初中数学北师大版九年级下册第二章 二次函数5 二次函数与一元二次方程第1课时教学设计及反思

教学目标

1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系.

2.掌握二次函数图象与x轴的交点横坐标与一元二次方程两根的关系．

3.理解二次函数图象与x轴的交点的个数与一元二次方程的根的个数的关系．

教学重难点

重点：把握二次函数图象与x轴的交点个数与一元二次方程的根的个数之间的关系．

难点：理解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根就是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标.

教学过程

导入新课

我们学习了一元一次方程kx＋b＝0（k≠0）和一次函数y＝kx＋b（k≠0）后，讨论了它们之间的关系，请同学们回顾一下它们二者之间有何关系？

问题1：一次函数y＝x＋2的图象与x轴的交点为（，）,

一元一次方程x＋2＝0的根为________．

问题2：一次函数y＝－3x＋6的图象与x轴的交点为（，）,

一元一次方程－3x＋6＝0的根为________．

问题3：一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点与一元一次方程kx＋b＝0的根有什么关系？

让学生独立解决上面的三个问题，学生口答，教师展示答案.借此引导学生回顾总结一元一次方程kx＋b＝0（k≠0）和一次函数y＝kx＋b（k≠0）之间的关系.

一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点的横坐标就是一元一次方程kx＋b＝0的根．

现在我们学习了一元二次方程ax²＋bx＋c＝0（a≠0）和二次函数y＝ax²＋bx＋c（a≠0），它们之间是否也存在一定的关系呢？由此引出本节要研究的课题.

设计意图：首先利用所学习过的一元一次方程kx＋b＝0（k≠0）和一次函数y＝kx＋b（k≠0）的关系进行回顾，让学生进一步理解和掌握所学知识，为本课的学习做铺垫，最后提出问题“一元二次方程和二次函数，它们之间是否也存在一定的关系呢？”激发学生学习的兴趣.

探究新知

一、预习新知

多媒体展示

我们已经知道，竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可以近似地用公式h＝－5t2＋v0t＋h0表示，其中h0(m)是抛出时的高度，v0(m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面被以40 m/s的速度竖直向上抛起，小球距离地面的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示，那么

(1)h与t的关系式是什么？

(2)小球经过多少秒后落地?你有几种求解方法?与同伴进行交流.

教师引导学生仔细审题，回答下面的问题：

1.由图象可得h0＝　　　　，v0＝　　　　. 

2.由h与t的关系式为h＝－5t2＋v0t＋h0，可得h与t的关系式为　　　　. 

生：h与t的关系式为h＝－5t2＋v0t＋h0，其中的v0为40 m/s，小球从地面被抛起，所以h0＝0.把v0＝40，h0＝0代入上式即可求出h与t的关系式，所以h＝－5t2＋40t.

师：怎样求出小球落地所需要的时间?

思路一

教师引导学生通过观察图象得出结论，学生观察、分析、讨论后，师生统一答案.

生1：观察图象可得小球经过8 s后落地.

思路二

教师引导学生仔细审题，回答下面的问题：

师：小球落地时高度h为何值？

生：h为0.

师：求出的一元二次方程的两个解是否都满足题意？

教师要求学生思考后，与同伴交流，教师巡视并参与讨论，及时订正学生出现的错误.

学生独立完成后，同伴交流，代表板演解题过程.

解：令h＝0，得－5t2＋40t＝0，即t2－8t＝0，

∴t(t－8)＝0.

解得t1＝0，t2＝8.

∵t＝0是小球没抛时的时间，

∴t＝8是小球落地时的时间.

∴小球经过8 s后落地.

教师点评：两种方法一个运用“数”，一个运用了“形”，再次体现了数形结合的数学思想方法.

设计意图：通过实际问题的解答，使学生进一步理解和掌握二次函数和一元二次方程之间的关系，同时利用两种不同的方法进行求解，体现了解题方法的灵活性，同时也使学生进一步感受到数形结合的解题思想.

二、合作探究

二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象与x轴的交点个数与一元二次方程ax²＋bx＋c＝0根的个数之间有什么关系？图象与x轴的交点的横坐标与方程的根又有什么关系？

多媒体展示课本中的议一议.

二次函数y＝x2＋2x，y＝x2－2x＋1，y＝x2－2x＋2的图象分别如图所示.

(1)每个图象与x轴有几个交点?

(2)一元二次方程x2＋2x＝0，x2－2x＋1＝0有几个实数根?用判别式验证一下.一元二次方程x2－2x＋2＝0有实数根吗?

(3)二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标和一元二次方程ax²＋bx＋c＝0的根有什么关系?

教师组织学生观察图象，对学生进行分组：共分六个组，两两合作，共同完成第(1)(2)(3)题.各组分别讨论，教师巡回指导并参与各小组讨论，最后找学生代表阐述观点.

第一组得出二次函数y＝x2＋2x与x轴有两个交点，第二组得出方程x2＋2x＝0有两个不相等的实数根.

第三组得出二次函数y＝x2－2x＋1与x轴有一个交点，第四组得出方程x2－2x＋1＝0有两个相等的实数根.

第五组得出二次函数y＝x2－2x＋2与x轴没有公共点，第六组得出方程x2－2x＋2＝0没有实数根.

学生总结，教师点评：二次函数与一元二次方程之间的关系：

二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点.

与此相对应，一元二次方程ax2+bx+c＝0的根也有三种情况：有两个不相等的实数根（b2－4ac>0）、有两个相等的实数根（b2－4ac＝0）、没有实数根（b2－4ac<0）.

二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根.

设计意图：通过对三个函数图象与x轴交点的观察、对一元二次方程根的求解，让学生进一步掌握二次函数与一元二次方程之间的关系，提高发现问题、解决问题的能力.

典型例题

【例】求二次函数y＝－(x－2)2＋1的图象与x轴的交点坐标．

【问题探索】求二次函数的图象与x轴的交点坐标，只需令y＝0，求出x的值即可．

【解】令y＝－(x－2)2＋1＝0，

解得x1＝0，x2＝4.

∴二次函数y＝－(x－2)2＋1的图象与x轴的交点坐标为(0，0)，(4，0)．

【总结】一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根即为二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点的横坐标．

课堂练习

1.抛物线y＝－3x2－x＋4与坐标轴的交点个数是(　　)

A.3个 B.2个

C.1个 D.0个

2.小兰画了一个函数y＝x2＋ax＋b的图象如图，则关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解是(　　)

A.无解                          B.x＝1

C.x＝－4                        D.x1＝－1，x2＝4

3.若函数y＝x2＋2x－m的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为___________.

4.已知二次函数y＝2x2－mx－m2.

(1)求证：对于任意实数m，该二次函数图象与x轴总有公共点；

(2)若该二次函数图象与x轴有两个公共点A，B，且A点坐标为(1，0)，求B点坐标.

参考答案

1.A　

2.D

3.－1

4.(1)证明：2x2－mx－m2＝0，Δ＝(－m)2－4×2×(－m2)＝9m2.

∵m2≥0，∴9m2≥0，

∴对于任意实数m，该二次函数图象与x轴总有公共点.　

（2）解：把(1，0)代入二次函数表达式，

得2－m－m2＝0，∴m1＝－2，m2＝1.

当m＝－2时，二次函数表达式为y＝2x2＋2x－4,

令y＝0，得2x2＋2x－4＝0，解得x＝1或x＝－2，

∴二次函数图象与x轴的两个公共点的坐标是(1，0)，(－2，0).

又∵A点坐标为(1，0)，∴B(－2，0).

当m＝1时，同理可得B.

课堂小结

(学生总结，老师点评)

1.二次函数与一元二次方程有下列对应关系：

2.若抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交点为(x0，0)，则x0是方程ax2＋bx＋c＝0的根．

板书设计

第二章　二次函数

5　二次函数与一元二次方程

第1课时　二次函数与一元二次方程的关系

1.二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点.

与此相对应，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根也有三种情况：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、没有实数根.

2.二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根.

教学反思

教学反思

教学反思

教学反思

教学反思