高中数学必修一 专题02 集合与常用逻辑用语（知识梳理）单元复习

1. 知识系统整合

2. 规律方法收藏

1.在解题时经常用到集合元素的互异性，一方面利用集合元素的互异性能顺利找到解题的切入点；另一方面，在解答完毕之时，注意检验集合的元素是否满足互异性以确保答案正确.

2.对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号能否取到.解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系.

3.对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图.这是数形结合思想的又一体现.

4.充分、必要条件与集合的关系，p，q成立的对象构成的集合分别为A和B.

(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件.

(2)若AB，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件.

(3)若A＝B，则p是q的充要条件.

5.判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解“p的一个充分而不必要条件是q”等语言.

6.要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是特称命题，再对照否定结构去写，并注意与否命题的区别；否定的规律是“改量词，否结论”.

3 学科思想培优

一、数学抽象

数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养．主要表现为：获得数学概念和规则，提出数学命题和模型，形成数学方法和思想，认识数学结构与体系．在本章中，主要表现在集合概念的理解及应用中.

【典例1】(1)已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是(　　)

A．1　　　　　　　　　 B．3

C．5 D．9

(2)若－3∈{x－2，2x2＋5x，12}，则x＝________．

【答案】(1)C　(2)－

【解析】(1)①当x＝0时，y＝0，1，2，此时x－y的值分别为0，－1，－2；

②当x＝1时，y＝0，1，2，此时x－y的值分别为1，0，－1；

③当x＝2时，y＝0，1，2，此时x－y的值分别为2，1，0.

综上可知，x－y的可能取值为－2，－1，0，1，2，共5个，故选C.

(2)由题意知，x－2＝－3或2x2＋5x＝－3.

①当x－2＝－3时，x＝－1.

把x＝－1代入，得集合的三个元素为－3，－3，12，不满足集合中元素的互异性；

②当2x2＋5x＝－3时，x＝－或x＝－1(舍去)，

当x＝－时，集合的三个元素为－，－3，12，满足集合中元素的互异性，由①②知x＝－.

二、数学运算

数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养，主要表现为：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，求得运算结果．在本章中，主要表现在集合的交、并、补运算中.

【典例2】(1)设集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝(　　)

A．{1，－3} B．{1，0}

C．{1，3} D．{1，5}

(2)若集合A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜－1或x＞3}，则A∩B＝(　　)

A．{x|－2＜x＜－1} B．{x|－2＜x＜3}

C．{x|－1＜x＜1} D．{x|1＜x＜3}

【答案】(1)C　(2)A

【解析】(1)由A∩B＝{1}得1∈B，

所以m＝3，B＝{1，3}．

(2)A∩B＝{x|－2＜x＜－1}．

(3)已知集合A＝{x|2≤x＜7}，B＝{x|3＜x＜10}，C＝{x|x＜a}．

①求A∪B，(∁RA)∩B；

②若A∩C≠∅，求a的取值范围．

【解析】①因为A＝{x|2≤x＜7}，B＝{x|3＜x＜10}，

所以A∪B＝{x|2≤x＜10}．

因为A＝{x|2≤x＜7}，

所以∁RA＝{x|x＜2或x≥7}，

则(∁RA)∩B＝{x|7≤x＜10}．

②因为A＝{x|2≤x＜7}，C＝{x|x＜a}，且A∩C≠∅，所以a＞2，

所以a的取值范围是{a|a＞2}．

三、逻辑推理

逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养，主要表现为：掌握推理基本形式和规则，发现问题和提出问题，探索和表述论证过程，理解命题体系，有逻辑地表达与交流．本章主要表现在集合的基本关系、充要条件及全称量词命题和存在量词命题中.

【典例3】(1)集合A＝{x|x＝a2－4a＋5，a∈R}，B＝{y|y＝4b2＋4b＋3，b∈R}，则下列关系正确的是(　　)

A．A＝B B．BA

C．A⊆B D．BA

(2)已知集合A＝{x|0＜x＜4}，B＝{x|x＜a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是(　　)

A．{a|0＜a＜4} B．{a|－8＜a＜4}

C．{a|a≥4} D．{a|a＞4}

【答案】(1)B　(2)C

【解析】(1)A＝{x|x＝(a－2)2＋1，a∈R}，即A中的元素x≥1；而B＝{y|y＝(2b＋1)2＋2，b∈R}，即B中的元素y≥2，∴BA.

(2)在数轴上标出A，B两集合如图所示，

结合数轴知，若A⊆B，则a≥4.

【典例4】设x∈R，则“2－x≥0”是“－1≤x－1≤1”的(　　)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】由－1≤x－1≤1，得0≤x≤2，因为0≤x≤2⇒x≤2，x≤2 0≤x≤2，故“2－x≥0”是“－1≤x－1≤1”的必要不充分条件，故选B.

【典例5】若a，b都是实数，试从①ab＝0；②a＋b＝0；③a(a2＋b2)＝0；④ab＞0中选出满足下列条件的式子，用序号填空：

(1)使a，b都为0的必要条件是________；

(2)使a，b都不为0的充分条件是________；

(3)使a，b至少有一个为0的充要条件是________．

【答案】(1)①②③　(2)④　(3)①8

【解析】①ab＝0⇔a＝0或b＝0，即a，b至少有一个为0；

②a＋b＝0⇔a，b互为相反数，则a，b可能均为0，也可能为一正数一负数；

③a(a2＋b2)＝0⇔a＝0，b为任意实数；

④ab＞0⇔或即a，b同为正数或同为负数．

综上可知：(1)使a，b都为0的必要条件是①②③；

(2)使a，b都不为0的充分条件是④；

(3)使a，b至少有一个为0的充要条件是①.

【典例6】已知集合A＝{x∈R|2x＋m＜0}，B＝{x∈R|x＜－1或x＞3}．

(1)是否存在实数m，使得x∈A是x∈B成立的充分条件？

(2)是否存在实数m，使得x∈A是x∈B成立的必要条件？

【解析】(1)欲使x∈A是x∈B成立的充分条件，

则只要⊆{x|x＜－1或x＞3}，则只要－≤－1即m≥2，

故存在实数m≥2时使x∈A是x∈B成立的充分条件．

(2)欲使x∈A是x∈B成立的必要条件，

则只要⊇{x|x＜－1或x＞3}，则这是不可能的，故不存在实数m，使x∈A是x∈B成立的必要条件.

【典例7】判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，判断真假 ，并写出它们的否定：

(1)空集是任何一个非空集合的真子集．

(2)∀x∈R，4x2＞2x－1＋3x2.

(3)∃x∈{－2，－1，0，1，2}，|x－2|＜2.

(4)∀a，b∈R，方程ax＋b＝0恰有一解．

【解析】(1)该命题是全称量词命题，是真命题．该命题的否定：存在一个非空集合，空集不是该集合的真子集．

(2)该命题是全称量词命题，是假命题．

因为4x2－(2x－1＋3x2)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，

所以当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2.

该命题的否定：∃x∈R，4x2≤2x－1＋3x2.

(3)该命题是存在量词命题，是真命题．

因为当x＝1时，|x－2|＝1＜2.

该命题的否定：∀x∈{－2，－1，0，1，2}，|x－2|≥2.

(4)该命题是全称量词命题，是假命题．当a≠0时，方程ax＋b＝0才恰有一解．该命题的否定：∃a，b∈R，方程ax＋b＝0无解或至少有两解．

四、数学建模

数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养，主要表现在：发现和提出问题，建立和求解模型，检验和完善模型，分析和解决问题，在本章主要表现在集合的实际应用问题中.

【典例8】某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有________人．

【答案】8

【解析】设参加数学、物理、化学小组的人数构成的集合分别为A，B，C，同时参加数学和化学小组的有x人，由题意可得如图所示的Venn图．

由全班共36名同学可得(26－6－x)＋6＋(15－4－6)＋4＋(13－4－x)＋x＝36，

解得x＝8，即同时参加数学和化学小组的有8人．