高中人教A版 (2019)6.4 平面向量的应用第1课时学案设计

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6.4.3 余弦定理、正弦定理第1课时余弦定理【学习目标】【自主学习】一．余弦定理二．余弦定理及其推论的应用 1.利用余弦定理的变形判定角在△ABC中，c2＝a2＋b2⇔C为；c2>a2＋b2⇔C为；c2b2＋c2，则△ABC一定为钝角三角形．(　　) 【经典例题】题型一已知两边及一角解三角形点拨：必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角．若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边．例1 在△ABC中，已知b＝3，c＝2eq \r(3)，A＝30°，求a. 【跟踪训练】1 在△ABC中，a＝2eq \r(3)，c＝eq \r(6)＋eq \r(2)，B＝45°，解这个三角形. 题型二已知三边(三边关系)解三角形已知三角形的三边求三角时，一般利用余弦定理的推论先求出两角，再根据三角形内角和定理求出第三个角.,利用余弦定理的推论求角时，应注意余弦函数在0，π上是单调的.当余弦值为正时，角为锐角；当余弦值为负时，角为钝角. 例2 已知△ABC中，a：b：c＝2：eq \r(6)：(eq \r(3)＋1)，求△ABC的各内角度数．【跟踪训练】2 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2＝b2－c2＋eq \r(2)ac，则角B的大小是(　　) A．45° B．60° C．90° D．135° 题型三判断三角形的形状点拨：利用余弦定理判断三角形形状的两种途径（1）化边的关系：将条件中的角的关系，利用余弦定理化为边的关系，再变形条件判断．（2）化角的关系：将条件转化为角与角之间的关系，通过三角变换得出关系进行判断．例3 在△ABC中，若a＝2bcosC，则△ABC的形状为________．【跟踪训练】3在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA＝eq \f(1,3)，b＝3c，试判断△ABC的形状．【当堂达标】 1.在△ABC中，已知a2＝b2＋c2＋bc，则角A为(　　) A.eq \f(π,3) B.eq \f(π,6) C.eq \f(2π,3) D.eq \f(π,3)或eq \f(2π,3) 2.在△ABC中，已知A＝30°，且3a＝eq \r(3)b＝12，则c的值为(　　) A．4 B．8 C．4或8 D．无解 3.在△ABC中，若(a＋c)(a－c)＝b(b－c)，则A等于(　　) A．90°　 B．60° C．120° D．150° 4.在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若a＝2，B＝eq \f(π,6)，c＝2eq \r(3)，则b＝ . 5.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝C,2b＝eq \r(3)a，则cos A＝________. 6.在△ABC中，acos A＋bcos B＝ccos C，试判断△ABC的形状．【课堂小结】 1．适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立． 2. 主要功能：余弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的互化，适用于解三角形．【参考答案】【自主学习】平方平方的和余弦的积的两倍b2＋c2－2bccosA a2＋c2－2accosB a2＋b2－2abcosC eq \f(b2＋c2－a2,2bc) eq \f(a2＋c2－b2,2ac) eq \f(a2＋b2－c2,2ab) 直角钝角锐角三角两边一角【小试牛刀】 (1)√　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√ 【经典例题】例1 解由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝32＋(2eq \r(3))2－2×3×2eq \r(3)cos30°＝3，所以a＝eq \r(3). 【跟踪训练】1 解根据余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accos B＝(2eq \r(3))2＋(eq \r(6)＋eq \r(2))2－2×2eq \r(3)×(eq \r(6)＋eq \r(2))×cos 45°＝8，∴b＝2eq \r(2). 又∵cos A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(8＋\r(6)＋\r(2)2－2\r(3)2,2×2\r(2)×\r(6)＋\r(2))＝eq \f(1,2)， ∴A＝60°，C＝180°－(A＋B)＝75°. 例2 解 ∵a：b：c＝2eq \r(6)(eq \r(3)＋1)，令a＝2k，b＝eq \r(6)k，c＝(eq \r(3)＋1)k(k>0)．由余弦定理的推论得：cosA＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(6＋\r(3)＋12－4,2×\r(6)×\r(3)＋1)＝eq \f(\r(2),2)， ∴A＝45°，cosB＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq \f(4＋\r(3)＋12－6,2×2×\r(3)＋1)＝eq \f(1,2)， ∴B＝60°. ∴C＝180°－A－B＝180°－45°－60°＝75°. 【跟踪训练】2 A解析：由已知得a2＋c2－b2＝eq \r(2)ac，所以cos B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq \f(\r(2)ac,2ac)＝eq \f(\r(2),2).又0°＜B＜180°，所以B＝45°. 例3 等腰三角形解析：∵a＝2bcos C＝2b·eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(a2＋b2－c2,a)， ∴a2＝a2＋b2－c2，即b2＝c2，b＝c， ∴△ABC为等腰三角形．【跟踪训练】3 解：由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA. 又因为cosA＝eq \f(1,3)，b＝3c，所以a2＝b2＋c2－2×3c×c×eq \f(1,3)＝b2－c2. 所以a2＋c2＝b2，所以B＝eq \f(π,2)，所以△ABC是直角三角形．【当堂达标】 1.C 解析：在△ABC中，由余弦定理，得cosA＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(－bc,2bc)＝－eq \f(1,2). ∵A∈(0，π)，∴A＝eq \f(2π,3). 2.C 解析：由3a＝eq \r(3)b＝12，得a＝4，b＝4eq \r(3)，利用余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccosA，即16＝48＋c2－12c，解得c＝4或c＝8. 3.B 因为(a＋c)(a－c)＝b(b－c)，所以b2＋c2－a2＝bc，所以cos A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(1,2).因为A∈(0°，180°)，所以A＝60°. 4.2 解析：由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝4＋12－2×2×2eq \r(3)×eq \f(\r(3),2)＝4，所以b＝2. 5. eq \f(1,3) 解析：由B＝C,2b＝eq \r(3)a，可得b＝c＝eq \f(\r(3),2)a，所以cos A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(\f(3,4)a2＋\f(3,4)a2－a2,2×\f(\r(3),2)a×\f(\r(3),2)a)＝eq \f(1,3). 6.解：由余弦定理知cos A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)，cos B＝eq \f(c2＋a2－b2,2ca)，cos C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)，代入已知条件得a·eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＋b·eq \f(c2＋a2－b2,2ca)＋c·eq \f(c2－a2－b2,2ab)＝0，通分得a2(b2＋c2－a2)＋b2(a2＋c2－b2)＋c2(c2－a2－b2)＝0，展开整理得(a2－b2)2＝c4. 所以a2－b2＝±c2，即a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2. 根据勾股定理知△ABC是直角三角形．素养目标学科素养1.了解余弦定理的推导过程； 2.掌握余弦定理的几种变形公式及应用； 3.能利用余弦定理求解三角形的边、角等问题。1.数学运算; 2.数学抽象； 3.逻辑推理.文字语言三角形中任何一边的，等于其他两边减去这两边与它们夹角的符号语言a2＝；b2＝；c2＝推论 cos A＝；cos B＝；cos C＝．

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