高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.4 平面向量的应用精品课件ppt

环节四 正弦定理

复习导入

问题1：上节课我们对“用三角形的两边及其夹角来表示第三边”做了探究，我们是用什么方法探究的？得到了什么？

答案：用向量的方法探究的，得到了余弦定理（law of cosines）

三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．即，，；推论，，．

追问1：通过上面的公式，我们可以看出余弦定理和推论可以解决哪几类解三角形的问题？

答案：（1）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（2）已知三边，求三个角．

   追问2：初中时学了全等三角形ASA的判定定理，对照余弦定理公式，我们从什么样的研究上升到了什么样的研究？

   答案：对三角形的从定性研究上升到了定量的研究．

学习新知

余弦定理及其推论分别给出了已知两边及其夹角、已知三边直接解三角形的公式．

问题2：如果已知两角和一边，是否也有相应的直接解三角形的公式呢？

追问1：初中我们得到三角形中等边对等角的结论．实际上，三角形中还有大边对大角，小边对小角的边角关系．是否可以先把边、角关系量化之后，再对问题进行定量探究？

答案：问题可以描述为：在三角形△ABC中，设A的对边为a，B的对边为b，求A，B，a，b之间的定量关系．

问题2(转化为)：在三角形△ABC中，设A的对边为a，B的对边为b，求A，B，a，b之间的定量关系．

    追问2：可以先从熟悉的直角三角形的边、角关系分析入手，具体如何研究呢？

    答案：根据锐角三角函数，在Rt△ABC中（如图1-1），有，，显然，上述两个关系式在一般三角形中不成立．

观察发现，它们有一个共同元素c，利用它把两个式子联系起来，可得．又因为，所以上式可以写成边与它的对角的正弦的比相等的形式，即．

追问3：对于锐角三角形和钝角三角形，以上关系式是否仍然成立呢？用什么方法研究？

答案：成立．涉及三角形的边、角关系，可以采用向量的数量积来探究．因为希望获得△ABC中的边a，b，c与它们所对角A，B，C的正弦之间的关系式，而在向量运算中，两个向量的数量积与长度、角度有关，所以可以用向量的数量积来探究．

追问4：向量的数量积运算中出现了角的余弦，而需要的是角的正弦． 如何实现转化？

    答案：由诱导公式可知，可以通过构造角之间的互余关系，把边与角的余弦关系转化为正弦关系．

追问5：尝试按照上面的思路来探究一下锐角三角形中的情形吧？

答案：在锐角△ABC中（如图1-2），过点A做与垂直的单位向量j，则j与的夹角为，j与的夹角为．

因为，所以．

由分配律，得，即，也即．

所以．同理，过点C作出垂直的单位向量m，可得．

因此．

    追问6：尝试按照上面的思路来探究一下钝角三角形中的情形吧．

    答案：当△ABC是钝角三角形时（如图1-3），不妨设A为钝角． 过点A作与垂直的单位向量j，则j与的夹角为，j与的夹角为．仿照上述方法，同样可得． 综上得到定理：正弦定理（law of sines）在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即．

    追问7：正弦定理是研究了任意三角形中哪些量之间的定量关系？

    答案：给出了任意三角形中三条边与它们各自所对角的正弦比的一个等量关系．

追问8：结合正弦定理表达式，它可以解决哪些类型的解三角形问题呢？

答案：（1）已知三角形两角和任一边，求其余的两边和一角（已知A，B和a、b或c，求C和a、b、c）；（2）已知三角形两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求其余的边和角（已知a，b和A或B，求A或B，求c和C）．

知识应用

例1  在△ABC中，已知，，，解这个三角形．

分析：题目是“已知三角形两角和任一边，求其余的两边和一角”问题（已知A，B和a、b或c，求C和a、b、c），用正弦定理即可．

解：由三角形内角和定理，得．

由正弦定理，得

，

．

追问1：你觉得正弦定理还可以写成哪些形式？

答案： 、等．

例2  在△ABC中，已知，，，解这个三角形．

分析：题目是“已知三角形两边及其一边的对角求解三角形”问题（已知b，c和B，求A，求c和C），用正弦定理即可．

解：由正弦定理，得．

因为，，所以．于是，或．

追问1：为什么角C有两个值？

答案：在内，对应的角有两个，一个锐角，一个钝角，即，或．

追问2：两个角都符合要求吗？

答案：根据“三角形大边对大角”的结论，因为，所以，而，所以，或都符合要求．

（1）当时，．

此时．

（2）当时，．

此时．

注：由三角函数的性质可知，在区间内，余弦函数单调递减，所以利用余弦定理求角，只有一解；正弦函数在区间内单调递增，在区间内单调递减，所以利用正弦定理求角，可能有两解．

课堂小结

问题5：回顾本节课所学的知识，思考：（1）对三角形探究了什么？（2）用什么方法探究的？（3）探究得到了什么？

答案：（1）探究了“如果已知三角形两角和一边，是否也有相应的直接解三角形的公式？”，也就是任意三角形中两条边与所对的角的一个定量关系；（2）用“向量的数量积和诱导公式”探究的三角形的边、角关系；（3）得到了正弦定理（law of sines）在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即．

追问1：正弦定理解可以求解哪些类型的解三角形问题？

答案：（1）已知两角和任一边，求其余的两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求其余的边和角．

追问2：正弦定理是否还有其他的证明方法？请思考？

提示：（1）利用锐角三角函数证明；（2）利用三角形的面积证明．