初中冀教版29.3 切线的性质和判定获奖课件ppt

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1.直线和圆有哪些位置关系？ 相交、相切、相离2.切线的性质是什么？性质：圆的切线垂直于过切点的半径. 几何语言：如图所示， ∵直线l 切☉O 于T，∴OT⊥l.
　　如图，在⊙O 中，经过半径 OA 的外端点 A 作直线l⊥OA，则圆心 O 到直线 l 的距离是多少？直线 l 和⊙O 有什么位置关系？
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
例1 如图，已知AB 为⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上， BD＝OB，点C 在圆上，∠CAB＝30°. 求证：DC 是⊙O 的切线． 因为点C 在圆上，所以连接OC， 证明OC⊥CD，而要证OC⊥CD， 只需证△OCD 为直角三角形．
证明：如图，连接OC，BC. ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°. ∵∠CAB＝30°，∴BC＝ AB＝OB. 又∵BD＝OB，∴BC＝BD＝OB＝ OD， ∴∠OCD＝90°. ∴DC 是⊙O 的切线．
切线的判定方法有三种：①直线与圆有唯一公共点；②直线到圆心的距离等于该圆的半径；③切线的判定定理．即经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线.
如图，直线AB 经过⊙O上一点C，并且OA =OB，CA=CB. 直线AB 与⊙O 具有怎样的位置关系？请说明理由.
AB 与⊙O 相切，理由如下：连接OC，因为OA＝OB，CA＝CB，所以△AOB 是等腰三角形，且OC 是△AOB底边上的中线，所以OC⊥AB.又因为直线AB 经过半径OC 的外端，所以AB 与⊙O 相切．
下列四个命题：①与圆有公共点的直线是圆的切线；②垂直于圆的半径的直线是圆的切线；③到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；④过直径端点，且垂直于此直径的直线是圆的切线．其中是真命题的是(　　)A．①② B．②③ C．③④ D．①④
如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，下列选项中，能使过点A 的直线EF 与⊙O 相切于点A 的条件是(　　)A．∠EAB＝∠C B．∠EAB＝∠BACC．EF⊥AC D．AC 是⊙O 的直径
切线的性质和判定的应用
如图，已知BC 是⊙O 的直径，AC 切⊙O 于点C，AB 交⊙O于点D，E 为AC 的中点，连接DE.(1)若AD＝DB，OC＝5， 求切线AC 的长；(2)求证：DE 是⊙O 的切线．
(1)已知BC 是⊙O 的直径，可连接CD，构造直径所对的圆周角，结合AD＝DB，可得AC＝BC；(2)要证DE 是⊙O 的切线，而点D 在圆上，可联想到连接OD，设法证DE⊥OD 即可．
(1) 连接CD，如图. ∵BC 是⊙O 的直径， ∴∠BDC＝90°，即CD⊥AB， ∵AD＝DB， ∴AC＝BC＝2OC＝10.
(2) 连接OD，如图.∵∠ADC＝90°，E 为AC 的中点，∴DE＝EC＝ AC，∴∠1＝∠2，∵OD＝OC，∴∠3＝∠4，∵AC 切⊙O 于点C，∴AC⊥OC，∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4＝90°，即DE⊥OD，∴DE 是⊙O 的切线．
看到切线，就想到作过切点的半径，看到直径就想到直径所对的圆周角是直角；看到切线的判定，就想到：①有切点，连半径，证垂直；②无切点，作垂线，证相等．
如图，P 是⊙O 外一点，OP 交⊙O 于点A，OA＝AP.甲、乙两人想作一条过点P 且与⊙O 相切的直线，其作法如下：甲：以点A为圆心，AP 长为半径画弧， 交⊙O 于B 点，则直线BP 即为所求．乙：过点A 作直线MN⊥OP，以点O 为圆心，OP 为半径画弧，交射线AM 于点B，连接OB，交⊙O 于点C，直线CP 即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是(　　)A．甲正确，乙错误 B．甲错误，乙正确C．两人都正确 D．两人都错误
如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C 作一圆弧，点B 与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是(　　)A．点(0，3)　B．点(2，3)　C．点(5，1)　D．点(6，1)
如图，已知在△ABC 中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，作∠ABC 的角平分线交AC 于D，以D 为圆心，DA 为半径作圆，与射线BD交于点E，F.有下列结论：①△ABC 是直角三角形；②⊙D 与直线BC 相切；③点E 是线段BF 的黄金分割点；④tan ∠CDF＝2.其中正确的结论有(　　)A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
如图，点O 为∠MPN 的平分线上一点，以点O 为圆心的⊙O 与PN相切于点A. 求证：PM 为⊙O 的切线．
易错点：判定直线与圆相切时理由不充分.
如图，连接OA，过点O 作OB⊥PM 于点B.∵PN 与⊙O 相切于点A，∴OA⊥PN.∵点O 在∠MPN 的平分线上， OB⊥PM，∴OB＝OA.∴点O 到直线PM 的距离等于⊙O 的半径．∴PM 为⊙O 的切线．
易错总结：利用切线的判定定理需满足两个条件：(1)经过半径外端，(2)与这条半径垂直，这两个条件缺一不可．证明一条直线是圆的切线时，当直线和圆未明确是否有公共点时，应“作垂线，证半径”，而本题易错解为“连半径，证垂直”．
如图所示，PA 与⊙O 相切于点A，PO 交⊙O 于点C，点B 是优弧CA 上一点，若∠P＝26°，则∠ABC 的度数为(　　)A．26° B．64° C．32° D．90°
如图，点P 在⊙O 的直径BA 延长线上，PC 与⊙O 相切，切点为C，点D 在⊙O上，连接PD、BD，已知PC＝PD＝BC.下列结论：①PD 与⊙O 相切；②四边形PCBD 是菱形；③PO＝AB；④∠PDB＝120°.其中，正确的有(　　)A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
如图，AB 是⊙O 的直径，线段BC 与⊙O 的交点D 是BC 的中点，DE⊥AC 于点E，连接AD，则下列结论中正确的个数是(　　) ①AD⊥BC；②∠EDA＝∠B；③OA＝ AC；④DE 是⊙O 的切线．A．1 B．2C．3 D．4
如图，△ABD 是⊙O 的内接三角形，E 是弦BD 的中点，点C 是⊙O 外一点且∠DBC＝∠A，连接OE 并延长与圆相交于点F， 与BC 相交于点C. (1)求证：BC 是⊙O 的切线； (2)若⊙O 的半径为6，BC＝8，求弦BD 的长．
(1)证明：连接OB，如图所示． ∵E 是弦BD 的中点， ∴BE＝DE，OE⊥BD， ∴∠BOE＝∠A，∠OBE＋∠BOE＝90°. ∵∠DBC＝∠A，∴∠BOE＝∠DBC. ∴∠OBE＋∠DBC＝90°. ∴∠OBC＝90°， 即BC⊥OB.∴BC 是⊙O 的切线．(2)解：∵OB＝6，BC＝8，BC⊥OB， ∴OC＝ ＝10. ∵△OBC 的面积＝ OC·BE＝ OB·BC， ∴BE＝ ＝4.8. ∴BD＝2BE＝9.6，即弦BD 的长为9.6.
如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠BAC 的平分线交BC 于点O，OC＝1，以点O 为圆心，OC 为半径作半圆． (1)求证：AB 为半圆O 的切线； (2)如果tan∠CAO＝ ，求cs B 的值．
(1)证明：如图，作OM⊥AB 于点M， ∵AO 平分∠BAC，OC⊥AC，OM⊥AB， ∴OC＝OM. 又∵OC 是⊙O 的半径， ∴AB 是⊙O 的切线．
(2)解：∵∠ACB＝90°，∴AC 是⊙O 的切线． 易得AC＝AM. 在Rt△ACO 中，tan∠CAO＝ ∴AC＝AM＝3. 设BM＝x，OB＝y，则y 2－x 2＝1①. ∵cs B＝ ，∴ ∴x 2＋3x＝y 2＋y ②. 由①②可以得到y＝3x－1，∴(3x－1)2－x 2＝1. ∴x＝ (x＝0不合题意，舍去)． ∴y＝ . ∴cs B＝
如图，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，AD 是⊙O 的直径，且 BD＝BC，延长AD 到E，且有∠EBD＝∠CAB. (1)求证：BE 是⊙O 的切线； (2)若BC＝ ，AC＝5，求⊙O 的直径 AD 及切线BE 的长．
(1)证明：如图①，连接OB，∵BD＝BC， ∴∠CAB＝∠BAD.∵∠EBD＝∠CAB， ∴∠BAD＝∠EBD. ∵AD 是⊙O 的直径，∴∠ABD＝90°. ∵OA＝OB，∴∠BAD＝∠ABO.∴∠EBD＝∠ABO. ∴∠OBE＝∠EBD＋∠OBD＝∠ABO＋∠OBD＝ ∠ABD＝90°.∵点B 在⊙O上，∴BE 是⊙O 的切线．
(2)解：如图②，设⊙O 的半径为R，连接CD 交OB 于点F， ∵AD 为⊙O 的直径，∴∠ACD＝90°. ∵BC＝BD，∴OB⊥CD.∴OB∥AC. ∵OA＝OD，∴OF＝ AC＝ . ∵四边形ACBD 是圆内接四边形， ∴∠BDE＝∠ACB. 又∵∠EBD＝∠CAB， ∴△EBD∽△BAC. ∵∠OBE＝∠OFD＝90°，∴DF∥BE. ∴AD＝2R＝6.
7 如图，AN 是⊙M 的直径，NB∥x 轴，AB 交⊙M 于点C. (1)若点A (0，6)，N (0，2)，∠ABN ＝30°，求点B 的坐标； (2)若D 为线段NB 的中点， 求证：直线CD 是⊙M 的切线．
(1)解：∵A (0，6)，N (0，2)，∴AN＝4. ∵∠ABN＝30°，又易知∠ANB＝90°， ∴AB＝2AN＝8. ∴由勾股定理得NB＝ ＝4 . ∴B (4 ，2)．
(2)证明：如图，连接MC，NC.∵AN 是⊙M 的直径， ∴∠ACN＝90°.∴∠NCB＝90°. 在Rt△NCB 中，D为NB 的中点， ∴CD＝ NB＝ND. ∴∠CND＝∠NCD. ∵MC＝MN，∴∠MCN＝∠MNC. ∵∠MNC＋∠CND＝90°， ∴∠MCN＋∠NCD＝90°， 即MC⊥CD. ∴直线CD 是⊙M 的切线．
切线和圆只有一个公共点
圆心到切线的距离等于半径
圆的切线垂直于过切点的半径