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2023年中考数学专项汇编 【数与式】题型精讲 实数（实数的有关概念和运算）
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这是一份2023年中考数学专项汇编 【数与式】题型精讲 实数（实数的有关概念和运算），共31页。试卷主要包含了按实数的定义分类，按大小分类，绝对值，倒数等内容，欢迎下载使用。
实数（实数的有关概念和运算）（精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
题型一：实数的概念及分类
题型二：实数的大小比较
题型三：近似数和科学记数法
题型四：平方根、算数平方根与立方根
题型五：实数的运算
题型六：非负数的性质
题型七：新定义题
第四部分：中考真题感悟
第一部分：知识点精准记忆
知识点一：有理数、无理数
整数和分数统称为有理数；无限不循环小数小数叫做无理数；有理数和无理数统称为实数．
知识点二：实数的分类
1、按实数的定义分类：
2、按大小分类：
知识点三：数轴、相反数、绝对值、倒数
1、数轴
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．数轴上的点与实数是一一对应的．
2、相反数
(1)只有符号不同的两个数,叫做互为相反数,0的相反数是0.
(2)实数,互为相反数.
3、绝对值
(1)在数轴上,表示一个数的点到原点的距离就是这个数的绝对值.
(2)一个正数的绝对值是它本身,一个负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0,
即: 绝对值具有非负性.
（3）几何意义：表示在数轴上表示的点与原点的距离，离原点越远的数的绝对值大.
4、倒数（高频考点）
(1)乘积为1的两个数,叫做互为倒数,实数,互为倒数.
(2)非零实数()的倒数是；零没有倒数.特别地,倒数是它本身的数是.
知识点四：科学计数法与近似数（高频考点）
1、科学记数法：把一个数表示成的形式(其中，为整数)，这种记数法叫做科学记数法．
2、和的确定
(1)的确定：是整数位数只有一位的数，即；
(2)的确定：
当原数的绝对值大于或等于10时，等于原数的整数位数减1；
当原数的绝对值小于1时，是负整数，它的绝对值等于原数中左起第一位非零数字前零的个数(含小数点前的零)．
3、近似数：一般地,一个近似数四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位.
知识点五：实数的大小比较
方法
具体原理
数轴比较法
在数轴上，右边的点所表示的数总比左边的点所表示的数大
作差法
设，是两个任意实数，则
①，②，③
绝对值法
①若，，且，则；
②若，，且，则
平方法
①对任意正实数，，有；
②对任意负实数，，有；
做商法
①任意正实数，
②任意负实数，
③任意实数，
倒数法
任意同号的数，
知识点六：实数的运算
1、常见的实数运算
运算
法则
乘方
，
零次幂
负整数指数幂
（，为正整数），特别的：
去绝对值符号
-1的奇偶次幂
2、实数的四则运算（高频考点）
(1)实数加法法则：
①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.互为相反数的两个数相加得0；
③一个数同0相加，仍得这个数.
(2)实数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数.
(3)实数乘法法则：
①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.任何数与0相乘，都得0；
②几个不是0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数的个数为奇数时，积是负数，当负因数的个数为偶数时，积是正数；
③几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0.
(4)实数除法法则：
①除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数.0不能作除数；
②两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.0除以任何一个不等于0的数，都得0.
(5)乘方的运算法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0.
知识点七：平方根、算术平方根、立方根与非负数的性质
项目
平方根
算术平方根
立方根
定义
∵()，∴
∵()，∴
∵，
∴
性质
正数
互为相反数(两个)
正数(一个)
正数(一个)
0
0
0
0
负数
没有
没有
负数(一个)
2.非负数的性质
(1)常见的非负数有()，，；
(2)若几个非负数的和为0，则这几个非负数同时为0.例如：若，则有.
第二部分：课前自我评估测试
1．（2022·河南·郑州市第四初级中学八年级阶段练习）在下列各数0.515115111511115…（相邻两个5之间的1的个数依次增加1），0.010，3π，，，，1.414中，有理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2022·山西实验中学模拟预测）的相反数是（ ）
A．2022 B． C． D．
3．（2022·江苏·无锡市港下中学八年级阶段练习）比较大小：________2．（填“”“”或“”）
4．（2022·新疆·阿瓦提县第二中学七年级阶段练习）若，则_______．
5．（2022·山东·胶州市第十中学七年级阶段练习）在我国“一带一路”战略下，途径城市和国家最多的一趟专列全程13000km，将13000用科学计数法表示应为___________.
第三部分：典型例题剖析
题型一：实数的概念及分类
典型例题
例题1．（2022·辽宁沈阳·八年级阶段练习）下列说法：①无理数是开方开不尽的数；②无限小数是无理数；③对于任意实数，都有；④两个无理数的和不一定是无理数；⑤满足的整数有4个．其中正确的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
例题2．（2022·山东临沂·七年级期中）下列判断中不正确的是（ ）
A．分数一定不是无理数 B．无理数都能用数轴上的点来表示
C． D．的绝对值为
例题3．（2022·山东·乐陵市朱集镇三间堂中学七年级阶段练习）已知下列实数：
①，②，③3.14，④，⑤0，⑥，⑦，⑧1.232232223…（每两个“3”之间依次多一个“2”），⑨．
其中整数有：_________________________；
分数有：_________________________；
有理数有：_________________________；
非负有理数有：_________________________；（只需填写序号）．
例题4．（2022·吉林四平·七年级期中）把下列各数分别填入相应集合内：
0，，3.14，，，，．
同类题型归类练
1．（2022·河南·南阳市第十三中学校八年级阶段练习）实数，0，，，，，，0.1010010001……（相邻两个1之间一次多一个0），其中无理数有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2022·全国·八年级课时练习）有下列说法：①任何有理数都是有限小数；②实数与数轴上的点一一对应；③在1和3之间的无理数有且只有，，，这4个；④0.1010010001是无理数，其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2022·江苏·苏州外国语学校七年级阶段练习）把下列各数填入相应的集合里：
，，，0，，
整数集合：{ }
负分数集合：{ }
无理数集合：{ }
题型二：实数的大小比较
典型例题
例题1．（2022·江苏·无锡市查桥中学七年级阶段练习）实数、、、在数轴上的对应点的位置如图所示，在这四个数中，绝对值最小的数（ ）
A．a B．b C．c D．d
例题2．（2022·辽宁葫芦岛·七年级阶段练习）在，0，，中，最小的实数是( )
A． B．0 C． D．
例题3．（2022·西藏聂荣县教育体育局七年级期中）用“<”或“>”填空：（1）__________0.66667；（2）__________．
例题4．（2022·江苏南通·七年级阶段练习）阅读材料：小明对不等式的有关知识进行了自主学习，他发现，对于任意两个实数和比较大小，有如下规律：若，则；若，则；若，则，上面的规律，反过来也成立．课上，通过老师和其他同学的交流，验证了上面的规律是正确的．参考小明发现的规律，解决问题：
(1)比较大小： ___________＋； （填“＜”，“=”或“>"）
(2)已知，且，若，， 试比较A和B的大小.
同类题型归类练
1．（2022·江西·寻乌县教育局教学研究室二模）1，，0，中最小的数是（ ）
A．1 B． C．0 D．
2．（2022·全国·八年级课时练习）下列各数：，，0，，，其中比－3小的数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2022·湖南·八年级单元测试）若实数a的位置如图所示，则a、、、，的大小关系是______（用＜号连接）
4．（2022·山东省日照市实验中学七年级阶段练习）（1）先在给定的数轴上画出下列各数所对应的点：，0，，，，
（2）再将这些数按照从小到大的顺序用“＜”号连接起来．
（3）写出这些数中有理数的和，并计算结果．
题型三：近似数和科学记数法
典型例题
例题1．（2021·甘肃·金昌市第五中学九年级期中）美国约翰斯霍普斯金大学发布的实时统计数据显示，截止北京时间4月27日6时30分左右，全球累计确诊新冠肺炎病例逾296万例，用科学计数法表示为（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·海南·儋州川绵中学八年级阶段练习）数据0.0028用科学计数法表示为（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2020·河南·洛阳市第二十六中学七年级阶段练习）把2.9953用四舍五入法保留3个有效数字，其近似数是（ ）
A．2.99 B．3.00 C．3.0 D．3
例题4．（2022·安徽·阜南县文勤学校七年级阶段练习）用四舍五入法将5.95精确到0.1得到的近似数为（ ）
A．6.0 B．5.9 C．5.0 D．5.90
同类题型归类练
1．（2022·湖北黄石·中考真题）据新华社2022年1月26日报道，2021年全年新增减税降费约1.1万亿元，有力支持国民经济持续稳定恢复用科学计数法表示1.1万亿元，可以表示为__________元．
2．（2022·福建·厦门市松柏中学七年级期中）用四舍五入法对0.618取近似数（精确到0.01）是_________.
题型四：平方根、算数平方根与立方根
典型例题
例题1．（2022·上海市罗南中学七年级阶段练习）下列等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·山东·滕州市洪绪镇洪绪中学八年级阶段练习） 的平方根是__________； 的算术平方根是___________
例题3．（2022·河北·石家庄市第四十四中学八年级期中）如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第11行从左至右第4个数是（ ）
A． B． C． D．
例题4．（2022·吉林大学附属中学八年级阶段练习）计算：
(1)
(2)
同类题型归类练
1．（2022·上海·上外附中八年级阶段练习）如果，则取值范围为（ ）
A． B． C． D．或
2．（2022·全国·八年级单元测试）＝_____，＝_____．
3．（2022·内蒙古·乌海市第二中学七年级期末）计算________．
4．（2022·陕西西安·八年级阶段练习）计算：﹣．
题型五：实数的运算
典型例题
例题1．（2022·河北·石家庄市第四十四中学八年级期中）计算
（1）__________；
（2）__________．
例题2．（2022·江苏·苏州市吴江区实验初级中学八年级阶段练习）计算：
(1)；
(2)．
例题3．（2022·重庆文德中学校八年级阶段练习）计算
(1)
(2)
同类题型归类练
1．（2022·广东·佛山市南海区桂城街道灯湖初级中学八年级阶段练习）计算：
2．（2022·上海外国语大学附属双语学校七年级期中）计算：
3．（2022·福建·厦门市第九中学九年级阶段练习）计算：
(1)；
(2)．
题型六：非负数的性质
典型例题
例题1．（2022·黑龙江省二九一农场中学七年级期末）已知，那么=___．
例题2．（2022·湖北武汉·七年级阶段练习）如果都是实数，且，则的相反数是_________
同类题型归类练
1．（2022·广东·佛山市南海区瀚文外国语学校八年级阶段练习）若m，n满足+＝0，则的算术平方根为 _____．
2．（2022·江苏·苏州工业园区星汇学校八年级阶段练习）若m，n满足等式+＝0．
(1)求m，n的值；
(2)求4m﹣3n的平方根．
题型七：新定义题
1．（2022·山西·大同市云州区初级示范中学校九年级阶段练习）现有一张边长为a的大正方形卡片和三张边长为b的小正方形卡片如图1，取出三张小正方形卡片放入“大正方形卡片”内拼成的图案如图2．再重新取两张小正方形卡片放入“大正方形卡片”内拼成的图案如图3，用已知图2中的阴影部分的面积比图3中的阴影部分的面积大，则小正方形卡片的边长是（ ）
A．1 B． C．2 D．4
2．（2022·辽宁沈阳·八年级阶段练习）类比平方根和立方根，我们定义n次方根为：一般地，如果，那么x叫a的n次方根，其中，且n是正整数．例如：因为，所以±3叫81的四次方根，记作：，因为，所以叫的五次方根，记作：，下列说法不正确的是（ ）
A．负数a没有偶数次方根
B．任何实数a都有奇数次方根
C． =a
D．=a
3．（2022·湖北十堰·九年级期中）小明设计了一个魔术盒，当任意实数对进入其中时，会得到一个新的实数．例如把放入其中，就会得到．现将实数对放入其中，得到实数，则________．
4．（2022·广东·惠州市惠阳区第一中学七年级阶段练习）如果是不为1的有理数，我们把称为的差倒数，如：2的差倒数是，的差倒数是，已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，则______．
5．（2022·上海·专题练习）对于自然数n，如果能找到自然数a和b，（均不为0）使得，那么n就称为“好数”．如，所以3是“好数”．在1到100这100个自然数中，有多少个“好数”？
第四部分：中考真题感悟
1．（2022·四川·巴中市教育科学研究所中考真题）下列说法正确的是（ ）
A．是无理数 B．明天巴中城区下雨是必然事件
C．正五边形的每个内角是 D．相似三角形的面积比等于相似比
2．（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）下列说法正确的是（ ）
①若二次根式有意义，则x的取值范围是x≥1．
②7＜＜8．
③若一个多边形的内角和是540°，则它的边数是5．
④的平方根是±4．
⑤一元二次方程x2﹣x﹣4＝0有两个不相等的实数根．
A．①③⑤ B．③⑤ C．③④⑤ D．①②④
3．（2022·黑龙江绥化·中考真题）下列计算中，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·广西河池·中考真题）计算：．
5．（2022·湖南岳阳·中考真题）计算：．
6．（2022·江苏无锡·中考真题）计算：
(1)；
(2)．
1．（2022·河南·郑州市第四初级中学八年级阶段练习）在下列各数0.515115111511115…（相邻两个5之间的1的个数依次增加1），0.010，3π，，，，1.414中，有理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【详解】解：所给数中，0.010，，，1.414是有理数，一共4个．
故选：D．
2．（2022·山西实验中学模拟预测）的相反数是（ ）
A．2022 B． C． D．
【答案】A
【详解】解：的相反数是，
故选：A．
3．（2022·江苏·无锡市港下中学八年级阶段练习）比较大小：________2．（填“”“”或“”）
【答案】
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
4．（2022·新疆·阿瓦提县第二中学七年级阶段练习）若，则_______．
【答案】4043
【详解】∵
∴，
∴．
故答案为：4043．
5．（2022·山东·胶州市第十中学七年级阶段练习）在我国“一带一路”战略下，途径城市和国家最多的一趟专列全程13000km，将13000用科学计数法表示应为___________.
【答案】
【详解】解：，
故答案为：
第三部分：典型例题剖析
题型一：实数的概念及分类
典型例题
例题1．（2022·辽宁沈阳·八年级阶段练习）下列说法：①无理数是开方开不尽的数；②无限小数是无理数；③对于任意实数，都有；④两个无理数的和不一定是无理数；⑤满足的整数有4个．其中正确的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【详解】解：①是无理数，但不是开方开不尽的数，故①说法错误；
②是无限小数，但不是无理数，故②说法错误；
③对于任意实数，都有，故③说法正确；
④两个无理数的和可能是有理数，也可能是无理数，故④说法正确；
⑤满足的整数有、0、1、2共4个，故⑤说法正确．
故选：B．
例题2．（2022·山东临沂·七年级期中）下列判断中不正确的是（ ）
A．分数一定不是无理数 B．无理数都能用数轴上的点来表示
C． D．的绝对值为
【答案】C
【详解】解：A选项，分数是有理数，一定不是无理数，故该选项不符合题意；
B选项，无理数都能用数轴上的点来表示，故该选项不符合题意；
C选项，∵17＞16，∴＞4，∴-＜-4，故该选项符合题意；
D选项，-的绝对值为，故该选项不符合题意；
故选：C．
例题3．（2022·山东·乐陵市朱集镇三间堂中学七年级阶段练习）已知下列实数：
①，②，③3.14，④，⑤0，⑥，⑦，⑧1.232232223…（每两个“3”之间依次多一个“2”），⑨．
其中整数有：_________________________；
分数有：_________________________；
有理数有：_________________________；
非负有理数有：_________________________；（只需填写序号）．
【答案】⑤⑨；①②③⑥⑦；①②③⑤⑥⑦⑨；③⑤⑥⑦
【详解】解：整数包括正整数、负整数和0．所以属于整数的有：⑤⑨．
分数还包括有限小数和循环小数，所以属于分数的有：①②③⑥⑦．
有限循环小数，开方开得尽的数是有理数，所以属于有理数的有：①②③⑤⑥⑦⑨．
大于或等于0的有理数为非负有理数，所以属于非负有理数的有：③⑤⑥⑦
故答案为：⑤⑨；①②③⑥⑦；①②③⑤⑥⑦⑨；③⑤⑥⑦．
例题4．（2022·吉林四平·七年级期中）把下列各数分别填入相应集合内：
0，，3.14，，，，．
【答案】见解析
【详解】解：根据题意，如图所示：
同类题型归类练
1．（2022·河南·南阳市第十三中学校八年级阶段练习）实数，0，，，，，，0.1010010001……（相邻两个1之间一次多一个0），其中无理数有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】解：，＝4；
故实数，0，，，，，，0.1010010001……（相邻两个1之间一次多一个0），其中无理数有-π，，0.1010010001…（相邻两个1之间一次多一个0），共有3个．
故选：C．
2．（2022·全国·八年级课时练习）有下列说法：①任何有理数都是有限小数；②实数与数轴上的点一一对应；③在1和3之间的无理数有且只有，，，这4个；④0.1010010001是无理数，其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【详解】解：①任何有理数都是有限小数或无限循环小数，故该项错误；
②实数与数轴上的点一一对应，故该项正确；
③在1和3之间的无理数有，，，等，故该项错误；
④0.1010010001是有限小数，故该项错误；
故选：A．
3．（2022·江苏·苏州外国语学校七年级阶段练习）把下列各数填入相应的集合里：
，，，0，，
整数集合：{ }
负分数集合：{ }
无理数集合：{ }
【答案】，，0；，；3π，
【详解】解：，，，
所给出的数中，
整数集合：{，，0，}
负分数集合：{，，}
无理数集合：{，}
故答案为：，，0；，；．
题型二：实数的大小比较
典型例题
例题1．（2022·江苏·无锡市查桥中学七年级阶段练习）实数、、、在数轴上的对应点的位置如图所示，在这四个数中，绝对值最小的数（ ）
A．a B．b C．c D．d
【答案】C
【详解】解：观察数轴，可知：实数c对应的点到原点的距离最小，
实数c的绝对值最小的数是实数c．
故选C．
例题2．（2022·辽宁葫芦岛·七年级阶段练习）在，0，，中，最小的实数是( )
A． B．0 C． D．
【答案】D
【详解】解：∵，
∴，
∴最小的实数是．
故选D．
例题3．（2022·西藏聂荣县教育体育局七年级期中）用“<”或“>”填空：（1）__________0.66667；（2）__________．
【答案】 ＜ ＞
【详解】解：（1）∵，
∴＜0.66667；
故答案为：＜；
（2）∵，，，
∴．
故答案为：＞．
例题4．（2022·江苏南通·七年级阶段练习）阅读材料：小明对不等式的有关知识进行了自主学习，他发现，对于任意两个实数和比较大小，有如下规律：若，则；若，则；若，则，上面的规律，反过来也成立．课上，通过老师和其他同学的交流，验证了上面的规律是正确的．参考小明发现的规律，解决问题：
(1)比较大小： ___________＋； （填“＜”，“=”或“>"）
(2)已知，且，若，， 试比较A和B的大小.
【答案】(1)＞
(2)
（1）解：∵，
∴，
∴＞＋，
故答案为：＞；
（2）解：由题意可知：
，
，
，
，
，
，
，
.
同类题型归类练
1．（2022·江西·寻乌县教育局教学研究室二模）1，，0，中最小的数是（ ）
A．1 B． C．0 D．
【答案】B
【详解】解：∵，
∴最小的数的数是．
故选：B．
2．（2022·全国·八年级课时练习）下列各数：，，0，，，其中比－3小的数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【详解】，，，，
故选：A
3．（2022·湖南·八年级单元测试）若实数a的位置如图所示，则a、、、，的大小关系是______（用＜号连接）
【答案】
【详解】解：
又两边同时乘以
两边同时除以
综上所述：
故答案为：．
4．（2022·山东省日照市实验中学七年级阶段练习）（1）先在给定的数轴上画出下列各数所对应的点：，0，，，，
（2）再将这些数按照从小到大的顺序用“＜”号连接起来．
（3）写出这些数中有理数的和，并计算结果．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【详解】解：（1），
用数轴表示为：
（2）从小到大：；
（3）∵不是有理数，
∴有理数的和为：
，
即这些数中有理数的和为．
题型三：近似数和科学记数法
典型例题
例题1．（2021·甘肃·金昌市第五中学九年级期中）美国约翰斯霍普斯金大学发布的实时统计数据显示，截止北京时间4月27日6时30分左右，全球累计确诊新冠肺炎病例逾296万例，用科学计数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：296万=2960000=，
故选：C．
例题2．（2022·海南·儋州川绵中学八年级阶段练习）数据0.0028用科学计数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：0.0028=．
故选：B．
例题3．（2020·河南·洛阳市第二十六中学七年级阶段练习）把2.9953用四舍五入法保留3个有效数字，其近似数是（ ）
A．2.99 B．3.00 C．3.0 D．3
【答案】B
【详解】解：用四舍五入法把2.9953保留3个有效数字是3.00，
故选：B．
例题4．（2022·安徽·阜南县文勤学校七年级阶段练习）用四舍五入法将5.95精确到0.1得到的近似数为（ ）
A．6.0 B．5.9 C．5.0 D．5.90
【答案】A
【详解】解：用四舍五入法将5.95精确到0.1得到的近似数为6.0；
故选A．
同类题型归类练
1．（2022·湖北黄石·中考真题）据新华社2022年1月26日报道，2021年全年新增减税降费约1.1万亿元，有力支持国民经济持续稳定恢复用科学计数法表示1.1万亿元，可以表示为__________元．
【答案】
【详解】解：1.1万亿＝1100000000000＝1.1×1012．
故答案为：1.1×1012．
2．（2022·福建·厦门市松柏中学七年级期中）用四舍五入法对0.618取近似数（精确到0.01）是_________.
【答案】0.62
【详解】解：0.618精确到0.01为0.62，
故答案为：0.62．
题型四：平方根、算数平方根与立方根
典型例题
例题1．（2022·上海市罗南中学七年级阶段练习）下列等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解： A、，故选项错误，不符合题意；
B、，故选项错误，不符合题意；
C、，故选项错误，不符合题意；
D、，故选项正确，符合题意．
故选：D．
例题2．（2022·山东·滕州市洪绪镇洪绪中学八年级阶段练习） 的平方根是__________； 的算术平方根是___________
【答案】 2
【详解】解：，，
的平方根是；
的算术平方根是2．
故答案为：，2．
例题3．（2022·河北·石家庄市第四十四中学八年级期中）如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第11行从左至右第4个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】第1行到第10行共有：个数，即第10行最后一个数为，因此第11行从开始，则此行第4个数为；
故选：D．
例题4．（2022·吉林大学附属中学八年级阶段练习）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：
（2）
同类题型归类练
1．（2022·上海·上外附中八年级阶段练习）如果，则取值范围为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】B
【详解】∵算术平方根非负，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴取值范围：，
故选：B．
2．（2022·全国·八年级单元测试）＝_____，＝_____．
【答案】 ##
【详解】解：，．
故答案为：，．
3．（2022·内蒙古·乌海市第二中学七年级期末）计算________．
【答案】##
【详解】解：
．
故答案为：
4．（2022·陕西西安·八年级阶段练习）计算：﹣．
【答案】
【详解】解：原式=
=．
题型五：实数的运算
典型例题
例题1．（2022·河北·石家庄市第四十四中学八年级期中）计算
（1）__________；
（2）__________．
【答案】 0 2
【详解】解：（1）．
（2）．
故答案为：（1）0，（2）2．
例题2．（2022·江苏·苏州市吴江区实验初级中学八年级阶段练习）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)5
【详解】（1）
=
=
（2）
=
=5
例题3．（2022·重庆文德中学校八年级阶段练习）计算
(1)
(2)
【答案】(1)4
(2)4
【详解】（1）解：
；
（2）解：
同类题型归类练
1．（2022·广东·佛山市南海区桂城街道灯湖初级中学八年级阶段练习）计算：
【答案】
【详解】解：原式
2．（2022·上海外国语大学附属双语学校七年级期中）计算：
【答案】
【详解】解：原式=
=
=
=
=
3．（2022·福建·厦门市第九中学九年级阶段练习）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
（1）原式=
（2）原式=
题型六：非负数的性质
典型例题
例题1．（2022·黑龙江省二九一农场中学七年级期末）已知，那么=___．
【答案】-4
【详解】∵ |a-4|+=0，
∴a-4=0，b+1=0，
∴a=4，b= -1，
∴ab=-4，
故答案为：-4．
例题2．（2022·湖北武汉·七年级阶段练习）如果都是实数，且，则的相反数是_________
【答案】
【详解】解：∵
∴
∴
∴
∴y的相反数为
故答案为：．
同类题型归类练
1．（2022·广东·佛山市南海区瀚文外国语学校八年级阶段练习）若m，n满足+＝0，则的算术平方根为 _____．
【答案】
【详解】解：∵+＝0，
∴m﹣3＝0，n+2＝0，
解得m＝3，n＝﹣2，
∴=，
∴，
故答案为：．
2．（2022·江苏·苏州工业园区星汇学校八年级阶段练习）若m，n满足等式+＝0．
(1)求m，n的值；
(2)求4m﹣3n的平方根．
【答案】(1)m＝4，n＝﹣3
(2)4m﹣3n的平方根为±5
【详解】（1）∵m，n满足等式+＝0，
∴，2n+6＝0，
解得：m＝4，n＝﹣3．
（2）根据题意，得
4m﹣3n＝4×4﹣3×（﹣3）＝25．
∵25的平方根为±5，
∴4m﹣3n的平方根为±5．
题型七：新定义题
1．（2022·山西·大同市云州区初级示范中学校九年级阶段练习）现有一张边长为a的大正方形卡片和三张边长为b的小正方形卡片如图1，取出三张小正方形卡片放入“大正方形卡片”内拼成的图案如图2．再重新取两张小正方形卡片放入“大正方形卡片”内拼成的图案如图3，用已知图2中的阴影部分的面积比图3中的阴影部分的面积大，则小正方形卡片的边长是（ ）
A．1 B． C．2 D．4
【答案】C
【详解】解：根据题意得：图2中的阴影部分的面积为：，
图2中的阴影部分的面积为：，
由题意得，，
整理得，，
则小正方形卡片的面积是2，
故选：C．
2．（2022·辽宁沈阳·八年级阶段练习）类比平方根和立方根，我们定义n次方根为：一般地，如果，那么x叫a的n次方根，其中，且n是正整数．例如：因为，所以±3叫81的四次方根，记作：，因为，所以叫的五次方根，记作：，下列说法不正确的是（ ）
A．负数a没有偶数次方根
B．任何实数a都有奇数次方根
C． =a
D．=a
【答案】D
【详解】解：任何实数的偶数次都是非负数，
负数没有偶数次方根，
∴A选项的结论不符合题意；
任何实数都有奇数次方根，
∴B选项的结论不符合题意；
，
，
∴C选项的结论不符合题意；
，
∴，
∴D选项的结论符合题意，
故选：D．
3．（2022·湖北十堰·九年级期中）小明设计了一个魔术盒，当任意实数对进入其中时，会得到一个新的实数．例如把放入其中，就会得到．现将实数对放入其中，得到实数，则________．
【答案】3
【详解】解：∵把放入魔术盒，得到实数，
∴，
解得：．
故答案为：3．
4．（2022·广东·惠州市惠阳区第一中学七年级阶段练习）如果是不为1的有理数，我们把称为的差倒数，如：2的差倒数是，的差倒数是，已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，则______．
【答案】##0.75
【详解】解：∵
∴，
，
，
数列以三个数依次不断循环，
∵，
∴．
故答案为：．
5．（2022·上海·专题练习）对于自然数n，如果能找到自然数a和b，（均不为0）使得，那么n就称为“好数”．如，所以3是“好数”．在1到100这100个自然数中，有多少个“好数”？
【答案】74
【详解】解：∵，
∴．
∵是正整数，
∴是合数，
∴只要在1到100中去掉为质数的就好了，1，2，4，6，10，12，16，18，22，28，30，36，40，42，46，52，58，60，66，70，72，78，82，88，96，100这26个不是好数，
∴一共有．
故答案为：74．
第四部分：中考真题感悟
1．（2022·四川·巴中市教育科学研究所中考真题）下列说法正确的是（ ）
A．是无理数 B．明天巴中城区下雨是必然事件
C．正五边形的每个内角是 D．相似三角形的面积比等于相似比
【答案】C
【详解】A． =2，故选项错误，不符合题意．
B． 明天巴中城区下雨是可能事件，故选项错误，不符合题意．
C． 正五边形的每个内角是，故选正确，符合题意．
D． 相似三角形的面积比等于相似比的平方，故选项错误，不符合题意．
故选：C．
2．（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）下列说法正确的是（ ）
①若二次根式有意义，则x的取值范围是x≥1．
②7＜＜8．
③若一个多边形的内角和是540°，则它的边数是5．
④的平方根是±4．
⑤一元二次方程x2﹣x﹣4＝0有两个不相等的实数根．
A．①③⑤ B．③⑤ C．③④⑤ D．①②④
【答案】B
【详解】解：①若二次根式 有意义，则1﹣x≥0，解得x≤1．
故x的取值范围是x≤1，题干的说法是错误的．
②8＜ ＜9，故题干的说法是错误的．
③若一个多边形的内角和是540°，则它的边数是5是正确的．
④ ＝4的平方根是±2，故题干的说法是错误的．
⑤∵Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣4）＝17＞0，
∴一元二次方程x2﹣x﹣4＝0有两个不相等的实数根，故题干的说法是正确的．
故选：B．
3．（2022·黑龙江绥化·中考真题）下列计算中，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：A.，故该选项不正确，不符合题意；
B.，故该选项不正确，不符合题意；
C.，故该选项正确，符合题意；
D.，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
4．（2022·广西河池·中考真题）计算：．
【答案】
【详解】解：原式＝
5．（2022·湖南岳阳·中考真题）计算：．
【答案】1
【详解】解：
．
6．（2022·江苏无锡·中考真题）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)1
(2)2a+3b
（1）解：原式=
==1；
（2）解：原式=a2+2a-a2+b2-b2+3b
=2a+3b．
实数（实数的有关概念和运算）（精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
题型一：实数的概念及分类
题型二：实数的大小比较
题型三：近似数和科学记数法
题型四：平方根、算数平方根与立方根
题型五：实数的运算
题型六：非负数的性质
题型七：新定义题
第四部分：中考真题感悟
第一部分：知识点精准记忆
知识点一：有理数、无理数
整数和分数统称为有理数；无限不循环小数小数叫做无理数；有理数和无理数统称为实数．
知识点二：实数的分类
1、按实数的定义分类：
2、按大小分类：
知识点三：数轴、相反数、绝对值、倒数
1、数轴
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．数轴上的点与实数是一一对应的．
2、相反数
(1)只有符号不同的两个数,叫做互为相反数,0的相反数是0.
(2)实数,互为相反数.
3、绝对值
(1)在数轴上,表示一个数的点到原点的距离就是这个数的绝对值.
(2)一个正数的绝对值是它本身,一个负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0,
即: 绝对值具有非负性.
（3）几何意义：表示在数轴上表示的点与原点的距离，离原点越远的数的绝对值大.
4、倒数（高频考点）
(1)乘积为1的两个数,叫做互为倒数,实数,互为倒数.
(2)非零实数()的倒数是；零没有倒数.特别地,倒数是它本身的数是.
知识点四：科学计数法与近似数（高频考点）
1、科学记数法：把一个数表示成的形式(其中，为整数)，这种记数法叫做科学记数法．
2、和的确定
(1)的确定：是整数位数只有一位的数，即；
(2)的确定：
当原数的绝对值大于或等于10时，等于原数的整数位数减1；
当原数的绝对值小于1时，是负整数，它的绝对值等于原数中左起第一位非零数字前零的个数(含小数点前的零)．
3、近似数：一般地,一个近似数四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位.
知识点五：实数的大小比较
方法
具体原理
数轴比较法
在数轴上，右边的点所表示的数总比左边的点所表示的数大
作差法
设，是两个任意实数，则
①，②，③
绝对值法
①若，，且，则；
②若，，且，则
平方法
①对任意正实数，，有；
②对任意负实数，，有；
做商法
①任意正实数，
②任意负实数，
③任意实数，
倒数法
任意同号的数，
知识点六：实数的运算
1、常见的实数运算
运算
法则
乘方
，
零次幂
负整数指数幂
（，为正整数），特别的：
去绝对值符号
-1的奇偶次幂
2、实数的四则运算（高频考点）
(1)实数加法法则：
①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.互为相反数的两个数相加得0；
③一个数同0相加，仍得这个数.
(2)实数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数.
(3)实数乘法法则：
①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.任何数与0相乘，都得0；
②几个不是0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数的个数为奇数时，积是负数，当负因数的个数为偶数时，积是正数；
③几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0.
(4)实数除法法则：
①除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数.0不能作除数；
②两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.0除以任何一个不等于0的数，都得0.
(5)乘方的运算法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0.
知识点七：平方根、算术平方根、立方根与非负数的性质
项目
平方根
算术平方根
立方根
定义
∵()，∴
∵()，∴
∵，
∴
性质
正数
互为相反数(两个)
正数(一个)
正数(一个)
0
0
0
0
负数
没有
没有
负数(一个)
2.非负数的性质
(1)常见的非负数有()，，；
(2)若几个非负数的和为0，则这几个非负数同时为0.例如：若，则有.
第二部分：课前自我评估测试
1．（2022·河南·郑州市第四初级中学八年级阶段练习）在下列各数0.515115111511115…（相邻两个5之间的1的个数依次增加1），0.010，3π，，，，1.414中，有理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2022·山西实验中学模拟预测）的相反数是（ ）
A．2022 B． C． D．
3．（2022·江苏·无锡市港下中学八年级阶段练习）比较大小：________2．（填“”“”或“”）
4．（2022·新疆·阿瓦提县第二中学七年级阶段练习）若，则_______．
5．（2022·山东·胶州市第十中学七年级阶段练习）在我国“一带一路”战略下，途径城市和国家最多的一趟专列全程13000km，将13000用科学计数法表示应为___________.
第三部分：典型例题剖析
题型一：实数的概念及分类
典型例题
例题1．（2022·辽宁沈阳·八年级阶段练习）下列说法：①无理数是开方开不尽的数；②无限小数是无理数；③对于任意实数，都有；④两个无理数的和不一定是无理数；⑤满足的整数有4个．其中正确的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
例题2．（2022·山东临沂·七年级期中）下列判断中不正确的是（ ）
A．分数一定不是无理数 B．无理数都能用数轴上的点来表示
C． D．的绝对值为
例题3．（2022·山东·乐陵市朱集镇三间堂中学七年级阶段练习）已知下列实数：
①，②，③3.14，④，⑤0，⑥，⑦，⑧1.232232223…（每两个“3”之间依次多一个“2”），⑨．
其中整数有：_________________________；
分数有：_________________________；
有理数有：_________________________；
非负有理数有：_________________________；（只需填写序号）．
例题4．（2022·吉林四平·七年级期中）把下列各数分别填入相应集合内：
0，，3.14，，，，．
同类题型归类练
1．（2022·河南·南阳市第十三中学校八年级阶段练习）实数，0，，，，，，0.1010010001……（相邻两个1之间一次多一个0），其中无理数有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2022·全国·八年级课时练习）有下列说法：①任何有理数都是有限小数；②实数与数轴上的点一一对应；③在1和3之间的无理数有且只有，，，这4个；④0.1010010001是无理数，其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2022·江苏·苏州外国语学校七年级阶段练习）把下列各数填入相应的集合里：
，，，0，，
整数集合：{ }
负分数集合：{ }
无理数集合：{ }
题型二：实数的大小比较
典型例题
例题1．（2022·江苏·无锡市查桥中学七年级阶段练习）实数、、、在数轴上的对应点的位置如图所示，在这四个数中，绝对值最小的数（ ）
A．a B．b C．c D．d
例题2．（2022·辽宁葫芦岛·七年级阶段练习）在，0，，中，最小的实数是( )
A． B．0 C． D．
例题3．（2022·西藏聂荣县教育体育局七年级期中）用“<”或“>”填空：（1）__________0.66667；（2）__________．
例题4．（2022·江苏南通·七年级阶段练习）阅读材料：小明对不等式的有关知识进行了自主学习，他发现，对于任意两个实数和比较大小，有如下规律：若，则；若，则；若，则，上面的规律，反过来也成立．课上，通过老师和其他同学的交流，验证了上面的规律是正确的．参考小明发现的规律，解决问题：
(1)比较大小： ___________＋； （填“＜”，“=”或“>"）
(2)已知，且，若，， 试比较A和B的大小.
同类题型归类练
1．（2022·江西·寻乌县教育局教学研究室二模）1，，0，中最小的数是（ ）
A．1 B． C．0 D．
2．（2022·全国·八年级课时练习）下列各数：，，0，，，其中比－3小的数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2022·湖南·八年级单元测试）若实数a的位置如图所示，则a、、、，的大小关系是______（用＜号连接）
4．（2022·山东省日照市实验中学七年级阶段练习）（1）先在给定的数轴上画出下列各数所对应的点：，0，，，，
（2）再将这些数按照从小到大的顺序用“＜”号连接起来．
（3）写出这些数中有理数的和，并计算结果．
题型三：近似数和科学记数法
典型例题
例题1．（2021·甘肃·金昌市第五中学九年级期中）美国约翰斯霍普斯金大学发布的实时统计数据显示，截止北京时间4月27日6时30分左右，全球累计确诊新冠肺炎病例逾296万例，用科学计数法表示为（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·海南·儋州川绵中学八年级阶段练习）数据0.0028用科学计数法表示为（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2020·河南·洛阳市第二十六中学七年级阶段练习）把2.9953用四舍五入法保留3个有效数字，其近似数是（ ）
A．2.99 B．3.00 C．3.0 D．3
例题4．（2022·安徽·阜南县文勤学校七年级阶段练习）用四舍五入法将5.95精确到0.1得到的近似数为（ ）
A．6.0 B．5.9 C．5.0 D．5.90
同类题型归类练
1．（2022·湖北黄石·中考真题）据新华社2022年1月26日报道，2021年全年新增减税降费约1.1万亿元，有力支持国民经济持续稳定恢复用科学计数法表示1.1万亿元，可以表示为__________元．
2．（2022·福建·厦门市松柏中学七年级期中）用四舍五入法对0.618取近似数（精确到0.01）是_________.
题型四：平方根、算数平方根与立方根
典型例题
例题1．（2022·上海市罗南中学七年级阶段练习）下列等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·山东·滕州市洪绪镇洪绪中学八年级阶段练习） 的平方根是__________； 的算术平方根是___________
例题3．（2022·河北·石家庄市第四十四中学八年级期中）如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第11行从左至右第4个数是（ ）
A． B． C． D．
例题4．（2022·吉林大学附属中学八年级阶段练习）计算：
(1)
(2)
同类题型归类练
1．（2022·上海·上外附中八年级阶段练习）如果，则取值范围为（ ）
A． B． C． D．或
2．（2022·全国·八年级单元测试）＝_____，＝_____．
3．（2022·内蒙古·乌海市第二中学七年级期末）计算________．
4．（2022·陕西西安·八年级阶段练习）计算：﹣．
题型五：实数的运算
典型例题
例题1．（2022·河北·石家庄市第四十四中学八年级期中）计算
（1）__________；
（2）__________．
例题2．（2022·江苏·苏州市吴江区实验初级中学八年级阶段练习）计算：
(1)；
(2)．
例题3．（2022·重庆文德中学校八年级阶段练习）计算
(1)
(2)
同类题型归类练
1．（2022·广东·佛山市南海区桂城街道灯湖初级中学八年级阶段练习）计算：
2．（2022·上海外国语大学附属双语学校七年级期中）计算：
3．（2022·福建·厦门市第九中学九年级阶段练习）计算：
(1)；
(2)．
题型六：非负数的性质
典型例题
例题1．（2022·黑龙江省二九一农场中学七年级期末）已知，那么=___．
例题2．（2022·湖北武汉·七年级阶段练习）如果都是实数，且，则的相反数是_________
同类题型归类练
1．（2022·广东·佛山市南海区瀚文外国语学校八年级阶段练习）若m，n满足+＝0，则的算术平方根为 _____．
2．（2022·江苏·苏州工业园区星汇学校八年级阶段练习）若m，n满足等式+＝0．
(1)求m，n的值；
(2)求4m﹣3n的平方根．
题型七：新定义题
1．（2022·山西·大同市云州区初级示范中学校九年级阶段练习）现有一张边长为a的大正方形卡片和三张边长为b的小正方形卡片如图1，取出三张小正方形卡片放入“大正方形卡片”内拼成的图案如图2．再重新取两张小正方形卡片放入“大正方形卡片”内拼成的图案如图3，用已知图2中的阴影部分的面积比图3中的阴影部分的面积大，则小正方形卡片的边长是（ ）
A．1 B． C．2 D．4
2．（2022·辽宁沈阳·八年级阶段练习）类比平方根和立方根，我们定义n次方根为：一般地，如果，那么x叫a的n次方根，其中，且n是正整数．例如：因为，所以±3叫81的四次方根，记作：，因为，所以叫的五次方根，记作：，下列说法不正确的是（ ）
A．负数a没有偶数次方根
B．任何实数a都有奇数次方根
C． =a
D．=a
3．（2022·湖北十堰·九年级期中）小明设计了一个魔术盒，当任意实数对进入其中时，会得到一个新的实数．例如把放入其中，就会得到．现将实数对放入其中，得到实数，则________．
4．（2022·广东·惠州市惠阳区第一中学七年级阶段练习）如果是不为1的有理数，我们把称为的差倒数，如：2的差倒数是，的差倒数是，已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，则______．
5．（2022·上海·专题练习）对于自然数n，如果能找到自然数a和b，（均不为0）使得，那么n就称为“好数”．如，所以3是“好数”．在1到100这100个自然数中，有多少个“好数”？
第四部分：中考真题感悟
1．（2022·四川·巴中市教育科学研究所中考真题）下列说法正确的是（ ）
A．是无理数 B．明天巴中城区下雨是必然事件
C．正五边形的每个内角是 D．相似三角形的面积比等于相似比
2．（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）下列说法正确的是（ ）
①若二次根式有意义，则x的取值范围是x≥1．
②7＜＜8．
③若一个多边形的内角和是540°，则它的边数是5．
④的平方根是±4．
⑤一元二次方程x2﹣x﹣4＝0有两个不相等的实数根．
A．①③⑤ B．③⑤ C．③④⑤ D．①②④
3．（2022·黑龙江绥化·中考真题）下列计算中，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·广西河池·中考真题）计算：．
5．（2022·湖南岳阳·中考真题）计算：．
6．（2022·江苏无锡·中考真题）计算：
(1)；
(2)．
1．（2022·河南·郑州市第四初级中学八年级阶段练习）在下列各数0.515115111511115…（相邻两个5之间的1的个数依次增加1），0.010，3π，，，，1.414中，有理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【详解】解：所给数中，0.010，，，1.414是有理数，一共4个．
故选：D．
2．（2022·山西实验中学模拟预测）的相反数是（ ）
A．2022 B． C． D．
【答案】A
【详解】解：的相反数是，
故选：A．
3．（2022·江苏·无锡市港下中学八年级阶段练习）比较大小：________2．（填“”“”或“”）
【答案】
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
4．（2022·新疆·阿瓦提县第二中学七年级阶段练习）若，则_______．
【答案】4043
【详解】∵
∴，
∴．
故答案为：4043．
5．（2022·山东·胶州市第十中学七年级阶段练习）在我国“一带一路”战略下，途径城市和国家最多的一趟专列全程13000km，将13000用科学计数法表示应为___________.
【答案】
【详解】解：，
故答案为：
第三部分：典型例题剖析
题型一：实数的概念及分类
典型例题
例题1．（2022·辽宁沈阳·八年级阶段练习）下列说法：①无理数是开方开不尽的数；②无限小数是无理数；③对于任意实数，都有；④两个无理数的和不一定是无理数；⑤满足的整数有4个．其中正确的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【详解】解：①是无理数，但不是开方开不尽的数，故①说法错误；
②是无限小数，但不是无理数，故②说法错误；
③对于任意实数，都有，故③说法正确；
④两个无理数的和可能是有理数，也可能是无理数，故④说法正确；
⑤满足的整数有、0、1、2共4个，故⑤说法正确．
故选：B．
例题2．（2022·山东临沂·七年级期中）下列判断中不正确的是（ ）
A．分数一定不是无理数 B．无理数都能用数轴上的点来表示
C． D．的绝对值为
【答案】C
【详解】解：A选项，分数是有理数，一定不是无理数，故该选项不符合题意；
B选项，无理数都能用数轴上的点来表示，故该选项不符合题意；
C选项，∵17＞16，∴＞4，∴-＜-4，故该选项符合题意；
D选项，-的绝对值为，故该选项不符合题意；
故选：C．
例题3．（2022·山东·乐陵市朱集镇三间堂中学七年级阶段练习）已知下列实数：
①，②，③3.14，④，⑤0，⑥，⑦，⑧1.232232223…（每两个“3”之间依次多一个“2”），⑨．
其中整数有：_________________________；
分数有：_________________________；
有理数有：_________________________；
非负有理数有：_________________________；（只需填写序号）．
【答案】⑤⑨；①②③⑥⑦；①②③⑤⑥⑦⑨；③⑤⑥⑦
【详解】解：整数包括正整数、负整数和0．所以属于整数的有：⑤⑨．
分数还包括有限小数和循环小数，所以属于分数的有：①②③⑥⑦．
有限循环小数，开方开得尽的数是有理数，所以属于有理数的有：①②③⑤⑥⑦⑨．
大于或等于0的有理数为非负有理数，所以属于非负有理数的有：③⑤⑥⑦
故答案为：⑤⑨；①②③⑥⑦；①②③⑤⑥⑦⑨；③⑤⑥⑦．
例题4．（2022·吉林四平·七年级期中）把下列各数分别填入相应集合内：
0，，3.14，，，，．
【答案】见解析
【详解】解：根据题意，如图所示：
同类题型归类练
1．（2022·河南·南阳市第十三中学校八年级阶段练习）实数，0，，，，，，0.1010010001……（相邻两个1之间一次多一个0），其中无理数有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】解：，＝4；
故实数，0，，，，，，0.1010010001……（相邻两个1之间一次多一个0），其中无理数有-π，，0.1010010001…（相邻两个1之间一次多一个0），共有3个．
故选：C．
2．（2022·全国·八年级课时练习）有下列说法：①任何有理数都是有限小数；②实数与数轴上的点一一对应；③在1和3之间的无理数有且只有，，，这4个；④0.1010010001是无理数，其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【详解】解：①任何有理数都是有限小数或无限循环小数，故该项错误；
②实数与数轴上的点一一对应，故该项正确；
③在1和3之间的无理数有，，，等，故该项错误；
④0.1010010001是有限小数，故该项错误；
故选：A．
3．（2022·江苏·苏州外国语学校七年级阶段练习）把下列各数填入相应的集合里：
，，，0，，
整数集合：{ }
负分数集合：{ }
无理数集合：{ }
【答案】，，0；，；3π，
【详解】解：，，，
所给出的数中，
整数集合：{，，0，}
负分数集合：{，，}
无理数集合：{，}
故答案为：，，0；，；．
题型二：实数的大小比较
典型例题
例题1．（2022·江苏·无锡市查桥中学七年级阶段练习）实数、、、在数轴上的对应点的位置如图所示，在这四个数中，绝对值最小的数（ ）
A．a B．b C．c D．d
【答案】C
【详解】解：观察数轴，可知：实数c对应的点到原点的距离最小，
实数c的绝对值最小的数是实数c．
故选C．
例题2．（2022·辽宁葫芦岛·七年级阶段练习）在，0，，中，最小的实数是( )
A． B．0 C． D．
【答案】D
【详解】解：∵，
∴，
∴最小的实数是．
故选D．
例题3．（2022·西藏聂荣县教育体育局七年级期中）用“<”或“>”填空：（1）__________0.66667；（2）__________．
【答案】 ＜ ＞
【详解】解：（1）∵，
∴＜0.66667；
故答案为：＜；
（2）∵，，，
∴．
故答案为：＞．
例题4．（2022·江苏南通·七年级阶段练习）阅读材料：小明对不等式的有关知识进行了自主学习，他发现，对于任意两个实数和比较大小，有如下规律：若，则；若，则；若，则，上面的规律，反过来也成立．课上，通过老师和其他同学的交流，验证了上面的规律是正确的．参考小明发现的规律，解决问题：
(1)比较大小： ___________＋； （填“＜”，“=”或“>"）
(2)已知，且，若，， 试比较A和B的大小.
【答案】(1)＞
(2)
（1）解：∵，
∴，
∴＞＋，
故答案为：＞；
（2）解：由题意可知：
，
，
，
，
，
，
，
.
同类题型归类练
1．（2022·江西·寻乌县教育局教学研究室二模）1，，0，中最小的数是（ ）
A．1 B． C．0 D．
【答案】B
【详解】解：∵，
∴最小的数的数是．
故选：B．
2．（2022·全国·八年级课时练习）下列各数：，，0，，，其中比－3小的数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【详解】，，，，
故选：A
3．（2022·湖南·八年级单元测试）若实数a的位置如图所示，则a、、、，的大小关系是______（用＜号连接）
【答案】
【详解】解：
又两边同时乘以
两边同时除以
综上所述：
故答案为：．
4．（2022·山东省日照市实验中学七年级阶段练习）（1）先在给定的数轴上画出下列各数所对应的点：，0，，，，
（2）再将这些数按照从小到大的顺序用“＜”号连接起来．
（3）写出这些数中有理数的和，并计算结果．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【详解】解：（1），
用数轴表示为：
（2）从小到大：；
（3）∵不是有理数，
∴有理数的和为：
，
即这些数中有理数的和为．
题型三：近似数和科学记数法
典型例题
例题1．（2021·甘肃·金昌市第五中学九年级期中）美国约翰斯霍普斯金大学发布的实时统计数据显示，截止北京时间4月27日6时30分左右，全球累计确诊新冠肺炎病例逾296万例，用科学计数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：296万=2960000=，
故选：C．
例题2．（2022·海南·儋州川绵中学八年级阶段练习）数据0.0028用科学计数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：0.0028=．
故选：B．
例题3．（2020·河南·洛阳市第二十六中学七年级阶段练习）把2.9953用四舍五入法保留3个有效数字，其近似数是（ ）
A．2.99 B．3.00 C．3.0 D．3
【答案】B
【详解】解：用四舍五入法把2.9953保留3个有效数字是3.00，
故选：B．
例题4．（2022·安徽·阜南县文勤学校七年级阶段练习）用四舍五入法将5.95精确到0.1得到的近似数为（ ）
A．6.0 B．5.9 C．5.0 D．5.90
【答案】A
【详解】解：用四舍五入法将5.95精确到0.1得到的近似数为6.0；
故选A．
同类题型归类练
1．（2022·湖北黄石·中考真题）据新华社2022年1月26日报道，2021年全年新增减税降费约1.1万亿元，有力支持国民经济持续稳定恢复用科学计数法表示1.1万亿元，可以表示为__________元．
【答案】
【详解】解：1.1万亿＝1100000000000＝1.1×1012．
故答案为：1.1×1012．
2．（2022·福建·厦门市松柏中学七年级期中）用四舍五入法对0.618取近似数（精确到0.01）是_________.
【答案】0.62
【详解】解：0.618精确到0.01为0.62，
故答案为：0.62．
题型四：平方根、算数平方根与立方根
典型例题
例题1．（2022·上海市罗南中学七年级阶段练习）下列等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解： A、，故选项错误，不符合题意；
B、，故选项错误，不符合题意；
C、，故选项错误，不符合题意；
D、，故选项正确，符合题意．
故选：D．
例题2．（2022·山东·滕州市洪绪镇洪绪中学八年级阶段练习） 的平方根是__________； 的算术平方根是___________
【答案】 2
【详解】解：，，
的平方根是；
的算术平方根是2．
故答案为：，2．
例题3．（2022·河北·石家庄市第四十四中学八年级期中）如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第11行从左至右第4个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】第1行到第10行共有：个数，即第10行最后一个数为，因此第11行从开始，则此行第4个数为；
故选：D．
例题4．（2022·吉林大学附属中学八年级阶段练习）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：
（2）
同类题型归类练
1．（2022·上海·上外附中八年级阶段练习）如果，则取值范围为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】B
【详解】∵算术平方根非负，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴取值范围：，
故选：B．
2．（2022·全国·八年级单元测试）＝_____，＝_____．
【答案】 ##
【详解】解：，．
故答案为：，．
3．（2022·内蒙古·乌海市第二中学七年级期末）计算________．
【答案】##
【详解】解：
．
故答案为：
4．（2022·陕西西安·八年级阶段练习）计算：﹣．
【答案】
【详解】解：原式=
=．
题型五：实数的运算
典型例题
例题1．（2022·河北·石家庄市第四十四中学八年级期中）计算
（1）__________；
（2）__________．
【答案】 0 2
【详解】解：（1）．
（2）．
故答案为：（1）0，（2）2．
例题2．（2022·江苏·苏州市吴江区实验初级中学八年级阶段练习）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)5
【详解】（1）
=
=
（2）
=
=5
例题3．（2022·重庆文德中学校八年级阶段练习）计算
(1)
(2)
【答案】(1)4
(2)4
【详解】（1）解：
；
（2）解：
同类题型归类练
1．（2022·广东·佛山市南海区桂城街道灯湖初级中学八年级阶段练习）计算：
【答案】
【详解】解：原式
2．（2022·上海外国语大学附属双语学校七年级期中）计算：
【答案】
【详解】解：原式=
=
=
=
=
3．（2022·福建·厦门市第九中学九年级阶段练习）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
（1）原式=
（2）原式=
题型六：非负数的性质
典型例题
例题1．（2022·黑龙江省二九一农场中学七年级期末）已知，那么=___．
【答案】-4
【详解】∵ |a-4|+=0，
∴a-4=0，b+1=0，
∴a=4，b= -1，
∴ab=-4，
故答案为：-4．
例题2．（2022·湖北武汉·七年级阶段练习）如果都是实数，且，则的相反数是_________
【答案】
【详解】解：∵
∴
∴
∴
∴y的相反数为
故答案为：．
同类题型归类练
1．（2022·广东·佛山市南海区瀚文外国语学校八年级阶段练习）若m，n满足+＝0，则的算术平方根为 _____．
【答案】
【详解】解：∵+＝0，
∴m﹣3＝0，n+2＝0，
解得m＝3，n＝﹣2，
∴=，
∴，
故答案为：．
2．（2022·江苏·苏州工业园区星汇学校八年级阶段练习）若m，n满足等式+＝0．
(1)求m，n的值；
(2)求4m﹣3n的平方根．
【答案】(1)m＝4，n＝﹣3
(2)4m﹣3n的平方根为±5
【详解】（1）∵m，n满足等式+＝0，
∴，2n+6＝0，
解得：m＝4，n＝﹣3．
（2）根据题意，得
4m﹣3n＝4×4﹣3×（﹣3）＝25．
∵25的平方根为±5，
∴4m﹣3n的平方根为±5．
题型七：新定义题
1．（2022·山西·大同市云州区初级示范中学校九年级阶段练习）现有一张边长为a的大正方形卡片和三张边长为b的小正方形卡片如图1，取出三张小正方形卡片放入“大正方形卡片”内拼成的图案如图2．再重新取两张小正方形卡片放入“大正方形卡片”内拼成的图案如图3，用已知图2中的阴影部分的面积比图3中的阴影部分的面积大，则小正方形卡片的边长是（ ）
A．1 B． C．2 D．4
【答案】C
【详解】解：根据题意得：图2中的阴影部分的面积为：，
图2中的阴影部分的面积为：，
由题意得，，
整理得，，
则小正方形卡片的面积是2，
故选：C．
2．（2022·辽宁沈阳·八年级阶段练习）类比平方根和立方根，我们定义n次方根为：一般地，如果，那么x叫a的n次方根，其中，且n是正整数．例如：因为，所以±3叫81的四次方根，记作：，因为，所以叫的五次方根，记作：，下列说法不正确的是（ ）
A．负数a没有偶数次方根
B．任何实数a都有奇数次方根
C． =a
D．=a
【答案】D
【详解】解：任何实数的偶数次都是非负数，
负数没有偶数次方根，
∴A选项的结论不符合题意；
任何实数都有奇数次方根，
∴B选项的结论不符合题意；
，
，
∴C选项的结论不符合题意；
，
∴，
∴D选项的结论符合题意，
故选：D．
3．（2022·湖北十堰·九年级期中）小明设计了一个魔术盒，当任意实数对进入其中时，会得到一个新的实数．例如把放入其中，就会得到．现将实数对放入其中，得到实数，则________．
【答案】3
【详解】解：∵把放入魔术盒，得到实数，
∴，
解得：．
故答案为：3．
4．（2022·广东·惠州市惠阳区第一中学七年级阶段练习）如果是不为1的有理数，我们把称为的差倒数，如：2的差倒数是，的差倒数是，已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，则______．
【答案】##0.75
【详解】解：∵
∴，
，
，
数列以三个数依次不断循环，
∵，
∴．
故答案为：．
5．（2022·上海·专题练习）对于自然数n，如果能找到自然数a和b，（均不为0）使得，那么n就称为“好数”．如，所以3是“好数”．在1到100这100个自然数中，有多少个“好数”？
【答案】74
【详解】解：∵，
∴．
∵是正整数，
∴是合数，
∴只要在1到100中去掉为质数的就好了，1，2，4，6，10，12，16，18，22，28，30，36，40，42，46，52，58，60，66，70，72，78，82，88，96，100这26个不是好数，
∴一共有．
故答案为：74．
第四部分：中考真题感悟
1．（2022·四川·巴中市教育科学研究所中考真题）下列说法正确的是（ ）
A．是无理数 B．明天巴中城区下雨是必然事件
C．正五边形的每个内角是 D．相似三角形的面积比等于相似比
【答案】C
【详解】A． =2，故选项错误，不符合题意．
B． 明天巴中城区下雨是可能事件，故选项错误，不符合题意．
C． 正五边形的每个内角是，故选正确，符合题意．
D． 相似三角形的面积比等于相似比的平方，故选项错误，不符合题意．
故选：C．
2．（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）下列说法正确的是（ ）
①若二次根式有意义，则x的取值范围是x≥1．
②7＜＜8．
③若一个多边形的内角和是540°，则它的边数是5．
④的平方根是±4．
⑤一元二次方程x2﹣x﹣4＝0有两个不相等的实数根．
A．①③⑤ B．③⑤ C．③④⑤ D．①②④
【答案】B
【详解】解：①若二次根式 有意义，则1﹣x≥0，解得x≤1．
故x的取值范围是x≤1，题干的说法是错误的．
②8＜ ＜9，故题干的说法是错误的．
③若一个多边形的内角和是540°，则它的边数是5是正确的．
④ ＝4的平方根是±2，故题干的说法是错误的．
⑤∵Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣4）＝17＞0，
∴一元二次方程x2﹣x﹣4＝0有两个不相等的实数根，故题干的说法是正确的．
故选：B．
3．（2022·黑龙江绥化·中考真题）下列计算中，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：A.，故该选项不正确，不符合题意；
B.，故该选项不正确，不符合题意；
C.，故该选项正确，符合题意；
D.，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
4．（2022·广西河池·中考真题）计算：．
【答案】
【详解】解：原式＝
5．（2022·湖南岳阳·中考真题）计算：．
【答案】1
【详解】解：
．
6．（2022·江苏无锡·中考真题）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)1
(2)2a+3b
（1）解：原式=
==1；
（2）解：原式=a2+2a-a2+b2-b2+3b
=2a+3b．
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