2023商洛洛南中学高二上学期10月月考理科数学含解析

2022-2023学年度第一学期第一次月考

高二数学（理科）试题

命题人：   兰勃兴   王赛丽

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 一元二次不等式的解集为（    ）

A. 或 B. 或

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

利用一元二次不等式的解法求解即可.

【详解】二次方程根是和1，故一元二次不等式的解集是.

故选：C.

2. 已知，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用作差比较大小即可.

【详解】由题意可得，则.

故选：D.

3. 在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则此三角形解的情况为（    ）

A. 无解 B. 只有一解 C. 有两解 D. 解的个数不确定

【答案】B

【解析】

【分析】

由正弦定理可得，进而判断解的情况.

【详解】因为，，，

所以由正弦定理可得，，所以或，

当时，，满足题意；

当时，，不能构成三角形，舍去.

综上，，即三角形的解只有一个.

故选：B．

4. 已知非零实数满足，则下列不等式一定成立的是（   ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】通过举反例可判断ABD，利用函数的单调性可判断C

【详解】对于A，当时，满足，但，故A错误；

对于B，当时，满足，但，故B错误；

对于C，因为函数是在上的递增函数，且，所以，故C正确；

对于D，当时，满足，但，故D错误；

故选：C

5. 已知的三个内角所对的边分别为，若，则一定为（    ）

A. 直角三角形 B. 等腰三角形

C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形

【答案】B

【解析】

【分析】运用正弦定理化简边角关系，从而判断三角形的形状.

【详解】根据题意，，结合正弦定理可得：

，又三角形中

，化简计算得：

由三角形中，

必定为等腰三角形，选项B正确，选项ACD错误

故选：B.

6. 为等差数列的前项和，如果，那么的值为（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用等差数列求和公式结合等差中项的性质直接可得解.

【详解】由已知得，

解得，

故选：B.

7. △ABC的三个内角之比为A：B：C=3：2：1，三边之比a：b：c为（　　）

A. 3：2：1 B. 2：：1

C. ：：1 D. ：2：1

【答案】B

【解析】

【分析】由三个内角之比和可得，从而得到三个角的大小，再利用

正弦定理可得答案.

【详解】∵已知△ABC的三个内角之比为，

∴有，再由可得，

故三内角分别，

再由正弦定理可得三边之比，

故选：B.

8. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（    ）

A. 192 里 B. 96 里 C. 48 里 D. 24 里

【答案】B

【解析】

【分析】由题可得此人每天走的步数等比数列，根据求和公式求出首项可得.

【详解】由题意可知此人每天走的步数构成为公比的等比数列，

由题意和等比数列的求和公式可得，解得，

第此人第二天走里.

故选：B．

9. 一元二次不等式的解集是，则的值是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意可得方程的两根为和，且，由根与系数的关系列方程组，解方程组求得、的值即可求解．

【详解】因为一元二次不等式的解集是，

所以方程的两根为和，且，

所以，解得：，，所以，

故选：D．

10. 正项等比数列的公比，且成等差数列，则的值（    ）

A.  B.  C.  D. 或

【答案】B

【解析】

【分析】首先根据条件求，再根据等比数列的性质，得，即可求解.

【详解】因为成等差数列，所以，

即，，解得：，

.

故选：B

11. 记数列前项和，且数列满足，，则（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据递推式得到为下标周期为4的数列，并求得，进而求.

【详解】由题设，，，，，…

所以是下标周期为4的数列，且，

则.

故选：D

12. 在中，角的对边分别为，若，则的值为（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由向量数量积运算法则及正弦定理得，求出，，再利用余弦定理求出.

【详解】由题意得：，

因为，所以，

由正弦定理得：，

即，

因为，

所以，

故，即，

则，

由余弦定理及得：，

即，解得：.

故选：B

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 若为数列的前项和，且，则_______.

【答案】5

【解析】

【分析】直接由的定义计算．

详解】．

故答案为：5

14. 对任意实数，不等式恒成立，则的取值范围是______．

【答案】

【解析】

【分析】由题意得出，由此可解得实数的取值范围.

【详解】对任意实数，不等式恒成立，

则，解得.

因此，实数的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】本题考查利用一元二次不等式恒成立求参数，考查计算能力，属于基础题.

15. 在中，，，，则的外接圆半径R的值为________.

【答案】##

【解析】

【分析】先由三角形的面积公式计算出的值，然后利用余弦定理求出的值，再利用正弦定理可求出的外接圆直径，即可求解

【详解】由三角形的面积公式可得，可得，

由余弦定理得，则，

由正弦定理可知，的外接圆直径为，

所以半径为，

故答案为：

16. 如图，八卦桥（图1）是洛南县地标性建筑之一，它是一个八边形人行天桥，桥的中心处建有一座五层高的宝塔（图2），晚上宝塔上的霓虹灯流光溢彩非常美丽.某同学为了测量宝塔的高度，在塔底部同一水平线上选取了C，D两点，测得塔的仰角分别为45°和60°，C，D间的距离是12米.则宝塔的高度AB为_______米.（结果保留根号）

【答案】.

【解析】

【分析】设出未知数，根据三角函数列出方程，求出答案.

【详解】设米，则因为，

所以米，

因为米，

所以米，

由得：，

解得：，

故宝塔的高度AB为米

故答案为：.

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17. 已知是各项均为正数的等比数列，，.

（1）求的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）设等比数列的公比为，利用可算出，即可得到答案；

（2）由（1）可得，利用等差数列的前项和求解即可

【小问1详解】

设等比数列的公比为，

由可得：，即，

解得或（舍去），

所以；

【小问2详解】

由（1）可得，

所以数列的前项和.

18. 在中，已知，是边上的一点，,,.

（1）求的大小；

（2）求的长.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【详解】试题分析：（1）在中，由余弦定理得，最后根据的值及，即可得到的值；（2）在中，由正弦定理得到，从而代入数据进行运算即可得到的长.

试题解析：（1）在中，，由余弦定理可得

又因为，所以

（2）在中，

由正弦定理可得

所以.

考点：1.正弦定理；2.余弦定理；3.解斜三角形.

19. 设，不等式的解集记为集合.

（1）若，求的值；

（2）当时，求集合

【答案】（1）；（2）答案见解析.

【解析】

【分析】

（1）由题意可知，关于方程的两根分别为、，利用韦达定理列等式可求得实数的值；

（2）解方程可得或，对与的大小进行分类讨论，结合二次不等式的解法可求得集合.

【详解】（1）由题意可知，关于的方程的两根分别为、，

所以，，由韦达定理可得，解得；

（2）当时，由可得，

解方程，可得或.

①当时，即当时，或；

②当时，即当时，原不等式为，则；

③当时，即当时，或.

综上所述，当时，或；

当时，则；

当时，或.

【点睛】本题考查利用一元二次不等式的解求参数值，同时也考查了含参二次不等式的求解，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.

20. 为数列{}的前项和.已知＞0，=.

（Ⅰ）求{}的通项公式；

（Ⅱ）设 ,求数列{}的前项和.

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

【分析】（I）根据数列的递推关系，利用作差法即可求{an}的通项公式：

（Ⅱ）求出bn，利用裂项法即可求数列{bn}的前n项和．

【详解】解：（I）由an2+2an＝4Sn+3，可知an+12+2an+1＝4Sn+1+3

两式相减得an+12﹣an2+2（an+1﹣an）＝4an+1，

即2（an+1+an）＝an+12﹣an2＝（an+1+an）（an+1﹣an），

∵an＞0，∴an+1﹣an＝2，

∵a12+2a1＝4a1+3，

∴a1＝﹣1（舍）或a1＝3，

则{an}是首项为3，公差d＝2的等差数列，

∴{an}的通项公式an＝3+2（n﹣1）＝2n+1：

（Ⅱ）∵an＝2n+1，

∴bn（），

∴数列{bn}的前n项和Tn（）（）.

【点睛】本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算，利用裂项法是解决本题的关键．

21. 在中,角,,所对的边分别为,,,且.

（1）求；

（2）若,的面积为,求.

【答案】（1）（2）

【解析】

【分析】(1)利用正弦定理边角互化,结合两角和的正弦公式化简求解即可.

(2)根据三角形的面积公式可得,再代入余弦定理求解即可.

【详解】解：（1）由正弦定理得,

所以,

则,

又因为,所以,,

所以；

（2）的面积为,所以,

解得,

由,

所以.

【点睛】本题主要考查了解三角形与三角恒等变换的运用,需要根据题意选择合适的公式进行化简.属于基础题.

22. 已知数列满足：，，.

（1）证明：数列是等比数列；

（2）求数列的前项和.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

【分析】（1）依题意化简式子可得，根据等比数列的定义可得结果.

（2）根据（1）的结论可得，然后利用错位相减的方法进行求和，可得结果.

【详解】（1）由，得，

则，又，所以

所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列.

（2）由（1）知，，.

，

，

，

则，

所以.

【点睛】本题考查了利用定义证明等比数列,考查了错位相减法求和,熟悉常用的求和公式：公式法、裂项相消法、错位相减法，属于中档题.