数学必修 第一册5.1 任意角与弧度制学案

这是一份数学必修 第一册5.1 任意角与弧度制学案，共11页。

5.1.1 角的概念的推广
教材要点
要点一 角的分类
状元随笔 (1)正角、负角的引入是从正数、负数类比而来的，它们是用来表示具有相反意义的旋转量的．
(2)在判断角度时，应时刻抓住“旋转”二字：①要明确旋转方向；②要明确旋转角的大小；③要明确射线未做任何旋转时的位置；④要注意由旋转方向来确定角的符号．
要点二 象限角
在平面直角坐标系内讨论角，为此取角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴的________，那么，角的终边落在第几象限，就说这个角是第几象限角，如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角________任何一个象限．
要点三 终边相同的角
把所有与角α终边相同的角用集合表示出来，即S＝________当k＝0时，角β就是角α本身．
状元随笔 (1)α为任意角，“k∈Z”这一条件不能漏．
(2)k·360 °与α中间用“＋”连接，k·360 °－α可理解成k·360 °＋(－α)．
(3)当角的始边相同时，相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相等．终边相同的角有无数个，它们相差360 °的整数倍．终边不同则表示的角一定不同．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．( )
(2)终边相同的角的表示不唯一．( )
(3)终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍．( )
(4)终边与始边重合的角是零角．( )
2．手表时针走1小时转过的角度是( )
A．60° B．－60°
C．30° D．－30°
3．与53°角终边相同的角是( )
A．127° B．233°
C．－307° D．－127°
4．2 019°是第________象限角．
题型1 任意角的概念及应用
例1 (1)(多选)下列说法错误的是( )
A．0°～90°的角是第一象限角
B．第二象限角大于第一象限角
C．钝角都是第二象限角
D．小于90°的角都是锐角
(2)将表的分针拨慢30分钟，则这个过程中时针转过的角度是( )
A．10° B．15°
C．30° D．－30°
方法归纳
与角的概念有关问题的解决方法
正确解答角的概念问题，关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可．
跟踪训练1 (1)下列说法正确的是( )
A．第一象限的角一定是正角
B．三角形的内角不是锐角就是钝角
C．锐角小于90°
D．终边相同的角相等
(2)将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数是________．
题型2 终边相同的角
例2 (1)写出与75°角终边相同的角的集合，并求在360°～1 080°范围内与75°角终边相同的角．
(2)写出终边在直线y＝－3x上的角的集合．
方法归纳
(1)写出终边落在直线上的角的集合的步骤
①写出在[0°，360°)内相应的角；②由终边相同的角的表示方法写出角的集合；③根据条件能合并的一定合并，使结果简洁．
(2)终边相同的角常用的三个结论
①终边相同的角之间相差360°的整数倍；②终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍；③终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍．
跟踪训练2 (1)与－460°角终边相同的角可以表示成( )
A．460°＋k·360°，k∈Z
B．100°＋k·360°，k∈Z
C．260°＋k·360°，k∈Z
D．－260°＋k·360°，k∈Z
(2)终边落在x轴上的角的集合为________________．
题型3 象限角与区域角的表示
角度1 象限角的判定
例3 (多选)若α是第二象限角，则α2所在的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
方法归纳
关于角nα或αn象限的确定
(1)由α的范围，表示出nα，αn的范围，由n的取值确定象限．
(2)特别地，求αn所在象限时，可以把每个象限等分为n份，在每一份中按顺序标记一、二、三、四，找到原象限数字即可．(如图)
角度2 区域角的表示
例4 写出如图所示阴影部分(包括边界)的角α的范围．
方法归纳
区域角是指终边落在坐标系的某个区域内的角．其写法可分为三步：
(1)按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；
(2)由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°到360°范围内的角α和β，并将该范围内的区域角表示为{x|α＜x＜β}，其中β－α＜360°；
(3)起始、终止边界对应角α、β再加上360°的整数倍，即得区域角的范围．
跟踪训练3 (1)已知α是第一象限角，那么α2是( )
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第一或第二象限角
D．第一或第三象限角
(2)写出终边落在图中阴影部分(包括边界)的角的集合．
易错辨析 忽视轴线角致误
例5 已知α为锐角，则2α为( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第一或第二象限角 D．小于180°的角
解析：因为α为锐角，所以α∈(0°，90°)，则2α∈(0°，180°)．
答案：D
易错警示
课堂十分钟
1．下列各角中，与35°终边相同的角是( )
A．215° B．365° C．755° D．－235°
2．把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是( )
A．120° B．－120° C．240° D．－240°
3．若α是第四象限角，则180°－α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
4．角α，β的终边关于y轴对称，若α＝30°，则β＝________，α的相反角为________．
5．写出终边在下列各图所示阴影部分内的角的集合．
第五章 三角函数
5．1 任意角与弧度制
5．1.1 角的概念的推广
新知初探·课前预习
要点一
逆时针 顺时针
要点二
非负半轴 不属于
要点三
{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}
[基础自测]
1．答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)×
2．解析：－112×360°＝－30°.
故选D.
答案：D
3．解析：与53°角终边相同的角是53°＋k·360°，k∈Z，当k＝－1时，角为－307°.
故选C.
答案：C
4．解析：∵2 019°＝360°×5＋219°，180°<219°<270°.
∴2 019°是第三象限角．
答案：三
题型探究·课堂解透
例1 解析：(1)0°～90°的角是指[0°，90°)，0°角不属于任何象限，所以A不正确；120°是第二象限角，390°是第一象限角，显然390°>120°，所以B不正确；钝角的范围是(90°，180°)，显然是第二象限角，所以C正确；锐角的范围是(0°，90°)，小于90°的角也可以是零角或负角，所以D不正确．
故选ABD.
(2)分针拨慢，则时针逆时针旋转，故时针转过的角度为正数．又因为分针拨慢30分钟，时针逆时针旋转0.5个小时，所以 eq \f(1,24) ×360°＝15°.
故选B.
答案：(1)ABD (2)B
跟踪训练1 解析：(1)－355°是第一象限的角，但不是正角，所以A错误；三角形的内角还可能是90°，所以B错误；锐角小于90°，C正确；45°角与405°角的终边相同，但不相等，所以D错误．
故选C.
(2)将时钟拨快20分钟，分针顺时针旋转120°，所以分针转过的度数为－120°.
答案：(1)C (2)－120°
例2 解析：(1)与75°角终边相同的角的集合为S＝{β|β＝k·360°＋75°，k∈Z}．
当360°≤β<1 080°，即360°≤k·360°＋75°<1 080°时，解得 eq \f(19,24) ≤k<2 eq \f(19,24) .又k∈Z，所以k＝1或k＝2.
当k＝1时，β＝435°；当k＝2时，β＝795°.综上所述，与75°角终边相同且在360°～1 080°范围内的角为435°角和795°角．
(2)终边在y＝－ eq \r(3) x(x<0)上的角的集合是S1＝{α|α＝120°＋k1·360°，k1∈Z}；
终边在y＝－ eq \r(3) x(x≥0)上的角的集合是S2＝{α|α＝300°＋k2·360°，k2∈Z}．
因此，终边在直线y＝－ eq \r(3) x上的角的集合是S＝S1∪S2＝{α|α＝120°＋k1·360°，k1∈Z}∪{α|α＝300°＋k2·360°，k2∈Z}，
即S＝{α|α＝120°＋2k1·180°，k1∈Z}∪{α|α＝120°＋(2k2＋1)·180°，k2∈Z}＝{α|α＝120°＋n·180°，n∈Z}．
故终边在直线y＝－ eq \r(3) x上的角的集合是S＝{α|α＝120°＋n·180°，n∈Z}．
跟踪训练2 解析：(1)因为－460°＝260°＋(－2)×360°，
所以与－460°角终边相同的角可以表示成260°＋k·360°，k∈Z.
故选C.
(2)在0°～360°范围内，终边在直线y＝0上的角有两个，即0°和180°，又∵所有与0°角终边相同的角的集合为S1＝{β|β＝0°＋k·360°，k∈Z}，所有与180°角终边相同的角的集合为S2＝{β|β＝180°＋k·360°，k∈Z}，于是，终边在直线y＝0上的角的集合为S＝S1∪S2＝{β|β＝k·180°，k∈Z}．
答案：(1)C (2){β|β＝k·180°，k∈Z}
例3 解析：∵α是第二象限角，∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z，∴45°＋k·180°< eq \f(α,2) <90°＋k·180°，k∈Z.当k＝2n(n∈Z)时，45°＋n·360°< eq \f(α,2) <90°＋n·360°(n∈Z)；当k＝2n＋1(n∈Z)时，225°＋n·360°< eq \f(α,2) <270°＋n·360°(n∈Z).∴ eq \f(α,2) 的终边位于第一或第三象限．故选AC.
答案：AC
例4 解析：(1)因为与45°角终边相同的角可写成45°＋k·360°，k∈Z的形式，与－180°＋30°＝－150°角终边相同的角可写成－150°＋k·360°，k∈Z的形式，所以图(1)阴影部分的角α的范围可表示为{α|－150°＋k·360°≤α≤45°＋k·360°，k∈Z}．
(2)因为与45°角终边相同的角可写成45°＋k·360°，k∈Z的形式，与360°－60°＝300°角终边相同的角可写成300°＋k·360°，k∈Z的形式，所以图(2)阴影部分的角α的范围为{α|45°＋k·360°≤α≤300°＋k·360°，k∈Z}．
跟踪训练3 解析：(1)∵k·360°<α<90°＋k·360°，k∈Z，
∴k·180°< eq \f(α,2) <45°＋k·180°，k∈Z.
当k＝2n，n∈Z时，n·360°< eq \f(α,2) <45°＋n·360°，n∈Z，
∴ eq \f(α,2) 是第一象限角．
当k＝2n＋1，n∈Z时，180°＋n·360°< eq \f(α,2) <45°＋180°＋n·360°(n∈Z)，
∴ eq \f(α,2) 在第三象限．
故选D.
(2)若角α的终边落在OA上，则α＝30°＋k·360°，k∈Z.
若角α的终边落在OB上，则α＝135°＋k·360°，k∈Z.
所以，角α的终边落在图中阴影区域内时，
30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z.
故角α的取值集合为{α|30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．
答案：(1)D (2)见解析
[课堂十分钟]
1．解析：755°＝2×360°＋35°.
故选C.
答案：C
2．解析：一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是－240°，故选D.
答案：D
3．解析：可以给α赋一特殊值－60°，
则180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角．
故选C.
答案：C
4．解析：∵角α，β的终边关于y轴对称，α＝30°，
∴β＝180°－30°＋k·360°＝150°＋k·360°(k∈Z)，α的相反角为－30°.
答案：150°＋k·360°(k∈Z) －30°
5．解析：先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，则得
(1){α|30°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}．
(2){α|－210°＋k·360°≤α≤30°＋k·360°，k∈Z}．
最新课程标准
学科核心素养
1.了解任意角的概念和弧度制．
2．能进行弧度与角度的互化．
3．体会引入弧度制的必要性．
1.了解任意角的概念，能区分各类角的概念，掌握象限角的概念，并会用集合表示象限角．(数学抽象)
2．理解弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换．(数学抽象、数学运算)
类型
定义
图示
正角
以________方向旋转形成的角
负角
以________方向旋转形成的角
零角
不旋转所形成的角，用0°表示
易错原因
纠错心得
当α＝45°时，2α＝90°，90°既不是第一象限也不是第二象限角．
易错选：C.
象限角不包括坐标轴表示的角．
(0°，180°)内的角不能说是第一或第二象限角，其中还有终边在y轴的非负半轴的角．