23版新高考一轮分层练案(五十一)　定点、定值、探索性问题

一轮分层练案(五十一)　定点、定值、探索性问题

1．已知抛物线C：y2＝2px上一点M到其焦点F的距离等于.

(1)求抛物线C的标准方程；

(2)若不垂直于x轴的直线l交抛物线C于A，B两点，直线FA与FB的倾斜角互补，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

解：(1)由抛物线的方程可得抛物线的准线方程为x＝－，

由M到其焦点F的距离等于可得，＋＝，解得p＝1，所以抛物线的方程为y2＝2x.

(2)证明：显然直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为x＝my＋t，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

联立直线与抛物线的方程

整理可得y2－2my－2t＝0，Δ＝4m2＋8t＞0，即m2＋2t＞0，

y1＋y2＝2m，y1y2＝－2t，

因为直线FA与FB的倾斜角互补，由(1)得F，

所以kFA＋kFB＝0，即kFA＋kFB＝＋＝＋

＝

＝

＝

＝＝0，

因为m≠0，所以2t＋1＝0，即t＝－，

所以直线l恒过定点.

2．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且过点P(2,1)．

(1)求椭圆C的方程；

(2)若A，B是椭圆C上的两个动点，且∠APB的角平分线总垂直于x轴，求证：直线AB的斜率为定值．

解：(1)由题意得

解得a2＝6，b2＝3，所以椭圆C的方程是＋＝1.

(2)证明：设直线AP的斜率为k，由题意知，直线BP的斜率为－k，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

直线AP的方程为y－1＝k(x－2)，即y＝kx＋1－2k，

联立方程组

消去y得(2k2＋1)x2＋4k(1－2k)x＋8k2－8k－4＝0，

因为P，A为直线AP与椭圆的交点，

所以2x1＝，即x1＝，

把k换为－k得，x2＝，所以x2－x1＝，所以y2－y1＝(－kx2＋1＋2k)－(kx1＋1－2k)＝k[4－(x1＋x2)]＝，

所以直线AB的斜率kAB＝＝1，

故直线AB的斜率为定值．

3.如图，已知椭圆C：＋y2＝1上顶点为A，右焦点为F，直线AF与圆M：x2＋y2－6x－2y＋7＝0相切，其中a＞1.

(1)求椭圆的方程；

(2)不过点A的动直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且AP⊥AQ，证明：动直线l过定点，并且求出该定点坐标．

解：(1)由题可知，A(0,1)，F(c,0)，b＝1，则直线AF的方程为＋y＝1，即x＋cy－c＝0，

因为直线AF与圆M：x2＋y2－6x－2y＋7＝0相切，且圆M的圆心为(3,1)，r＝.

则＝，解得c＝，所以a＝＝，

故椭圆的标准方程为＋y2＝1.

(2)证明：因为不过点A的动直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且AP⊥AQ，即直线AP与坐标轴不垂直也不平行，

由A(0,1)可设直线AP的方程为y＝kx＋1，则直线AQ的方程为y＝－x＋1.

联立消去y并整理得，

(1＋3k2)x2＋6kx＝0，解得x＝0或x＝－，

因此点P的坐标为，

即，

将上式中的k换成－，得点Q，

所以直线l的斜率为＝，

即直线l的方程为y＝＋，

化简并整理得y＝x－，

故直线l恒过定点.

4．已知Q为圆E：x2＋(y＋1)2＝16上一动点，F(0,1)，QF的垂直平分线交QE于点P，设点P的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程；

(2)已知直线l为曲线C上一点A(x0，－1)处的切线，l与直线y＝4交于B点，问：以线段AB为直径的圆是否过定点F？请给予说明．

解：(1)如图所示，设P(x，y)，由题知|PQ|＝|PF|，|PE|＋|PF|＝|PE|＋|PQ|＝|QE|＝4＞2，

所以点P在以E，F为焦点的椭圆上，2a＝4，c＝1，b＝.

故点P轨迹方程为＋＝1.

(2)将y＝－1代入＋＝1得x＝±，

所以A，不妨取A，

设l：y＋1＝k，

代入＋＝1得，

(3k2＋4)x2＋(9k2－6k)x＋＝0.

所以Δ＝(9k2－6k)2－4(3k2＋4)＝0，

整理得k2＋4k＋4＝0，解得k＝－2.

所以l：2x＋y＋4＝0，故B(－4,4)．

因为＝，＝(－4,3)，

即·＝·(－4,3)＝0，

故以线段AB为直径的圆过定点F.

5．已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线C：x2＝2py(p＞0)上不同两点．

(1)若抛物线C的焦点为F，D(x0，y0)为AB的中点，且AF＋BF＝4＋2y0，求抛物线C的方程；

(2)若直线AB与x轴交于点P，与y轴的正半轴交点Q，且y1y2＝，是否存在直线AB，使得＋＝？若存在，求出直线AB的方程；若不存在，请说明理由．

解：(1)由抛物线的定义得AF＋BF＝y1＋y2＋p

＝2y0＋p＝4＋2y0，∴p＝4，

∴所求抛物线方程为x2＝8y.

(2)假设存在直线AB，使得＋＝.由题意得AB的斜率存在，设AB：y＝kx＋m(k≠0，m＞0)，则点Q(0，m)，

联立方程组得，x2－2pkx－2pm＝0，

∴x1＋x2＝2pk，x1x2＝－2pm，

∴y1y2＝m2＝，∴m＝，y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝2pk2＋2m，

作AA′⊥x轴，BB′⊥x轴，垂足分别为A′，B′，如图．

∵＋＝，∴＋＝3，∴＋＝3，

∴＋＝＝＝＝＝3.∴k2＝，∴k＝±，

∴存在直线AB：y＝±x＋符合题意．

6．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点分别为F1，F2，短轴的一个端点为P，△PF1F2内切圆的半径为，设过点F2的直线l被椭圆C截得的线段为RS，当l⊥x轴时，|RS|＝3.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)在x轴上是否存在一点T，使得当l变化时，总有TS与TR所在直线关于x轴对称？若存在，请求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．

解：(1)由内切圆的性质，得×2c×b＝×(2a＋2c)×，所以＝.将x＝c代入＋＝1，得y＝±，所以＝3.又a2＝b2＋c2，所以a＝2，b＝，

故椭圆C的标准方程为＋＝1.

(2)当直线l垂直于x轴时，显然x轴上任意一点T都满足TS与TR所在直线关于x轴对称．

当直线l不垂直于x轴时，假设存在T(t,0)满足条件，设l的方程为y＝k(x－1)，R(x1，y1)，S(x2，y2)．

联立消去y，

得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，

由根与系数的关系得①

其中Δ>0恒成立，

由TS与TR所在直线关于x轴对称，得kTS＋kTR＝0(显然TS，TR的斜率存在)，

即＋＝0.②

因为R，S两点在直线y＝k(x－1)上，

所以y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，代入②得

＝＝0，

即2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋2t＝0.③

将①代入③得

＝＝0，则t＝4，

综上所述，存在T(4,0)，使得当l变化时，总有TS与TR所在直线关于x轴对称．