高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.1 直线的倾斜角与斜率精品习题

2.1.1倾斜角与斜率（精讲）

目录

第一部分：思维导图（总览全局）

第二部分：知识点精准记忆

第三部分：课前自我评估测试

第四部分：典 型 例 题 剖 析

重点题型一：求直线的倾斜角

重点题型二：求直线的斜率

重点题型三：直线的倾斜角和斜率的综合应用

重点题型四：利用直线斜率处理共线问题

重点题型五：求斜率或倾斜角的取值范围

重点题型六：斜率公式的几何意义的应用

第五部分：新定义问题

第六部分：高考（模拟）题体验

知识点一：直线倾斜角的定义

以轴为基准，轴正向与直线向上的方向之间所成的角叫做直线的倾斜角.

（1）当直线与轴平行或者重合时，我们规定它的倾斜角为；所以倾斜角的取值范围为：；

特别地，当直线与轴垂直时，直线的倾斜角为.

（2）所有直线都有唯一确定的倾斜角，倾斜角表示的是直线的倾斜程度.

知识点二：直线的斜率

我们把一条直线的倾斜角（） 的正切值叫做这条直线的斜率.

斜率通常用字母表示，即

（1）倾斜角不是的直线都有斜率，倾斜角不同，直线的斜率也不同；

（2）倾斜角时，直线的斜率不存在。

知识点三：斜率与倾斜角的联系

知识点四：直线斜率的坐标公式

如果直线经过两点，（），那么可得到如下斜率公式：

（1）当 时，直线与轴垂直，直线的倾斜角，斜率不存在；

（2）斜率公式与两点坐标的顺序无关，横纵坐标的次序可以同时调换；

（3）当 时，斜率，直线的倾斜角，直线与轴重合或者平行。

1．判断正误

（1）倾斜角为的直线的斜率为1．(        )

（2）直线斜率的取值范围是．(        )

2．若直线l经过原点和，则它的倾斜角是(        )

A．          B．          C．或          D．

3．如图所示，直线l的倾斜角为(      )

A．            B．          C．          D．不存在

4．已知直线l的倾斜角为，则直线l的斜率为(        )

A．            B．          C．1          D．

5．已知经过两点和的直线的斜率等于1，则m的值是(        )

A．5                  B．8             C．            D．7

重点题型一：求直线的倾斜角

典型例题

例题1．（2022·江苏·高二）下列命题中正确的是（       ）．

A．若直线的倾斜角为，则直线的斜率为

B．若直线的斜率为，则此直线的倾斜角为

C．平行于轴的直线的倾斜角为

D．若直线的斜率不存在，则此直线的倾斜角为

例题2．（2022·全国·高二课时练习）如图，已知直线的倾斜角为，，垂足为．，与轴分别相交于点，，平分，则的倾斜角为（       ）

A． B． C． D．

同类题型归类练

1．（2022·全国·高二课前预习）如图所示，直线l的倾斜角为（       ）

A．45° B．135° C．0° D．不存在

2．（2021·全国·高二课时练习）若A，B两点的横坐标相等，则直线AB的倾斜角和斜率分别是（       ）

A．45°，1 B．135°，－1

C．90°，不存在 D．180°，不存在

3．（2021·河北·邢台市南和区实验中学高二阶段练习）直线l的倾斜角的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

重点题型二：求直线的斜率

典型例题

例题1．（2022·全国·高二）如图所示，直线的频斜角，直线，则直线的斜率为________．

例题2．（2022·全国·高二课时练习）（1）若直线的倾斜角，求直线斜率的范围；

（2）若直线的斜率，求直线倾斜角的范围.

同类题型归类练

1．（2022·全国·高二课时练习）若直线l的倾斜角为，则直线l的斜率为________.

2．（2022·内蒙古·呼和浩特市教育教学研究中心高一期末）已知直线l经过，两点，则l的斜率为___________.

3．（2022·全国·高二课时练习）若直线的一个法向量为，则若直线的斜率_____.

4．（2022·江苏·高二）已知直线的斜率为，直线的倾斜角是直线倾斜角的2倍，求直线的斜率.

5．（2022·全国·高二课时练习）已知直线的斜率为，直线的倾斜角比直线的倾斜角小，求直线的斜率．

重点题型三：直线的倾斜角和斜率的综合应用

典型例题

例题1．（2022·全国·高三专题练习）设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围是_________.

例题2．（2022·全国·高二课时练习）已知点，，，.

（1）若直线与直线平行，求实数的值；

（2）当时，求直线倾斜角的取值范围.

同类题型归类练

1．（2022·全国·高二课时练习）直线过点，且不经过第四象限，那么直线的斜率的取值范围是______

2．（2022·全国·高二课时练习）已知直线l经过、（）两点，求直线l的倾斜角的取值范围.

3．（2022·全国·高二课时练习）已知直线l的一个方向向量为，求直线l的斜率和倾斜角．

4．（2022·江苏·高二）已知直线l1经过点A（3，a）、B（a－2，3），直线l2经过点C（2，3）、D（－1，a－2），

(1)若l1⊥l2，求a的值；

(2)若l1的倾斜角为锐角，求a的取值范围．

重点题型四：利用直线斜率处理共线问题

典型例题

例题1．已知点，判断三点是否共线．

例题2．在平面直角坐标系中，已知点，，.若三点共线，求实数的值；

同类题型归类练

1．已知三点共线，求实数a的值．

2．已知平面内有两两不重合的三点，，.若A，B，C三点共线，求实数a的值.

3．已知平面直角坐标系中，点为原点，，，．

若，，三点共线，求实数的值．

4．在平面直角坐标系中，设、、.

（1）若、、三点共线，求的值；

重点题型五：求斜率或倾斜角的取值范围

典型例题

例题1．（2022·四川达州·高一期末（理））已知，，过点且斜率为的直线与线段有公共点，则的取值范围是（   ）

A． B．

C． D．

例题2．（2022·江苏·高二）过点的直线与以、为端点的线段有交点，求直线的倾斜角的取值范围．

同类题型归类练

1．（2022·江苏·高二）设点､，若直线l过点且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（       ）

A．或 B．或

C． D．

2．（2022·全国·高二课时练习）已知点，，若直线l过点，且与线段相交，则直线l的斜率k的取值范围为（       ）

A．或 B．

C． D．

3．（2022·江苏·高二）已知点、、， 过点C的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是（　　）

A． B．

C． D．以上都不对

4．（2022·江苏·高二）已知过点的直线l与以点，为端点的线段AB相交，则直线l的斜率的取值范围为___________.

5．（2022·全国·高三专题练习）已知A（1，0），B（﹣1，2），直线l：2x﹣ay﹣a＝0上存在点P，满足|PA|+|PB|＝，则实数a的取值范围是 ___________．

重点题型六：斜率公式的几何意义的应用

典型例题

例题1．（2022·全国·高三专题练习）点在函数的图象上，当时，的取值

范围是（       ）

A． B．

C． D．

例题2．（2022·内蒙古·呼和浩特市第十四中学高一期末）已知正的顶点，，顶点在第一象限，若点是内部及其边界上一点，则的最大值为（       ）

A． B． C． D．

1．（2022·河南·二模（文））2020年12月4日，嫦娥五号探测器在月球表面第一次动态展示国旗.1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点.有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近.为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，，，，分别是大星中心点与四颗小星中心点的联结线，，则第三颗小星的一条边AB所在直线的倾斜角约为（       ）

A． B． C． D．

2．（2022·江苏·高二课时练习）如图，“坡度”常用来刻画道路的倾斜程度，这个词与直线的斜率有何关系？坡度为4％的道路很陡吗？调查一些山路或桥面的坡度，并与同学交流．

1．（2022·新疆乌鲁木齐·二模（文））已知正方形的一条对角线所在直线的斜率为，则其一条边所在直线的斜率是（       ）

A． B． C． D．

2．（2022·陕西渭南·一模（理））已知，，点是线段（包括端点）上的动点，则的取值范围是 ________．