人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用一等奖ppt课件

A

B

C

D

题号

答案

学科核心素养

水平层次

解析与说明

1

B

数学运算

水平一

【解析】因为，

当时，，，，则；

当时，，，，则；

当时，，，，则，

所以在，上单调递增，在上单调递减，

所以的极大值为．

故选B．

2

B

数学运算

水平一

【解析】，令，得．

当时，；

当时，，

所以当时，有极小值，也是最小值，最小值为．

故选B．

3

B

直观想象

水平一

【解析】因为，

所以．

根据图像可知x=，x=分别为函数的极小值点和极大值点，

所以x=，x=为方程的两根，

所以，

所以．

故选B．

4

B

数学运算

水平二

【解析】，令，

解得（舍去）或．

又，，，

所以最大，

所以，所以．

故选B．

5

C

直观想象

水平一

【解析】由题意可知：和时，，函数是增函数，时，，函数是减函数；

是函数的极大值点，是函数的极小值点；

所以函数的图象只能是C．

故选C．

6

C

数学建模

水平一

【解析】因为，

所以，

令，得，

因为要使得年产量有意义，所以，

所以当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，

所以当9时，函数取得最大值．

故选C．

7

D

直观想象

水平二

【解析】因为，

所以，

由导函数，图象可知，

当时，存在使得，

当时，存在使得＝，

当时，，

所以当时，时，；当时，时，．

所以函数在上，)上单调递增；在，上单调递减．

所以函数在，处取得极大值，在0处取得极小值，

故有个极大值点和个极小值点．

所以选D．

8

B

逻辑推理

水平二

【解析】，

；

又函数有极大值和极小值，

；

故或．

故选B．

9

B

数学建模

水平二

【解析】函数在上有两个不同的零点可化为与在上有两个不同的交点，作函数与在上的图象如下，

当直线与相切时，则，解得；

故直线与相切时，切线的斜率；

故实数的取值范围是．

故选B．

10

A

数学建模

水平三

【解析】，则，

设切点为，则切线方程为，

又切线过点，所以，

即，

过点仅可作一条直线与的图象相切，

则仅有一个实数解，

令，则，

当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

则函数的极小值为，极大值为，

当或时，与的函数图象仅有一个交点，

则仅有一个实数解．

故a的取值范围为．

故选A．

11

ABD

直观想象

水平一

【解析】结合导数与函数单调性的关系可知，当时，，则函数单调递减；

当时，，此时函数单调递增．

故当时，函数取得极小值，没有极大值．

故选ABD．

12

BD

逻辑推理

水平二

【解析】因为的定义域为，

所以是非奇非偶函数．

因为，

所以．

当时，，在上单调递增．

显然，令，得，分别作出，在区间上的图象，如图所示．

由图可知，这两个函数的图象在区间上共有个公共点，且两图象在这些公共点上都不相切，故在区间上的极值点的个数为，且只有个极大值点．

故选BD．

13

数学运算

水平一

【解析】根据题意可知，，定义域为，

，

令，解之可得，，，

所以，或；；

所以在，上单调递增，在上单调递减；

根据极值定义可得，函数在处取得极小值，

故可得是函数的极小值点．

14

数学运算

水平一

【解析】由于，

所以，

因为，得到，，

所以在上是增函数，在上是增函数，

而，，

所以在上是减函数；

可得，

，

，

，

所以在区间上的最小值为．

15

；

数学建模

水平二

【解析】函数的导函数，

当时，，

所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，

所以当时，函数取得最小值为．

当时，，当时，，

即时，，时，．

作函数图象如图所示，要使得方程有两个解，则．

16

数学建模

水平二

【解析】设剪去小正方形的边长为，

则容器的容积为：，

，

令，则（舍去），，

当时，，函数单调递增，

当时，，函数单调递减，

所以当时铁盒的容积最大，

故截去的小正方形边长为．

17

（1）单调增区间为，；单调减区间为

（2）当时，的极大值为；当时，的极小值为

数学运算

水平一

【解析】

（1）因为，所以，

设，可得或，

当时，或；当时，，

所以的单调增区间为，，单调减区间为．

（2）由（）可得，当变化时，，的变化情况如下表：

当时，有极大值，并且极大值，

当时，有极小值，并且极小值．

18

（1）单调递增区间为；单调递减区间为

（2）时，函数取得最大值；时，函数取得最小值

数学运算

水平二

【解析】

（1）函数，

，

令，解得，．

令，解得，或，

令，解得．

所以函数的单调增区间为，；单调减区间为．

（2）由（1）可得：函数在区间上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．

可得：时，函数取得极大值；时，函数取得极小值．

，，，．

所以时，函数取得最大值；时，函数取得最小值．

19

（1）

（2）

数学运算

水平二

【解析】

（1）由，

可得．

当时，，．

故曲线在点处的切线方程为，即．

（2）令，解得或．

当，即时，在区间上，，所以是上的增函数．

所以方程在上不可能有两个不相等的实数根．

当，即时，随的变化情况如下表：

函数在上的最小值为．

因为函数是上的减函数，是上的增函数，

且当时，有，

所以要使方程在上有两个不相等的实数根，的取值范围必须是．

20

（1）

（2）当时，总造价最低，最低造价为万元

数学建模

水平三

【解析】

（1）由题意可设点的坐标为，

易得直线的方程为，

则点到直线的距离为，

的造价为万元/百米，的造价为万元/百米，

所以．

（2）因为，

所以，

令，得，列表如下：

所以当时，函数有极小值，也是最小值，最小值为．

故当时，总造价最低，最低造价为万元．

21

（1）

（2）

数学运算

水平三

【解析】

（1）的导数为，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

故；

（2）对任意总存在，

使得等价于．

由（1）可知．

问题转化为在恒成立．

参变量分离得：，

令，，

则，由时，，得，

即在上单增．

故．

综上：，即a的取值范围为．

22

（1）当时，在上单调递增；

当时，在上单调递增，在上单调递减

（2）见解析

逻辑推理

水平三

【解析】

（1），

当时，，故在上单调递增，

当时，令，得到，

所以当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

综上所述，当时，在上单调递增，

当时，在上单调递增，在上单调递减．

（2）设函数，即证恒成立，

则，

可知在上单调递增，

又由，，

所以在上有唯一实数根，且，

则，即．

当时，，单调递减；

当时，，单调递增．

所以，

结合，可知，

，

则，

即不等式恒成立．