人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.3 直线的交点坐标与距离公式优秀精练

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2.3直线的交点坐标与距离公式（精讲）
目录
第一部分：思维导图（总览全局）
第二部分：知识点精准记忆
第三部分：课前自我评估测试
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：求相交直线的交点坐标
重点题型二：经过两条直线交点的直线方程
重点题型三：两点间距离公式的应用
重点题型四：点到直线的距离
重点题型五：两条平行直线间的距离
重点题型六：对称问题
重点题型七：根据对称性求最值问题
第五部分：高考（模拟）题体验

第一部分：思 维 导 图 总 览 全 局


第二部分：知 识 点 精 准 记 忆


知识点一：两条直线的交点坐标
直线：（）和：（）的公共点的坐标与方程组的解一一对应.
与相交方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；
与平行方程组无解；
与重合方程组有无数个解.
知识点二：两点间的距离
平面上任意两点，间的距离公式为
特别地，原点与任一点的距离.
知识点三：点到直线的距离
平面上任意一点到直线：的距离.

知识点四：两条平行线间的距离
一般地，两条平行直线：（）和：（）间的距离.


知识点五：对称问题
1、点关于点对称问题(方法：中点坐标公式)
求点关于点的对称点
由：
2、点关于直线对称问题（联立两个方程）
求点关于直线：的对称点
①设中点为利用中点坐标公式得，将代入直线：中；
②
整理得：

3、直线关于点对称问题(求关于点的对称直线，则）
方法一：在直线上找一点，求点关于点对称的点，根据，再由点斜式求解；
方法二：由，设出的直线方程，由点到两直线的距离相等求参数.
方法三：在直线任意一点，求该点关于点对称的点，则该点在直线上.

4、直线关于直线对称问题
4.1直线：（）和：（）相交,求关于直线的对称直线
①求出与的交点
②在上任意取一点(非点），求出关于直线的对称点
③根据，两点求出直线

4.2直线：（）和：（）平行,求关于直线的对称直线
①
②在直线上任取一点，求点关于直线的对称点，利用点斜式求直线.


第三部分：课 前 自 我 评 估 测 试

1．（2022·全国·高二课时练习）判断正误
（1）点到与x轴平行的直线的距离．( )
（2）点到与y轴平行的直线的距离．( )
（3）两直线与的距离为．( )
【答案】     ×     √     √
（1）点到与x轴平行的直线的距离，错误；
（2）点到与y轴平行的直线的距离，正确；
（3）知两条直线平行，所以距离为，正确.
2．（2022·全国·高二课时练习）判断正误
（1）表示的是平面内点到点的距离．( )
（2）平面内两点间的距离公式与坐标顺序有关．( )
【答案】     √     ×
（1）根据两点之间距离公式可知正确；
（2）平面内两点间的距离公式与坐标顺序无关，错误.
3．（2022·全国·高二课时练习）原点到直线的距离为( )
A．1          B．          C．2          D．
【答案】D
由题可知：原点到直线的距离为
故选：D
4．（2022·全国·高二课时练习）已知直线，则之间的距离为( )
A．1          B．          C．          D．2
【答案】B
由题可知：两条直线平行，所以距离为
故选：B
5．（2022·全国·高二课时练习）在下列直线中，与直线相交的直线为( )
A．          B．          C．          D．
【答案】C
由题可知：ABD选项直线的斜率与已知直线斜率相同，所以不会相交，C项直线与已知直线相交
故选：C



第四部分：典 型 例 题 剖 析


重点题型一：求相交直线的交点坐标
典型例题
例题1．（2022·全国·高二课时练习）分别判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点坐标：
(1)；
(2)．
【答案】(1)相交，交点坐标为
(2)相交，交点坐标为
(1)因为，所以相交，联立直线方程解得：，故交点坐标为
(2)因为，所以相交，联立直线方程解得：，故交点坐标为
例题2．（2022·陕西商洛·高一期末）已知直线：的倾斜角为．
(1)求；
(2)若直线与直线平行，且在轴上的截距为－2，求直线与直线的交点坐标．
【答案】(1)-1；(2)(4,2).
(1)因为直线的斜率为，即，故．
(2)依题意，直线的方程为．
将代入，得，故所求交点的(4,2)．
同类题型归类练
1．（2022·全国·高二课时练习）判断下列各组直线的位置关系，若相交，求出交点坐标：
(1)，；
(2)，；
(3)，．
【答案】(1)平行(2)相交；(3)相交；
(1)因为，令，，所以；
(2)因为，所以两直线相交，联立，解得，所以交点坐标为 ；
(3)因为，所以两直线相交，联立，解得，所以交点坐标为 .
2．（2022·江苏·高二课时练习）设m为实数，已知三条直线，和相交于一点，求m的值．
【答案】
联立方程组，解得，即交点为，
把点代入直线，可得，解得，
所以的值为.
重点题型二：经过两条直线交点的直线方程
典型例题
例题1．原点到直线的距离的最大值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
因为可化为，
所以直线过直线与直线交点，
联立可得
所以直线过定点，
当时，原点到直线距离最大，最大距离即为，
此时最大值为，
故选：C.
例题2．直线经过直线的交点，且与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，求直线的方程.
【答案】或
解：设直线方程为，
化简得,
直线与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，
直线的斜率为,
或，解得或.
代入并化简得直线的方程为或.
所以所求的直线方程为或.
同类题型归类练
1．已知直线和相交于点P，且P点在直线上．
(1)求点P的坐标和实数a的值；
【答案】(1)P(2,1)，a=2.
因为直线和相交于点P，且P点在直线上，所以联立，解得：P(2,1).
将P的坐标(2,1)代入直线中,可得2a+1-3a+1=0,解得a=2.
2．求过直线x+y+1＝0与2x+3y﹣4＝0的交点且斜率为﹣2的直线方程．
【答案】2x+y+8＝0．
设过直线x+y+1＝0 与 2x+3y﹣4＝0的交点的直线方程为 x+y+1+λ（2x+3y﹣4）＝0，
即 （1+2λ）x+（1+3λ）y+1﹣4λ＝0，它的斜率为 2，
解得 λ，
∴所求的直线方程为 2x+y+8＝0．
3．求经过直线与的交点，且过点的直线方程.
【答案】
解法一：联立直线方程，解方程组得，
由两点式得所求直线的方程为，
即.
解法二：易知直线不符合所求方程，设所求直线方程为，
将点的坐标代入，得，
解得，
故所求直线方程为，整理得.
4．直线l经过原点，且经过直线与直线的交点，求直线l的方程．
【答案】
经过直线与直线的交点的直线可设为：

把代入，得：，解得：，
所以，所求的直线方程为：.
重点题型三：两点间距离公式的应用
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知三角形的三个顶点，，，则边上中线的长为（  ）
A． B． C． D．
【答案】B
设边的中点为.
因为，，所以，，
即，所以，
故选：B.
例题2．（2022·全国·高三专题练习（文））设，直线过定点，直线过定点，则=（  ）
A． B． C． D．1
【答案】A
对于，当时，，即过定点，即.
对于，其方程可以写成，由，
得直线过定点，即.
所以.
故选:A
同类题型归类练
1．（2022·甘肃·高台县第一中学高一阶段练习）在△ABC中，已知，则BC边的中线AD的长是
A． B．
C． D．
【答案】B
由题意知：中点为
       
本题正确选项：
2．（2022·上海·曹杨二中高二期末）已知三角形OAB顶点，，，则过B点的中线长为______.
【答案】
由中点坐标公式可得中点，则过B点的中线长为.
故答案为：
重点题型四：点到直线的距离
典型例题
例题1．（2022·四川凉山·三模（理））已知直线，，且，点到直线的距离（   ）
A． B．
C． D．
【答案】D
由可得，解得，故
故选：D
例题2．（2022·江苏·高二）点到直线的距离等于4，则实数___________.
【答案】或4
由题意可得：，解得或．
故答案为：或4．
例题3．（2022·江苏·高二）直线，为直线上动点，则的最小值为___________.
【答案】
可看成是直线上一点到点的距离的平方，当时，距离最小.故点到直线的距离为，所以的最小值为
故答案为：
同类题型归类练
1．（2022·江苏·高二）点到直线和直线的距离相等，则点P的坐标应满足的是（       ）．
A．或 B．或
C． D．
【答案】A
解：因为点到直线和直线的距离相等，
所以，
化简得：或，
故选：A
2．（2022·全国·高二课时练习）若点在直线上，则点P到坐标原点的最小距离为（       ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
由题意得：点在直线上，
则点P到坐标原点的最小距离为原点到直线的距离，
即 ，
故选：C
3．（2022·海南·海口市琼山华侨中学高二阶段练习）直线与直线交于点，则点到直线的距离为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
联立，解得，故,
所以点到直线的距离为，
故选：B.
4．（2022·江苏·高二）实数x，y满足，则的最小值为___________.
【答案】##3.2

由题意知：为原点和直线上点的距离的平方，最小即为到直线的距离的平方，又到直线的距离为，
故的最小值为.
故答案为：.
5．（2022·全国·高二课时练习）若，则的最小值为______．
【答案】
依题意，表示定点与直线上的点间距离，
所以的最小值是点到直线的距离.
故答案为：
重点题型五：两条平行直线间的距离
典型例题
例题1．（2022·广东·普宁市华侨中学高二阶段练习）已知直线和互相平行，则它们之间的距离是（   ）
A．4 B． C． D．
【答案】D
由直线平行可得，解得，则直线方程为，即，则距离是.
故选：D.
例题2．（2022·全国·高二课时练习）若直线与直线之间的距离不大于，则实数的取值范围为（  ）
A． B．
C． D．或
【答案】B
直线化为，
则两直线之间的距离，即，
解得.
所以实数的取值范围为.
故选：B.
例题3．（2022·全国·高三专题练习）已知直线经过点，直线过点，且．
(1)若与之间的距离最大，求最大距离，并求此时两直线的方程．
(2)若与距离为5，求两直线的方程；
【答案】(1)最大距离为，，
(2)，或，
(1)解：当直线，均与两点的连线垂直时，与的距离最大，
两点连线的直线的斜率为，
直线与的斜率均为5，
此时，最大距离为，
，．
(2)解：①若，的斜率都存在，设其斜率为，
由斜截式得的方程，即．
由点斜式得的方程，即．
在直线上取点，则点到直线的距离，
化简得，，解得，
，，
②若、的斜率都不存在，
则的方程为，的方程为，它们之间的距离为5，满足条件，
综上所述，两条直线的方程为，或，．
同类题型归类练
1．（2022·河北邯郸·高二期末）已知直线，，若，则与间的距离为（       ）
A． B． C．2或12 D．或
【答案】D
解：因为直线，由，可得，解得.当时，，，所以与间的距离；当时，，，所以与间的距离，
∴与间的距离为或.
故选：D.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知两平行直线与的距离为，则实数的值是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
解：将直线整理得，
所以平行线间的距离公式得直线与的距离为，
解得
故选：D
3．（2022·浙江·高三专题练习）已知直线：（），：，若，则与间的距离为（       ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
由得，解得，
所以直线：，即，
所以与间的距离为，
故选B．
4．（2022·贵州·遵义市第五中学高二期中（理））直线 与直线 之间的距离为_________.
【答案】##
因为直线 与直线平行,
而直线可化为，
故直线 与直线 之间的距离为 ，
故答案为：
5．（2022·江苏·高二）若直线与直线平行，且它们之间的距离等于，则直线的方程为___________.
【答案】或
设直线，将直线与直线化为一般式可得，，故它们之间的距离为，
解得或，故直线的方程为或.
故答案为：或.
6．（2022·全国·高二期中）已知直线与平行，且直线与直线之间的距离为，求m、n的值．
【答案】；或.
因为直线与平行，
所以，解得，，
又因为直线与直线之间的距离为，
所以，解得或.
综上，m的值为；n的值为或.
重点题型六：对称问题
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，点关于直线的对称点为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
解：设点(0,4)关于直线x－y+1＝0的对称点是(a,b),
则，解得：，
故选：D．
例题2．（2022·全国·高三专题练习）直线关于点对称的直线方程（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
设所求直线上任一点为，则其关于点对称的点为，
因为点在直线上，
所以，化简得，
所以所求直线方程为，
故选：B
例题3．（2022·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高二开学考试）直线关于对称直线，直线的方程是（  ）
A． B．
C． D．
【答案】C
如图，直线与直线交于点，直线过原点，
因为直线与直线l关于直线对称，
所以原点关于直线的对称点为，且直线l过点A、B，
则直线l的斜率为，
所以直线l的方程为，
即.
故选：C

同类题型归类练
1．（2022·河北·固安县第一中学高二阶段练习）与直线关于轴对称的直线的方程为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
直线的斜率为，与x轴交于点，
直线关于轴对称的直线的斜率为，并且过点A，
由直线的点斜式方程得：，即，
所以所求直线的方程为：.
故选：D
2．（2022·吉林·抚松县第一中学高二阶段练习）与直线关于y轴对称的直线的方程为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
解：直线，即，它与轴的交点为，
它关于轴对称的直线的斜率为，故要求直线的方程为，即.
故选：C．
3．（2022·陕西榆林·高一期末）点（2，4）关于直线x﹣2y+1＝0对称的点的坐标为（       ）
A．（4，0） B．（3，2） C．（2，1） D．（﹣1，﹣1）
【答案】A
设对称点为(s，t)，则 ①，（对称点与该点的连线垂直于对称轴）
对称点与该点所成线段的中点为（，）在直线x﹣2y+1＝0上，
∴﹣2×+1＝0②，
联立①②解出对称点为（4，0）.
故选：A.
4．（2022·全国·高二）点关于直线对称的点坐标为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
设点关于直线对称的点坐标为，
由题意可得：解得：，
所以点关于直线对称的点坐标为，
故选：A．
5．（2022·江苏·高二）已知入射光线经过点，被直线反射，反射光线经过点，求反射光线所在直线的方程．
【答案】
解：设点关于直线的对称点为，则反射光线所在直线过点，
所以，解得，，即，
又反射光线经过点，所以，
所以所求直线的方程为，即．
故答案为：.
6．（2022·陕西西安·高一阶段练习）直线与直线关于点对称，则直线的方程为______.
【答案】
解：由题意可设直线的方程为，
则，解得或舍去，
故直线的方程为．
故答案为：.
重点题型七：根据对称性求最值问题
典型例题
例题1．（2022·安徽·淮南第二中学高二开学考试）已知点在直线上，，，则的最大值为（   ）
A． B． C． D．
【答案】C
解：设点关于直线的对称点为，
则，解得，
∴，又，
∴.
故选：C.
例题2．（2022·湖北·监利市教学研究室高二期末）已知定点，动点分别在直线和上运动，则的周长取最小值时点的坐标为__________.
【答案】
如图所示：

定点关于函数的对称点，关于 轴的对称点，
当与直线和的交点分别为时，此时的周长取最小值，且最小值为 ．
此时点的坐标满足，
解得，
即点.
故答案为：.
例题3．（2022·江苏·高二）已知、，若是直线上的点，则的最大值为______．
【答案】
解：如图，可得两点在直线的异侧，点关于直线的对称点为，


则，所以当三点共线时，取得最大值为.
故答案为：.
同类题型归类练
1．（2022·江苏·高二）已知点P是x轴上的任意一点，，，则的最小值为_________.
【答案】##
如图，过B点作倾斜角为的一条直线，过点P作于，则，即，
所以，A到直线的距离，
因此的最小值为.
故答案为：

4．（2022·全国·高二课时练习）已知点､，点P在x轴上，则的最小值为___________.
【答案】
因为关于x轴的对称点，则 ,所以的最小值为.
故答案为：
3.（2022·全国·高三专题练习）已知点和点，P是直线上的一点，则的最小值是__________．
【答案】3
如图，可得两点在直线的同侧，设点关于直线的对称点，
则，
所以的最小值为，
因为，直线为，所以，
所以，
所以的最小值是3
故答案为：3

4．（2022·浙江·效实中学模拟预测）已知平面向量满足，，，则的最小值为___________.
【答案】
，，，
解得：，即，即，
不妨令，，设，
则，
，，
则的几何意义为：直线上的点到和的距离之和，即；
作出点关于直线的对称点，

，（当且仅当三点共线时取等号），
设，则，解得：，
，即的最小值为.
故答案为：.
第五部分：高 考 （模 拟） 题 体 验


1．点到直线的距离为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
点到直线的距离为，
故选：D.
2．直线关于点对称的直线方程是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
设对称的直线方程上的一点的坐标为，
则其关于点对称的点的坐标为，
因为点在直线上，
所以即.
故选：D.
3．已知两点到直线的距离相等，则（       ）
A．2 B． C．2或 D．2或
【答案】D
因为两点到直线的距离相等，
所以有，或，
故选：D
4．已知点与点在直线的两侧，给出以下结论：
①；
②当时，有最小值，无最大值；
③；
④当且时，的取值范围是.
正确的个数是（       ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
将代入有，
而与在的两侧，则，①错误；

由上知：且，则在直线上方与y轴右侧部分，
所以，故无最值，②错误；
由上图知：在直线左上方，则，③正确；
由过且且，即在直线上方与y轴右侧部分，
而表示与连线的斜率，由图知：，④正确.
故选：B
5．（多选）已知直线l过点，点，到l的距离相等，则l的方程可能是(       )
A． B．
C． D．
【答案】BC
当直线的斜率不存在时，直线l的方程为，此时点到直线的距离为5，点到直线的距离为1，此时不成立；
当直线l的斜率存在时，设直线的方程为，即，
∵点到直线的距离相等，
，解得，或，
当时，直线的方程为，整理得，
当时，直线的方程为，整理得
综上，直线的方程可能为或
故选：BC．