数学选修2-1第二章 圆锥曲线与方程综合与测试课堂检测

专题强化练5　定值、定点以及探索性问题

解答题

1.(2019江苏南通适应性考试,★★☆)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过F且斜率为的直线l与抛物线C交于A,B两点,点B在x轴的上方,且横坐标为4.

(1)求抛物线C的标准方程;

(2)设点P为抛物线C上异于A,B的点,直线PA与PB分别交抛物线C的准线于E,G两点,x轴与准线的交点为H,求证:|HG|·|HE|为定值.

2.(2019福建泉州泉港高二期末,★★★)已知椭圆C:+=1(a>b>0),四个点P1(1,1),P2(0,1),P3,P4中恰有三点在椭圆C上.

(1)求椭圆C的方程;

(2)设直线l:y=kx+m(m≠1)与椭圆C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1,试说明直线l必过定点,并求出该定点的坐标.

3.(2019北京房山二模,★★★)已知抛物线x2=2py(p>0)过点(2,1).

(1)求抛物线的方程和焦点坐标;

(2)过点A(0,-4)的直线l与抛物线交于两点M,N,点M关于y轴的对称点为T,试判断直线TN是否过定点,并加以证明.

4.(2018江西南昌模拟,★★★)已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,且过点,直线l与椭圆交于A,B两点(A,B两点不是左、右顶点),当直线l的斜率为时,弦AB的中点D在直线y=-x上.

(1)求椭圆C的方程;

(2)若以线段AB为直径的圆过椭圆的右顶点,判断直线l是否经过定点,若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由.

答案全解全析

解答题

1.解析　(1)由题意得F.

因为点B的横坐标为4,且B在x轴的上方,

所以B(4,).

因为直线AB的斜率为,

所以=,整理得p+3·-8=0,

即(-)(+4)=0,又p>0,则p=2,

所以抛物线C的方程为y2=4x.

(2)证明:易得B(4,4),抛物线的准线方程为x=-1,

直线l的方程为y=(x-1),

由解得x=或x=4,

所以A.

设P,由题意得n≠±1且n≠±4,

所以直线PA的方程为y+1=.令x=-1,得y=-,

则|HE|=,

同理可得|HG|=,

所以|HG|·|HE|=·=4.

故|HG|·|HE|为定值.

2.解析　(1)由于P3,P4两点关于y轴对称,故P3,P4两点在椭圆C上,

所以+=1.

又+>+,所以C不经过点P1,

所以点P2在C上,

因此解得

故椭圆C的方程为+y2=1.

(2)设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1,k2,

将y=kx+m与+y2=1联立,消去y得,

(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0.

设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=.

又k1+k2=+

=+

==-1,

故(2k+1)x1x2+(m-1)(x1+x2)=0.

即(2k+1)·+(m-1)·=0,

解得k=-.

故直线l的方程为y=-x+m,

即y+1=-(x-2),

所以直线l过定点(2,-1).

3.解析　(1)因为抛物线x2=2py(p>0)过点(2,1),所以2p=4,

所以抛物线的方程为x2=4y,焦点坐标为(0,1).

(2)直线TN过定点.证明如下:设直线l的方程为y=kx-4,

由消去y,并整理,得x2-4kx+16=0,则Δ=16k2-64>0,即|k|>2.

设M(x1,y1),N(x2,y2),则T(-x1,y1),

x1+x2=4k,x1x2=16.

∵直线TN的方程为y-y2=·(x-x2),

∴y=·(x-x2)+y2

=·(x-x2)+

=x-+

=x+,

即y=x+4,

∴直线TN恒过定点(0,4).

4.解析　(1)设椭圆C的标准方程为+=1(a>b>0),A(x1,y1),B(x2,y2).

因为直线l的斜率为时,弦AB的中点D在直线y=-x上,所以=,=-,

由得=-,所以a2=4b2.①

因为椭圆过点,所以+=1.②

由①②得a=2,b=1,

所以椭圆C的方程为+y2=1.

(2)易得椭圆的右顶点为A2(2,0),AA2⊥BA2.

①当直线l的斜率不存在时,设直线l的方程为x=x0(-2<x0<2),此时要使以AB为直径的圆过椭圆的右顶点,则有=|2-x0|,解得x0=或x0=2(舍去),此时直线l的方程为x=;

②当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+b.因为·=0,所以4+x1x2-2(x1+x2)+y1y2=0,

将y1=kx1+b,y2=kx2+b代入并整理得(k2+1)x1x2+(kb-2)(x1+x2)+b2+4=0.(*)

联立直线方程和椭圆方程,得消去y并整理,得(4k2+1)x2+8kbx+4b2-4=0,

则x1+x2=,x1x2=,

代入(*)式得(k2+1)·+(kb-2)·+b2+4=0,

即4k2b2-4k2+4b2-4-8k2b2+16kb+4k2b2+16k2+b2+4=0,

即12k2+16kb+5b2=0,解得k=-b或k=-b,则y=-x+b或y=-x+b,即y=-或y=-(x-2),则直线l过点或(2,0)(舍去).

综上所述,直线l过定点.