23版新高考一轮分层练案(五十七)　排列与组合

一轮分层练案(五十七)　排列与组合

A级——基础达标

1．某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为(　　)

A．16　　　　　　　　 B．18

C．24  D．32

【答案】C　将4个车位捆绑在一起，看成一个元素，先排3辆不同型号的车，在3个车位上任意排列，有A＝6(种)方法，再将捆绑在一起的4个车位插入4个空档中，有4种方法，故共有4×6＝24(种)方法．

2．4人站成一排，重新站队时，恰有1个人站在自己原来的位置，则不同的站法共有(　　)

A．4种  B．8种

C．12种  D．24种

【答案】B　将4个人重排，恰有1个人站在自己原来的位置，有C种站法，剩下3人不站原来位置有2种站法，所以共有C×2＝8(种)站法．

3．从5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为(　　)

A．48  B．72

C．90  D．96

【答案】D　由于甲不参加生物竞赛，则安排甲参加另外3场竞赛或甲不参加任何竞赛．

①当甲参加另外3场竞赛时，共有CA＝72(种)选择方案；

②当甲学生不参加任何竞赛时，共有A＝24(种)选择方案．

综上所述，所有参赛方案有72＋24＝96(种)．

4．某校毕业典礼上有6个节目，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起．则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有(　　)

A．120种  B．156种

C．188种  D．240种

【答案】A　记演出顺序为1～6号，按甲的编排进行分类，①当甲在1号位置时，丙、丁相邻的情况有4种，则有CAA＝48(种)；②当甲在2号位置时，丙、丁相邻的情况有3种，共有CAA＝36(种)；③当甲在3号位置时，丙、丁相邻的情况有3种，共有CAA＝36(种)．所以编排方案共有48＋36＋36＝120(种)．

5．(多选)若3男3女排成一排，则下列说法错误的是(　　)

A．共计有720种不同的排法

B．男生甲排在两端的共有120种排法

C．男生甲、乙相邻的排法总数为120种

D．男女生相间排法总数为72种

【答案】BC　3男3女排成一排共计有A＝720(种)；男生甲排在两端的共有2A＝240(种)；男生甲、乙相邻的排法总数AA＝240(种)；男女生相间排法总数2AA＝72(种)．故选B、C.

6．(多选)甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是(　　)

A．如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种

B．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种

C．甲、乙不相邻的排法种数为72种

D．甲、乙、丙按从左到右的顺序排列的排法有20种

【答案】ABCD　如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，可将甲、乙捆绑看成一个元素，则不同的排法有A＝24(种)，故A正确；最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有AA＋A＝42(种)，故B正确；甲、乙不相邻的排法种数为AA＝72(种)，故C正确；对于选项D，先考虑五人全排列A种，其次甲、乙、丙三人实际上只能按照一种顺序站位，因而前面的排法数重复了A种，有＝20(种)，故D正确．

7．(多选)某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法错误的是(　　)

A．若任意选择三门课程，选法总数为A

B．若物理和化学至少选一门，选法总数为CC

C．若物理和历史不能同时选，选法总数为C－C

D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为CC－C

【答案】ABD　对于A，若任意选择三门课程，选法总数为C，错误；对于B，若物理和化学选一门，有C种方法，其余两门从剩余的5门中选，有C种选法，选法为CC；若物理和化学选两门，有C种选法，剩下一门从剩余的5门中选，有C种选法，有CC种，由分步乘法计数原理知，总数为CC＋CC，错误；对于C，若物理和历史不能同时选，选法总数为C－C·C＝C－C，正确；对于D，有3种情况：①只选物理且物理和历史不同时选，有C·C种选法；②选化学，不选物理，有C·C种选法；③物理与化学都选，有C·C种选法，故总数为C·C＋C·C＋C·C＝6＋10＋4＝20(种)，错误．故选A、B、D.

8.如图，∠MON的边OM上有四点A1，A2，A3，A4，ON上有三点B1，B2，B3，则以O，A1，A2，A3，A4，B1，B2，B3为顶点的三角形个数为________．

解析：先从这8个点中任取3个点，最多构成C三角形个，再减去三点共线的情形即可．共有C－C－C＝42(个)．

【答案】42

9．已知10件不同的产品中有4件是次品，现对它们进行测试，直至找出所有的次品为止．

(1)若恰在第5次测试才测试到第1件次品，第10次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是________；

(2)若恰在第5次测试后就找出了所有次品，则这样的不同测试方法数是________．

解析：(1)先排前4次测试，只能取正品，有A种不同的测试方法，再从4件次品中选2件排在第5次和第10次的位置上测试，有A种测试方法，再排余下4件的测试位置，有A种测试方法．所以共有A·A·A＝103 680(种)不同的测试方法．

(2)第5次测试的产品恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次有一件正品出现，所以共有C·C·A＝576(种)不同的测试方法．

【答案】(1)103 680　(2)576

10．袋中装有带有编号的红球和白球共16个，现从中任取两球，若取出的两球是同色的取法和取出的两球是异色的取法相等，则取出的两球都是红球的取法有多少种？

解：设红球有x个，则白球的个数为(16－x)，0<x<16.所以取出的两球是同色的取法种数为C＋C，两球是异色的取法种数为CC.

根据题意得C＋C＝CC，整理得x2－16x＋60＝0，解得x＝6或x＝10，符合题意．

①若x＝6，则取出的两球都是红球的取法共有C＝15(种)；

②若x＝10，则取出的两球都是红球的取法共有C＝45(种)．

B级——综合应用

11．十三届全国人大二次会议于2019年3月5日至15日在北京召开，会议期间工作人员将其中的5个代表团人员(含A，B两市代表团)安排至a，b，c三家宾馆入住，规定同一个代表团人员住同一家宾馆，且每家宾馆至少有一个代表团入住，若A，B两市代表团必须安排在a宾馆入住，则不同的安排种数为(　　)

A．6  B．12

C．16  D．18

【答案】B　如果仅有A，B入住a宾馆，则余下三个代表团必有2个入住同一个宾馆，此时共有CA＝6(种)安排数，如果有A，B及其余一个代表团入住a宾馆，则余下两个代表团入住b，c，此时共有CA＝6(种)安排数，综上，共有不同的安排种数为12.

12．有5列火车分别准备停在某车站并行的5条轨道上，若快车A不能停在第3道上，货车B不能停在第1道上， 则5列火车不同的停靠方法数为(　　)

A．56  B．63

C．72  D．78

【答案】D　若没有限制，5列火车可以随便停，则有A种不同的停靠方法；快车A停在第3道上，则5列火车不同的停靠方法为A种；货车B停在第1道上，则5列火车不同的停靠方法为A种；快车A停在第3道上，且货车B停在第1道上，则5列火车不同的停靠方法为A种，故符合要求的5列火车不同的停靠方法数为A－2A＋A＝120－48＋6＝78.

13．(多选)有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是(　　)

A．分给甲、乙、丙三人，每人各2本，有90种分法

B．分给甲、乙、丙三人中，一人4本，另两人各1本，有90种分法

C．分给甲、乙每人各2本，分给丙、丁每人各1本，有180种分法

D．分给甲、乙、丙、丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有2 160种分法

【答案】ABC　对A，先从6本书中分给甲2本，有C种方法；再从其余的4本书中分给乙2本，有C种方法；最后的2本书给丙，有C种方法．所以不同的分配方法有CCC＝90(种)，故A正确；对B，先把6本书分成3堆：4本、1本、1本，有C种方法；再分给甲、乙、丙三人，所以不同的分配方法有CA＝90(种)，故B正确；对C,6本不同的书先分给甲、乙每人各2本，有CC种方法；其余2本分给丙、丁，有A种方法．所以不同的分配方法有CCA＝180(种)，故C正确；对D，先把6本不同的书分成4堆：2本、2本、1本、1本，有·种方法；再分给甲、乙、丙、丁四人， 所以不同的分配方法有··A＝1 080(种)，故D错误．

14．将A，B，C，D，E排成一列，要求A，B，C在排列中顺序为“A，B，C”或“C，B，A”(可以不相邻)，这样的排列数有__________种．

解析：五个元素没有限制全排列数为A，由于要求A，B，C的次序一定(按A，B，C或C，B，A)，故除以这三个元素的全排列A，可得这样的排列数有×2＝40(种)．

【答案】40

15．将7个相同的小球放入4个不同的盒子中，求：

(1)不出现空盒时的放入方式共有多少种？

(2)可出现空盒时的放入方式共有多少种？

解：(1)将7个相同的小球排成一排，在中间形成的6个空当中插入无区别的3个“隔板”将球分成4份，每一种插入隔板的方式对应一种球的放入方式，则共有C＝20(种)不同的放入方式．

(2)每种放入方式相当于将7个相同的小球与3个相同的“隔板”进行一次排列，即从10个位置中选3个位置安排隔板，故共有C＝120(种)不同的放入方式．

C级——迁移创新

16．(1)求7C－4C的值；

(2)设m，n∈N*，n≥m，求证：(m＋1)C＋(m＋2)C＋(m＋3)C＋…＋nC＋(n＋1)C＝(m＋1)C.

解：(1)7C－4C＝7×－4×＝0.

(2)证明：当n＝m时，结论显然成立．

当n＞m时，(k＋1)C＝

＝(m＋1)·

＝(m＋1)C(k＝m＋1，m＋2，…，n)．

又因为C＋C＝C，

所以(k＋1)C＝(m＋1)(C－C)(k＝m＋1，m＋2，…，n)．

因此，(m＋1)C＋(m＋2)C＋(m＋3)C＋…＋(n＋1)C＝(m＋1)C＋[(m＋2)C＋(m＋3)C＋…＋(n＋1)C]

＝(m＋1)C＋(m＋1)[(C－C)＋(C－C)＋…＋(C－C)]

＝(m＋1)C.