高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列第2课时导学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列第2课时导学案，共13页。

第2课时　等比数列的性质及应用
(教师独具内容)
课程标准：1.理解等比数列的性质并能应用其来解决问题.2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题.3.掌握等差数列与等比数列的综合应用问题．
教学重点：等比数列的性质及其应用；等差数列与等比数列的综合应用．
教学难点：利用等比数列解决实际问题；等差数列与等比数列的综合应用.




知识点一　等比数列的项与序号的关系及性质
等比数列项的运算性质：
在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am·an＝ap·aq.
(1)特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am·an＝a.
(2)对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝….
知识点二　等比数列的常用结论
1．若{an}是公比为q的等比数列，则下列数列：
(1){can}(c为任一不为零的常数)是公比为q的等比数列．
(2){|an|}是公比为|q|的等比数列．
(3){a}(m为常数，m∈N*)是公比为qm的等比数列．
2．若{an}，{bn}分别是公比为q1，q2的等比数列，则数列{an·bn}是公比为q1·q2的等比数列．
知识点三　等比数列的单调性
已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则
(1)当或时，等比数列{an}为递增数列；
(2)当或时，等比数列{an}为递减数列．

1．等比数列的“子数列”的性质
若数列{an}是公比为q的等比数列，则
(1){an}去掉前几项后余下的项仍组成公比为q的等比数列；
(2)奇数项数列{a2n－1}是公比为q2的等比数列；
偶数项数列{a2n}是公比为q2的等比数列；
(3)若{kn}成等差数列且公差为d，则{akn}是公比为qd的等比数列，也就是说等比数列中项的序号若成等差数列，则对应的项依次成等比数列．
2．等比数列与等差数列的区别与联系

等差数列
等比数列
不同点
(1)强调每一项与前一项的差；
(2)a1和d可以为零；
(3)等差中项唯一
(1)强调每一项与前一项的比；
(2)a1与q均不为零；
(3)等比中项有两个值
相同点
(1)都强调每一项与前一项的关系；
(2)结果都必须是常数；
(3)数列都可以由a1，d或a1，q确定
联系
(1)若{an}为正项等比数列，则{logaan}为等差数列；
(2)若{an}为等差数列，则{ban}为等比数列

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1){an}是等比数列，若m＋n＝p，则am·an＝ap.(　　)
(2)若{an}是有穷等比数列，则a1an＝a2an－1＝a3an－2＝…＝aman－m＋1.(　　)
(3)若数列{an}是等比数列，当m，n，p(m，n，p∈N*)成等差数列时，am，an，ap也成等差数列．(　　)
(4)如果数列{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2．做一做
(1)已知等比数列{an}中，a4＝7，a6＝21，则a8的值(　　)
A．35 B．63
C．21 D．±21
(2)等比数列{an}中，a5a7a9＝27，则a7＝________.
(3)在等比数列{an}中，若a3＝，a5＝，则a11＝________.
(4)若数列{an}为等比数列，且a1＋a2＝1，a3＋a4＝4，则a9＋a10＝________.
答案　(1)B　(2)3　(3)　(4)256



题型一 等比数列的性质
例1　(1)已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝(　　)
A．5 B．7
C．6 D．±5
(2)已知等比数列{an}满足an>0，n＝1,2，…，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则当n≥1时，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝(　　)
A．n(2n－1) B．(n＋1)2
C．n2 D．(n－1)2
[解析]　(1)解法一：由等比中项的性质知a1a2a3＝a＝5，a7a8a9＝a＝10，a4a5a6＝a＝( )3＝5，故选A.
解法二：因为a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9成等比数列，所以(a4a5a6)2＝(a1a2a3)(a7a8a9)，即a4a5a6＝±5.因为an>0，所以a4a5a6＝5.故选A.
(2)解法一：a5·a2n－5＝a＝22n，注意到an>0，所以an＝2n，于是log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝1＋3＋…＋(2n－1)＝n2.故选C.
解法二：a1·a2n－1＝a3·a2n－3＝…＝a＝22n，
所以log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1
＝log2(a1a3·…·a2n－1)
＝log2[(a1a2n－1)(a3a2n－3)…]＝log22n 2＝n2.
故选C.
[答案]　(1)A　(2)C

运用等比数列的性质应注意的问题
运用等比数列的性质am·an＝ak·al＝a(m，n，k，l，t∈N*)的关键是发现各项的序号之间满足关系m＋n＝k＋l＝2t，它们往往涉及其中的四项或三项，注意不要和等差数列相应的性质混淆．
[跟踪训练1]　在等比数列{an}中，已知a7·a12＝5，则a8·a9·a10·a11等于(　　)
A．10 B．25
C．50 D．75
答案　B
解析　运用等比数列的性质，若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq可得a8·a11＝a9·a10＝a7·a12＝5，所以a8·a9·a10·a11＝25.故选B.
题型二 灵活设项求解等比数列
例2　有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且前后两数的和是16，中间两数的和是12.求这四个数．
[解]　解法一：从前三个数入手，设这四个数依次为a－d，a，a＋d，，
由条件得
解得或
所以当a＝4，d＝4时，所求四个数为0,4,8,16；
当a＝9，d＝－6时，所求四个数为15,9,3,1.
故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.
解法二：从后三个数入手，设这四个数依次为－a，，a，aq(q≠0)，
由条件得解得或
所以当q＝2，a＝8时，所求四个数为0,4,8,16；
当q＝，a＝3时，所求四个数为15,9,3,1.
故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.
解法三：从首末两项的和与中间两项的和入手，设这四个数依次为x，y,12－y,16－x，
由已知得
解得或
故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.
[变式探究]　若将本例中“和是16”改为“积为－128”，将“和是12”改为“积为16”，如何求解？
解　设所求四个数为－aq，，aq，aq3(q≠0)．
则由已知
由①得a2＝16，∴a＝4或a＝－4.
由②得2a2q2－a2q4＝－128.
将a2＝16代入整理，得q4－2q2－8＝0，解得q2＝4或q2＝－2(舍去)，∴q＝2或q＝－2.
∴所求的四个数为－4,2,8,32或4，－2，－8，－32.

在解决与等比数列有关的数的设法时常用的规律
对称设元法：一般地，连续奇数个项成等比数列，可设为…，，x，xq，…；连续偶数个项成等比数列，可设为…，，，xq，xq3，…(注意：此时公比q2>0，并不适合所有情况)这样即可减少未知量的个数，也使得解方程较为方便．
[跟踪训练2]　有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，第一个数与第四个数的和为21，中间两个数的和为18，求这四个数．
解　设前三个数分别为，a，aq(q≠0)，则第四个数为2aq－a，由题意得
解得q＝2或q＝.
当q＝2时，a＝6，这四个数为3,6,12,18；
当q＝时，a＝，这四个数为，，，.
题型三 等比数列的实际应用
例3　从盛满a(a>1)升纯酒精的容器里倒出1升然后添满水摇匀，再倒出1升混合溶液后又用水添满摇匀，如此继续下去，问：第n次操作后溶液的浓度是多少？若a＝2时，至少应倒几次后才能使酒精的浓度低于10%?
[解]　设开始的浓度为1，操作一次后溶液浓度a1＝1－，设操作n次后溶液的浓度为an，则操作n＋1次后溶液的浓度为an＋1＝an，从而建立了递推关系．
∴{an}是以a1＝1－为首项，公比为q＝1－的等比数列．
∴an＝a1qn－1＝n，
即第n次操作后酒精的浓度是n.
当a＝2时，由an＝n<，解得n≥4.
故至少应操作4次后才能使酒精浓度低于10%.

本题是一道有关浓度的应用问题，首先弄清一次操作的含义，其次是列出第n次操作后与第n＋1次操作后溶液浓度间的递推关系，即an＋1＝an，然后利用数列的有关知识解决问题．
[跟踪训练3]　容器A中盛有浓度为a%的农药m L，容器B中盛有浓度为b%的同种农药m L，A，B两容器中农药的浓度差为20%(a>b)，先将A中农药的倒入B中，混合均匀后，再由B倒入一部分到A中，恰好使A中保持m L，问至少经过多少次这样的操作，两容器中农药的浓度差小于1%?
解　设第n次操作后，A中农药的浓度为an，B中农药的浓度为bn，则a0＝a%，b0＝b%.
b1＝(a0＋4b0)，a1＝a0＋b1＝(4a0＋b0)；
b2＝(a1＋4b1)，a2＝a1＋b2＝(4a1＋b1)；
…；
bn＝(an－1＋4bn－1)，an＝(4an－1＋bn－1)．
∴an－bn＝(an－1－bn－1)＝…＝(a0－b0)·n－1.
∵a0－b0＝，∴an－bn＝·n.
依题意，得·n<1%，n∈N*，解得n≥6.
故至少经过6次这样的操作，两容器中农药的浓度差小于1%.
题型四 等比数列与等差数列的综合应用
例4　若{an}是公差d≠0的等差数列，通项为an，{bn}是公比为q≠1的等比数列，已知a1＝b1＝1，且a2＝b2，a6＝b3.
(1)求d和q；
(2)是否存在常数a，b，使对于一切n∈N*都有an＝logabn＋b成立？若存在，则求a，b的值；若不存在，说明理由．
[解]　(1)由a2＝b2，a6＝b3，得
解得或
因为d≠0，q≠1，所以d＝3，q＝4.
(2)由(1)知an＝3n－2，bn＝4n－1.
假设存在常数a，b，使an＝logabn＋b成立，n∈N*.则3n－2＝loga4n－1＋b＝loga4n＋b－loga4＝nloga4＋b－loga4对n∈N*恒成立．
所以⇒

求解等差、等比数列综合问题的技巧
(1)理清各数列的基本特征量，明确两个数列间各量的关系．
(2)发挥两个数列的基本量a1，d或a1，q的作用，并用好方程这一工具．
(3)结合题设条件对求出的量进行必要的检验．
[跟踪训练4]　设数列{an}是公比小于1的正项等比数列，已知a1＝8，且a1＋13,4a2，a3＋9成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝an(n＋2－λ)，且数列{bn}是递减数列，求实数λ的取值范围．
解　(1)设数列{an}的公比为q.
由题意可得an＝8qn－1，且0 由a1＋13,4a2，a3＋9成等差数列，知8a2＝30＋a3，
所以64q＝30＋8q2，解得q＝或q＝(舍去)，
所以an＝8×n－1＝24－n.
(2)bn＝an(n＋2－λ)＝(n＋2－λ)·24－n，
由bn>bn＋1，得(n＋2－λ)·24－n>(n＋3－λ)·23－n，即λ 所以λ<(n＋1)min＝2，
故实数λ的取值范围为(－∞，2)．



1．公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则log2a10＝(　　)
A．4 B．5
C．6 D．7
答案　B
解析　∵a3a11＝16，∴a＝16.又等比数列{an}的各项都是正数，∴a7＝4.又a10＝a7q3＝4×23＝25，∴log2a10＝5.故选B.
2．已知甲、乙两车间的月产值在2020年1月份相同，甲以后每个月比前一个月增加的产值相同，乙以后每个月比前一个月增加产值的百分比相同．而2020年7月份两车间的月产值又相同，比较甲、乙两个车间2020年4月份的月产值的大小，则有(　　)
A．甲大于乙 B．甲等于乙
C．甲小于乙 D．不确定
答案　A
解析　设甲以后每个月比前一个月增加的产值为a，乙每个月比前一个月增加产值的百分比为x，甲、乙两车间在2020年1月份的月产值均为m，则m＋6a＝m(1＋x)6　①.在2020年4月份甲的产值为m＋3a，乙的产值为m(1＋x)3，由①知(1＋x)6＝1＋，则在2020年4月份乙的产值为m＝ ，因为(m＋3a)2－(m2＋6ma)＝9a2>0，所以m＋3a>，即2020年4月份甲的产值大于乙的产值，故选A.
3．(多选)已知等比数列{an}中，a1＝1，q＝2，则(　　)
A．数列是等差数列
B．数列是递减数列
C．数列{log2an}是等差数列
D．数列{log2an}是递减数列
答案　BC
解析　由题意可得an＝2n－1，对于A，因为＝，＝＝，所以数列是公比为的等比数列，不是等差数列，故不正确；对于B，由A可知，数列是首项为1，公比为的等比数列，所以是递减数列，故正确；对于C，因为log2an＝n－1，log2an＋1－log2an＝n－(n－1)＝1，所以数列{log2an}是等差数列，故正确；对于D，由C可知{log2an}是公差为1的等差数列，所以是递增数列，故不正确．故选BC.
4．在等比数列{an}中，若a7＋a8＋a9＋a10＝，a8a9＝－，则＋＋＋＝________.
答案　－
解析　∵＋＝，＋＝，又a8a9＝a7a10，∴＋＋＋＝＝＝－.
5．三个正数成等差数列，它们的和等于15，如果它们分别加上1,3,9就成为等比数列，求此三个数．
解　设所求之数为a－d，a，a＋d，则由题设得

解此方程组，得或
又a－d，a，a＋d为正数，
∴不符合题意舍去，∴
∴所求的三个数为3,5,7.



A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．若a1，a2，a3，…为等差数列，则数列，…一定是(　　)
A．等比数列
B．等差数列
C．既是等比数列又是等差数列
D．既不是等比数列，也不是等差数列
答案　A
解析　∵对n∈N*，，又a1，a2，a3，…为等差数列，∴an＋1－an为常数，也为常数．故{}一定是等比数列，故选A.
2．在正项等比数列{an}中，a1和a19为方程x2－10x＋16＝0的两根，则a8a10a12等于(　　)
A．16 B．32
C．64 D．256
答案　C
解析　由已知，得a1a19＝16，又a1a19＝a8a12＝a，∴a8a12＝a＝16，又an>0，∴a10＝4，∴a8a10a12＝a＝64.
3．在等比数列{an}中，a1＝1，a10＝3，则a2a3a4a5a6a7a8a9等于(　　)
A．81 B．27
C．3 D．243
答案　A
解析　因为数列{an}是等比数列，且a1＝1，a10＝3，所以a2a3a4a5a6a7a8a9＝(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)＝(a1a10)4＝34＝81.故选A.
4．数列{an}是各项均为正数的等比数列，{bn}是等差数列，且a6＝b7，则有(　　)
A．a3＋a9≤b4＋b10 B．a3＋a9≥b4＋b10
C．a3＋a9b4＋b10
答案　B
解析　设an＝a1qn－1，bn＝b1＋(n－1)d，∴(a3＋a9)－(b4＋b10)＝(a1q2＋a1q8)－(b1＋3d＋b1＋9d)＝a1q2＋a1q8－2(b1＋6d)＝a1q2＋a1q8－2b7.∵a6＝b7，∴(a3＋a9)－(b4＋b10)＝a1q2＋a1q8－2a1q5＝a1q2(1＋q6－2q3)＝a1q2(1－q3)2≥0.∴a3＋a9≥b4＋b10.
5．(多选)已知等比数列{an}中，a1＝1，公比q＝－2，则(　　)
A．数列{2an＋an＋1}是等比数列
B．数列{an＋1－an}是等比数列
C．数列{anan＋1}是等比数列
D．数列{log2|an|}是递减数列
答案　BC
解析　因为{an}是等比数列，所以an＋1＝－2an,2an＋an＋1＝0，故A错误；an＝a1·qn－1＝(－2)n－1，an＋1＝(－2)n，于是an＋1－an＝(－2)n－(－2)n－1＝－3·(－2)n－1，故{an＋1－an}是等比数列，故B正确；anan＋1＝(－2)n－1·(－2)n＝(－2)2n－1，故C正确；因为log2|an|＝log22n－1＝n－1，所以数列{log2|an|}是递增数列，故D错误．故选BC.
二、填空题
6．在等比数列{an}中，各项均为正值，且a2a14＋a2a6＝48，a3a9＝6，则a4＋a8＝________.
答案　2
解析　∵a2a14＋a2a6＝48，a3a9＝6，∴a＋a＝48，a4a8＝6，因此(a4＋a8)2＝a＋a＋2a4a8＝60.又{an}的各项均为正数，∴a4＋a8＝2.
7．已知{an}是递增等比数列，a2＝2，a4－a3＝4，则此数列的公比q＝________.
答案　2
解析　由a2＝2，a4－a3＝4，得方程组整理，得q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1.又因为{an}是递增等比数列，所以q＝2.
8．公差不为零的等差数列{an}中，2a3－a＋2a11＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝________.
答案　16
解析　∵2a3－a＋2a11＝2(a3＋a11)－a＝4a7－a＝0，∵b7＝a7≠0，∴b7＝a7＝4.∴b6b8＝b＝16.
三、解答题
9．某学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有A，B两种菜可供选择．调查表明，凡是在这星期一选A菜的，下星期一会有20%改选B菜，而这星期一选B菜的，下星期一会有30%改选A菜．用an，bn分别表示第n个星期一选A菜的人数和选B菜的人数．
(1)试用an－1(n∈N*且n≥2)表示an，判断数列{an－300}是否为等比数列，并说明理由；
(2)若第1个星期一选A菜的有200名学生，那么第10个星期一选A菜的大约有多少名学生？
解　(1)由题意，知对任意n∈N*有bn＝500－an，
所以当n∈N*且n≥2时，
an＝an－1＋(500－an－1)，
所以an＝an－1＋150，
所以an－300＝(an－1－300)，
所以当a1＝300时，数列{an－300}不是等比数列；
当a1≠300时，数列{an－300}是以a1－300为首项，为公比的等比数列．
(2)由(1)知，当a1＝200时，an－300＝n－1(a1－300)＝－，
所以an＝300－，所以a10＝300－≈300，
所以第10个星期一选A菜的大约有300名学生．
10．在等比数列{an}中，a4＝，a3＋a5＝.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{an}的公比大于1，且bn＝log3，
求证：数列{bn}为等差数列，并求其前n项和Sn.
解　(1)设等比数列{an}的公比为q，
则q≠0，＋a4q＝.
因为a4＝，所以＋q＝，解得q＝或q＝3.
当q＝时，a1＝18，
所以an＝18×n－1＝2×33－n；
当q＝3时，a1＝，所以an＝×3n－1＝2×3n－5.
(2)证明：由(1)及数列{an}的公比大于1，得q＝3，an＝2×3n－5，
所以bn＝log3＝log33n－5＝n－5，
所以bn－bn－1＝1(常数)．
又因为b1＝log3＝－4，
所以数列{bn}是首项为－4，公差为1的等差数列．
所以Sn＝＝n2－n.
B级：“四能”提升训练
1．已知数列{an}，{bn}满足：a1＝1，a2＝a(a为常数)，且bn＝an·an＋1(n∈N*)．
(1)若数列{an}是等比数列，试求数列{bn}的通项公式；
(2)当数列{bn}是等比数列时，甲同学说：数列{an}一定是等比数列；乙同学说：数列{an}一定不是等比数列．你认为他们的说法是否正确？为什么？
解　(1)因为数列{an}是等比数列，a1＝1，a2＝a.
∴a≠0，an＝an－1.又bn＝an·an＋1，
则b1＝a1·a2＝a，＝＝＝＝a2，
即数列{bn}是以a为首项，a2为公比的等比数列，
于是bn＝a(a2)n－1＝a2n－1.
(2)甲、乙两个同学的说法都不正确，理由如下：
设数列{bn}的公比为q，
则＝＝＝q且a≠0，
又a1＝1，a2＝a，∴a1，a3，a5，…，a2n－1，…是以1为首项，q为公比的等比数列；a2，a4，a6，…，a2n，…是以a为首项，q为公比的等比数列，即数列{an}为1，a，q，aq，q2，aq2，….
当q＝a2时，数列{an}是等比数列；当q≠a2时，数列{an}不是等比数列．
2．已知数列{an}的前n项和是Sn，且Sn＋an＝1.
(1)证明数列{an}是等比数列，并求其通项公式；
(2)设bn＝log3(1－Sn＋1)，求满足方程＋＋…＋＝的n的值．
解　(1)证明：当n＝1时，a1＝S1，由S1＋a1＝1，得a1＝.当n≥2时，∵Sn＝1－an，∴Sn－1＝1－an－1，∴Sn－Sn－1＝(an－1－an)，即an＝(an－1－an)，
∴an＝an－1.故{an}是以为首项，为公比的等比数列，故an＝×n－1＝2×n.
(2)∵1－Sn＝an＝n，
∴bn＝log3(1－Sn＋1)＝log3n＋1＝－n－1，
∴＝＝－，
∴＋＋…＋＝－，
解方程－＝，得n＝100.