＝28－n或an＝32×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))n－3.
(2)当an＝eq \f(1,2)时，
即28－n＝eq \f(1,2)或32×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))n－3＝eq \f(1,2)，
解得n＝9.
10．在等比数列{an}中：
(1)已知a3＝2，a5＝8，求a7；
(2)已知a3＋a1＝5，a5－a1＝15，求通项公式an.
解 (1)因为eq \f(a5,a3)＝q2＝eq \f(8,2)，
所以q2＝4，
所以a7＝a5q2＝8×4＝32.
(2)a3＋a1＝a1(q2＋1)＝5，
a5－a1＝a1(q4－1)＝15，
所以q2－1＝3，所以q2＝4，
所以a1＝1，q＝±2，
所以an＝a1qn－1＝(±2)n－1.
11．已知a，b，c，d成等比数列，且曲线y＝x2－2x＋3的顶点是(b，c)，则ad等于( )
A．3 B．2 C．1 D．－2
答案 B
解析 ∵y＝(x－1)2＋2，∴b＝1，c＝2.
又∵a，b，c，d成等比数列，∴ad＝bc＝2.
12．已知等比数列{an}满足a1＝eq \f(1,4)，a3a5＝4(a4－1)，则a2等于( )
A．2 B．1 C.eq \f(1,2) D.eq \f(1,8)
答案 C
解析 方法一 ∵a3，a5的等比中项为±a4，
∴a3a5＝aeq \\al(2,4)，a3a5＝4(a4－1)，
∴aeq \\al(2,4)＝4(a4－1)，
∴aeq \\al(2,4)－4a4＋4＝0，
∴a4＝2.
又∵q3＝eq \f(a4,a1)＝eq \f(2,\f(1,4))＝8，
∴q＝2，
∴a2＝a1q＝eq \f(1,4)×2＝eq \f(1,2).
方法二 ∵a3a5＝4(a4－1)，
∴a1q2·a1q4＝4(a1q3－1)，
将a1＝eq \f(1,4)代入上式并整理，得q6－16q3＋64＝0，
解得q＝2，
∴a2＝a1q＝eq \f(1,2).
13．(多选)已知等差数列a，b，c三项之和为12，且a，b，c＋2成等比数列，则a等于( )
A．－2 B．2 C．－8 D. 8
答案 BD
解析 由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋c＝2b，,a＋b＋c＝12，,ac＋2＝b2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝4，,c＝6))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝8，,b＝4，,c＝0.))
故a＝2或a＝8.
14．若数列{an}的前n项和为Sn，且an＝2Sn－3，则{an}的通项公式是________．
答案 an＝3·(－1)n－1
解析 由an＝2Sn－3得an－1＝2Sn－1－3(n≥2)，
两式相减得an－an－1＝2an(n≥2)，
∴an＝－an－1(n≥2)，
又a1＝3，故{an}是首项为3，公比为－1的等比数列，
∴an＝3·(－1)n－1.
15．已知在等差数列{an}中，a2＋a4＝16，a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比数列，把各项按如图所示排列．则从上到下第10行，从左到右的第11个数值为________．
答案 275或8
解析 设公差为d，由a2＋a4＝16，得a1＋2d＝8，①
由a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比数列，
得(a2＋1)2＝(a1＋1)(a4＋1)，化简得a1－d＝－1或d＝0，②
当d＝3时，an＝3n－1.由题图可得第10行第11个数为数列{an}中的第92项，a92＝3×92－1＝275.
当d＝0时，an＝8，a92＝8.
16．设数列{an}是公比小于1的正项等比数列，已知a1＝8，且a1＋13,4a2，a3＋9成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝an(n＋2－λ)，且数列{bn}是单调递减数列，求实数λ的取值范围．
解 (1)设数列{an}的公比为q.
由题意，可得an＝8qn－1，且0＜q＜1.
由a1＋13,4a2，a3＋9成等差数列，
知8a2＝30＋a3，
所以64q＝30＋8q2，
解得q＝eq \f(1,2)或eq \f(15,2)(舍去)，
所以an＝8×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n－1＝24－n，n∈N*.
(2)bn＝an(n＋2－λ)＝(n＋2－λ)·24－n，
由bn＞bn＋1，
得(n＋2－λ)·24－n＞(n＋3－λ)·23－n，
即λ＜n＋1，
所以λ＜(n＋1)min＝2，
故实数λ的取值范围为(－∞，2)．
第1课时 等比数列的概念及通项公式
学习目标 1.通过实例，理解等比数列的概念.2.掌握等比中项的概念并会应用.3.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程.4.灵活应用等比数列通项公式的推广形式及变形．
知识点一 等比数列的概念
1．定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．
2．递推公式形式的定义：eq \f(an,an－1)＝q(n∈N*且n>1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(或\f(an＋1,an)＝q，n∈N*)).
思考 为什么等比数列的各项和公比q均不能为0?
答案 由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不能为0，因此q也不能为0.
知识点二 等比中项
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab.
思考 当G2＝ab时，G一定是a，b的等比中项吗？
答案 不一定，如数列0,0,5就不是等比数列．
知识点三 等比数列的通项公式
若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则an＝a1qn－1(n∈N*)．
知识点四 等比数列通项公式的推广和变形
等比数列{an}的公比为q，则
an＝a1qn－1①
＝amqn－m②
＝eq \f(a1,q)·qn.③
其中当②中m＝1时，即化为①.
当③中q>0且q≠1时，y＝eq \f(a1,q)·qx为指数型函数．
1．数列1，－1,1，－1，…是等比数列．( √ )
2．若一个数列从第2项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列．( × )
3．等比数列的首项不能为零，但公比可以为零．( × )
4．常数列一定为等比数列．( × )
一、等比数列中的基本运算
例1 在等比数列{an}中：
(1)a1＝1，a4＝8，求an；
(2)an＝625，n＝4，q＝5，求a1；
(3)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.
解 (1)因为a4＝a1q3，
所以8＝q3，所以q＝2，
所以an＝a1qn－1＝2n－1.
(2)a1＝eq \f(an,qn－1)＝eq \f(625,54－1)＝5，
故a1＝5.
(3) 因为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＋a5＝a1q＋a1q4＝18， ①,a3＋a6＝a1q2＋a1q5＝9， ②))
由eq \f(②,①)，得q＝eq \f(1,2)，从而a1＝32.
又an＝1，
所以32×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n－1＝1，
即26－n＝20，故n＝6.
反思感悟 等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解．
跟踪训练1 在等比数列{an}中：
(1)若它的前三项分别为5，－15,45，求a5；
(2)若a4＝2，a7＝8，求an.
解 (1)因为a5＝a1q4，而a1＝5，
q＝eq \f(a2,a1)＝－3，
所以a5＝405.
(2)因为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a4＝a1q3，,a7＝a1q6，))
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1q3＝2， ①,a1q6＝8， ②))
由eq \f(②,①)得q3＝4，
从而q＝eq \r(3,4)，而a1q3＝2，
于是a1＝eq \f(2,q3)＝eq \f(1,2)，
所以an＝a1qn－1＝
二、等比中项的应用
例2 如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么b＝__________，ac＝___________.
答案 －3 9
解析 因为b是－1，－9的等比中项，
所以b2＝9，b＝±3.
又等比数列奇数项符号相同，得b<0，故b＝－3，
而b又是a，c的等比中项，
故b2＝ac，即ac＝9.
反思感悟 (1)由等比中项的定义可知eq \f(G,a)＝eq \f(b,G)⇒G2＝ab⇒G＝±eq \r(ab)，所以只有a，b同号时，a，b的等比中项有两个，异号时，没有等比中项．
(2)在一个等比数列中，从第二项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等比中项．
(3)a，G，b成等比数列等价于G2＝ab(ab>0)．
跟踪训练2 在等比数列{an}中，a1＝－16，a4＝8，则a7等于( )
A．－4 B．±4 C．－2 D．±2
答案 A
解析 因为a4是a1与a7的等比中项，
所以aeq \\al(2,4)＝a1a7，
即64＝－16a7，故a7＝－4.
三、等比数列通项公式的推广及应用
例3 在等比数列{an}中．
(1)已知a3＝4，a7＝16，且q>0，求an；
(2)若{an}为递增数列，且aeq \\al(2,5)＝a10,2(an＋an＋2)＝5an＋1，求通项公式an.
解 (1)∵eq \f(a7,a3)＝q7－3＝q4＝4，
∴q2＝2，又q>0，∴q＝eq \r(2)，
∴an＝a3·qn－3＝4·(eq \r(2))n－3＝(n∈N*)．
(2)由aeq \\al(2,5)＝a10＝a5·q10－5，且a5≠0，
得a5＝q5，即a1q4＝q5，
又q≠0，∴a1＝q.
由2(an＋an＋2)＝5an＋1得，2an(1＋q2)＝5qan，
∵an≠0，∴2(1＋q2)＝5q，
解得q＝eq \f(1,2)或q＝2.
∵a1＝q，且{an}为递增数列，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝2，,q＝2.))
∴an＝2·2n－1＝2n(n∈N*)．
反思感悟 (1)应用an＝amqn－m，可以凭借任意已知项和公比直接写出通项公式，不必再求a1.
(2)等比数列的单调性由a1，q共同确定，但只要单调，必有q>0.
跟踪训练3 已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7等于( )
A．21 B．42 C．63 D．84
答案 B
解析 设等比数列{an}的公比为q，则由a1＝3，a1＋a3＋a5＝21得3(1＋q2＋q4)＝21，解得q2＝－3(舍去)或q2＝2，于是a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42.
四、灵活设元求解等比数列问题
例4 (1)有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1,1,4,13成等差数列，则这四个数的和是________．
答案 45
解析 (1)设这四个数分别为a，aq，aq2，aq3，
则a－1，aq－1，aq2－4，aq3－13成等差数列．
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2aq－1＝a－1＋aq2－4，,2aq2－4＝aq－1＋aq3－13，))
整理得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(aq－12＝3，,aqq－12＝6，))
解得a＝3，q＝2.
因此这四个数分别是3,6,12,24，其和为45.
(2)有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，后三个数成等差数列，且它们的和为12，求这四个数．
解 方法一 设前三个数分别为eq \f(a,q)，a，aq，
则eq \f(a,q)·a·aq＝216，
所以a3＝216.所以a＝6.
因此前三个数为eq \f(6,q)，6,6q.
由题意知第4个数为12q－6.
所以6＋6q＋12q－6＝12，
解得q＝eq \f(2,3).
故所求的四个数为9,6,4,2.
方法二 设后三个数为4－d,4,4＋d，
则第一个数为eq \f(1,4)(4－d)2，
由题意知eq \f(1,4)(4－d)2×(4－d)×4＝216，
解得4－d＝6.所以d＝－2.
故所求得的四个数为9,6,4,2.
反思感悟 几个数成等比数列的设法
(1)三个数成等比数列设为eq \f(a,q)，a，aq.
推广到一般：奇数个数成等比数列设为
…，eq \f(a,q2)，eq \f(a,q)，a，aq，aq2，…
(2)四个符号相同的数成等比数列设为
eq \f(a,q3)，eq \f(a,q)，aq，aq3.
推广到一般：偶数个符号相同的数成等比数列设为
…，eq \f(a,q5)，eq \f(a,q3)，eq \f(a,q)，aq，aq3，aq5，…
(3)四个数成等比数列，不能确定它们的符号是否相同时，可设为a，aq，aq2，aq3.
跟踪训练4 在2和20之间插入两个数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的两个数的和为( )
A．－4或eq \f(35,2) B．4或eq \f(35,2)
C．4 D.eq \f(35,2)
答案 B
解析 设插入的第一个数为a，则插入的另一个数为eq \f(a2,2).
由a，eq \f(a2,2)，20成等差数列得2×eq \f(a2,2)＝a＋20.
∴a2－a－20＝0，解得a＝－4或a＝5.
当a＝－4时，插入的两个数的和为a＋eq \f(a2,2)＝4.
当a＝5时，插入的两个数的和为a＋eq \f(a2,2)＝eq \f(35,2).
1．在等比数列{an}中，若a2＝4，a5＝－32，则公比q应为( )
A．±eq \f(1,2) B．±2 C.eq \f(1,2) D．－2
答案 D
解析 因为eq \f(a5,a2)＝q3＝－8，故q＝－2.
2．(多选)已知a是1,2的等差中项，b是－1，－16的等比中项，则ab等于( )
A．6 B．－6 C．－12 D．12
答案 AB
解析 ∵a＝eq \f(1＋2,2)＝eq \f(3,2)，b2＝(－1)×(－16)＝16，b＝±4，
∴ab＝±6.
3．若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为( )
A．4 B．8 C．6 D．32
答案 C
解析 由等比数列的通项公式得，128＝4×2n－1,2n－1＝32，所以n＝6.
4．等比数列{an}中，|a1|＝1，a5＝－8a2，a5＞a2，则an等于( )
A．(－2)n－1 B．－(－2n－1)
C．(－2)n D．－(－2)n
答案 A
解析 设公比为q，则a1q4＝－8a1q，
又a1≠0，q≠0，
所以q3＝－8，q＝－2，
又a5＞a2，
所以a2＜0，a5＞0，
从而a1＞0，即a1＝1，
故an＝(－2)n－1.
5．在等比数列{an}中，a1＝－2，a3＝－8，则数列{an}的公比为________，通项公式为an＝______________.
答案 ±2 (－2)n或－2n
解析 ∵eq \f(a3,a1)＝q2，
∴q2＝eq \f(－8,－2)＝4，即q＝±2.
当q＝－2时，an＝a1qn－1＝－2×(－2)n－1＝(－2)n；
当q＝2时，an＝a1qn－1＝－2×2n－1＝－2n.
1．知识清单：
(1)等比数列的概念．
(2)等比数列的通项公式．
(3)等比中项的概念．
(4)等比数列的通项公式推广．
2．方法归纳：方程(组)思想、构造法、等比数列的设法．
3．常见误区：
(1)x，G，y成等比数列⇒G2＝xy，但G2＝xy⇏x，G，y成等比数列．
(2)四个数成等比数列时设成eq \f(a,q3)，eq \f(a,q)，aq，aq3，未考虑公比为负的情况．
(3)忽视了等比数列中所有奇数项符号相同，所有偶数项符号相同而出错．
1．在数列{an}中，若an＋1＝3an，a1＝2，则a4为( )
A．108 B．54 C．36 D．18
答案 B
解析 因为an＋1＝3an，
所以数列{an}是公比为3的等比数列，
则a4＝33a1＝54.
2．(多选)在等比数列{an}中，a1＝eq \f(1,8)，q＝2，则a4与a8的等比中项为( )
A．－4 B．4 C．－eq \f(1,4) D.eq \f(1,4)
答案 AB
解析 由题意得aeq \\al(2,6)＝a4a8，
因为a1＝eq \f(1,8)，q＝2，
所以a4与a8的等比中项为±a6＝±4.
3．在等比数列{an}中，an>0，且a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，则a4＋a5的值为( )
A．16 B．27 C．36 D．81
答案 B
解析 ∵a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，∴q2＝9.
∴q＝3(q＝－3舍去)，∴a4＋a5＝(a3＋a4)q＝27.
4．数列{an}是公差不为0的等差数列，且a1，a3，a7为等比数列{bn}的连续三项，则数列{bn}的公比为( )
A.eq \r(2) B．4 C．2 D.eq \f(1,2)
答案 C
解析 因为a1，a3，a7为等比数列{bn}中的连续三项，
所以aeq \\al(2,3)＝a1a7，
设数列{an}的公差为d，则d≠0，
所以(a1＋2d)2＝a1(a1＋6d)，
所以a1＝2d，
所以公比q＝eq \f(a3,a1)＝eq \f(4d,2d)＝2.
5．若正项数列{an}满足a1＝2，aeq \\al(2,n＋1)－3an＋1an－4aeq \\al(2,n)＝0，则数列{an}的通项公式an等于( )
A．22n－1 B．2n C．22n＋1 D．22n－3
答案 A
解析 由aeq \\al(2,n＋1)－3an＋1an－4aeq \\al(2,n)＝0，
得(an＋1－4an)·(an＋1＋an)＝0.
又{an}是正项数列，
所以an＋1－4an＝0，eq \f(an＋1,an)＝4.
由等比数列的定义知数列{an}是以2为首项，
4为公比的等比数列．由等比数列的通项公式，
得an＝2×4n－1＝22n－1.
6．若{an}为等比数列，且a3＋a4＝4，a2＝2，则公比q＝________.
答案 1或－2
解析 根据题意，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1q2＋a1q3＝4，,a1q＝2，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝2，,q＝1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝－1，,q＝－2.))
7．已知{an}是等差数列，公差d不为零．若a2，a3，a7成等比数列，且2a1＋a2＝1，且a1＝________，d＝________.
答案 eq \f(2,3) －1
解析 ∵a2，a3，a7成等比数列，∴aeq \\al(2,3)＝a2a7，
∴(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋6d)，
即2d＋3a1＝0.①
又∵2a1＋a2＝1，∴3a1＋d＝1.②
由①②解得a1＝eq \f(2,3)，d＝－1.
8．已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则an＝________.
答案 4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))n－1
解析 由已知可得(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)，
解得a＝5，所以a1＝4，a2＝6，
所以q＝eq \f(a2,a1)＝eq \f(6,4)＝eq \f(3,2)，
所以an＝4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))n－1.
9．在等比数列{an}中，a3＝32，a5＝8.
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)若an＝eq \f(1,2)，求n.
解 (1)因为a5＝a3q2，
所以q2＝eq \f(a5,a3)＝eq \f(1,4).
所以q＝±eq \f(1,2).
当q＝eq \f(1,2)时，an＝a3qn－3＝32×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n－3＝28－n；
当q＝－eq \f(1,2)时，an＝a3qn－3＝32×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))n－3.
所以an＝28－n或an＝32×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))n－3.
(2)当an＝eq \f(1,2)时，
即28－n＝eq \f(1,2)或32×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))n－3＝eq \f(1,2)，
解得n＝9.
10．在等比数列{an}中：
(1)已知a3＝2，a5＝8，求a7；
(2)已知a3＋a1＝5，a5－a1＝15，求通项公式an.
解 (1)因为eq \f(a5,a3)＝q2＝eq \f(8,2)，
所以q2＝4，
所以a7＝a5q2＝8×4＝32.
(2)a3＋a1＝a1(q2＋1)＝5，
a5－a1＝a1(q4－1)＝15，
所以q2－1＝3，所以q2＝4，
所以a1＝1，q＝±2，
所以an＝a1qn－1＝(±2)n－1.
11．已知a，b，c，d成等比数列，且曲线y＝x2－2x＋3的顶点是(b，c)，则ad等于( )
A．3 B．2 C．1 D．－2
答案 B
解析 ∵y＝(x－1)2＋2，∴b＝1，c＝2.
又∵a，b，c，d成等比数列，∴ad＝bc＝2.
12．已知等比数列{an}满足a1＝eq \f(1,4)，a3a5＝4(a4－1)，则a2等于( )
A．2 B．1 C.eq \f(1,2) D.eq \f(1,8)
答案 C
解析 方法一 ∵a3，a5的等比中项为±a4，
∴a3a5＝aeq \\al(2,4)，a3a5＝4(a4－1)，
∴aeq \\al(2,4)＝4(a4－1)，
∴aeq \\al(2,4)－4a4＋4＝0，
∴a4＝2.
又∵q3＝eq \f(a4,a1)＝eq \f(2,\f(1,4))＝8，
∴q＝2，
∴a2＝a1q＝eq \f(1,4)×2＝eq \f(1,2).
方法二 ∵a3a5＝4(a4－1)，
∴a1q2·a1q4＝4(a1q3－1)，
将a1＝eq \f(1,4)代入上式并整理，得q6－16q3＋64＝0，
解得q＝2，
∴a2＝a1q＝eq \f(1,2).
13．(多选)已知等差数列a，b，c三项之和为12，且a，b，c＋2成等比数列，则a等于( )
A．－2 B．2 C．－8 D. 8
答案 BD
解析 由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋c＝2b，,a＋b＋c＝12，,ac＋2＝b2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝4，,c＝6))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝8，,b＝4，,c＝0.))
故a＝2或a＝8.
14．若数列{an}的前n项和为Sn，且an＝2Sn－3，则{an}的通项公式是________．
答案 an＝3·(－1)n－1
解析 由an＝2Sn－3得an－1＝2Sn－1－3(n≥2)，
两式相减得an－an－1＝2an(n≥2)，
∴an＝－an－1(n≥2)，
又a1＝3，故{an}是首项为3，公比为－1的等比数列，
∴an＝3·(－1)n－1.
15．已知在等差数列{an}中，a2＋a4＝16，a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比数列，把各项按如图所示排列．则从上到下第10行，从左到右的第11个数值为________．
答案 275或8
解析 设公差为d，由a2＋a4＝16，得a1＋2d＝8，①
由a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比数列，
得(a2＋1)2＝(a1＋1)(a4＋1)，化简得a1－d＝－1或d＝0，②
当d＝3时，an＝3n－1.由题图可得第10行第11个数为数列{an}中的第92项，a92＝3×92－1＝275.
当d＝0时，an＝8，a92＝8.
16．设数列{an}是公比小于1的正项等比数列，已知a1＝8，且a1＋13,4a2，a3＋9成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝an(n＋2－λ)，且数列{bn}是单调递减数列，求实数λ的取值范围．
解 (1)设数列{an}的公比为q.
由题意，可得an＝8qn－1，且0＜q＜1.
由a1＋13,4a2，a3＋9成等差数列，
知8a2＝30＋a3，
所以64q＝30＋8q2，
解得q＝eq \f(1,2)或eq \f(15,2)(舍去)，
所以an＝8×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n－1＝24－n，n∈N*.
(2)bn＝an(n＋2－λ)＝(n＋2－λ)·24－n，
由bn＞bn＋1，
得(n＋2－λ)·24－n＞(n＋3－λ)·23－n，
即λ＜n＋1，
所以λ＜(n＋1)min＝2，
故实数λ的取值范围为(－∞，2)．
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