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课时作业(五十四) 定点、定值、探索性问题

试卷
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课时作业(五十四) 定点、定值、探索性问题

一、选择题

1(2016·北京卷)已知椭圆C1A(2,0)B(0,1)两点.

()求椭圆C的方程及离心率;

()P为第三象限内一点且在椭圆C上,直线PAy轴交于点M,直线PBx轴交于点N.求证:四边形ABNM的面积为定值.

解析:()由题意得,a2b1.

所以椭圆C的方程为y21.

c

所以离心率e.

()P(x0y0)(x00y00),则x4y4.

A(2,0)B(0,1),所以,

直线PA的方程为y(x2)

x0,得yM=-,从而|BM|1yM1.

直线PB的方程为yx1.

y0,得xN=-,从而|AN|2xN2.

所以四边形ABNM的面积

S|AN|·|BM|

2.

从而四边形ABNM的面积为定值.

2在抛物线y24x上有两点AB,点F是抛物线的焦点,O为坐标原点,若230.试证明:直线ABx轴的交点为定点.

证明:依题意,设点AB,则点F(1,0),直线AB的方程是yy1

yy1

y0x=-,即直线ABx轴的交点的横坐标是-.

||2||30

(1,0)23(0,0)

y,-

即直线ABx轴的交点的横坐标是.

即与x轴交于定点.

3已知椭圆的中心是坐标原点O,焦点在x轴上,短轴长为2,且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点.过右焦点Fx轴不垂直的直线l交椭圆于PQ两点.

(1)求椭圆的方程;

(2)在线段OF上是否存在点M(m,0),使得|MP||MQ|?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.

解析:(1)因为椭圆的短轴长2b2b1

又因为两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点,所以bca2b2c22,故椭圆的方程为y21.

(2)lx轴重合时,显然M与原点重合,m0

若直线l的斜率k0,则可设lyk(x1),设P(x1y1)Q(x2y2),则x22k2(x22x1)20,所以化简得(12k2)x24k2x2k220

x1x2PQ的中点横坐标为,代入lyk(x1)可得:PQ的中点为N,由于|MP||MQ|得到m,所以m.

综合①②得到m.

4(2016·天津卷)设椭圆1(a)的右焦点为F,右顶点为A.已知,其中O为原点,e为椭圆的离心率.

()求椭圆的方程;

()设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上),垂直于l的直线与l交于点M,与y轴交于点H.BFHF,且MOAMAO,求直线l的斜率.

解析:()F(c,0),由,即,可得a2c23c2,又a2c2b23,所以c21,因此a24.

所以,椭圆的方程为1.

()设直线l的斜率为k(k0),则直线l的方程为yk(x2).设B(xByB),由方程组消去y,整理得(4k23)x216k2x16k2120.

解得x2,或x,由题意得xB,从而yB.

()知,F(1,0),设H(0yH),有(1yH).BFHF,得·0,所以0,解得yH.因此直线MH的方程为y=-x.

M(xMyM),由方程组消去y,解得xM.MAO中,MOAMAO|MA||MO|,即(xM2)2yxy,化简得xM1,即1,解得k=-,或k

所以,直线l的斜率为-.

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