第一章 1.5.2 课后课时精练

A级：“四基”巩固训练

一、选择题

1．命题“∀x≥0，x3＋x≥0”的否定是(　　)

A．∀x<0，x3＋x<0   B．∀x<0，x3＋x≥0

C．∃x≥0，x3＋x<0   D．∃x≥0，x3＋x≥0

答案　C

解析　由全称量词命题的否定是存在量词命题可知A，B错误；因为对x3＋x≥0的否定为x3＋x<0，所以D错误，C正确．

2．命题“有些三角形是等腰三角形”的否定是(　　)

A．有些三角形不是等腰三角形

B．所有三角形是等边三角形

C．所有三角形都不是等腰三角形

D．所有三角形都是等腰三角形

答案　C

解析　存在量词命题的否定为全称量词命题，注意否定结论．故选C.

3．命题“∃n∈N，n2＞2n”的否定是(　　)

A．∀n∈N，n2＞2n   B．∃n∈N，n2≤2n

C．∀n∈N，n2≤2n   D．∃n∈N，n2＝2n

答案　C

解析　因为存在量词命题的否定是全称量词命题，注意否定结论，所以∀n∈N，n2≤2n，故选C.

4．命题“∃m∈R，方程x2＋mx＋1＝0有实数根”的否定是(　　)

A．∃m∈R，方程x2＋mx＋1＝0无实数根

B．不存在实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实数根

C．∀m∈R，方程x2＋mx＋1＝0无实数根

D．至多有一个实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根

答案　C

解析　存在量词命题的否定是全称量词命题，一方面要改量词即“∃”改为“∀”；另一方面要否定结论即“有实数根”改为“无实数根”．故选C.

5．已知命题p：∀x∈R，x2＋x＋a≠0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是(　　)

A．a≤   B．a<

C．a<－或a>0   D．a≤－或a≥0

答案　A

解析　∵p是假命题，∴命题p的否定，即∃x∈R，x2＋x＋a＝0是真命题．∴Δ＝1－4a≥0，∴a≤.

二、填空题

6．命题p：∃x∈R，x2＋3x＋2<0，则命题p的否定为________．

答案　∀x∈R，x2＋3x＋2≥0

解析　命题p是存在量词命题，根据存在量词命题的否定是改量词，否结论，则是∀x∈R，x2＋3x＋2≥0.

7．命题“存在一个三角形没有外接圆”的否定是________．

答案　任意一个三角形都有外接圆

解析　该命题是存在量词命题，根据存在量词命题的否定是改量词，否结论，则是“任意一个三角形都有外接圆”．

8．若命题“∀x∈R,2x2＋3x＋a≠0”是假命题，则实数a的取值范围是________．

答案　a≤

解析　因为命题“∀x∈R,2x2＋3x＋a≠0”是假命题，所以其否定“∃x∈R,2x2＋3x＋a＝0”是真命题，所以Δ＝32－4×2×a≥0，解得a≤.故实数a的取值范围是a≤.

三、解答题

9．写出下列命题的否定，并判断它们的真假：

(1)关于x的方程ax＝b都有实数根；

(2)有些正整数没有1和它本身以外的约数；

(3)对任意实数x1，x2，若x1<x2，则x＋1<x＋1；

(4)∃x>1，x2－2x－3＝0.

解　(1)这个命题的否定为“有些关于x的方程ax＝b无实数根”，如当a＝0，b＝1时，方程ax＝b无实数根，所以这个命题为假命题，这个命题的否定为真命题．

(2)这个命题的否定为“任意正整数都有1和它本身以外的约数”，如2只有1和它本身这两个约数，所以这个命题为真命题，这个命题的否定为假命题．

(3)这个命题的否定为“存在实数x1，x2，若x1<x2，则x＋1≥x＋1”．这个命题中若x1＝－1，x2＝1，有x＋1＝x＋1，故这个命题为假命题，这个命题的否定为真命题．

(4)这个命题的否定为“∀x>1，x2－2x－3≠0”，因为当x＝3时，x2－2x－3＝0，所以这个命题是真命题，这个命题的否定为假命题．

10．已知命题“∀x∈R，ax2＋2x＋1≠0”为假命题，求实数a的取值范围．

解　题中的命题为全称量词命题，因为其是假命题，所以其否定“∃x∈R，使ax2＋2x＋1＝0”为真命题，即关于x的方程ax2＋2x＋1＝0有实数根．

所以a＝0或即a＝0或a≤1且a≠0，所以a≤1.

所以实数a的取值范围是a≤1.

B级：“四能”提升训练

1．a，b，c为实数，且a＝b＋c＋1，证明：两个一元二次方程x2＋x＋b＝0，x2＋ax＋c＝0中至少有一个方程有两个不相等的实数根．

证明　要证明结论的否定：两个方程都没有两个不相等的实数根，则有：

Δ1＝1－4b≤0，Δ2＝a2－4c≤0.

所以Δ1＋Δ2＝1－4b＋a2－4c≤0.

因为a＝b＋c＋1，所以b＋c＝a－1.

所以1－4(a－1)＋a2≤0，即a2－4a＋5≤0.

但是a2－4a＋5＝(a－2)2＋1>0，故矛盾．

所以要证明结论的否定是假命题，要证明的结论为真命题，即两个一元二次方程x2＋x＋b＝0，x2＋ax＋c＝0中至少有一个方程有两个不相等的实数根．

2．已知命题p：∀x∈R,2x≠－x2＋m，命题q：∃x∈R，x2＋2x－m－1＝0，若命题p为假命题，命题q为真命题，求实数m的取值范围．

解　因为命题p为假命题，所以命题p的否定为真命题，即命题“∃x∈R,2x＝－x2＋m”为真命题．

则－x2－2x＋m＝0有实根．

所以Δ＝4＋4m≥0，所以m≥－1.

若命题q：∃x∈R，x2＋2x－m－1＝0为真命题，

则方程x2＋2x－m－1＝0有实根，

所以Δ＝4＋4(m＋1)≥0，所以m≥－2.

所以m≥－1且m≥－2，

所以m的取值范围为m≥－1.